Периоды развития математики по колмогорову реферат

Обновлено: 30.06.2024

До сегодняшнего дня периодизация остается той, какой ее предложил Колмогоров. Условно вся история математики делится на 4 периода:

1) Подготовительный (накопительный) период - это примерно 30в.до н.э. – до 7 в.до н.э. - Математика появилась не без того, что у людей появилась потребность в математике.

От следующих цивилизации от них пришли документы, в которых существует какая-то истории: Древний Египет и Месопотамия (Вавилония).

Из Др. Египта к нам пришли материалы, которые сохранились на папирусах. В Вавилоне основной материал– это были глиняные таблички. На глиняных табличках была отображена, как и в папирусах числовая система и то, как формировалось понятие числа, с помощью каких чисел (или какого исчисления) они вели счет, а кроме того, там были и различные формулы, правила, решались задачи. Египет в основном подарил математике хорошо сформировавшееся понятие фигуры, ее площади, и даже ее объема. А в Вавилонии уклон был больше в алгебру.

Особенностью этого периода является то, что это донаучный период в математике. Вся математика этого периода - это рецептурная математика. Период алгоритмов котор. диктовались но не обосновывались. В этот период выявились теоретические действия – т.е. решения каких-то теоретич. вопросов.

2) Период математики постоянных величин – 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв.н.э.

Цивилизации здесь – Греция, другие эллинистические государства (те, которые на западном побережье, Римская империя (западная и восточная), на смену рим. им. пришел арабский халифат и Западная Европа, Средневековые Китай, Индия, Япония, Европа периода Возрождения.

С этого периода начинается научный период истории математики – математики как науки.

От греков начался доказательный период математики. С именем Фалеса связана доказательная математика.

Говоря о Греции – это школа Мелета, - сюда относится Фалес. По-настоящему крупная школа – это школа Пифагора. Эта школа, в которой было философской основой всего сущего было число. В этой школе довольно большой материал был наработан для раздела математики – теория чисел. Школа Евдокса. Евдокс занимался вещественным понятием числа, с т.зр. как абстрактного понятия. Евдоксу, также, принадлежит метод исчерпывания. Этот метод Евдокс применял тогда, когда гипотеза о формуле высказана (для площади, или для объема) и нужно это доказать. Школа Платона. Открытие и изучение правильных многогранников.

Аристотель – в мат-ку внес формальную логику.

Ученые внесшие в мат-ку огромный вклад – Евклид, Архимед, Ополоний, Эратосфен, позже Герон, Диофант.

На смену Римской империи в 7 в. н.э. на большую часть ее территории пришли новые народы – арабы. В рамках Арабского Халифата можно назвать такие имена, как Аль Хорезми (с его именем связано название алгоритма), Омар Хайям –является первым (12 в.), кто поставил по поводу 5-го постулата Евклида вопрос так: пусть будет две геометрии – пусть имеет место и сам постулат, и его противоположность. Последний представитель Ал Каши.

Западная Европа. Период 15-16 вв. – период когда были решены задачи о представлении решения уравнений 3-4ой степени с помощью иррациональности. Именно, в Европе появилась хорошая символика (создал ее по большей части Виет).

3) математика переменных величин (17-18в.).

Внесли больший вклад в это время: Англия и Германия (период создания мат.анализа, теории бесконечно малых), Франция, Италия. Пришли к необходимости решать задачи, связанные с движением. Появление таких задач, они вызвали в жизни необходимость ввести переменные величины, а раз они есть – есть понятие функции.

Ученые: Кеплер, Галилей, Декарт, Ферма, Паскаль, + Торричелли, + Робирвиль и Кавальери – внесли вклад в развитие дифференциального исчисления, Барроу(л) Исаак (учитель Ньютона).

Работы этих ученых были осмысленны крупными учеными – Ньютон и Лейбниц(создатели интегрального дифференц. исчисления).

Заканчивается период мат-ки переменных величин, и новый период выделяется:

4) Современная математика (19в. – 20в.) - была последние века создана, и котор. развивалась на базе всего того что было создано. Начиная с периода неевклидовой геометрии - появилась логика, философ. проблемы связанные с мат-кой.

19в. Коши, Гаусс, Даламбер, Вейерштрасс, Остроградский, Лобачевский, Абель, Галуа, Колмогоров.

Середина 20в. – это появление функционального анализа, математическая логика, алгебраическая геометрия.

3 вопрос: Причины и истоки возникновения мат.знаний

Причины и истоки возникновения мат.знаний. – это потребность в счете, в конструировании, потребность в осознании природы, и потребность, связанная с построение космических моделей строения Вселенной. Математика появилась не без того, что у людей появилась потребность в математике (когда без счета, распределения, каких-то правил, невозможным становится жить в человеческом обществе).

Практические и религиозные основания первоначальных мат.представлений. – нужно было делать календари, нужно было просчитывать праздники. Это снования как устроена природа, благодаря чему в ней явления – необходимость изучения загадочных явлений, а они и связаны с проведением вычислений, измерений, построением моделей. Модели вселенной. Также, человечество строило храмы, т.е. развивался интеллект часто в рамках богов – в особенности Греция, которая еще до научного периода до 6 в. до н.э. – мифология греческая – жили и считали, что они вместе с богами, и должны были объяснить как боги помогают им. Все это приводило к тому, что человек должен был уметь считать какие то логически связи, законы, рецепты, чтобы жить в этом мире.

Математика в догреческих цивилизациях. – это Египет, Вавилон прежде всего.

Если условно всю историю математики поделить на 4 периода(периодизация по Колмогорову): подготовительный (накопительный) период(30в. до н.э. – до 7 в. до н.э.), период математики постоянных величин (условно 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв. н.э.), период математики переменных величин (17-18в.), современная математика (19в. – 20в.), то математика в догреческих цивилизациях относится к подготовительному периоду.

Цивилизации, в документы, что пришли из них, в них есть какая-то история, это: Древний Египет и Вавилония.

Из Др. Египта к нам пришли материалы, которые сохранились на папирусах. Из Вавилонии – глиняные таблички. В них была отображена, как и в папирусах числовая система и то, как формировалось понятие числа, с помощью каких чисел (или какого исчисления) они вели счет, а кроме того, там были и различные формулы, правила, решались задачи. Таким образом, две эти цивилизации внесли свой вклад.

Египет в основном подарил математике хорошо сформировавшееся понятие фигуры, ее площади, и даже ее объема. А в Вавилонии уклон был больше в алгебру. Др.Е. очень долго была десятеричная непозиционная система счисления. А это значит, что они каким то одним символом обозначали 10-ки, единицы, сотни, вплоть до 1000. Что касается Вавилонской сист. счисления – она позиционная, кроме того их сразу 2-е. С 20в. д.н.э. сразу на табличках остались следы, что они пользовались 10-ной и 60-ричной позиционной сист. счисления.

Но особенностью этого периода является то, что это донаучный период в математике. Вся математика этого периода - это рецептурная математика. Особенность – это период рецептурной математики. Период алгоритмов котор. диктовались но не обосновывались.

В этом периоде сформир-сь понятия числа и фигуры, кр. того были указаны методы решения каких-то уравнений, в Ег 1-ой степени, в Вав. вплоть до 2-ой. В геометрии были формулы. Формулы у египтян могли быть записаны через иероглифы или в словесном виде, но как правило это были рецепты, по котор. можно было вычислять то или другое. Основной числовой материал и в Ег и в Вав. этого периода – это положительн. рациональные числа.

Проблема влияния египетской и вавилонской мат-ки на мат-ку Др.Греции. – греческая математика хоть она и носила совершенно другой характер – доказательный, индуктивный характер – но питалась она достижениями египетской и вавилонской математики. Т.е. результаты в области математики греки не переоткрывали их, а пользовались этими знаниями. И основная их заслуга в том, что они сделали обоснование – из догматического характера математику превратили в научную, придали ей доказательный характер.

5 вопрос: Математика Древнего Вавилона

Если условно всю историю математики поделить на 4 периода(периодизация по Колмогорову): подготовительный (накопительный) период(30в. до н.э. – до 7 в. до н.э.), период математики постоянных величин (условно 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв. н.э.), период математики переменных величин (17-18в.), современная математика (19в. – 20в.), то математика Древнего Вавилона относится к подготовительному периоду.

Откуда мы знаем, что происходило в это время? Знаем из того, что найдено археологами. Цивилизации, на основании их истории, документы что пришли из них, в них есть

В Древнем Вавилоне основной материал, по которому мы выясняем, что было – это глиняные таблички, на которых нанесены зарубки, с их помощью был изложен какой-то материал. Примерно до 3 в. н.э. с символикой было очень туго, - приходилось очень много писать(писалось все на риторическом языке). В табличках была отображена числовая система и то, как формировалось понятие числа, с помощью каких чисел (или какого исчисления) они вели счет, а кроме того, там были и различные формулы, правила, решались задачи.

В Вавилонии уклон был в алгебру. Вавилонской сист. счисления – она позиционная, кроме того их сразу 2-е.: 10-най и 60-ричнай позиционной сист. счисления. Почему у вавилонян такая сложная сист. исчисления? Предполагается, что на этой территории жили различные шумерские племена, - и били денежные единицы, которые легко можно было вложить в 10-ную сист.счисления. А также были, единицы, которые можно было бы делить на 2,3,6, 12. Поэтому решили сделать такую систему счисления, в которой учувствовали делители– из одной системы 2-ка и 5-ка, из другой 3-ка. Оптимальная - 60-ричная система. Но, есть другая т.зр.: это период, когда народы селились у берегов рек Евфрат и Тигр – довольно полноводны, богаты илом, котор. удобряет землю. Но в опредл. периоды между реками было пространство с засушливой землей. И первая проблема, которая была – нужно было обводнять – строить каналы, чтоб туда попадала вода, в засушливое время. Но еще обе эти реки меняли свое русло. Вавилоняне заметили, как эти реки, примерно, меняют русла, когда они более-менее полноводны. Плюс еще обращали внимание на то, когда дождливая погода для орошения земли – таким образом было замечено, что все это связано с космическими явлениями, котор. связаны с планетами и звездами. Т.к. появилась необходимость заниматься астрономическими вещами, заметили, что более удобным будет воспользоваться делением часа на 60 минут, минуты на 60 сек.

Вавилоняне, в большей степени были алгебраистами. Они умели решать уравнения второй степени. Они знали т. Пифагора, хотя это было задолго до его рождения. Был нарисован треугольник и внизу подписано, что если взять одну прямую и повторить ее саму на себя, то это будет сама формула. На многих табличках и при решении многих задач особенно связанных с задачами построения дамб, оросительных каналов – встречается именно это соотношение. В глиняных табличках были таблицы кубов некоторых чисел.

Вся математика носила рецептурный характер. Т.е. все, что там записано - записано в виде рецепта, который не обсуждается, он просто предлагается.

В Вав. положительные рациональные числа были как мат-кие объекты, нуля не было, поэтому была большая трудность у 60-ричной системы позиционной( т.к. не было понятно –одним символом обозначается и 6, и 60). С этим справлялись – ставили или точки, или запитые, и по смыслу задачи догадывались какая там позиция этого объекта. А отрицат.числа не считали решением таких-то уравнений, как мат. объект. Просто говорили – есть прибыль, есть долг.

Кто творил эту математику? В какой-то период у того или иного народа (племени), появлялись излишки, помимо того необходимого для проживания, – появление этих излишков создавало возможность для некотор. части общества, которая имела эти излишки, могла их использовать, заниматься не обязательно конкретным производством, а могла просто заниматься исследованием того, что они видят.

5 вопрос: Математика Древнего Египта

Если условно всю историю математики поделить на 4 периода(периодизация по Колмогорову): подготовительный (накопительный) период(30в. до н.э. – до 7 в. до н.э.), период математики постоянных величин (условно 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв. н.э.), период математики переменных величин (17-18в.), современная математика (19в. – 20в.), то математика Древнего Египта относится к подготовительному периоду.

Откуда мы знаем, что происходило в это время? Знаем из того, что найдено археологами. Цивилизации, на основании их истории, документы что пришли из них, в них есть какая-то история, это: Древний Египет и Вавилония.

Из Др. Египта к нам пришли материалы, которые сохранились на папирусах. В них была отображена числовая система и то, как формировалось понятие числа, с помощью каких чисел (или какого исчисления) они вели счет, а кроме того, там были и различные формулы, правила, решались задачи.

Египет в основном подарил математике хорошо сформировавшееся понятие фигуры, ее площади, и даже ее объема. Др.Е. очень долго была десятеричная непозиционная система счисления. А это значит, что они каким то одним символом обозначали 10-ки, единицы, сотни, вплоить до 1000

Нил – это такая полноводная река, которая разливается 2 раза в год, 2 раза в год, земледельцы могут получать с удобренной илом земли урожай. Люди получали земельные наделы. Их нужно было разметить. Потом река разливалась и смывала все границы. Поэтому нужно было очень хорошо мерить и перемерять эти территории. Кроме того, с др Ег. связаны пирамиды, и чтобы обсчитывать ее объем и площадь поверхности в др. ег. была известно формула объема и площади поверхности усеченной пирамиды. Поэтому из папирусов Др. ег. пришло очень много

В данной работе делается попытка исследовать жизнь и деятельность гениального ученого Андрея Николаевича Колмогорова, профессора Московского Университета.

ВложениеРазмер
kolmogorov.rar 1.75 МБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 10

Тема: АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ

Фатькина Светлана Львовна,

учитель математики МОУ СОШ № 10

  1. Вступление…………………………………………..…ст. 2
  2. Жизненный путь Андрея Николаевича

Студенческие годы Колмогорова.

Становление в науке……………………………….ст. 4

Научная и педагогическая деятельность

Колмогоровские аксиомы элементарной

  1. Заключение………………………………………..…..ст.10
  2. Используемая литература…………………………….ст.11

"Колмогоров дарил окружавшим его людям ни с чем не сравнимое, почти физическое ощущение непосредственного соприкосновения с гением".

"Колмогоров - уникальное явление русской культуры, наше национальное достояние".

В данном реферате мной делается попытка рассказать об одном из известнейших и талантливейших учёных XX века – Андрее Николаевиче Колмогорове - грандиозном научном деятеле, талантливом организаторе, выдающемся педагоге и неординарной, высокоразвитой личности.

Великий русский ученый, один из крупнейших математиков XX столетия, достойно признанный чуть ли не всеми авторитетными мировыми сообществами ученых – член Национальной Академии наук США и американской Академии искусств и наук, член Нидерландской Королевской академии наук и Академии наук Финляндии, член Академии наук Франции и Германской академии естествоиспытателей "Леопольдина", член Международной академии истории наук и национальных академий Румынии, Венгрии и Польши, почетный член Королевского статистического общества Великобритании и Лондонского математического общества, почетный член Международного статистического института и Математического общества Индии, иностранный член Американского философского и Американского метеорологического общества, лауреат самых почетных научных премий: премии П.Л.Чебышева и Н.И.Лобачевского АН СССР, Международной премии фонда Бальцана и Международной премии фонда Вольфа, а также государственной и Ленинской премии, награжденный 7-ю орденами Ленина, медалью "Золотая Звезда" Герой Социалистического труда академик Андрей Николаевич Колмогоров сам себя всегда называл "просто профессор Московского университета".

Исследовать жизнь и деятельность этого поистине гениального человека я и пытаюсь.

ЖИЗНЕННЫЙ ПУТЬ АНДРЕЯ НИКОЛАЕВИЧА.

Студенческие годы Колмогорова. Становление в науке.

"Колмогоров был не просто ученый, он был глубокий мыслитель. Для него процесс постоянного поиска нового результата, метода, идеи был равносилен самой жизни".

Ко времени окончания университета у Колмогорова было уже около 15 статей по теории функций действительного переменного.

Первые публикации Колмогорова были посвящены проблемам дескриптивной и метрической теории функций. Наиболее ранняя из них появилась в 1923 году. Обсуждавшиеся в середине двадцатых годов повсюду, в том числе в Москве, вопросы оснований математического анализа и тесно с ними связанные исследования по математической логике привлекли внимание Колмогорова почти в самом начале его творчества

Особое значение для приложения математических методов к естествознанию и практическим наукам имел закон больших чисел . Разыскать необходимые и достаточные условия, при которых он имеет место, — вот в чем заключался искомый результат. Крупнейшие математики многих стран на протяжении десятилетий безуспешно старались его получить. В 1926 году эти условия были получены аспирантом Колмогоровым.

Научная и педагогическая деятельность А. Н. Колмогорова.

"Андрей Николаевич принадлежал к числу тех несравненных гениев, которые украшают жизнь уже самим фактом своего существования. Одно лишь сознание того, что где-то на Земле бьется сердце человека, наделенного столь совершенным разумом и бескорыстной душой, окрыляло, дарило радость, давало силы жить, уберегало от дурных поступков и вдохновляло на благие дела".

В 1930 г. Колмогоров с 1933 по 1939 год был ректором Института математики и механики МГУ, многие годы руководил кафедрой теории вероятностей и лабораторией статистических методов. В 1935 году Колмогорову была присвоена степень доктора физико-математических наук, в 1939 году он был избран членом АН СССР . Незадолго до начала Великой Отечественной войны Колмогорову и Хинчину за работы по теории вероятностей была присуждена Сталинская премия ( 1941 ).

Академиком Колмогоров был избран в 1939 году. В конце тридцатых годов в области его научных интересов появляются новые направления: проблемы турбулентности. Война заставляет Колмогорова прервать свою исследовательскую работу и обратиться к оборонной тематике. 23 июня 1941 года состоялось расширенное заседание Президиума Академии наук СССР . Принятое на нем решение кладет начало перестройке деятельности научных учреждений. Теперь главное — военная тематика: все силы, все знания — победе. Советские математики по заданию Главного артиллерийского управления армии ведут сложные работы в области баллистики и механики. Колмогоров, используя свои исследования по теории вероятностей, даёт определение наивыгоднейшего рассеивания снарядов при стрельбе.

Вместе с Математическим институтом Колмогоров отправляется в эвакуацию в Казань, но вскоре возвращается в Москву к своим обязанностям академика-секретаря Физико-математического отделения Академии и для выполнения работ оборонного характера. В Казань выбирается только временами, в войну к тому же на это всякий раз требовалось разрешение. Андрей Николаевич занялся теорией стрельбы в ответ на запрос “дать свое заключение по поводу разногласий имеющихся приемов оценки меры точности по опытным данным”. Сам Колмогоров замечает, что его работа “Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений”, сданная в печать 15 сентября 1941 г., т.е. уже через три месяца после начала войны, претендует по преимуществу лишь на методологический интерес благодаря критическому сопоставлению различных подходов. Однако Андрей Николаевич со своими сотрудниками по Математическому институту, механико-математическому факультету университета и непосредственными практиками из Артиллерийского научно- исследовательского морского института разворачивает большую теоретическую и расчетную работу по эффективности систем стрельбы. Завершается она появлением отдельного выпуска “Трудов МИАН” (Андрей Николаевич называл его “Стрельбным сборником”). Одновременно он читает курс математической теории стрельбы в университете, который объявляет обязательным для студентов, выбравших своей специальностью теорию вероятностей.

“Завтра самый длинный день в году и годовщина начала войны, - пишет Колмогоров Александрову в Казань 21 июня 1942 г. - Пора уже мне перестать, по преимуществу, заниматься переживанием происходящего мирового потрясения, подвести некоторый итог первой фазы этого переживания, привести себя в порядок и заниматься делом”.

Помимо академических дел и работ оборонного характера, Андрей Николаевич принимает на себя и заботы по организации деятельности механико-математического факультета теми немногими силами, что еще оставались в Москве. Он председательствует в ученом совете факультета и экспертном совете ВАК, курирует математические журналы (с момента создания “Успехов математических наук” руководит этим журналом, а позднее организует и ряд новых, в частности первый “отраслевой” математический журнал “Теория вероятностей и ее применения”). Продолжает активную деятельность и в своем первом Институте математики и механики. В эти первые военные годы, когда, казалось бы, и час трудно выделить для собственно математического творчества, Андрей Николаевич публикует статьи, которым суждено было заложить основы теории турбулентности, интерес к которой у него возник еще в конце 30-х годов. “Серия работ, опубликованных в 1941 г., - писал У.Фриш в книге “Турбулентность. Наследие Колмогорова” (1998 г.), - до сих пор оказывает свое влияние на изучение турбулентности. Новые достижения часто позволяют увидеть в классических работах не замеченные ранее жемчужины. Так обстоит дело и с этими статьями Колмогорова 1941 г.”.

В том же 1941-м выходят и другие основополагающие работы Андрея Николаевича: “Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве” и “Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей”. Завершился этот год присуждением ему (совместно с А.Я.Хинчиным) Сталинской премии за цикл работ по теории случайных процессов.

В 1943 г. сорокалетний Андрей Николаевич впервые решает вести дневник. На первой странице выведены крупно, красивым почерком две цитаты из Гёте и посвящение.

Посвящается мне самому к моему восьмидесятилетию с пожеланием сохранить к этому времени достаточно смысла хотя бы для того, чтобы понимать писания себя самого - сорокалетнего - и судить их с сочувствием, но и со строгостью.

Есть в этом дневнике и замечательная страница, которую Колмогоров озаглавил: “Конкретный план того, как сделаться великим человеком, если на это хватит охоты и усердия” .

Время показало, что Андрей Николаевич выполнил весь свой план и даже скончался в то десятилетие, которое отмечено одними знаками пропуска (Z). Он не стал публиковать Полное собрание своих сочинений, но успел отобрать те из них, что вошли в три тома “Избранных трудов”, изданных его учениками. Дело не дошло только до самого последнего пункта - писания воспоминаний о прожитой жизни…

Время показало, что он сделал много-много больше запланированного - он действительно стал великим, и все в мире признали это.

Последние военные и первые послевоенные годы можно связать с исключительным вниманием Колмогорова к проблемам теории вероятностей и путям ее развития.

Андрей Николаевич так рассказывает о планах дальнейших исследований и своих математических обязанностях (сам этот термин “математические обязанности” - из его дневника):

“Конечно, эти своеобразные обязанности “лидера” известного направления в теории вероятностей надо нести, так как исследования в этом направлении должны продолжаться. Я даже задумал опубликовать вскоре на русском и английском языках небольшой обзор проблем теории вероятностей, которые, по моему мнению, заслуживают внимания серьезных исследователей. Остались и некоторые проблемы, которыми, по-видимому, придется заниматься и мне.

Но уже давно (с 1936 года) я начал некоторый цикл исследований, который возник из проблем теории вероятностей и динамических систем, а оказался же, по существу, исследованием унитарных представлений групп в гильбертовом пространстве. Это звучит несколько изысканно и “не классически”, но у меня имеется убеждение, что здесь скрывается один из центральных вопросов будущей “классической” математики: очень уж многие проблемы самых разных стилей согласно ведут именно сюда. Очень соблазняет меня еще гомологическая топология, в которую я было погрузился в 1934-36 годах. С чем из всего этого я справлюсь в самом деле, конечно, сказать трудно…”.

Теперь мы можем судить, с чем “из всего этого он справился в самом деле” и как много ко всему этому еще добавилось.

Дифференциация обучения, факультативные курсы, сеть специальных классов - теперь такая система обучения признана одним из главных направлений развития отечественной школы. А ведь Андрею Николаевичу пришлось около трех десятков лет пробивать стену непонимания разумности такой системы. Программа школьного курса математики. В середине 60-х годов Андрей Николаевич возглавил работу по совершенствованию всей системы школьного математического образования в стране. Над созданием программы по математике он работал около трех лет в несколько этапов. В результате определились структура курса и основные методические принципы на предстоящий период. Бесспорно, что методика обучения математике сильно продвинулась вперед благодаря его работам - статьям, книгам, учебникам. Необычайную ценность педагогическому и методологическому творчеству Андрея Николаевича Колмогорова придает то обстоятельство, что оно отражает широчайший, современный взгляд на содержание и методы преподавания математики в школе, принадлежащий человеку, обладавшему уникальным сочетанием качеств - математической гениальности, педагогического таланта, широты научных устремлений, высокой интеллигентности.

Будучи инициатором создания в 1970 году физико-математического журнала для юношества "Квант", он с момента его возникновения и до конца своих дней являлся первым заместителем главного редактора и руководил математическим разделом этого журнала. Андрей Николаевич был основателем и первым главой редакции математики и механики в Издательстве иностранной литературы.

А.Н.Колмогоров создал одну из крупнейших в стране научных школ. Скончался 20 октября 1987 года в возрасте 84 лет. Вся жизнь Андрея Николаевича была посвящена поиску истины и делу Просвещения. Именно его с полным правом можно назвать Просветителем – человеком, освещавшим жизненный и научный путь многим и многим.

ИЗ ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ.

Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей.

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра . Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы , которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах , не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом , так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом , так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности .

Пусть Ω — множество элементов ω, которые называются элементарными событиями, а — множество подмножеств Ω, называемых случайными событиями (или просто — событиями), а Ω — пространством элементарных событии.

  1. Аксиома I (алгебра событий) . является алгеброй событий .
  2. Аксиома II (существование вероятности событий) . Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число , которое называется вероятностью события x .
  3. Аксиома III (нормировка вероятности) . .
  4. Аксиома IV (аддитивность вероятности) . Если события x и y не пересекаются, то .

Совокупность объектов , удовлетворяющую аксиомам I—IV , называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей ).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: Ω состоит из единственного элемента ω, — из Ω и невозможного событий (пустого множества) , при этом положено . Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Средние Колмогорова или средние по Колмогорову для действительных чисел — это величины вида

где — непрерывная строго монотонная функция, а — функция, обратная к . При этом выбор определённых функций даёт различные классические средние:

  1. при — среднее арифметическое ;
  2. при — среднее геометрическое ;
  3. при — среднее гармоническое ;
  4. при — среднее квадратическое ;
  5. при — среднее степенное .

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал, [1] что любая средняя величина имеет вид ( * ), если она обладает свойствами:

  1. непрерывности ,
  2. монотонности по каждому x i ,
  3. симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
  4. среднее от набора равных чисел равно их значению,
  5. замена любой группы чисел в наборе их средним не меняет значение среднего всего набора.

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике . В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

XX век- век атома, электроники и кибернетики, век великих космических исследований и открытий. Всё это стало возможно благодаря прогрессу математической науки. Только современные математические методы позволяют людям решать важные технические задачи и внедрять автоматику в производство. Мы ценим выдающиеся достижения Отечественных математиков XX столетия.

Стремительно увеличивающаяся временная дистанция позволяет нам лучше понять масштабы личности Андрея Николаевича Колмогорова, оценить его демократизм, глубину педагогического мышления.

Гениальный Учёный, великий Просветитель, замечательный Человек – имя Андрея Николаевича Колмогорова золотыми буквами вписано в плеяду величайших людей планеты.

Отметим важную особенность, характерную для позиции Колмогорова-историка: обсуждая причины возникновения математики как науки в Древней Греции, он связал его с историческими особенностями древнегреческих государств.

"Развитие математики в Древней Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной техники, искусства решения задач алгебраического характера и разработки математических средств астрономии лишь в эллинистическую эпоху был достигнут и превзойден уровень вавилонской математики, то уже гораздо раньше математика в Древней Греции вступила в совершенно новый этап логического развития. Появилась потребность в отчетливых математических доказательствах, были сделаны первые попытки систематического построения математической теории. Это изменение характера математической науки объясняется более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора. К привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником" [10].

Такая позиция принципиальным образом отлична от установок более естественных для профессионалов-математиков (см., например, подходы Н. Бурбаки [11] или А.Д. Александрова [12]), связывающих причины возникновения математики в Древней Греции преимущественно со "внутренней эволюцией математической науки" [13].

Ряд авторов выступили с возражениями, дополнениями и уточнениями по поводу избранного А.Н. Колмогоровым определения математики и периодизации ее истории. Что касается определения Ф. Энгельса, то указывалось (конечно, даже робкие возражения Энгельсу стали возможны лишь в сравнительно позднее время - после смерти И.В. Сталина), что это определение, которое вполне приемлемо для математики вплоть до начала XIX в., неадекватно описывает современную математику. Ему противопоставлялось определение модного в 60-х - 70-х гг. Н. Бурбаки [14]: "Математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур" [15].

Что же до колмогоровской периодизации, то предлагались различные дополнения к ней или ее уточнения [17]. Так, например, выдвигалось возражение против наименования второго периода периодом "элементарной математики" [18]. Прежде всего, говорили оппоненты, странно связывать содержание целого исторического периода с современной организацией математического образования [19]. Тем более что в этот период исследовались вопросы, которые, с современной точки зрения, относятся к высшей математике - например, инфинитезимальные методы Архимеда. Интересно заметить, что это обстоятельство не ускользнуло от внимания А.Н. Колмогорова. Говоря о содержании второго периода, он замечает, что его определение (период "элементарной математики" ) характеризует основное содержание периода "за исключением отдельных исследований греческого ученого Архимеда. требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых" [20]). Так что даваемые им определения не являются определениями в математическом смысле, но дают обобщенные характеристики основного содержания этапов развития математики, основного, допускающего отдельные (может быть даже очень важные) исключения, которые должны лишь подчеркивать правило, а вовсе не делать его некорректным. Высказывалось также мнение о целесообразности выделения в самостоятельный период средневековой математики [21].

Я позволю себе высказать предположение, кажущееся мне совершенно естественным, что рассмотрению и предмета математики и ее периодизации Андрей Николаевич подошел с позиций исторических: полагая, что дать адекватное формальное определение ее предмета просто невозможно. Он дал ее определение через ее историю (аналогичные попытки понять сущность математики и ее методы через ее историю предприняли в последние десятилетия многие философы математики: в США - это работы школы Ф. Китчера, в России - исследования А.Г. Барабашева и его учеников). Тогда становится очевидно: определение Ф. Энгельса А.Н. Колмогоров использовал как раз для характеристики математики вплоть до конца XVIII в., чтобы противопоставить ее математике XIX-XX вв., которая уже не имеет своим единственным объектом "пространственные формы и количественные отношения действительного мира".

- так писал Андрей Николаевич в статье "Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века" [25], опубликованной в 1943 г. и тесно примыкавшей к первому варианту его "Математики". И далее - снова противопоставление:

"Овладеть всем разнообразием образований, изучаемых современной математикой, нельзя без аксиоматического метода (здесь он делает сноску на свою статью "Математика" в первом издании Большой советской энциклопедии. - С.Д. ), позволяющего систематически обозреть различные возможности развития той или иной теории, открывающиеся в зависимости от того, как видоизменяются исходные допущения, положенные в ее основу" [26].

Таким образом, если Н. Бурбаки давал определение математики, соответствующее его концепции математики, и сам процесс ее развития понимал жестко в соответствии с этой концепцией, как эволюцию иерархии структур, ядро которой составляют порождающие структуры, за пределами которого разрастаются все более и более сложные структурные образования [27], то А.Н. Колмогоров подошел к пониманию предмета математики исторически. И если понимание Н. Бурбаки уходит в прошлое с самим бурбакизмом, то видение Колмогорова остается в своих основах по-прежнему приемлемым. И именно это определяет жизненность воззрения Андрея Николаевича на математику, делает статью "Математика", по выражению А.П. Юшкевича "подлинным шедевром математической литературы" [28].

Но то же можно сказать и об опубликованной в 1943 г. статье "Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века", в которой А.Н. Колмогоров показывает роль идей Н.И. Лобачевского в формировании нового подхода к математике, определившего содержание нового современного периода ее развития, и о статье "Ньютон и современное математическое мышление" [29], также опубликованной в 1943 г. В последней А.Н. Колмогоров дал анализ идей И. Ньютона с точки зрения последующей эволюции идей математического анализа, раскрывая глубина историко-научного дарования великого математика. И здесь подход Колмогорова к изучаемому материалу строго историчен. Он отмечает модернизацию терминологии Ньютона в русском переводе его "Начал", допущенную А.Н. Крыловым [30]. В самом начале статьи он заявляет, о том, что

"необходимо придерживаться правила, которое мы отнесли бы к изучению работ большинства представителей математических и естественных наук: изучать методологию ученого в первую очередь непосредственно по его научным работам, а не по его методологическим высказываниям".

Свою работу он видит "несовершенной попыткой применения этого правила к математическим работам Ньютона" [31]. Довольно сложная история публикации основных результатов Ньютона по открытому им calculus 'у, пишет он,

"хотя и затрудняет создание связной характеристики научной методологии Ньютона в каждый период его работы, но дает и некоторое преимущество - возможность проникнуть в лабораторию его научной мысли" [32].

Исследование опубликованных работ И. Ньютона позволило Колмогорову не только охарактеризовать его вклад в создание анализа, но и получить замечательный историко-математический результат: анализируя биномиальное разложение ( x + o ) n в связи с XI предложением ньютоновского "Рассуждения о квадратуре кривых" (опубликованного в 1704 г.), он выдвинул мотивированное предположение, что Ньютон в момент написания "Поучения" к "Трактату о квадратуре кривых" (то есть в 1670-х гг.) "был очень близок к открытию ряда Тейлора (если не сказать просто - открыл этот ряд!)" [33]. Изданные в 1976 г. бумаги Ньютона подтвердили эту гипотезу [34].

Большинство историко-научных работ А.Н. Колмогорова собрано в изданной в 1991 г. В.А. Успенским книге "Математика в ее историческом развитии". Их обстоятельный анализ - дело будущего. В заключение замечу только, что в конце своей жизни он вместе с А.П. Юшкевичем предпринял издание трех томов "Математики XIX века" [35] и , когда в 70-х гг. возник проект написания труда по истории математики ХХ века, заметил, что лично он готов принять в нем участие только в том случае, если верхняя граница рассматриваемого периода не будет существенно выше, чем 30-е годы. "Я не считаю себя компетентным, - заметил он, - оценивать развитие математики в последующие годы" [36].

Историки науки высоко ценят его труды по истории математики и неудивительно, что среди многочисленных научных академий, избравших великого ученого, числится и Международная академия истории науки, почетным членом которой он стал в 1977 г. Однако настоящая оценка историко-математических трудов А.Н. Колмогорова только начинается. Но уже сегодня ясно, что и в них проявился универсальный гений великого ученого.

1. См. его статью в этом же номере ВИЕТ.

2. В 1920-22 гг. А.Н. Колмогоров работал над изучением новгородских писцовых книг. Итогом этой работы стала рукопись "Новгородское землевладение XV века", опубликованная только в 1994 г. (Колмогоров А.Н. Новгородское землевладение XV века. М.: Изд. Фирма "Физико-математическая литература" ВО "Наука", 1994) с предисловием В.Л. Янина и комментарием Л.А. Бассалыго. В своем предисловии Янин высоко оценивает выполненную Колмогоровым работу. В частности, он пишет: "Будь работа Андрея Николаевича издана вскоре после ее написания, наши знания сегодня были бы много полнее и, главное, точнее. Она направляет исследовательскую мысль к еще не тронутым в историографии проблемам и вооружает ее точной методикой" (с. 13).

Там же В.Л. Янин рассказывает о том, почему Колмогоров оставил историю и перешел к исследованиям в области математики: "Когда работа была доложена им в семинаре, руководитель семинара профессор С.В. Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как "в исторической науке каждый результат должен быть обоснован несколькими доказательствами" (!). Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: "И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства". История потеряла гениального исследователя, математика навсегда приобрела его" (с. 4).

3. Колмогоров А.Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия. 2-е издание. Т. 26. М., 1954. С. 464-483.

4. Колмогоров А.Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия. 1-е издание. Т. 38. М., 1938. С. 359-402.

6. Колмогоров. Математика в ее историческом развитии. С. 24.

11. Бурбаки Н. Архитектура математики // Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К.А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963.

12. Александров А. Д. Математика // Философская энциклопедия. Т. 3. М., 1964. С. 329-335.

13. На это обратил особое внимание С. Н. Бычков: Бычков С.Н. Дедуктивное мышление и древнегреческий полис // Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А. Н. Барабашева. СПб., 1999.

14. Кацивели Г. [ Шилов Г.Е. ] Математика и действительность. Публикация, предисловие и примечания Г.Е.Шилова // Историко-математические исследования. 19. Вып. 20. М.: Наука. С. 11-27.

15. Бурбаки. С. 258.

16. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. С. 62.

17. См., например: Юшкевич. А.Н. Колмогоров о сущности математики. ; Юшкевич А. П. А.Н. Колмогоров о предмете математики и ее истории // Вопросы истории естествознания и техники. 1983. № 3. С. 67-74; Юшкевич А. П. Исследования по истории математики в странах Востока в средние века: итоги и перспективы // Труды международного конгресса математиков (Москва-1966). М., 1968. С. 664-680.

20. Колмогоров. Математика в ее историческом развитии. С. 29.

21. Юшкевич А.П. Исследования по истории математики в странах Востока в средние века: итоги и перспективы / Труды международного конгресса математиков (Москва 1966). М., 1968. С. 664-680. См. с. 670.

22. Юшкевич. А.Н. Колмогоров о сущности математики. С. 15.

25. Колмогоров А.Н. Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века // Математика в ее историческом развитии. С. 92-124. Цит. с. 124.

27. Бурбаки. Архитектура математики.

28. Юшкевич. А.Н. Колмогоров о сущности математики. С. 8.

29. Там же, с. 92-111.

30. Там же, с. 102. И хотя А.Н. Колмогоров в своем анализе математики прошлых веков подходит к оценке результатов и методов с современных позиций (об этом говорят даже названия его статей о творчестве И. Ньютона и Н.И. Лобачевского) - такова его творческая установка - он превосходно понимает минусы такого, как мы сказали бы, презентистского подхода, делая в ряде случаев характерные оговорки. В их ряду и отмеченная им модернизация в крыловском переводе ньютоновских "Начал" (см.: Ньютон и современное математическое мышление // Колмогоров. Математика в ее историческом развитии. С. 92-111, особенно c. 102). Однако, с его точки зрения, основным остается верность сути (а суть одна!), но не букве. Поэтому сделав замечание о переводе, он тут же добавляет: "Логическое строение ньютоновских рассуждений А. Н. Крылов передает, однако, достаточно точно".

33. Там же, с. 111.

34. Об этом см.: Петрова С.С., Романовска Д.А. К истории открытия ряда Тейлора // Историко-математические исследования. Вып.25. М.: Наука, 1980. С. 10-24.

35. Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей // Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1978; Математика XIX века. Математическая логика. Геометрия. Теория аналитических функций // Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1981; Математика XIX века. Математическая логика. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей // Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1987.

36. И это говорилось А.Н. Колмогоровым - активным участником математической жизни 50-х - 60-х гг., как раз в этот период поразившего мир своими замечательными открытиями (КАМ-теория, исследования по 13 проблеме Гильберта и др.).

4 Иррациональные числа. Отрицательные, мнимые и комплексные числа (Дж. Кардано, Р. Бомбелли и др.). Десятичные дроби. Тригонометрия в астрономических сочинениях. 4. Рождение и первые шаги математики переменных величин 4.1. Математика и научно-техническая революция XVI XVII веков. Механическая картина мира и математика. Новые формы организации науки. Развитие вычислительных средств открытие логарифмов. Жизнь и творчество Р. Декарта. Число у Декарта. Рождение аналитической геометрии. Теоретико-числовые проблемы в творчестве Ферма. Создание основ проективной геометрии в работах Дезарга и Паскаля. Переписка Ферма и Паскаля и первые теоретико-вероятностные представления. Появление статистических исследований. Развитие интеграционных и дифференциальных методов в XVII веке (И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль). Жизнь и творчество И. Ньютона и Г.-В. Лейбница. Открытие Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Спор о приоритете и различия в подходах. Первые шаги математического анализа (И. и Я. Бернулли и др.). Проблема обоснования дифференциального и интегрального исчисления и критика Беркли Математика и Великая Французская революция. Создание Политехнической и Нормальной школ и их влияние на развитие математики и математических наук. Развитие математического анализа в XVIII веке. Расширение поля исследований и выделение основных ветвей математического анализа дифференциального и интегрального исчисления в узком смысле слова, теории рядов, теории дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, теории функций комплексного переменного, вариационного исчисления. Жизнь и творчество Л. Эйлера. Математическая трилогия Л. Эйлера. Жизнь и творчество Л. Эйлера. Классификация функций Эйлера. Основные понятия анализа. Обобщение понятия суммы ряда. Спор о колебании струны. Развитие понятия функции. Расширение понятия решения дифференциального уравнения с частными производными понятия классического и обобщенного решений; появление понятия обобщенной функции в ХХ столетии. Проблема обоснования алгоритмов дифференциального и интегрального исчисления. Подходы Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, Л. Карно, Ж. Даламбера. Вариационные принципы в естествознании. 5. Период современной математики 5.1. Математика XIX века. Организация математического образования и математических исследований. Ведущие математические школы. Математические журналы и общества. Школа К. Вейерштрасса. Жизнь и деятельность С. В. Ковалевской. Организация первых

8 6.2. Математика в России и в СССР в ХХ веке. Организация математической жизни в стране накануне Первой мировой войны. Конфронтация Петербурга и Москвы. Рождение Московской школы теории функций действительного переменного. Математика в стране в первые годы Советской власти. Идеологические бури 30-х годов. Рождение Советской математической школы. Математические съезды и конференции, издания, институты. Ведущие математические центры. Творчество А. Н. Колмогорова. Основная литература 1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под ред. А. П. Юшкевича. Т М.: Наука История отечественной математики. Под ред. И. З. Штокало. Т Киев: Наукова Думка Колмогоров А. Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия. 2-е изд Т Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. Под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. М.: Наука Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. М.: Наука Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. Под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. М.: Наука Очерки по истории математики. Под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Изд-во МГУ Рыбников К. А. История математики. М.: Изд-во МГУ Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 года. М.: Наука Дополнительная литература 1. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. М.-Л.: ГИТТЛ Историко-математические исследования. Вып М ; 2-я серия. Вып. 1 (36) - 7 (41). М Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука Философия математики и технических наук / под общ. ред. С. А. Лебедева. М. : Академический проект, Философия науки : хрестоматия / сост. Г. Ф. Трифонов. Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2007.

Читайте также: