Основные теоремы дифференциального исчисления реферат

Обновлено: 30.06.2024

Пусть функция $y=f(x)$ удовлетворяет следующим условиям:

она дифференцируема на интервале $(a;b)$;
достигает наибольшего или наименьшего значения в точке $x_ \in(a ; b)$.

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть $f^<\prime>\left(x_\right)=0$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция $y=f(x)$

непрерывна на отрезке $[a;b]$;
дифференцируема на интервале $(a;b)$;
на концах отрезка $[a;b]$ принимает равные значения $f(a)=f(b)$.

Тогда на интервале $(a;b)$ найдется, по крайней мере, одна точка $x_$ , в которой $f^<\prime>\left(x_\right)=0$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если $f(a)=f(b)=0$, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция $y=f(x)$

непрерывна на отрезке $[a;b]$;
дифференцируема на интервале $(a;b)$.

Тогда на интервале $(a;b)$ найдется по крайней мере одна точка $x_$ , такая, что

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда $f(a)=f(b)$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой $y=f(x)$ между точками $a$ и $b$ найдется точка $M(x_0;f(x_0))$, такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде $AB$ (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

Теорема Коши

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$:

непрерывны на отрезке $[a;b]$;
дифференцируемы на интервале $(a;b)$;
производная $g^<\prime>(x) \neq 0$ на интервале $(a;b)$,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка $x_$ , такая, что

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке.

Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое.

2. Исследование функций

2.1 Достаточные условия экстремума функции

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

2.3 Асимптоты графика функции

2.4 Общая схема построения графика функции

1 . ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1 Локальные экстремумы функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х₀ – внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(х₀ ) окрестность точки х₀ . В точке х₀ функция f(х) имеет локальный максимум , если существует такая окрестность U(х₀ ) точки х₀ , что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) £f(х₀ ).

Аналогично: функция f(х) имеет в точке х₀ локальный минимум , если существует такая окрестность U(х₀ ) точки х₀ , что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) ³f(х₀ ).

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х₁ , х₃ – точки локального минимума, точки х₂ , х₄ – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.

Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х₃ – точка соответственно глобального минимума.

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.

Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение х n + y n = z n не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а р-1 – 1 делится на р).

Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f'(x₀ ), то f'(x₀ ) = 0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, в точке х₀ функция имеет локальный минимум, то есть f(х) ³f(х₀ ), х ÎU(х₀ ). Тогда в силу дифференцируемости

f(х) в точке х₀ получим:

при х 3 , х Î [–1; 1].

В точке х₀ = 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х₀ = 1 Ï (–1; 1).

Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.

Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а 0,х Î (a, b), то f(x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f'(x) 3 , у' = 3х 2 , у'(0) = 0, но

в точке х₀ = 0 нет экстремума.

Точками, подозрительными на экстремум функции f(x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х₀ = 0:

f'(0) = 0 f'(0) $f'(0) = ¥

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x₀ ) точки х₀ (проколотая окрестность означает, что сама точка х₀ выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х₀ . Тогда:

1) если (1)

то в точке х₀ – локальный максимум;

2) если (2)

то в точке х₀ – локальный минимум.

Доказательство.

Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х х₀ функция не возрастает, то есть

(3)

Следовательно, из (3) получаем, что в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:

f'(х) ³ 0 f'(х) £ 0 f'(х) £ 0 f'(х) ³ 0

Теорема доказана.

Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка.

Решение. Найдем стационарные точки функции:

Þ х 2 –1 = 0 Þ х₁ = –1, х₂ = 1.

Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +¥)
у'	+	0	–	–	–	0	+
у		–2		–		2

То есть функция возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке

х₁ = –1, равный у_max (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х₂ = 1,

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х₀ – стационарная точка

(f'(х₀ ) = 0), в которой f''(х₀ ) > 0, то в точке х₀ функция имеет локальный минимум. Если же f''(х₀ ) 0. Тогда

Поэтому по теореме 1 в точке х₀ функция имеет локальный минимум.

Теорема доказана.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию с помощью второй производной.

Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную и стационарные точки х₁ = –1, х₂ = 1.

Найдем вторую производную данной функции:

Найдем значения второй производной в стационарных точках.

Þ в точке х₁ = –1 функция имеет локальный максимум;

Þ в точке х₂ = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).

Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках.

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

Пусть функция f(х) задана на интервале (a, b) и х₁ , х₂ – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х₁ , f(х₁ )) и В (х₂ , f(х₂ )) графика функции f(х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).

Функция f(х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х₁ , х₂ Î (a, b), а £ х₁ 0, х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вниз;

2) f''(х) 0, то по теореме 3 в точке х₀ функция f(х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f''(х₀ ) = 0.

Теорема доказана.

Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f(х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х₀ и при переходе через точку х₀ производная f''(х) меняет знак, то точка х₀ является точкой перегиба функции f(х).

Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х 3 .

Решение. у' = 3х 2 , у'' = 6х = 0 Þ х₀ = 0 – точка, подозрительная на перегиб.

В точке х₀ = 0 функция у = х 3 имеет перегиб:

х	(–¥; 0)	0	(0; +¥)
у''	–	0	+
у	выпукла вверх	0	выпукла вниз
точка перегиба

Пример 5. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции .

Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:

х	(–¥; 0)	0	(0; +¥)
у''	–	–	+
у	выпукла вверх	–	выпукла вниз
функция не определена

2. 3 Асимптоты графика функции

Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f(х), если хотя бы один из пределов f(х₀ – 0) или f(х₀ + 0) равен бесконечности.

Пример 6. Найти вертикальные асимптоты функций:

а) б) в)

Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х₀ , где х₀ – точки, в которых функция не определена.

а) х = 3 – вертикальная асимптота функции . Действительно, ;

б) х = 2, х = –4 – вертикальные асимптоты функции . Действительно,

;

в) х = 0 – вертикальная асимптота функции Действительно, .

Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, если f(х) = kx + b + α(х), , то есть если наклонная асимптота для графика функции f(х) существует, то разность ординат функции f(х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® –¥.

Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

(4)

Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот.

Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции

Решение. Найдем пределы (4):

Следовательно, k = 1.

Следовательно, b = 0.

Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту

у = kx + b = 1 · х + 0 = х.

Ответ: у = х – наклонная асимптота.

Пример 8. Найти асимптоты функции .

а) функция неопределенна в точках х₁ = –1, х₂ = 1. Следовательно, прямые х₁ = –1, х₂ = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.

Действительно, .

;

Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции.

Ответ: х₁ = –1, х₂ = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимп-

2.4 Общая схема построения графика функции

1. Находим область определения функции.

2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность.

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба.

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

7. Строим график.

Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции.

Функция у = f(х) называется четной , если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f(х) = f(–х). График четной функции симметричен относительно оси ординат .

Функция у = f(х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f(–х) = –f(х). График не-четной функции симметричен относительно начала координат .

Пример 9. Построить график .

Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах.

2. Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат.

3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +¥)
у'	+	0	–	–	–	0	+
у		–2		–		2

4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.

х	(–¥; 0)	0	(0; +¥)
у''	–	–	+
у	выпукла вверх	–	выпукла вниз
функция не определена

Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена.

5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:

а) х = 0 – вертикальная асимптота;

б) у = х – наклонная асимптота.

6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как , при любых х Îú, а х = 0 ÏD(у).

7. По полученным данным строим график функции:

Пример 10. Построить график функции .

1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).

2. – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат.

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

3х 2 – х 4 = 0, х 2 · (3 – х 2 ) = 0, х₁ = 0, х₂ = , х₃ = .

Сущность и основные теоремы дифференциального исчисления, их главные отличия. Процесс построения графика. Описание теоремы Вейерштрасса и Лагранжа, их использование. Обобщенная формула конечных приращений. Раскрытие неопределенностей и правила Лопиталя.

Рубрика	Математика
Вид	лекция
Язык	русский
Дата добавления	29.09.2013
Размер файла	41,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 1 (Ферма)

Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, то есть .

Пусть для определенности функция принимает наибольшее значение в точке , т.е. , .

Так как производная в точке существует, то

Касательная к графику параллельна оси .

Если функцию рассматривать на отрезке , то теорема не верна.

Пусть задана функция.

В точке функция принимает наименьшее значение,

в точке - наибольшее значение.

Теорема 2 (Ролля).

Пусть функция определена на отрезке и

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция дифференцируема на интервале ;

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда

(по теореме Вейерштрасса).

Следовательно, поскольку , то либо наибольшее, либо наименьшее значение достигается внутри интервала.

Т.к. функция дифференцируема, то

Касательная параллельна оси внутри интервала .

Теорема 3 (Лагранжа).

Пусть функция определена на отрезке и

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция дифференцируема на интервале .

Формула (23.1) - формула Лагранжа или формула конечных приращений.

- угловой коэффициент секущей .

(касательная параллельна секущей).

Таких точек может быть несколько, по крайней мере, одна всегда существует.

Т.к. , то , то есть

дифференциальный вейерштрасс лопиталь

Формула (23.) описывает приращение функции через произвольное приращение аргумента.

Пусть функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале . Тогда

(23.2) - формула Коши или обобщенная формула конечных приращений.

Замечание 5. Формула (23.2) верна и для .

Замечание 6.Если положить , то получим формулу Лагранжа (частный случай формулы Коши).

2. Раскрытие неопределенностей

а) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 5 (первое правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Пусть в окрестности точки .

Тогда, если существует (конечный или бесконечный), то и существует, причем справедлива формула:

Пусть - произвольная последовательность и . Доопределим функции и в точке , . Тогда и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и по условию .

По теореме Коши на интервале

Рассмотрим предел при . Тогда . Т.к. существует предел справа, то и существует предел слева и:

Т.к. - произвольная последовательность, то

Замечание 7. Правило Лопиталя - это правило сравнения скоростей.

При необходимости правило Лопиталя применяется несколько раз.

Замечание 9. Теорема остается верной при .

б) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 6 (второе правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .

Пусть в окрестности точки и существует предел (конечный или бесконечный), тогда существует предел

Доказательство аналогично доказательству теоремы 23.5 (доказать самостоятельно).

При вычислении предела правило Лопиталя применить нельзя, поскольку предел не существует.

в) Раскрытие неопределенностей других видов

Часто встречаются неопределенности следующих видов:

Все они сводятся к изученным выше двум неопределенностям путем алгебраических преобразований.

Рассмотрим некоторые из них.

1) , где т.е. имеем .

Можно записать: т.е. рассматривать предел:

2) , то есть имеем .

3) , где , то есть имеем .

Подобные документы

Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.

курсовая работа [261,6 K], добавлен 05.09.2009

Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.

реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010

Теорема Ролля и ее доказательство, структура и геометрический смысл. Сущность теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу, использование в ней результатов теоремы Ролля. Отражение и обобщение работы Лагранжа в теореме Коши, методика ее доказательства.

реферат [208,2 K], добавлен 15.08.2009

Теорема Ферма: содержание, доказательство, геометрический смысл. Теорема Ролля: производная функции, отсутствие непрерывности Отсутствует и дифференцируемости. Доказательство теоремы Лагранжа, общий вид, геометрический смысл, содержание следствия.

презентация [199,4 K], добавлен 21.09.2013

Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.

|Введение…………………………………………………………………. 3 | |
|Основные теоремы дифференциального исчисления……………………..5 | |
|Теорема Ролля…………………………………………………………. 5| |
|Теорема Лагранжа……………………………………………………. 8 | |
|Теорема Коши…………………………………………………………. 11 | |
|Применение теоремдифференциального исчисления в решении задач………………………………………………………………………….14 | |
|Применение теоремы Ролля…………………………………………. 14 | |
|Применение теоремы Лагранжа……………………………………. 17| |
|Применение теоремы Коши…………………………………………….21 | |
|Заключение……………………………………………………………. 24 | |
|Список использованных источников…………………………………..…..25| |
| | |
| | | |
| || |
| | |

Исторически понятия производной возникло из практики. Скорость неравномерногодвижения, плотность неоднородной материальной линии, а та же тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие получило обобщаемый, абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании итехнике. В дифференциальном исчислении устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами дифференциального исчисления. К их числу относятся теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши.
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши занимают центральное место в курсе дифференциального исчисления, поскольку именно из них выводятся основныеутверждения, применяемые при исследовании функций и построении их графиков: критерий постоянства функции, достаточное условие монотонности, достаточное условие экстремума.
Данные теоремы справедливы для функций, которые удовлетворяют ряду условий: функции определены на замкнутом отрезке, непрерывны на нем и дифференцируемы внутри него. Очевидно, что эти условия полностью совпадают со свойствамизаконов движения тел. С одной стороны, введение этих условий вызвано потребностями логики, поскольку каждое из них используется при доказательстве теорем, а невыполнение любого из них приводит к тому, что теоремы перестают быть справедливыми. С другой стороны, обнаруживается, что эти чисто логические ограничения на функции оказались детерминированы свойствами окружающего нас.

Читайте также: