Применение уравнения бернулли в технике реферат

Обновлено: 02.07.2024

При движении реальной жидкости вследствие ее вязкости и трения происходят потери энергии. Поэтому при составлении уравнения Бернулли для двух выбранных сечений потока реальной жидкости необходимо учитывать неравномерность распределения скоростей в потоке (с помощью коэффициента Кориолиса α и энергию потока Е_1-2, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления в канале.

Для установившегося, плавно изменяющегося[2] движения коэффициент неравномерности скоростей α = 1,05 . 1,1. Если скорости в пределах живого сечения одинаковые и равны средней, то α = 1.

По аналогии с (3.32) запишем уравнение Бернулли для потока реальной жидкости:

Оно является уравнением баланса удельных потоков реальной жидкости. Разделив левую и правую части (3.34) на g, получим иной вид уравнения Бернулли

где h_1-2 — потери напора в сопротивлениях, как в местных, так и по длине (h_1-2 = E_1-2/g).

Из (3.35) видно, что гидравлический напор струйки реальной жидкости H_гд [см. формулу (3.31)] изменяется по ее длине, т. е. H_гд ¹ const. Изменение полной удельной энергии потока реальной жидкости при перемещении от одного сечения к другому равно удельной энергии, затраченной на преодоление сопротивлений между этими сечениями. Потери напора на единицу длины потока называются гидравлическим уклоном

а потери пьезометрической высоты — пьезометрическим уклоном

где l — длина потока.

Для газов уравнение Бернулли (3.35) и его различные виды применимы, если скорость движения газа значительно меньше скорости звука (менее 1200 км/ч).

Уравнение Бернулли широко применяется в технике, например для расчетов водопроводов, нефтепроводов, газопроводов, насосов и т. п. На его основании сконструирован ряд приборов и устройств, таких как расходомер Вентури, карбюратор, водоструйный насос (эжектор), трубка Пито и т. д. Рассмотрим некоторые из них.

Расходомер Вентури (рис. 3.8) представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока — дросселирование. Расходомер состоит из двух участков — плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в сужающемся месте возрастает, а давление падает. Возникает разность (перепад) давлений, которую можно измерить двумя пьезометрами или дифференциальным U-образным манометром.

Пусть в сечении 1 — 1 потока непосредственно перед сужением скорость равна v₁, давление p₁ площадь сечения ω₁, а в сечении 2 — 2 (т. е. в самом узком месте потока) соответственно v₁, p₁ и ω₂ . ΔН — разность показаний пьезометров, присоединенных к указанным сечениям.

Рис. 3.8. Схема расходомера Вентури

Запишем для сечений 1 — 1 и 2 — 2 потока уравнение Бернулли и уравнение расхода (считая распределение скоростей равномерным):

где h_м — потеря напора между сечениями 1 — 1 и 2 — 2.

где ζ — коэффициент сопротивления,

найдем из системы уравнений (3.38) одну из скоростей, например,

Отсюда объемный расход

где С — величина, постоянная для данного расходомера.

Зная С и ΔН, можно найти расход в трубопроводе для любого момента времени по формуле (3.44). Константу С определяют теоретически или экспериментально путем градуирования расходомера.

Вместо пары пьезометров для измерения перепада давления в расходомере можно применить дифференциальный ртутный манометр (см. рис. 3.8). Поскольку над ртутью в трубках находится та же жидкость плотностью ρ, что и в трубопроводе, можно применить формулу

Карбюраторпоршневых двигателей внутреннего сгорания (рис. 3.9) служит для подсоса бензина и смешивания его с потоком воздуха. Поток воздуха, засасываемого в двигатель, сужается в том месте (сечение 2—2), где установлен распылитель бензина (обрез трубки диаметром d). Скорость воздуха в этом сечении возрастает, а давление по закону Бернулли падает. Благодаря пониженному давлению бензин вытекает в поток воздуха. Найдем соотношение между массовыми расходами бензина Q_б и воздуха Q_в при заданных диаметрах D и d и коэффициентах сопротивления воздушного канала (до сечения 2—2) ζ_в и жиклера ζ_ж (сопротивлением бензотрубки пренебрегаем). Записав уравнение Бернулли для потока воздуха (сечения О — О и 2 — 2), а затем для потока бензина (сечения 1 — 1 и 2 — 2), получим (при z₁ = z₂ и α = 1):

Рис. 3.9. Схема карбюратора

где р_а — атмосферное давление; р₂ — давление воздуха и бензина в сечении 2 — 2; v_2в, v_2б — соответственно скорость потоков воздуха и бензина в сечении 2 — 2; ρ_в, ρ_б — плотности воздуха и бензина.

Учитывая, что массовые расходы воздуха и бензина соответственно составят

Как следует из выражения (3.51), отношение массового расхода бензина к массовому расходу воздуха есть величина постоянная, зависящая от конструктивных параметров карбюратора.

Струйный насос (эжектор) (рис. 3.10) состоит из плавно сходящегося насадка 2, осуществляющего сжатие потока, и постепенно расширяющейся трубки 4, установленной на некотором расстоянии от насадка в камере 3. Вследствие увеличения скорости потока давление в струе на выходе из насадка 2 и во всей камере 3 значительно понижается.

Рис. 3.10. Схема струйного насоса (эжектора): 1 — труба; 2 — насадок; 3 — камера; 4 — расширяющаяся трубка

В расширяющейся трубке 4 скорость уменьшается, а давление возрастает приблизительно до атмосферного (если жидкость вытекает в атмосферу). Следовательно, в камере 3 давление обычно меньше атмосферного, т.е. в ней имеется разрежение (вакуум). Под действием разрежения жидкость из нижнего резервуара всасывается по трубе 1 в камеру 3, где происходит слияние и перемешивание двух потоков.

Трубка полного напора, или трубка Пито (рис. 3.11), служит для измерения скорости потока, например, в трубе. Если установить в одном сечении потока трубку, изогнутую под углом 90°, отверстием навстречу потоку и пьезометр, то жидкость в трубке поднимется над уровнем жидкости в пьезометре на высоту, равную скоростному напору. Объясняется это тем, что скорость частиц жидкости, попадающих в отверстие трубки, уменьшается до нуля, следовательно, давление увеличивается на величину скоростного напора. Измерив разность высот подъема жидкости в трубке Пито и пьезометре, легко определить скорость жидкости в данной точке.

Трубка Пито — Прандтляприменяется для измерения малых (по сравнению со скоростью звука) скоростей полета самолета. Схема прибора показана рис. 3.12

Запишем уравнение Бернулли для струйки, которая набегает со скоростью v₀ на трубку в направлении ее оси, а затем растекается по ее поверхности. Для сечений 0—0 (не возмущенный трубкой поток) и 1—1 (где v₁ = 0) получаем

Рис. 3.11. Схема трубки полного напора

Рис. 3.12. Схема трубки Пито —Прандтля

где ρ — плотность воздуха.

Давление р₂, воспринимаемое боковыми отверстиями трубки, можно считать примерно равным давлению невозмущенного потока, т.е. р₂ = p₀). С учетом этого из формулы (3.52) получаем

Скорость набегающего потока v₀ и есть искомая скорость самолета.

Перед написание реферата я ставил перед собой некие цели. И в ходе всей работы придерживался их. Они были такими:

1. Узнать о Данииле Бернулли как о человеке, т.е. биография.

2. Разобраться в его законе, понять его сущность и как он работает.

3. Найти доказательства этого закона в окружающих нас

явлениях, с применением:

4. Провести опыт и своими глазами убедиться, что закон работает.

29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782 года. Швейцарский физик-универсал и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук. Член Академий: Болонской, Берлинской,Парижской, Лондонского королевского общества.

Биография

Даниил родился в Гронингене (Голландия), от родителей Ивана Бернулли, украшавшего тогда кафедру математики в Гронингене, и от ДоротеиФалькнер, происходившей также из прославленной и очень древней базельской семьи. В 1705г. семья переехала в город Базель (Швейцария).Даниил учился в Базельской гимназии. После окончания гимназии в 1713г. его отправили во Францию совершенствовать знание французского языка. После возвращения на родину в 1716 г. он получил звание магистра философии, где подружился с Эйлером. По настоянию отца Даниил занялся изучением медицины, как наиболее практичной из профессий. Он учился в Гейдельберге, в Страсбурге и после защиты диссертации "О дыхании" в 1720 г. стал лиценциатом медицины. Но сердце Даниила не лежало к врачебной деятельности, его больше влекло к математическим наукам.В 1724 г. выходит в свет первый научный трактат Даниила Бернулли "Математические упражнения".

После этого президент Петербургской академии (только что созданную Петром I) Л.Л. Блюментрост пригласил Бернулли на службу. Но он не хотел рустоваться со своим братом Николаем, между которыми была сильная дружба. Блюментрост хотел заполучить Бернулли, и прислал приглашение для брата Бернулли. После этого братья не смогли отказаться от такого приглашения. Отправляя своих сыновей в дальнюю дорогу, Иоганн Бернулли напутствовал их следующими словами: ". лучше несколько потерпеть от сурового климата страны льдов, в которой приветствуют муз, чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, в которой муз обижают и презирают".

В октябре 1725 г. братья прибыли в Петербург. Даниил получил кафедру физиологии, Николай - математики. Братья сразу же включились в работу академии. К сожалению, деятельность Николая Бернулли продолжалась недолго. Климат северной столицы оказался для него слишком суровым. Через восемь месяцев после приезда в Петербург Николай умер. Даниил Бернулли оставался в Петербурге до лета 1733 г. Так как момент для приезда сразу после смерти брат был чрезвычайно неудачным — как раз скончался Пётр I, началась неразбериха. Вернувшись в Базель, Данил Бернулли получил в университете кафедру анатомии и ботаники, но больше занимался экспериментальной физикой. В 1750 г. он возглавил кафедру физики, которую и занимал до последних дней своей жизни.Наука была единственной страстью Даниила Бернулли. Возможно, поэтому он не был женат. Из-за занятий наукой у него были натянутые отношения с отцом. Из-за этого отец и сын независимо занимались одними и теми же проблемами и занимались успешно. В 1732 г. Парижская академия наук объявила конкурс на тему "О взаимном наклонении планет". Две работы из поступивших на конкурс были признаны лучшими, и премию было решено разделить между их авторами. Когда вскрыли конверты с девизами, то оказалось, что эти авторы- отец и сын Бернулли.

Даниил Бернулли был очень добрым человеком. Из денег выигранных на конкурсе, он жертвовал университету, в котором преподавал, крупные суммы денег, построил дешевую гостиницу для путешествующих студентов, помогал нуждающимся и т.п. Он был чужд зависти и радовался научным достижениям, полученными другими.Научный авторитет Даниила Бернулли был очень высок.До последних дней жизни он занимался научной деятельностью. 17 марта 1782 г. слуга нашел его в кресле заснувшим навсегда.

Закон Бернулли

Согласно ему полное давление в установившемся потоке жидкости(газа) остается постоянным вдоль этого потока. Полное давление состоит из весового, статического и динамического давления. Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, т.е. динамического давления, статическое давление падает. Закон Бернулли справедлив и для потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров -(это устройство, которое измеряет количество воздуха, поступающее в цилиндры двигателя), водо и пароструйных насосов.

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости, который был открыт в 1738 году Д. Бернулли.

Как известно, неподвижная жидкость в сосуде, согласно закону Паскаля, передает внешнее давление ко всем точкам жидкости без изменения. Но когда жидкость течет без трения по трубе переменной толщины, давление в разных местах трубы неодинаково. Оказывается, в узких местах трубы давление жидкости меньше, чем в широких.

— плотность жидкости,

— скорость потока,

— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

— ускорение свободного падения.

Так как при переходе жидкости из широкого участка в узкий скорость течения увеличивается, то это значит, что где-то на границе между узким и широким участком трубы жидкость получает ускорение. А по второму закону Ньютона для этого на этой границе должна действовать сила. Этой силой может быть только разность между силами давления в широком и узком участках трубы. В широком участке трубы давление должно быть больше, чем в узком. Этот вывод следует из закона сохранения энергии.

Если в узких местах трубы увеличивается скорость жидкости, то увеличивается и ее кинетическая энергия. А так как мы условились, что жидкость течет без трения, то этот прирост кинетической энергии должен компенсироваться уменьшением потенциальной энергии, потому что полная энергия должна оставаться постоянной.

Но это не потенциальная энергия mgh, потому что труба горизонтальная и высота h везде одинакова. Значит, остается только потенциальная энергия, связанная с силой упругости. Сила давления жидкости – это и есть сила упругости сжатой жидкости. В широкой части трубы жидкость несколько сильнее сжата, чем в узкой. Правда, мы только что говорили, что жидкость считается несжимаемой. Но это значит, что жидкость не настолько сжата, чтобы сколько-нибудь заметно изменился ее объем. Очень малое сжатие, вызывающее появление силы упругости, неизбежно. Оно и уменьшается в узких частях трубы.

Давление в жидкости, текущей в трубе, больше в тех частях, где скорость ее движения меньше, и наоборот, в тех частях, где скорость больше, давление меньше.

Закон Бернулли относится не только к жидкости, но и к газу, если газ не сжимается на столько, чтобы изменился его объем. В узких частях труб скорость течения жидкости велика, а давление мало.

Применение уравнения Бернулли

В жидкостях:

Рисунок 1 Рисунок 2

Приминение2.Осенью 1912 г океанский пароход "Олимпик" плыл в открытом море, а почти параллельно ему, на расстоянии сотни метров, проходил с большой скоростью другой корабль, гораздо меньший, броненосный крейсер "Гаук". Когда оба судна заняли положение, изображенное на рисунке , произошло нечто неожиданное: меньшее судно стремительно свернуло с пути, словно повинуясь неведомой силе, повернулось носом к большому кораблю и, не слушаясь руля, двинулось почти прямо на него. "Гаук" врезался носом в бок "Олимпика".Удар был так силен, что "Гаук" проделал в борту "Олимпика" большую пробоину. Случай столкновения двух кораблей рассматривался в морском суде. Капитана корабля "Олимпик" обвинили в том, что он не дал команду пропустить броненосец. Как вы думаете, что произошло? Почему меньший корабль, не слушаясь руля, пошел наперерез "Олимпику"?

Рисунок 3 Рисунок 4

Между двумя кораблями проходит вода, они сближаются. Скорость водымежду кораблями больше, значит давление между ними меньше, чем снаружи.

Парадоксальность результатов такого поведения тел можно объяснить, используя закон Берннули (уравнение Бернулли).

Применение 3.Для опыта изготовим цилиндр из плотной, но не толстой бумаги диаметром 5 см, длиной 25-30 см. На цилиндр намотаем ленточку, один конец которой прикрепим к линейке. Резким движением вдоль горизонтальной поверхности стола сообщим цилиндру сложное движение (поступательное и вращательное) . При большой скорости цилиндр поднимается вверх и описывает небольшую вертикальную петлю. Объясните, почему это происходит.

Уравнение Бернулли объясняет такое поведение рулона (и закрученного мячика): вращение нарушает симметричность обтекания за счёт эффекта прилипания. С одной стороны бумажного цилиндра скорость потока больше (над цилиндром вектор скорости воздуха сонаправлен вектору скорости цилиндра), значит, давление там понижается, а под цилиндром вектор скорости воздуха антипараллелен вектору скорости цилиндра. В результате разности давлений возникает подъёмная сила.

Применение 4. Струя воздуха может поддерживать легкий шарик (например мяч для настольного тенниса). Воздушная струя ударяется о шарик и не дает ему падать. Когда шарик выскакивает из струи, окружающий воздух возвращает его обратно в струю, т.к. давление окружающего воздуха, имеющего малую скорость, велико, а давление воздуха в струе, имеющего большую скорость, мало. Дополнительная подъемная сила может возникать из-за вращения мяча.

Экспериментальная часть.

Чтобы сделать эксперимент по Уравнению Бернулли, мне нужно было соединить трубки с переменным сечением. Соединить их так, что бы можно было через них пропустить жидкость. Ведь закон Д. Бернулли гласит о том, что давления текучей жидкости в соединённых трубках с разными сечениями разное в каждом из сечений. Но как бы я узнал, какое давление на каждом из участков конструкции? Если бы я просто соединил такие трубки, то я бы не как не узнал. Из этой проблемы я вышел следующим образом: в каждый участок, где разное сечение трубок я врезал вертикально вверх трубки с небольшим диаметром. Теперь, когда жидкость протекала по моей конструкции, во врезанные трубки тоже попадала вода. И уже наглядно было видно, как изменяется давление в зависимости от диаметра трубки, по которой течет жидкость.

В качестве трубок я использовал медицинские шприцы. Они хорошо подходят по всем параметрам:

· Они есть разного объёма (так что их можно использовать как трубки с переменным сечением).

· Шприцы можно соединить друг за другом, не тратя на это много времени и сил.

· В них можно без проблем врезать вертикальные трубки (в качестве них я тоже использовал шприцы только с меньшим объёмам).

После того как я соединил три шприца разного объёма (с помощью холодной сварки) , врезал в каждый из них вертикально вверх еще три шприца но с самым маленьким объёмам. Я прикрепил эту конструкцию к небольшой дощечке и присоединил шланг к шприцу с большим объёмом для подачи воды (Рисунок 7).

После этого я стал проводить сам опыт. Для этого я окрасил воду в синий цвет, что бы при протекании этой воды через шприцы ее было хорошо видно. И стал пропускать воду. Сразу после начала опыта стало видно, что Закон Бернулли действительно работает. В шприце ссамым большим объёмам столбик воды в вертикальном шприце поднимался на самую максимальную высоту. По ходу прохождения водой через все шприцыи уменьшении их объёма, столбик воды в вертикальных шприцах тоже уменьшался (Рисунок 8).

- Рисунок 8

Так я на собственном опыте увидел, что Уравнение Даниила Бернулли работает.

Заключение

В ходе работы над рефератом я узнал много нового. То, что до начала работы совсем не знал или думал ошибочно. Работа над рефератом была очень затягивающая и интересная. Я работал с большим интересом. Разбираясь в каждой подробности. Во время работы над рефератом я ставил перед собой некие цели, и старался все время придерживаться их выполнения. Следовал точно поставленному плану. И мне кажется, я полностью сумел добиться всего того, что хотел перед началом работы.

Список литературы

1. Физика. Механика. 10 кл. Профильный учебник: учеб.для Ф48 общеобразовательного учреждения. Дрофа, 2010. – 495, [1] с.

3. Новейший полный справочник школьника: 5-11 классов: в 2-хт. Т. I:Эксмо, 2009. – 576 с.

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.011)

Уравнение неразрывности в гидравлике. Анализ уравнения Бернулли, его энергетический смысл и предел применимости. Примеры применения уравнения Бернулли. Расходомер Вентури и измерение скорости (трубка Пито). Формула Торичелли и ее применение в гидравлике.

Рубрика	Физика и энергетика
Вид	лекция
Язык	русский
Дата добавления	18.03.2014
Размер файла	58,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Анализ и применение уравнения Бернулли

1. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход

2. Анализ уравнения Бернулли

3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

4. Предел применимости уравнения Бернулли

5. Примеры применения уравнения Бернулли

5.1 Расходомер Вентури

5.2 Измерение скорости (Трубка Пито)

5.4 Формула Торичелли

1. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход

Рассмотрим установившийся поток между живыми сечениями.

Через живое сечение 2 за это время вытекает объем жидкости

где - площадь живого сечения 2, - средняя скорость в сечении 2.

Поскольку форма объема 1-2 с течением времени не изменяется, жидкость несжимаемая, объем жидкости должен равняться объему вытекающему . гидравлика уравнение бернулли

Поэтому можно записать

Это уравнение называется уравнением неразрывности.

Из уравнения неразрывности следует, что .

Средние скорости обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений.

2. Анализ уравнения Бернулли

Запишем уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной сжимаемой жидкости при условии ее баротропности () в поле массовых сил

Для потенциального течения константа уравнения Бернулли постоянна для всей области течения.

При вихревом движении идеальной жидкости константа С в интеграле Бернулли сохраняет постоянное значение только для данной вихревой линии, а не для всего пространства, как при безвихревом течении.

Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных параметров течения - давления, скорости и высоты положения жидкости.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение Бернулли для конечного участка струйки 1-2

Интеграл выражает работу сил давления по перемещению килограмма жидкости из области 1 с давлением р₁ в область 2 с давлением р₂.

Значение интеграла изменяется зависимости от типа процесса (термодинамического) который совершает жидкость, то есть от вида зависимости . Рассмотрим изобарный процесс ( рис. 1 ) . При изохорном процессе .

Для несжимаемой жидкости при течении без обмена механической работой с внешней средой, получим, при из уравнения Бернулли

или разделив на g

где константы имеют следующий физический смысл:

С - полная механическая энергия килограмма жидкости или полный напор, , - полная механическая энергия массы жидкости объёмом в кубический метр или полный напор, или Па. - полная механическая энергия или полный напор в метрах столба данной жидкости.

Все три величины имеют одинаковый физический смысл любой из них присваивают название полного напора.

Составляющие полной механической энергии жидкости наиболее наглядно изображаются и измеряются в метрах столба жидкости, gz,gz, z - потенциальная энергия положения жидкости, отсчитываемая от произвольно выбранной горизонтальной нивелирной плоскости, или геометрический напор, , - потенциальная энергия давления жидкости или пьезометрический напор,, -потенциальная энергия жидкости или гидростатический напор,, - кинетическая энергия жидкости или скоростной напор, .

Пьезометрический напор р может измеряться от полного вакуума р=0 или, например, от давления окружающей среды. В обеих частях равенств должно подставляться абсолютное или избыточное давление.

Начало отсчета энергии произвольно, но должно быть одинаково для обеих частей равенств.

3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Заключается в утверждении закона сохранения полной механической энергии единицы массы несжимаемой жидкости

а) при потенциальном течении для любой точки пространства,

б) при вихревом - только вдоль вихревой линии тока и элементарной струйки.

Этот закон иногда формулируется в виде теоремы трех высот.

В приведенных условиях сумма трех высот - геометрической, пьезометрической и динамической сохраняет неизменное значение.

При этом составляющие полной энергии могут взаимопревращаться.

Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль элементарной струйки не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывности это изменение однозначно определяется изменением площади поперечного сечения каналаь .

Течение в горизонтальной струйке имеет большое практическое значение, оно реализуется в соплах двигателей. Запишем уравнение Бернулли при z=const

Итак, увеличение скорости несжимаемой жидкости в горизонтальной элементарной струйке всегда сопровождается уменьшением давления, а уменьшение скорости - увеличением давления вплоть до при v=0. Поэтому скоростной напор широко используется, например, для подачи воды в систему охлаждения, разрушения горных пород и т.д.

В связи с тем, что скорость несжимаемой жидкости может уменьшаться только вследствие изменения площади сечения, приходим к важному выводу о том, что картина линий тока при течении несжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение скорости, но и статического давления: при сгущении линий тока давление уменьшается, при расширении - увеличивается. Это правило широко используется при анализе движения жидкости и ее взаимодействии с телами.

4. Предел применимости уравнений неразрывности и Бернулли

При течении жидкости по каналу при постоянстве , и при произвольно изменяемой площади 2. Казалось бы, что

Однако по уравнению Бернулли при

должно было бы принять значение минус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление не может быть меньше нуля.

Таким образом уравнения неразрывности и Бернулли справедливы лишь до тех пор, пока минимальное давление в потоке остается большим нуля.

5. Примеры применения уравнения Бернулли

Рассмотрим примеры применения уравнения Бернулли.

5.1 Расходомер Вентури

Для определения скорости и расхода жидкости часто используется расходомер Вентури. Измерим статическое давление p₁ и p₂ в поперечных сечениях с различными площадями.

Интеграл Бернулли для сечений 1 и 2 принимает вид

Из уравнения равенства расходов для двух сечений 1 и 2 имеем

Для вычисления показания дифференциального манометра запишем условие равновесия

Собирая все результаты, получаем

Формула используется для определения скорости в трубе. Hа практике для повышения точности иногда вводят эмпирический коэффициент, учитывающий гидравлические потери в трубке Вентури.

5.2 Измерение скорости

Для измерения кинетической энергии используется трубка полного давления, которая устанавливается в точке измерения открытым концом против потока жидкости. Струйка жидкости, подтекающая к открытому концу трубки, полностью замораживается и весь скоростной напор превращается в давление, которое в сумме со статическим достигает давления торможения в данной точке, и называется полным давлением

Таким образом измерение скорости жидкости или "несжимаемого" газа (M

Приемное отверстие статического давления должно находится не слишком далеко от входа в трубку Пито, чтобы не случилось рассеивание механической энергии за счет вязкости, и не слишком близко, чтобы присутствие трубки Пито не искажало статическое давление.

На практике оказывается, что в жидкости давление, равное нулю, недостижимо. Если давление p₂, снижаясь, достигает давления паров этой жидкости, насыщающих пространство при данной температуре p₂=p_t>0, то начинается процесс образования пузырьков пара (кипение), и неразрывность течения капельной жидкости нарушится.

Далее смесь капельной жидкости и пузырьков пара попадает в расширяющийся канал, давление возрастает и пузырьки пара начинают конденсироваться.

Кавитацией называется совокупность процессов образования пузырьков пара и их конденсация.

Кавитация может возникать не только в трубопроводах, но и при внешнем обтекании тел в областях, где возрастают местные скорости и уменьшается давление. Кавитации подвержены быстроходные колеса насосов и турбин, гребные винты.

Конденсация пузырьков пара происходит на твердых поверхностях очень быстро и завершается гидравлическим ударом, при котором развивается местное ударное давление на твердых поверхностях, достигающее сотен и даже тысяч атмосфер. Поэтому кавитация сопровождается тряской, шумом, снижением КПД насосов и турбин, эрозией твердых поверхностей, а иногда и выходом из строя агрегатов.

Обычно работа гидравлических систем в условиях кавитации не достигаются. Для предотвращения кавитации минимальное давление жидкости в системе должно быть больше давления паров, насыщающих пространство.

Одним из способов предотвращения кавитации является снижение температуры жидкости. Это приводит к снижению давления паров, насыщающих пространство.

Например, вода при 373К кипит при давлении, а при 193К -. При кавитации многокомпонентных жидкостей (керосин, бензин и т.д.) вначале вскипают легкие фракции, а затем тяжелые. Конденсация происходит в обратном порядке.

Для оценки возможности возникновения кавитации используется безразмерный критерий - число кавитации

Значение, числа кавитации при котором она возникает, называется критическим .

Явление используется в кавитационных регуляторах расхода.

5.4 Формула Торричелли

Применим интеграл Бернулли для определения скорости истечения тяжелой несжимаемой жидкости из большого открытого сосуда через малое отверстие( рис. 5).

Здесь S₁- площадь свободной поверхности, S₂ - площадь отверстия, v₁ и v₂ - скорости на поверхности и в отверстии.

Уравнение неразрывности принимает вид

Считая движение жидкости установившимся и безвихревым, применим интеграл Бернулли

Из уравнения неразрывности

Если отношение мало, то пренебрегая членом, получаем для скорости истечения приближенную формулу Торричелли.

Используя уравнение Бернулли можно объяснить принцип действия :

1) работы струйного насоса, в котором высоконапорный поток G₁ используется для подачи жидкости G₂ из резервуара ( рис. 6).

2) принцип наддува топливного самолетного бака для предотвращения кавитации в топливной системе при полетах на большой высоте ( рис. 7 )

3) причину повышения подъемной силы крыла при заданной картине линий тока ( рис. 8 )

Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу водоструйного насоса. Струя воды подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе их трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большой скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубки. Подсоединив к камере насоса откачиваемый объект, из него можно откачать воздух (или какой-либо другой газ) до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей воды и уносится в атмосферу.

Подобные документы

Теория движения жидкости. Закон сохранения вещества и постоянства. Уравнение Бернулли для потока идеальной и реальной жидкости. Применение уравнения Д. Бернулли для решения практических задач гидравлики. Измерение скорости потока и расхода жидкости.

контрольная работа [169,0 K], добавлен 01.06.2015

Анализ и особенности распределения поверхностных сил по поверхности жидкости. Общая характеристика уравнения Бернулли, его графическое изображение для потока реальной жидкости. Относительные уравнение гидростатики как частный случай уравнения Бернулли.

реферат [310,4 K], добавлен 18.05.2010

Уравнение неразрывности потока жидкости. Дифференциальные уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости. Силы, возникающие при движении реальной жидкости. Уравнение Навье - Стокса. Использование уравнения Бернулли для идеальных и реальных жидкостей.

презентация [220,4 K], добавлен 28.09.2013

Элементарная струйка и поток жидкости. Уравнение неразрывности движения жидкости. Примеры применения уравнения Бернулли, двигатель Флетнера (турбопарус). Критическое число Рейнольдса и формула Дарси-Вейсбаха. Зависимость потерь по длине от расхода.

презентация [392,0 K], добавлен 29.01.2014

Описание и аналитические исследования гидродинамических процессов. Дифференциальные уравнения движения Эйлера. Уравнение Бернулли и гидродинамическое подобие потоков. Инженерно-технологический расчет и принцип действия паростуйного эжектора типа ЭП-3-600.

Рассмотрим некоторые технические устройства, использующие в своей работе уравнение Бернулли.

Расходомер Вентури – это устройство, устанавливаемое в трубопроводе и осуществляющее сужение (дросселирование) потока жидкости.

Рис. Схема расходомера

Расходомер состоит из двух участков – плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). В узком месте потока скорость его возрастает, а давление падает. Возникает перепад давлений, который может фиксироваться либо двумя пьезометрами, либо дифференциальным U-образным манометром и связан с расходом. Установим эту связь. Будем считать, что распределение скоростей в сечениях трубопровода равномерное, тогда коэффициент Кориолиса a =1.

Запишем уравнения Бернулли и расхода для двух сечений, указанных на схеме:

Дополним эту систему уравнений еще двумя:

Выразим из уравнения расхода скорость V1 и подставим ее и два последних выражения в уравнение Бернулли:

Найдем из этого выражения V2:

Отсюда объемный расход

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

где C – величина, постоянная для данного расходомера, которую, чаще всего, определяют опытным путем.

Зная C, можно по показаниям пьезометров определить расход в любой трубе, в которую будет установлен данный расходомер.

Если вместо пьезометров подключен U-образный дифференциальный манометр, заполненный ртутью, то .

Трубка полного напора (трубка Пито) (Рис. 24) служит для измерения скорости, например в трубе.

В пьезометре, конец которого загнут навстречу потоку жидкость поднимется выше, чем обычном пьезометре на величину скоростного напора. Это объясняется тем, что жидкость попавшая в этот пьезометр полностью останавливается, поэтому при a =1 можно записать уравнение Бернулли для невозмущенного потока и сечения, в котором расположены пьезометры:

Рис. 24. Схема трубки полного напора

Рис. 25. Схема струйного насоса

Струйный насос (эжектор) (Рис. 25) состоит из плавно сходящегося насадка А, осуществляющего сжатие потока, и постепенно расширяющейся трубки С, установленной на некотором расстоянии от насадка в камере B.

Вследствие сужения потока в насадке A возрастает скорость потока, а давление в нем и во всей камере В снижается. В трубке С скорость потока постепенно снижается, а давление возрастает приблизительно до атмосферного. Следовательно, в камере В возникает разрежение, под действием которого жидкость из нижнего резервуара всасывается в камеру В, где происходит слияние и перемешивание двух потоков.

Чаще всего, первый поток – это поток воздуха, а второй – жидкость, которую необходимо распылять.

Читайте также: