Пифагор реферат по математике
Обновлено: 02.07.2024
О Пифагоре : Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора.
Он был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди называли себя гордо и несколько высокомерно - мудрецами, что означало - человек, который знает. Пифагор же назвал себя философом - тем, кто пытается найти, выяснить. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".Пифагор стоял у истока греческой науки, он был вынужден заниматься всем сразу: арифметикой и геометрией, астрономией и музыкой. Его целью было разобраться в строении Вселенной и человеческого общества (от движения звезд до политической борьбы).
Доказательство теоремы Пифагора:
Провели Δ АВС высоту С D , и образовал ось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC .
Древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для п остроения прямого угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в школе). Итак, пусть стороны треугольника ABC (рис. 24) связаны соотношением
c 2 = a 2 + b 2 . (1)
Докажем, что этот треугольник прямоугольный. Построим прямоугольный треугольник A 1 B 1 C 1 по двум катетам, длины которых равны длинам a и b катетов данного треугольника (рис. 25). Пусть длина гипотенузы построенного треугольника равна c 1 . Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: c 1 2 = a 2 + b 2 . (2)
Сравнивая соотношения (1) и (2), получаем, что
c 1 2 = c 2 , или c 1 = c.
Таким образом, треугольники – данный и построенный – равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол C 1 прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.
Пифагорейцы образовали большое сообщество(их было более трёхсот), но она составляло лишь небольшую часть города, который уже не управлялся согласно тем же обычаям и нравам. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства.Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) - мужскими. Число 5 - как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) - считалось символом любви.Они же выделили понятие простого числа. Им были знакомы три вида пропорций:
Пифагорейцы доказали, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов; установили, что плоскость можно "замостить" правильными многоугольниками так, что вокруг одной точки будут лежать или шесть треугольников, или четыре квадрата, или три шестиугольника.
Десять правил Пифагора:
-Отклоняйся от дорог исхоженных, используй нехоженые пути;
-Будь хозяином своему языку прежде всех других вещей, следуя при этом Богу;
- Дует ветер - поклоняйся шуму
- Помогай человеку в поднятии тяжести, но не помогай в сложении ее
- Выйдя из дома своего, - не возвращайся ..
- Не говори о делах учения без Света.
- Корми петуха, но не приноси его в жертву, поскольку он посвящен Солнцу и Луне
- Не позволяй ласточкам селиться в твоем доме
- Не протягивай охотно свою правую руку никому.
- Поднявшись с постели, - сгладь отпечатки тела.
На первый взгляд этот свод правил напоминает мистическое руководство из мира суеверий, но по всей видимости, слова Пифагора нельзя понимать буквально, в прямом смысле. За каждым из изречений стоит скрытый тайный смысл, а какой пусть каждый решит для себя сам.
Теорема Пифагора в стереометрии:
1)В стереометрии известен аналог теоремы Пифагора для треугольного параллелепипеда d²=a²+b²+c², где d- диагональ параллелепипеда a,b,c – величина трех его измерений.
2)В прямоугольной пирамиде квадрат площади гипотенузы равен сумме квадратов площадей катетов.
Следствия теоремы Пифагора:
1)В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
2)В прямоугольном пирамиде площадь любого из катетов меньше площади гипотенузы.
3)Если прямоугольном треугольнике АВС, к гипотенузе проведена высота СD=h,делящая её на отрезки x и y,то H²=xy.
4) В прямоугольной пирамиде аналог высоты это треугольник СОН (СН ┴ АВ), Н²= XYsinφ.
5)Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
6)Объем прямоугольной пирамиды равняется 1/6√a²b²c², где а=ОА, b=OB, c=OC.ребра треугольной пирамиды ОАВС, у которой все плоские углы, при вершине О прямые.
Прямоугольный треугольник и прямоугольная пирамида
Возьмем в пространстве произвольный треугольник АВС и ортогонально спроектируем его на плоскость β, проходящую через одну из его сторон, например сторону АВ. Пусть угол между плоскостями АВС и β равен φ (рис. 1.)
Тогда не трудно доказать, что
S∆ABC = S∆ABC cosφ (1)
Формула (1) позволяет определить тригонометрические функции двугранного угла, не сводя их к тригонометрическим функциям плоского угла.
Заметим, что прямоугольном треугольнике ВСО (∟О = 90˚) верно равенство ВО=ВСсоsφ (2)
Формулы (1) и (2) похожи, только в первом случае мы брали треугольник и его проекцию, а во втором – гипотенузу и катет, прилежащий к углу α. Эти формулы приводят к мысли, что прямоугольный треугольник ВСО аналогичен пирамиде ОАВС.
При встрече с прямоугольным треугольником сразу же вспоминается теорема Пифагора. Выясним, справедлива ли подобная теорема для прямоугольной пирамиды.
Замечание. В стереометрии известен аналог теоремы Пифагора для прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c², где d – диагональ параллелепипеда, а a,b,c – величины трех его измерений.
В прямоугольной пирамиде ОАВС АО=а, ВО=b, СО=с. По аналогии с теоремой Пифагора должно выполняться следующее равенство:
S²∆ABC = S²∆COA + S²∆COB +S²∆AOB.
Представив в эту формулу равенство (1) и сделав некоторые преобразования, получим
S²∆AOB · tg²φ = S²∆COA + S²∆COB (3).
В прямоугольном треугольнике СОН tgφ = СО/ОН, по условию СО=с, а ОН найдем из треугольников АОВ и АНО. В одном sinα = ОВ/АВ? А на другом sinα = ОН/АО. Таким образом получаем равенство ОВ/АВ = ОН/АО, откуда ОН = ОВ·АО/АВ.
В прямоугольном треугольнике АОВ АВ = √a² + b².Остальные даные есть в условии, в результате ОН = ab/√a² + b², а tgφ = c/√a² + b²/ab.
Площади прямоугольных треугольников АОВ, СОА и СОВ равны соответственно ab/2, aс/2 и bс/2. В результате формула (3) приобретает вид
a²b² / 4 · с²( a²+b²) / a²b² = a²с² /4 + b²с²/4;
преобразовав её, получим
Последнее выражение является верным равенством, поэтому можно сделать вывод: первоначальное предположение было верным и верна теорема.
Теорема. В прямоугольной пирамиде квадрат площади гипотенузы равен сумме квадратов площадей катетов.
Следствие теоремы Пифагора и её анализ
- В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
В прямоугольной пирамиде площадь любого из катетов меньше площади гипотенузы.
- Если в прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота СD = h, делящая её на отрезки x и y h² = хỵ
В прямоугольной пирамиде (рис.2) аналог высоты - это треугольник СОН (СН ┴АВ). Обозначим S∆COН =Н, S∆CАН = Х, S∆CBН = У.
Тогда Н² = ¼ ОН² · ОС².
Заменим, ОН² на произведение АН и НВ, а ОС² - на sinφ ·CH² и получим
Н² = 1/2 АН² · СН1/2 НВ · СН · sin²φ.
В результате выражение принимает вид
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е. S =1/2ab. Чтобы получить аналог этого свойства, выразим объем прямоугольной пирамиды через произведение площадей её катетов. Для удобства примем за основание пирамиды грань АОВ, тогда
V = 1/3·ab/2·c = 1/6abc = 1/6√a²b²c² = 2√2/6·√ab/2·bc/2·ac/2
V = √2/2·√ S∆AOB · S∆BOC · S∆АОС
- Аналог теоремы косинусов для прямоугольной пирамиды: в прямо-угольной пирамиде ОАВС выполняется равенство (рис.2)
S²∆AОС + S²∆ВОС = S²∆АВС + S²∆AOB - 2S²∆·S²∆AOB cos φ (4),
где φ – это двугранный угол между гранями АВС и АОВ.
Похожие страницы:
Пифагор (5)
. апейрона). Причем "беспредельное" мыслилось Пифагором и как бесконечное воздушное . "беспредельного". Сомневаясь в принадлежности Пифагору "учения о числе", современные . о греховности души у Пифагора отсутствует. С именем Пифагора связывают и проникновение в .
Пифагор (6)
. из достопримечательностей показывали склеп Пифагора. У Пифагора была жена по имени . в. до н. э., но, видимо, не сам Пифагор. Пифагору приписывают открытие, что Земля — шар . изучения своей науки. 6. Сочинения Пифагора. Пифагор не писал трактатов. Из устных .
Пифагор и пифагорейцы (4)
. ситуацию, связанную с достоверностью информации о жизни Пифагора: «Позднейшие неопифагорейцы составили многочисленные объемистые . жизнеописания Пифагора и в особенности пространно писали о пифагорейском .
Пифагор и пифагорейцы (3)
. обозначали единицей, а изменчивое мнение - двойкой). Пифагору приписывают также геометрические открытия, такие, как . геометрического истолкования числа и т.д. Математика становится у Пифагора орудием познания мира. А за математикой .
ПИФАГОР И ПИФАГОРЕЙЦЫ (2)
. является то, что письменных трудов Пифагора найти пока так и не . могут изменяться, и попросту не писал. Пифагор стоял в главе религиозного братства - Пифагорейскогосоюза . правилами и ритуалами (например, ученик у Пифагора первые 4 года обязан был молчать .
Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:
Введение
Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 500 г. до н.э.) — древнегреческий математик и философ-идеалист. Он родился на острове Самос. Он получил хорошее образование. По легенде Пифагор отправился в Египет, чтобы познать мудрость восточных ученых и прожил там 22 года, как будто жил там. После того, как он овладел всеми египетскими науками, включая математику, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских священников. Легенды также приписывают Пифагору посещение Индии. Весьма вероятно, что в то время у Ионии и Индии были торговые связи. Когда Пифагор вернулся на родину (около 530 г. до н.э.), он попытался организовать свою школу философии. Однако по неизвестным причинам он вскоре покинул Самос и Селит в Кротоне (греческая колония на севере Италии).
Здесь Пифагору удалось организовать свою школу, которая функционировала почти тридцать лет. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, Союз Пифагора, была одновременно философской школой и политической партией, и религиозным братством. Устав Пифагорейского союза был очень строгим. Каждый, кто вступал в него, отказывался от личного имущества в пользу союза, обещал не проливать крови, не есть мяса и охранять тайну учения своего учителя.
В конце V века до н.э. по Греции и ее колониям прокатилась волна демократического движения. В Кротоне демократия воцарилась. Пифагор покинул Кротон со своими учениками и отправился в Метафон. Прибытие пифагорейцев в Метапонт совпало с началом народного восстания в Метапоне. В одной из ночных стычек погиб Пифагор, которому было почти девяносто лет. Его школа перестала существовать. Студенты Пифагора, спасаясь от преследований, поселились по всей Греции и ее колониям. Чтобы зарабатывать на жизнь, они организовывали школы, в которых преподавали в основном арифметику и геометрию. Информацию об их достижениях можно найти в трудах более поздних ученых — Платона, Аристотеля и других.
Самая большая заслуга
Мысли и афоризмы
Идите по полю жизни, как сеятель, спокойно и ровно.
Настоящий дом — это место, где есть хорошие обычаи.
Не будьте членом научного общества: мудрецы, которые формируют общество, становятся гражданами.
Почитайте священные числа, вес и меру как Чад милосердного равенства.
Измеряйте свои желания, взвешивайте мысли, вычисляйте слова.
Не удивляйтесь: Сюрприз породил богов.
Когда они спрашивают: Что такое старые боги? — Ответ: страх и надежда.
Правда о Пифагоре
Пифагор не оставил никакого собрания сочинений, он сохранил свое учение в тайне и устно передал его ученикам. В результате тайна умерла вместе с ними. Некоторая информация просочилась на протяжении веков, но сейчас трудно сказать, насколько она правдива, а насколько ложна. Даже с теоремой Пифагора, не все точно. Некоторые историки сомневаются в авторстве Пифагора и утверждают, что он использовался на ферме различными древними народами.
Что можно сказать об отдельных фактах биографии великого математика! Например, вы сказали, что он может заставить птиц менять направление. Он разговаривал с медведем, и медведь перестал нападать на людей, он разговаривал с быком, и бык перестал прикасаться к бобам и поселился в храме. Однажды, когда Пифагор вошёл в реку, он помолился духу реки, и из воды раздался голос: «Приветствую тебя, Пифагор! «Говорили также, что он повелевал духам: он посылал их в воду и делал предсказания, глядя на волны.
Его влияние на людей было настолько велико, что хвалебные слова из уст Пифагора наполнили учеников радостью. Однажды он разозлился на своего ученика и покончил с собой. Трясущийся философ никогда ни с кем не разговаривал гневно.
В последующие века фигура Пифагора была окружена множеством легенд: Считалось, что он — перевоплощенный бог Аполлон, у него золотое бедро, и он мог делиться и легко преподавать в двух разных местах одновременно. Отцы раннехристианской церкви выделили Пифагору почетное место между Моисеем и Платоном. Хотя не совсем понятно, почему: Пифагор славился своим учением о космической гармонии и переселении душ, которое не вписывается в христианские догмы. Более того, муж ученого не чувствовал запаха магии даже в XVI веке. Неоднократно упоминалось о авторитете Пифагора не только в вопросах науки, но и в вопросах магии. Как на Руси все воспитатели были философами, так и в Древней Греции все философы были математиками. Пифагор не был исключением в этом отношении.
Пифагорцы
Эта, казалось бы, плохая диета не помешала философу прожить долгую жизнь. Ученые считают, что он подсчитывает, проповедует и философствует уже около ста лет. Но он сам постоянно утверждал, что прожил много жизней…
Он был первым человеком, который назвал себя философом. Перед ним умные люди называли себя гордыми и несколько высокомерными — мудрецами, а это значит не меньше, чем человек, который знает свой путь. Пифагор называл себя философом — тем, кто пытается найти, узнать.
По идеям Пифагора, кровопролитие ни много, ни мало не приравнивается к первородному греху, за который, как известно, бессмертная душа изгнана в преходящий мир, где ей суждено блуждать и отделяться от одного тела к другому. Душа не любит таких бесконечных перевоплощений, она срывается на свободу, на небесные сферы, но по неведению неизбежно повторяет греховный поступок.
Если мы верим в Пифагор, то очищение может освободить душу от бесконечных перевоплощений. Самое простое очищение — это воздержание от излишеств, от употребления в пищу и от употребления в пищу бобов. Правила поведения также должны строго соблюдаться: Почитание старейшин, послушание закону. Во взаимоотношениях пифагорцы ставят дружбу на первое место, все имущество друзей должно быть общим. Высшая форма очищения стала доступной немногим избранным, как мы говорим сегодня, самой передовой — философия, этим словом, как мы уже упоминали и как утверждал Цицерон перед нами, впервые воспользовался Пифагор, который назвал себя не мудрым человеком, а возлюбленным мудрости. Математика — одна из составляющих религии пифагорейцев, которые учили, что Бог поставил число в основу мироустройства.
Враги Пифагора, обеспокоенные растущей популярностью его учения, тем не менее, сумели увезти его в Метапонт, где он умер, как сегодня говорят, от разбитого сердца, от горя по поводу тщетности его усилий по просвещению и бесплодности служения человечеству, как он думал. Орден правил в Кротоне почти сто лет, прежде чем был побежден.
Но они перепутали не только себя, но и все разумное человечество, которое, имея в руках цирк и правителя, нахмурилось и поспешило построить правильные семиугольники.
Заключение
Его там не было! Эта пифагорейская задача остается неразрешимой уже более двух тысячелетий! Она была решена только в 1796 году 19-летним (!) немецким юношей Карлом Фридрихом Гаусом (1777-1855), который позже получил прозвище короля математиков.
Прошло более двух тысяч лет с тех пор, как возникла проблема… Столько терпения и времени иногда требуется, чтобы решить эту проблему!
Список литературы
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Очень интересна биография Пифагора. Сам факт, что Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью").
Пифагор Самосский - великий греческий ученый. Его имя знакомо каждому школьнику. Про жизнь Пифагора известно очень мало, с его именем связано большое число легенд. Пифагор - один из самых известных ученых, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ и пророк. Он был властителем дум и проповедником созданной им религии. Его обожествляли и ненавидели… Так кто же ты, Пифагор?
Он родился около 580-500 гг. до н. э. на острове Самос, далеко от Греции . Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери считается неизвестным, но при изучении одного из источников я выяснила, что мать звали Парфенисой. По многим свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.
Среди учителей юного Пифагора называют имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно они были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, он видел в ясные дни желтые дороги, бегущие по большой земле в большой мир. Они звали его.
Совсем юным покинул Пифагор родину. Сначала приплыл к берегам Египта, прошел его вдоль и поперек. Внимательно присматривался к окружающим, прислушивался к жрецам. В Египте, рассказывают, Пифагор попал в плен к Камбизу, персидскому завоевателю, и его увезли в Вавилон. Пифагор знал, что это величайший город мира, он быстро освоился со сложными вавилонскими традициями. Жадно впитывал речи халдейских жрецов. У халдейских магов изучал теорию чисел.
В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, “науку чисел или всемирных принципов”, из которой впоследствии сделал центр своей системы. Из Мемфиса, по приказу вторгшегося в Египет Камбиза, Пифагор вместе с египетскими жрецами попал в Вавилон, где провел еще 12 лет. Здесь он имел возможность изучить многие религии и культы, проникнуть в мистерии древней магии наследников Зороастра.
Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством.
Свою школу Пифагор создает как организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторых историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания. Другим законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти.
- не делай того, чего не знаешь;
- поступай так, чтобы впоследствии не огорчаться и не раскаиваться;
- мечом огня не разгребай.
С самого начала в пифагоризме сформировались два различных направления – "асуматики" и "математики". Первое направление занималось этическими и политическими вопросами, воспитанием и обучением, второе – главным образом исследованиями в области геометрии.
Школа вызвала недовольство жителей острова, и Пифагору пришлось покинуть родину. Он переселяется в южную Италию- колонию Греции - и здесь, в Кротоне, вновь основывает школу - пифагорейский союз, просуществовавший около двух веков .
Сейчас трудно сказать, какие научные идеи принадлежат Пифагору, какие его воспитанникам и последователям. Осталось неизвестным, он ли открыл и доказал знаменитую теорему, носящую его имя, ему ли самому удалось впервые доказать теорему о сумме углов треугольника.
Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учит медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, впервые появились именно в Школе Пифагора. Пифагор прожил 80 лет. Существует много легенд о его смерти. По одной из них он был убит в уличной схватке.
Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.
Для нас Пифагор - математик. В древности было иначе. Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением высшей божественной мудрости. Одни называли его математиком, философом, другие - шарлатаном. Интересен и тот факт, что Пифагор первым и четыре раза подряд был олимпийским чемпионом по кулачному бою.
2. История открытия и доказательства теоремы Пифагора.
С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя. Это теорема Пифагора. В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Она была известна еще до него. Ее частные случаи знали в Китае, Вавилонии, Египте.
Исторический обзор начинается с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4" .
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство
3²+4²=5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. По мнению Кантора гарпедонапты , или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 метров и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 метра от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра .
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями. Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы. Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.
Хотя гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:
"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."
В средние века теорема Пифагора, определяла границу если не максимально возможных, то по крайней мере хороших математических знаний.
Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.
Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Теорема гласит: Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.
Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
ПИФАГОР И ЕГО ТЕОРЕМА
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Тема работы: Пифагор и его теорема.
Цель исследования – изучить содержание теоремы Пифагора и ее доказательство в школьном учебнике, используя различные средства источников информации исследовать другие способы ее доказательства, исследовать значение теоремы Пифагора в развитии науки и техники, исследовать исторические задачи, в решении которых применяется теорема Пифагора.
Задачи исследования.
Изучение научной литературы;
Изучение других источников информации;
Изучить исторические задачи, в решении которых применяется теорема Пифагора;
Оценка полученных результатов.
Методы исследования.
Анализ научной литературы и других источников информации, оценка полученных результатов и определение важности теоремы Пифагора в развитии науки и техники.
Предметом исследования стала теорема Пифагора.
(Пифагор)
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.п.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных применений.
Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это npocтoma – кpacoта – значимость.
2. Основная часть
Пифагор Самосский (570 - 490 гг. до н.э.) - древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев, политический деятель.
Пифагор - не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность. Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре не осталось.
Пифагор основал свою школу в Кротоне (Южная Италия) , которая просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора в 500 г. По сути, это была первая философская школа, религиозно-философское аристократическое братство.
Союз отличался строгими обычаями и высокой нравственностью. Образ жизни пифагорейцев вошел в историю: как рассказывают легенды, учеников школы всегда можно было узнать по их внешнему облику и благородному поведению. Пифагорейская школа положила начало математическим наукам. В ней начали развиваться астрономия и медицина. Звездчатый пятиугольник, или пентаграмма, - пифагорейский символ здравия и тайный опознавательный знак.
Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. По совету Фалеса Пифагор отправляется в Египет за знаниями. По его совету 22 года набирался мудрости в Египте. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет его взяли в плен и продали в рабство. Более 10 лет он жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.
Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой знаний, Пифагор преодолел их все. Научившись всему, что дали ему жрецы, он двинулся на родину в Элладу. Пифагора не устраивала жизнь придворного полураба у правителя-тирана Поликрата, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. Вскоре Пифагор переселяется в Кротон, где и задумывает создать собственную философскую школу.
Только в 60 лет, уже известный учёный Пифагор, всё ещё полный сил, полюбил одну из своих учениц - умницу и красавицу Теано. Последовательница его учения, она стала ему преданной женой и родила семерых детей. Пифагор был очень счастлив в этом браке.
…Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей жизни, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.
Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математике и, прежде всего, в геометрии.
Гениальная догадка Пифагора состоит в том, что в геометрии можно выбрать конечное число истин ( аксиом ), из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число предложений. Так впервые возник аксиоматический метод построения науки.
Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались совершенными (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, каждое из которых равнялось сумме делителей другого (220 и 184). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа.
Геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Это ярко выражено в теореме, носящей его имя. По-видимому, уже тогда знали правильные тела: тетраэдр, куб, додекаэдр.
Пифагор считал Землю шаром, движущимися вокруг солнца. Когда в XVI церковь начала преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским.
Музыка – точная наука. Пифагор внёс немалый вклад в развитие теории музыки. Он задумывался над законами, управляющими созвучием и диссонансом. Пифагор смастерил инструмент – балку со струнами, отягощёнными гирьками разного веса.
Он выяснил, что колеблющиеся струны дают приятное для слуха звучание, когда их длины соотносятся как 3:4:6 и на основе этого вывел гармоничные музыкальные интервалы. Были получены простейшие созвучия: октава, квинта, кварта. Это позволило разработать теорию гармонических интервалов.
Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд.
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более пятисот, в том числе: геометрических, алгебраических, механических и др. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств.
Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
- во времена Пифагора теорема звучала так:
Школьное доказательство
Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого a и b - катеты, с - гипотенуза.
Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 .
Доказательство:
Достроим треугольник до квадрата со стороной a + bтак, как показано на рисунке.
Площадь S этого квадрата равна (а + b) 2 .
C другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников,
площадь каждого из которых равна 2ab, и квадрата со стороной c, поэтому
S = 4(1/2а 2 +с 2 ) = 2ab + с 2 .
Таким образом, (а + b) 2 = 2ab + с 2 , откуда c 2 = а 2 + b 2 .
Доказательство Евклида
Дано:
ABC-прямоугольный треугольник
Доказать:
SABDE=SACFG+SBCHI
Доказательство:
Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.
Очевидно, что углы CAE=GAB=(A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB( закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно
SPQEA=2SACE
Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB
Отсюда и из равенства треугольников ACEиGBAвытекает равновеликость прямоугольникаQPBDи квадрата CFGA;аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAEи квадрата CHIB.
А отсюда, следует, что квадрат ABDEравновелик сумме квадратов ACFGи BCHI, т.е. теорема Пифагора.
Алгебраическое доказательство
Так как я ещё не знаком с синусами и косинусами углов, то это доказательство я оставлю для 8 класса.
Дано:
ABC - прямоугольный треугольник
Доказать:AB 2 =AC 2 +BC 2
Доказательство:
1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.
2) По определению косинуса угла
отсюда следует , AB∙AD=AC 2 .
значит AB∙BD=BC 2 .
4) Сложив полученные равенства почленно, получим:
AC 2 +BC 2 =АВ∙(AD + DB)
AB 2 =AC 2 +BC 2 .
Что и требовалось доказать.
Геометрическое доказательство
Дано:
ABC- прямоугольный треугольник
Доказать: BC 2 =AB 2 +AC 2
Доказательство:
1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC
прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.
2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
BC 2 =AB 2 +AC 2 .
Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.
Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.
Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников, потом узнали, как находить стороны и углы других треугольников. Возникла целая наука – тригонометрия, которая нашла применение в землемерии. Сейчас её применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.
Знание теоремы позволяет находить высоту предмета и расстояния до недоступных объектов. Подобные задачи решаются в повседневной жизни: строительстве и машиностроении при проектировании любых строительных объектов.
Предлагаю несколько задач, найденных в исторических книгах. Они настолько легкие, что я не буду объяснять их решение.
«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи.
В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи.
Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.
Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"
Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).
Какова высота бамбука после сгибания?
3. Заключение
Основной метод, который я использовал в своей работе, - это метод систематизации и обработки данных.
Используя литературу, информационные технологии, я хотел разнообразить материал различными иллюстрациями, привлечь внимание людей различных возрастов и профессий, рассказать своим одноклассникам о Пифагоре и о его очень интересной и важной теореме.
Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.
Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 - 1630) до Альберта Эйнштейна (1879 - 1955).
Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.
Литература.
2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. - М.: Просвещение, 1993.
3. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. авт. Л. С. Атанасян и др. - М.: Просвещение, 2013 г.
5. Еленьский Ш. По следам Пифагора. - М, 1961.
6. Литцман В. Теорема Пифагора. - М.: Просвещение, 1960
Читайте также: