Реферат на тему бернулли

Обновлено: 01.07.2024

Дании́л Берну́лли ( Daniel Bernoulli ; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), выдающийся швейцарский физик-универсал и математик, сын Иоганна Бернулли, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики.

Даниил родился в Гронингене (Голландия), где его отец тогда преподавал математику в университете. С юных лет увлёкся математикой, вначале учился у отца и брата Николая, параллельно изучая медицину. После возвращения в Швейцарию подружился с Эйлером.

1721: сдал экзамены на медика в Базеле, защитил диссертацию. Затем уехал в Италию, где набирался опыта в медицине.

1725: вместе с братом Николаем уезжает по приглашению в Петербург, где по императорскому указу учреждена Петербургская академия наук. Занимается там медициной, но потом переходит на кафедру математики (1728), ставшую вакантной после смерти его брата Николая. Момент для приезда был чрезвычайно неудачным — как раз скончался Пётр I, началась неразбериха. Приглашённые в Академию иностранцы частично рассеялись, но Даниил остался и даже уговорил приехать друга Эйлера (получил приглашение в 1726 году, прибыл в Санкт-Петербург в 1727 году). Но тут умерла императрица Екатерина I, и властям окончательно стало не до Академии. Вскоре Даниил возвращается в Базель. Он остался почётным членом Петербургской академии, в её журнале опубликованы 47 из 75 трудов Даниила Бернулли.

1733: устроился профессором анатомии и ботаники в Базеле (других вакансий не было). Ведёт оживлённую, взаимно-полезную переписку с Эйлером.

1747—1753: важная серия работ о колебаниях струны. Бернулли, исходя из физических соображений, догадался разложить решение в тригонометрический ряд. Он провозгласил, что этот ряд не менее общий, чем степенной. Эйлер и Даламбер выступили с возражениями. Вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказался прав.

1748: избран иностранным членом Парижской Академии наук.

1750: перешёл на кафедру физики Базельского университета, где и трудился до кончины в 1782 году. Умер за рабочим столом весной 1782 года.

Женат не был. Отношения с отцом колебались от натянутых до враждебных, споры между ними о приоритете не утихали.

2. Научная деятельность

Более всего Даниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теории дифференциальных уравнений — его считают, наряду с Д’Аламбером и Эйлером, основателем математической физики.

Бернулли принадлежит одна из первых формулировок закона сохранения энергии ( живой силы , как тогда говорили), а также (одновременно с Эйлером) первая формулировка закона сохранения момента количества движения (1746). Он много лет изучал и математически моделировал упругие колебания, ввёл понятие гармонического колебания, дал принцип суперпозиции колебаний.

В математике опубликовал ряд исследований по теории вероятностей, теории рядов и дифференциальным уравнениям. Он первый применил математический анализ к задачам теории вероятностей (1768), до этого использовались только комбинаторный подход. Бернулли продвинул также математическую статистику, рассмотрев с применением вероятностных методов ряд практически важных задач.

Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Лауреат многочисленных премий и призов в конкурсах.

4. Труды в русском переводе

История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука. Том III: Математика XVIII столетия. (1972).

Белл Э. Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979.

Григорьян А. Т., Ковалёв Б. Д. Даниил Бернулли, 1700—1782. М.: Наука, 1981.

Перед написание реферата я ставил перед собой некие цели. И в ходе всей работы придерживался их. Они были такими:

1. Узнать о Данииле Бернулли как о человеке, т.е. биография.

2. Разобраться в его законе, понять его сущность и как он работает.

3. Найти доказательства этого закона в окружающих нас

явлениях, с применением:

4. Провести опыт и своими глазами убедиться, что закон работает.

29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782 года. Швейцарский физик-универсал и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук. Член Академий: Болонской, Берлинской,Парижской, Лондонского королевского общества.

Биография

Даниил родился в Гронингене (Голландия), от родителей Ивана Бернулли, украшавшего тогда кафедру математики в Гронингене, и от ДоротеиФалькнер, происходившей также из прославленной и очень древней базельской семьи. В 1705г. семья переехала в город Базель (Швейцария).Даниил учился в Базельской гимназии. После окончания гимназии в 1713г. его отправили во Францию совершенствовать знание французского языка. После возвращения на родину в 1716 г. он получил звание магистра философии, где подружился с Эйлером. По настоянию отца Даниил занялся изучением медицины, как наиболее практичной из профессий. Он учился в Гейдельберге, в Страсбурге и после защиты диссертации "О дыхании" в 1720 г. стал лиценциатом медицины. Но сердце Даниила не лежало к врачебной деятельности, его больше влекло к математическим наукам.В 1724 г. выходит в свет первый научный трактат Даниила Бернулли "Математические упражнения".

После этого президент Петербургской академии (только что созданную Петром I) Л.Л. Блюментрост пригласил Бернулли на службу. Но он не хотел рустоваться со своим братом Николаем, между которыми была сильная дружба. Блюментрост хотел заполучить Бернулли, и прислал приглашение для брата Бернулли. После этого братья не смогли отказаться от такого приглашения. Отправляя своих сыновей в дальнюю дорогу, Иоганн Бернулли напутствовал их следующими словами: ". лучше несколько потерпеть от сурового климата страны льдов, в которой приветствуют муз, чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, в которой муз обижают и презирают".

В октябре 1725 г. братья прибыли в Петербург. Даниил получил кафедру физиологии, Николай - математики. Братья сразу же включились в работу академии. К сожалению, деятельность Николая Бернулли продолжалась недолго. Климат северной столицы оказался для него слишком суровым. Через восемь месяцев после приезда в Петербург Николай умер. Даниил Бернулли оставался в Петербурге до лета 1733 г. Так как момент для приезда сразу после смерти брат был чрезвычайно неудачным — как раз скончался Пётр I, началась неразбериха. Вернувшись в Базель, Данил Бернулли получил в университете кафедру анатомии и ботаники, но больше занимался экспериментальной физикой. В 1750 г. он возглавил кафедру физики, которую и занимал до последних дней своей жизни.Наука была единственной страстью Даниила Бернулли. Возможно, поэтому он не был женат. Из-за занятий наукой у него были натянутые отношения с отцом. Из-за этого отец и сын независимо занимались одними и теми же проблемами и занимались успешно. В 1732 г. Парижская академия наук объявила конкурс на тему "О взаимном наклонении планет". Две работы из поступивших на конкурс были признаны лучшими, и премию было решено разделить между их авторами. Когда вскрыли конверты с девизами, то оказалось, что эти авторы- отец и сын Бернулли.

Даниил Бернулли был очень добрым человеком. Из денег выигранных на конкурсе, он жертвовал университету, в котором преподавал, крупные суммы денег, построил дешевую гостиницу для путешествующих студентов, помогал нуждающимся и т.п. Он был чужд зависти и радовался научным достижениям, полученными другими.Научный авторитет Даниила Бернулли был очень высок.До последних дней жизни он занимался научной деятельностью. 17 марта 1782 г. слуга нашел его в кресле заснувшим навсегда.

Закон Бернулли

Согласно ему полное давление в установившемся потоке жидкости(газа) остается постоянным вдоль этого потока. Полное давление состоит из весового, статического и динамического давления. Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, т.е. динамического давления, статическое давление падает. Закон Бернулли справедлив и для потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров -(это устройство, которое измеряет количество воздуха, поступающее в цилиндры двигателя), водо и пароструйных насосов.

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости, который был открыт в 1738 году Д. Бернулли.

Как известно, неподвижная жидкость в сосуде, согласно закону Паскаля, передает внешнее давление ко всем точкам жидкости без изменения. Но когда жидкость течет без трения по трубе переменной толщины, давление в разных местах трубы неодинаково. Оказывается, в узких местах трубы давление жидкости меньше, чем в широких.

— плотность жидкости,

— скорость потока,

— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

— ускорение свободного падения.

Так как при переходе жидкости из широкого участка в узкий скорость течения увеличивается, то это значит, что где-то на границе между узким и широким участком трубы жидкость получает ускорение. А по второму закону Ньютона для этого на этой границе должна действовать сила. Этой силой может быть только разность между силами давления в широком и узком участках трубы. В широком участке трубы давление должно быть больше, чем в узком. Этот вывод следует из закона сохранения энергии.

Если в узких местах трубы увеличивается скорость жидкости, то увеличивается и ее кинетическая энергия. А так как мы условились, что жидкость течет без трения, то этот прирост кинетической энергии должен компенсироваться уменьшением потенциальной энергии, потому что полная энергия должна оставаться постоянной.

Но это не потенциальная энергия mgh, потому что труба горизонтальная и высота h везде одинакова. Значит, остается только потенциальная энергия, связанная с силой упругости. Сила давления жидкости – это и есть сила упругости сжатой жидкости. В широкой части трубы жидкость несколько сильнее сжата, чем в узкой. Правда, мы только что говорили, что жидкость считается несжимаемой. Но это значит, что жидкость не настолько сжата, чтобы сколько-нибудь заметно изменился ее объем. Очень малое сжатие, вызывающее появление силы упругости, неизбежно. Оно и уменьшается в узких частях трубы.

Давление в жидкости, текущей в трубе, больше в тех частях, где скорость ее движения меньше, и наоборот, в тех частях, где скорость больше, давление меньше.

Закон Бернулли относится не только к жидкости, но и к газу, если газ не сжимается на столько, чтобы изменился его объем. В узких частях труб скорость течения жидкости велика, а давление мало.

Применение уравнения Бернулли

В жидкостях:

Рисунок 1 Рисунок 2

Приминение2.Осенью 1912 г океанский пароход "Олимпик" плыл в открытом море, а почти параллельно ему, на расстоянии сотни метров, проходил с большой скоростью другой корабль, гораздо меньший, броненосный крейсер "Гаук". Когда оба судна заняли положение, изображенное на рисунке , произошло нечто неожиданное: меньшее судно стремительно свернуло с пути, словно повинуясь неведомой силе, повернулось носом к большому кораблю и, не слушаясь руля, двинулось почти прямо на него. "Гаук" врезался носом в бок "Олимпика".Удар был так силен, что "Гаук" проделал в борту "Олимпика" большую пробоину. Случай столкновения двух кораблей рассматривался в морском суде. Капитана корабля "Олимпик" обвинили в том, что он не дал команду пропустить броненосец. Как вы думаете, что произошло? Почему меньший корабль, не слушаясь руля, пошел наперерез "Олимпику"?

Рисунок 3 Рисунок 4

Между двумя кораблями проходит вода, они сближаются. Скорость водымежду кораблями больше, значит давление между ними меньше, чем снаружи.

Парадоксальность результатов такого поведения тел можно объяснить, используя закон Берннули (уравнение Бернулли).

Применение 3.Для опыта изготовим цилиндр из плотной, но не толстой бумаги диаметром 5 см, длиной 25-30 см. На цилиндр намотаем ленточку, один конец которой прикрепим к линейке. Резким движением вдоль горизонтальной поверхности стола сообщим цилиндру сложное движение (поступательное и вращательное) . При большой скорости цилиндр поднимается вверх и описывает небольшую вертикальную петлю. Объясните, почему это происходит.

Уравнение Бернулли объясняет такое поведение рулона (и закрученного мячика): вращение нарушает симметричность обтекания за счёт эффекта прилипания. С одной стороны бумажного цилиндра скорость потока больше (над цилиндром вектор скорости воздуха сонаправлен вектору скорости цилиндра), значит, давление там понижается, а под цилиндром вектор скорости воздуха антипараллелен вектору скорости цилиндра. В результате разности давлений возникает подъёмная сила.

Применение 4. Струя воздуха может поддерживать легкий шарик (например мяч для настольного тенниса). Воздушная струя ударяется о шарик и не дает ему падать. Когда шарик выскакивает из струи, окружающий воздух возвращает его обратно в струю, т.к. давление окружающего воздуха, имеющего малую скорость, велико, а давление воздуха в струе, имеющего большую скорость, мало. Дополнительная подъемная сила может возникать из-за вращения мяча.

Экспериментальная часть.

Чтобы сделать эксперимент по Уравнению Бернулли, мне нужно было соединить трубки с переменным сечением. Соединить их так, что бы можно было через них пропустить жидкость. Ведь закон Д. Бернулли гласит о том, что давления текучей жидкости в соединённых трубках с разными сечениями разное в каждом из сечений. Но как бы я узнал, какое давление на каждом из участков конструкции? Если бы я просто соединил такие трубки, то я бы не как не узнал. Из этой проблемы я вышел следующим образом: в каждый участок, где разное сечение трубок я врезал вертикально вверх трубки с небольшим диаметром. Теперь, когда жидкость протекала по моей конструкции, во врезанные трубки тоже попадала вода. И уже наглядно было видно, как изменяется давление в зависимости от диаметра трубки, по которой течет жидкость.

В качестве трубок я использовал медицинские шприцы. Они хорошо подходят по всем параметрам:

· Они есть разного объёма (так что их можно использовать как трубки с переменным сечением).

· Шприцы можно соединить друг за другом, не тратя на это много времени и сил.

· В них можно без проблем врезать вертикальные трубки (в качестве них я тоже использовал шприцы только с меньшим объёмам).

После того как я соединил три шприца разного объёма (с помощью холодной сварки) , врезал в каждый из них вертикально вверх еще три шприца но с самым маленьким объёмам. Я прикрепил эту конструкцию к небольшой дощечке и присоединил шланг к шприцу с большим объёмом для подачи воды (Рисунок 7).

После этого я стал проводить сам опыт. Для этого я окрасил воду в синий цвет, что бы при протекании этой воды через шприцы ее было хорошо видно. И стал пропускать воду. Сразу после начала опыта стало видно, что Закон Бернулли действительно работает. В шприце ссамым большим объёмам столбик воды в вертикальном шприце поднимался на самую максимальную высоту. По ходу прохождения водой через все шприцыи уменьшении их объёма, столбик воды в вертикальных шприцах тоже уменьшался (Рисунок 8).

- Рисунок 8

Так я на собственном опыте увидел, что Уравнение Даниила Бернулли работает.

Заключение

В ходе работы над рефератом я узнал много нового. То, что до начала работы совсем не знал или думал ошибочно. Работа над рефератом была очень затягивающая и интересная. Я работал с большим интересом. Разбираясь в каждой подробности. Во время работы над рефератом я ставил перед собой некие цели, и старался все время придерживаться их выполнения. Следовал точно поставленному плану. И мне кажется, я полностью сумел добиться всего того, что хотел перед началом работы.

Список литературы

1. Физика. Механика. 10 кл. Профильный учебник: учеб.для Ф48 общеобразовательного учреждения. Дрофа, 2010. – 495, [1] с.

3. Новейший полный справочник школьника: 5-11 классов: в 2-хт. Т. I:Эксмо, 2009. – 576 с.

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.011)

Якоб доказал теорему Бернулли о биномиальных распределениях — важный частный случай закона больших чисел. Впервые она была опубликована в труде “Искусство предположений”. Первоначальные её доказательства требовали сложных математических средств, лишь в середине XIX века Пафнутий Львович Чебышев нашёл необычайно изящное и краткое её доказательство. Точная формулировка теоремы Бернулли такова: если при каждом из п независимых испытаний вероятность некоторого события равна р, то вероятность того, что частота т/п появления события удовлетворяет неравенству |т/п—р| 1—р(1—р)/пε 2 . Теорема Бернулли была обобщена Симеоном Пуассоном, в сочинении которого "Исследование о вероятности суждения" (1837) впервые появился термин "закон больших чисел".

Схема Бернулли

Распределение Бернулли

Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли. Распределение Бернулли моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи. Случайная величина X имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями р и q соответственно. Таким образом:

Функция вероятности Функция распределения

Функция распределения случайной величины такова:

Вариационное исчисление Бернулли

Совместно с братом Иоганном Бернулли положил начало вариационному исчислению, разделу математики, посвящённому нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. Он поставил задачу о брахистохроне, ставшей одной из первых задач вариационного исчисления. Она звучит так: определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения А в нижнее положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у (х), доставляющей минимум функционалу

Блуждание Бернулли

Э то случайное блуждание, порождаемое испытаниями по схеме Бернулли. Блуждания Бернулли можно описать в следующих терминах. Частица движется по оси х ("блуждает") по решетке точек вида . Движение начинается в момент , и положение частицы отмечается только в дискретные моменты времени На каждом шаге координата частицы увеличивается или уменьшается на величину h с вероятностями р или соответственно, независимо от предшествующего движения. Таким образом, перемещения в положительном и отрицательном направлениях ("успехи" и "неудачи") описываются схемой испытаний Бернулли с вероятностью успеха, равной р. Обычно блуждание Бернулли изображают геометрически, беря ось t за ось абсцисс, а ось х – за ось ординат (на рисунке показан начальный участок графика движения частицы, начинающей блуждание из нуля). Пусть – случайная величина, равная перемещению частицы на j-ом шаге. Тогда образуют последовательность независимых случайных величин. Координата блуждающей частицы в момент равна сумме График даёт наглядное представление о поведении нарастающих сумм случайных величин. Этот график можно также интерпретировать как изменения капитала одного из игроков в классической задаче о разорении (именно в связи с этой задачей были найдены формулы для вероятностей многих событий в блуждании Бернулли).

Семейство Бернулли было одним из протестантских семей, которые из Антверпена в 1583 году, чтобы избежать избиения католиками. Семейство нашло убежище сначала во Франкфурте, а вскоре перебралось в Швейцарию, где осело в Базеле. Основатель династии женился на представительнице одного из самых старинных семейств Базеля и стал крупным купцом. Николай Старший также был крупным купцом. Три поколения Бернулли дали 8 крупных математиков и физиков, из которых наиболее известны Якоб, Иоганн, Даниил и Якоб II. Среди академиков Петербургской Академии наук – пятеро представителей семьи Бернулли. Ниже приведено генеалогическое древо семейства Бернулли.

Якоб Бернулли

Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале учился богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В 1677 году совершил поездку во Францию для изучения идей Декарта, затем в Нидерланды и Англию, где познакомился с Гуком и Бойлем.

Вернувшись в Базель, некоторое время работал частным учителем. В 1684 году женился на Юдит Штупанус, у них родились сын и дочь.

С 1687 года – профессор физики (позже – математики) в Базельском университете. В 1684 штудирует первый мемуар Лейбница по анализу и становится восторженным адептом нового исчисления. Пишет письмо Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил только спустя три года (Лейбниц тогда был в командировке в Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении Лейбниц вступает в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся триумвират – Лейбниц и братья Бернулли – 20 лет возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ. В 1699 оба брата Бернулли избраны иностранными членами Парижской Академии наук.

Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.

Иоганн Бернулли

Иоганн стал магистром (искусств) в 18 лет, перешёл на изучение медицины, но одновременно увлёкся математикой (хотя медицину не бросил). Вместе с братом Якобом изучает первые статьи Лейбница о методах дифференциального и интегрального исчисления, начинает собственные глубокие исследования.

В 1691 будучи во Франции, пропагандирует новое исчисление, создав первую парижскую школу анализа. По возвращении в Швейцарию переписывается со своим учеником маркизом де Лопиталем, которому оставил содержательный конспект нового учения из двух частей: исчисление бесконечно малых и интегральное исчисление.

В качестве концептуальной основы действий с бесконечно малыми Иоганн сформулировал в начале лекций три постулата (первая попытка обоснования анализа):

1. Величина, уменьшенная или увеличенная на бесконечно малую величину, не уменьшается и не увеличивается.

2. Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.

3. Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой, рассматривается как параллелограмм.

Позже Лопиталь при издании своего учебника отбросил 3-й постулат как излишний, вытекающий из первых.

В 1692 им получено классическое выражение для радиуса кривизны кривой.

С 1693 подключился к переписке брата с Лейбницем.

Двумя годами ранее, в письме от 17 марта 1694 г. Лопиталь предложил Иоганну ежегодную пенсию в 300 ливров, с обещанием затем ее повысить, при условии, что Иоганн возьмет на себя разработку интересующих его вопросов и будет сообщать ему, и только ему, свои новые открытия, а также никому не пошлет копии своих сочинений, оставленных в свое время у Лопиталя. Этот необычный контракт пунктуально соблюдался 2 года, до издания книги Лопиталя. Позднее Иоганн Бернулли – сначала в письмах к друзьям, а после смерти Лопиталя (1704) и в печати – стал защищать свои авторские права.

Книга Бернулли-Лопиталя имела оглушительный успех у самой широкой публики, выдержала четыре издания (последнее – в 1781 году), обросла комментариями, была даже (1730) переведена на английский, с заменой терминологии на ньютоновскую (дифференциалов на флюксии и т.п.). В Англии первый общий учебник по анализу вышел только в 1706 г. (Диттон).

В 1696 Иоганн публикует задачу о брахистохроне: найти форму кривой, по которой материальная точка быстрее всего скатится из одной заданной точки в другую. Ещё Галилей размышлял на эту тему, но ошибочно полагал, что брахистохрона – дуга окружности. Это была первая в истории вариационная задача, и математики с ней блестяще справились. Иоганн сформулировал задачу в письме Лейбницу, который тотчас её решил и посоветовал выставить на конкурс. Тогда Иоганн опубликовал её в Acta Eruditorum. На конкурс пришли три решения, все верные: от Лопиталя, Якова Бернулли и (анонимно опубликовано в Лондоне без доказательства) от Ньютона. Кривая оказалась циклоидой. Своё собственное решение Иоганн тоже опубликовал.

В 1699 вместе с Якобом избран иностранным членом Парижской Академии наук. В 1702 совместно с Лейбницем открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. В 1705 вернулся в Базельский университет, профессором греческого языка.

В 1708 после смерти брата Якоба (1705) приглашается на его кафедру в Базеле и занимает её до самой смерти (1748).

Другими научными заслугами Иоганна Бернулли являются постановка классической задачи о геодезических линиях и нахождение характерных геометрических свойств этих линий, а позднее вывод их дифференциальное уравнение. Необходимо также отметить, что он воспитал множество учеников, среди которых – Эйлер и Даниил Бернулли.

К его портрету Вольтер написал четверостишие:

Его ум видел истину,

Его сердце познало справедливость.

Он – гордость Швейцарии

И всего человечества.

В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.

Даниил Бернулли

В течение 1747–1753 выходит в свет важная серия работ о колебаниях струны. Бернулли, исходя из физических соображений, догадался разложить решение в тригонометрический ряд. Он провозгласил, что этот ряд не менее общий, чем степенной. Эйлер и Даламбер выступили с возражениями. Вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказался прав.

В 1748 избран иностранным членом Парижской Академии наук. В 1750 перешёл на кафедру физики Базельского университета, где и трудился до кончины в 1782 году. Умер за рабочим столом весной 1782 года.

Более всего Даниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теории дифференциальных уравнений – его считают, наряду с Даламбером и Эйлером, основателем математической физики.

Бернулли принадлежит одна из первых формулировок закона сохранения энергии (живой силы, как тогда говорили), а также (одновременно с Эйлером) первая формулировка закона сохранения момента количества движения (1746). Он много лет изучал и математически моделировал упругие колебания, ввёл понятие гармонического колебания, дал принцип суперпозиции колебаний.

Даниил являлся Академиком и почетным иностранным членом Петербургской академии наук(1733), членом Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Лауреат многочисленных премий и призов в конкурсах.

Якоб II Бернулли

Якоб получил юридическое образование, но затем переключился на физику и математику. После неудачной попытки занять кафедру физики в Базеле, освободившуюся после смерти Даниила Бернулли (1782), Якоб уехал в Италию и поступил на дипломатическую службу. В 1786 году он переселился в Россию. Женился на внучке Эйлера. Служил в Академии наук и Кадетском корпусе. Погиб в возрасте 30 лет в результате несчастного случая при купании в Неве.

Якоб Бернулли успел опубликовать незаурядные работы по различным вопросам механики, теории упругости, гидростатики и баллистики: вращательному движению тела, укрепленного на растяжимой нити, течению воды в трубах, гидравлическим машинам. Вывел дифференциальное уравнение колебания пластин.

Математические объекты, названные в честь членов семьи

Дифференциальное уравнение вида:

с, n≠1, 0.

называется дифференциальным уравнением Бернулли (в честь Якоба).

Метод решения:

1. Делим левую и правую части на y n

2. Выполняем замену

3. Решаем дифференциальное уравнение

Оно может быть решено с использованием интегрирующего множителя

Пример:

Делим на y 2

Умножаем на M(x),

Закон Бернулли

Закон Бернулли (в честь Даниила Бернулли) является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

ρ – плотность жидкости,

v – скорость потока,

h – высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

p – давление.

Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых – единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид:

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ:

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового (ρgh), статического (p) и динамического () давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров, водо- и пароструйных насосов.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.

Читайте также: