Пересечение прямой с плоскостью реферат

Обновлено: 02.07.2024

Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка, принадлежащая и прямой и плоскости. Поскольку и прямая и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая:

1-й случай — и прямая и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае проекции искомой точки пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях прямой и плоскости.

На рис. 4.4, а изображена горизонтальная плоскость уровня , пересекающаяся с горизонтально-проецирующей прямой . Фронтальная проекция точки их пересечения совпадает с фронтальным следом плоскости , а горизонтальная проекция точки их пересечения совпадает с вырожденной в точку горизонтальной проекцией прямой.

2-й случай — только один элемент (или прямая или плоскость) занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций точки пересечения совпадает с характерной (вырожденной) проекцией элемента частного положения, а другую проекцию точки пересечения требуется построить.

На рис. 4.4, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирую-щая прямая и плоскость общего положения, заданная треугольником . В этом случае фронтальная проекция точки пересечения совпадает с вырожденной в точку проекцией прямой, а горизонтальная проекция точки пересечения построена по принадлежности точки плоскости с помощью вспомогательной прямой .

3-й случай — оба пересекающихся элемента занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то есть пересекается плоскость

Определяется вспомогательная линия 1-2 пересечения двух плоскостей -заданной и вспомогательной. Искомая точка лежит на пересечении за данной прямой к и вспомогательной линии пересечения 1-2.

На рис. 4.6 показано построение на чертеже точки пересечения плоскости общего положения, заданной треугольником , с прямой общего положения . Для решения задачи в этом случае выполняется следующий графический алгоритм (графические действия):

1-е действие. Заключить прямую к во вспомогательную, например горизонтально-проецирующую плоскость , задав ее горизонтальным следом .

2-е действие. Построить проекции вспомогательной линии пересечения заданной плоскости со вспомогательной плоскостью .

3-е действие. Определить проекции искомой точки пересечения заданных элементов:

4-е действие. Определить на проекциях относительную видимость прямой и плоскости по конкурирующим точкам 1-3 и 4-5.

Аналогичными рассуждениями, рассмотрев конкурирующие точки 4 и 5 по стрелке , определяем относительную видимость прямой и плоскости на фронтальной проекции чертежа — прямая находится над плоскостью вверх от точки .

Пересечение двух плоскостей общего положения (3-й случай)

При задании пересекающихся плоскостей на чертеже возможны два варианта:

а) проекции плоскостей в пределах чертежа не накладываются;
б) проекции плоскостей накладываются.

Для каждого варианта есть разные рациональные способы построения линии пересечения.

На рис. 4.7 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения — и , проекции которых на чертеже не накладываются.

Линия пересечения заданных плоскостей построена по точкам и пересечения между собой вспомогательных линий пересечения этих плоскостей произвольными вспомогательными фронтально-проецирующими плоскостями и в соответствии со следующим графическим алгоритмом:

I. Построить точку пересечения заданных плоскостей и вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня у

1-е действие. Пересечь плоскости и вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью уровня и обозначив ее фронтальный след .

2-е действие. Построить проекции и вспомогательных линий пересечения заданных плоскостей и вспомогательной плоскостью .

3-е действие. Определить проекции точки пересечения между собой вспомогательных линий и .

II. Построить точку пересечения заданных плоскостей и вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью , повторив графические действия 1, 2 и 3, и соединить прямой линией построенные точки и . Если при этом плоскость задавать параллельно ранее заданной плоскости , то построения можно упростить и использовать не четыре, а только две точки 5 и 6, так как пересечение параллельными плоскостями будет давать параллельные вспомогательные линии.

На рис. 4.8 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения — и , проекции которых на чертеже накладываются.

Линия пересечения построена по точкам и пересечения прямых и , которыми задана плоскость , с плоскостью , то есть дважды выполнен вышеприведенный графический алгоритм.

I. Построить точку пересечения прямой с плоскостью ;

2-е действие. Построить проекции вспомогательной линии пересечения плоскостей — заданной со вспомогательной .

3-е действие. Определить проекции точки пересечения прямой с плоскостью .

II. Построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью , повторив графические действия 1, 2 и 3 и соединить прямой линией построенные точки и .

4-е действие. Определить видимость плоскостей относительно построенной линии пересечения —, рассмотрев пары конкурирующих точек:

точки 1 и 5 — для определения относительной видимости на фронтальной проекции;
точки б и 7 — для определения относительной видимости на горизонтальной проекции.

Структуризация материала четвертой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 4.9 (лист 1). На последующих листах 2-4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 4.10-4.12).

Прямая называется пересекающей плоскость, если она имеет с ней только одну общую точку. Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и плоскости.

Частные случаи:

Пример 1. Прямая – проецирующая, плоскость – частного положения.

На КЧ необходимо построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью и определить видимость этой прямой относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

Точка К должна одновременно принадлежать и прямой, и плоскости.

1) Горизонтальную проекцию точки пересечения находим из условия принадлежности ее прямой i. Так как все точки, лежащие на горизонтально-проецирующей прямой, совпадают с ее следом: К₁ º i₁.

2) Определение фронтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки К плоскости :

Пример 2. Прямая – общего положения, плоскость – проецирующая.

В данном случае фронтальная проекция точки пересечения лежит на следе плоскости

Построение недостающей горизонтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки прямой:

Общий случай:

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения (первая основная позиционная задача).

В общем случае задача на пересечение прямой с плоскостью решается с помощью вспомогательной секущей плоскости, на которую накладывается ряд условий:

1) она должна быть плоскостью частного положения;

2) должна проходить через заданную прямую

Порядок нахождения точки пересечения прямой с плоскостью:

1) Через прямую l проводится вспомогательная плоскость частного положения .

2) Определяется линия пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью .

3) На пересечении линии пересечения плоскостей с заданной прямой находится точка К, являющаяся искомой точкой.

Для рассмотрения пересечения прямой и плоскости целесообразно начать с рассмотрения случая пересечения двух плоскостей (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α | | π₁, f 0 _α | | Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π₁, (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).

Рис. 3.8. Прямые, параллельные плоскостям, заданным:
а - плоскостью треугольника АВС;
б - двумя пересекающимися прямыми а ∩ b;
в - горизонтальным h 0 _α и фронтальным f 0 _α следами

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π₂ и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).

Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.

В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3. 11).

Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а - горизонтального уровня; б - фронтального уровня

Рис. 3. 10. Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на комплексном чертеже (рис. 3.11).

Для нахождения указанной точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А₂В₂ проведена фронтально проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник по прямой MN. На фронтальной плоскости проекций (π₂) эта прямая представлена проекциями двух точек M₂, N₂. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π₁) находятся горизонтальные проекции полученных точек M₁ N₁. В пересечении горизонтальных проекций прямых А₁В₁ и M₁N₁ образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К₁). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К₂).

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости π₂ рассмотрены две точки N ∈ EF и 1∈ AB. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y_N>Y₁ ), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К₁) закрыта плоскостью DEF на плоскости π₂ (ее проекция К₂1₂ показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π₁. Определение видимости прямой в горизонтальной плоскости проекций можно при выполнении аналогичных операций.

Задача на пересечение прямой с плоскостью - это одна из основных задач, с ее применением сталкиваются при рассмотрении сечения тел плоскостями и пересечения поверхностей.

Нахождение точки встречи прямой с плоскостью, заданной пересекающимися прямыми

Плоскость и пересекающая ее прямая занимают общее положение.

(γ ∩ α) = l - прямая, пересекающаяся с прямой b.

На пересечение прямой с плоскостью составляем алгоритм нахождения их точки встречи :

1) проводим через b` горизонтальный след γ_H - горизонтально-проецирующей плоскости γ;

2) определяем фронтальную проекцию линии пересечения l, вспомогательной секущей плоскости γ с данной плоскостью α, используя для этого точки 1` и 2` (принадлежащие данной прямой), в которых горизонтальный след γ_H пересекает прямые c` и d`;

3) определяем точку K"=l"∩b". Зная K", находим K` на пересечении b` с линией проекционной связи.

Нахождение точки встречи прямой с плоскостью, заданной параллельными прямыми

Задача по нахождению точки встречи прямой с плоскостью заданной следами.

Алгоритм решения не меняется, если плоскость будет задана параллельными прямыми или прямыми, по которым она пересекает плоскости проекций (следы плоскости).

При решении задач на пересечение прямой с плоскостью в качестве вспомогательных плоскостей применяют проецирующие плоскости. Но в случае, например, профильной прямой они бесполезны и тогда надо применить плоскость общего положения.

Найти точку встречи профильной прямой AB с плоскостью α заданной следами

Алгоритм выполнения геометрических построений: 1) Заключаем отрезок AB во вспомогательную секущую плоскость общего положения β; 2) Определяем проекции линии пересечения 1-2, вспомогательной секущей плоскости β с данной плоскостью α; 3) Определяем проекцию K" точки K на пересечении 1"-2" с прямой A"B". Проекция K` точки K может быть найдена: - на пересечении A`B` с 1`-2`; - или как принадлежащая плоскостям α и β.

Найти точку встречи прямой d с плоскостью α(b, c), определить видимость

Алгоритм выполнения геометрических построений: 1) Заключаем прямую d во вспомогательную секущую фронтально проецирующую плоскость δ; 2) Определяем проекции линии пересечения 1-2, вспомогательной секущей плоскости δ с данной плоскостью α; 3) Определяем проекцию K` точки K на пересечении 1`-2` с прямой d`. Проекцию K" точки K находим в пересечении d" с линией проекционной связи.

Данный способ решения задачи - найти точку встречи профильной прямой с плоскостью заданной следами применен в статье: Сечение пирамиды плоскостью

Определение видимости пересечения прямой с плоскостью на плоскостях проекций выполняем, используя Конкурирующие точки 2, 3 и 4, 5.

Читайте также: