Основные способы представления математических зависимостей между данными реферат
Обновлено: 02.07.2024
Представление зависимостей между величинами
Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других.
Примеры зависимостей:
1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;
2) давление зависит от температуры газа в баллоне;
3) частота заболевания жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха.
Рассмотрим различные методы представления зависимостей.
Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта (процесса, явления). Такие характеристики называются величинами.
С понятием величины вы уже встречались в базовом курсе информатики. Напомним, что со всякой величиной связны три основные свойства: имя, значение, тип.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы — число Пифагора n =З,14159. Величина, меняющая свое значение, называется переменной.
Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота (Н) и время падения (t).
Третьим свойством величины является ее тип. С понятием типа величине вы также встречались в базах данных. Тип определяет мужество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Поскольку в данном разделе мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.
А теперь вернемся к приведенным в начале параграфа примерам 1-3 и обозначим (поименуем) все переменные величины, зависимости между которыми нас будут интересовать. Кроме имен укажем размерности величин.
Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин:
1) t (сек) — время падения; Н (ж) — высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха. Ускорение свободного падения g (м/сек 2 ) — константа.
2) Р (кг/м 2 ) — давление газа; t°С — температура газа. Давление при нуле градусов Р0 считается константой для данного газа.
3) Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей (каких именно, будет сказано позже) — С(мг/куб. м).
Единица измерения — масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящимся на 1000 жителей данного города — Р (бол./тыс).
Если зависимое между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.
Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:
Это примеры зависимостей, представленных в функции пильной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню от высоты), вторую — линейной (давление прямо пропорционально температуре).
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В этом случае для извлечения функциональной зависимости величин нужно уметь решать эти уравнения. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств.
Рассмотрим примеры двух других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического.
Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организовали следующим образом; бросаем стальной шарик с балкона 2-го этажа, 3-го этажа (и так далее) десятиэтажного дома, замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента мы составили таблицу и нарисовали график.
'
Рис. 2.11. Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты
Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную выше формулу зависимости высоты от времени, то она превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. (Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то данная модель будет меньше соответствовать формуле, а если надувной шарик, то совсем не будет соответствовать — как вы думаете, почему?)
В этом примере мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Почему? Потому что формула универсальна. Она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 2.11.
Кроме того, таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов .
Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давления от температуры. Оба примера связаны с известными физическими законами — законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежит в основе современной техники.
Коротко о главном
Величина — некоторая количественная характеристика объекта.
Зависимости между величинами могут быть представлены в виде математической модели, в табличной и графической формах.
Зависимость, представленная в виде формулы, является математической моделью.
Вопросы и задания
1. а) Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?
б) Что такое математическая модель?
в) Может ли математическая модель включать в себя только константы?
2. Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками некоторой системы.
3. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.
Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Информатика и ИКТ, 11
Отослано читателями из интернет-сайтов
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
Связь между двумя переменными может быть интерпретирована в логических категориях, и тогда исследователь доказывает зависимость, не обращаясь к данным. Назовем такой тип связи инференциеи (inferre, лат — заключать, делать вывод). Инференция осуществима в том случае, если изменения в переменной А с логической необходимостью влекут изменения в переменной В. Такого рода выводы равнозначны аналитическим суждениям и представляют собой тавтологии. Так, вряд ли нужно обследовать множество прямоугольных треугольников, чтобы установить однозначную связь между суммой квадратов катетов и квадратом гипотенузы. Теорема Пифагора не нуждается в эмпирическом подтверждении. В социологии подобные логически необходимые — инференциальные — зависимости воспринимаются как трюизмы, например о зависимости коэффициента рождаемости от численности женщин в фертильном возрасте.
Более продуктивны статистически значимые связи, не поддающиеся однозначному объяснению. В данном случае связь между переменными имеет характер контингенции (contingere, лат. — касаться, иметь отношение). Контингенция основана на статистической взаимосвязи признаков, она требует интерпретации в концептуальных терминах и логического объяснения. Р. Мертон называет такого рода связи эмпирическими генерализациями и отличает их от генерализаций теоретических. Первые не включены в структуру теории и представляют собой лишь материал для теоретического анализа. Теоретические генерализации, именуемые также законами, выводятся из исходных допущений и могут быть непосредственно не связаны с единичными наблюдениями. Например, эмпирические наблюдения показывают, что среди католиков число самоубийств ниже, чем среди протестантов. Эта эмпирическая генерализация получает теоретическое обоснование, если выводится из совокупности других постулатов социологической теории: 1) социальная связь обеспечивает психологическую поддержку членам группы, подверженным стрессам и ощущению беспокойства; 2) самоубийства являются функцией не нашедших выхода чувств беспокойства и стресса, испытываемых личностью; 3) у католиков социальные связи более тесные, чем у протестантов; 4) следовательно, предполагается более низкий уровень самоубийств среди католиков, чем среди протестантов1.
1 Merton R. On theoretical sociology. New York: The Free Press, 1967. P. 150, 151.
С помощью урока учащиеся узнают, что такое величина и какие существуют формы представления зависимостей, что такое математическая модель и какие модели называются табличными и графическими.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Моделирование зависимостей между величинами"
Мы выяснили, что модель — это объект-заменитель, который в определённых условиях может заменять объект-оригинал. Модель воспроизводит интересующие нас свойства и характеристики оригинала.
Информатика занимается общими методами и средствами создания и использования информационных моделей.
К основным этапам компьютерного моделирования относятся:
Первый этап – Постановка задачи: описание объекта и определение цели моделирования.
Второй этап – Разработка плана создания модели. Выделение свойств объекта, существенных для данной задачи, и отбрасывание второстепенных. Выбор формы представления модели и необходимого инструментария.
Третий этап – Создание модели: формализация, т. е. переход к математической модели; создание алгоритма и написание программы.
Четвёртый этап – Анализ модели на соответствие объекту-оригиналу.
Как мы уже выяснили процесс создания, и использования моделей для решения практических задач называют моделированием.
Моделирование широко используется в науке и технике, экономике и образовании. Без моделирования немыслимо создание машин и механизмов, строительство зданий и мостов, создание новых материалов, лекарств, торговых сетей.
Использование моделей позволяет упростить и удешевить исследование объектов и явлений реального мира. Основное назначение информационных моделей — это описание свойств объектов, установление закономерностей, проектирование новых объектов, прогнозирование протекающих процессов и эффективное управление ими.
Мы с вами будем изучать компьютерное математическое моделирование.
Формальные информационные модели содержат математические и химические формулы, алгоритмы, представленные на языках программирования, и т. д. Например, формулы математики описывают соотношения между количественными характеристиками объекта моделирования.
Применение математического моделирования постоянно требует учёта зависимостей одних величин от других.
Сегодня на уроке мы узнаем:
· Что такое величина, и какие существуют формы представления зависимостей.
· Что такое математическая модель.
· Какие модели называются табличными и графическими.
С зависимостями между величинами вы встречаетесь постоянно на уроках физики и математики. Зависимость может быть прямой и обратной.
Давайте рассмотрим примеры зависимостей:
· Пройденный пешеходом путь, за определённый промежуток времени зависит от его скорости;
· Сила тока на участке цепи зависит от напряжения;
· Уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.
Рассмотрим способы представления зависимостей.
Как вы помните моделирование, да и любое другое исследование начинают с выделения основных количественных характеристик исследуемого объекта, то есть величин.
Понятие величина включает три свойства: имя, значение, тип.
Рассмотрим каждое свойство более подробно.
Имена в языках программирования принято называть идентификаторами. Есть идентификаторы переменных, констант, типов, функций и т.д.
В физике, химии и других науках, которые используют математический аппарат, применяются символические имена для обозначения величин. В основном используют стандартные имена. Например, давление обозначают буквой Р, температуру буквой t.
Следующее свойство величины – это её значение. По значению величины делятся на две группы. К первой группе относятся величины, значения которых не изменяется. Такие величины называются постоянными или константами. Ко второй группе относятся величины, значения которых меняются. Такие величины называются переменными.
Например, константой является скорость света, которая равна 3 умноженное на десять в пятой степени километров в секунду.
Если рассматривать переменные величины, то, например, при равномерном прямолинейном движении тела переменными являются время и путь, а вот скорость будет постоянной.
Третье свойство величины – это её тип. С данным понятием вы также знакомы. Вы встречались с ним при изучении программирования, баз данных, табличных процессоров.
Тип величины определяет диапазон допустимых значений, принимаемых величинами. К основным типам величин относятся: числовой, символьный, логический.
Так как при изучении моделирования нас интересуют только количественные характеристики, то рассматривать мы будем только величины числового типа.
Вернёмся к примерам зависимостей, которые мы рассматривали в начале урока. Обозначим все эти величины и укажем их размерности, то есть укажем единицы, в которых данные величины измеряются.
Итак, первый пример. Пройденный пешеходом путь, за определённый промежуток времени зависит от его скорости;
Здесь путь обозначается буквой S и измеряется в метрах, скорость обозначается буквой вэ и измеряется в метрах в секунду, время движения обозначается буквой t и измеряется в секундах.
В следующем примере мы рассматривали зависимость силы тока, которая обозначается буквой I и измеряется в Амперах, от напряжения, обозначается буквой U и измеряется в Вольтах. Сопротивление обозначается буквой R и измеряется в Омах.
Далее, загрязнённость воздуха будем характеризовать концентрацией различных примесей. Обозначим буквой C, измеряется в миллиграммах на метр кубический. Здесь единица измерения — это масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на тысячу жителей данного города. Обозначим буквой P, измеряется в больной на тысячу.
Также важно отметить различия зависимостей в приведённых примерах.
В первом и втором примерах зависимость между величинами является полностью определённой: значение пути точно зависит от скорости, а сила тока точно зависит от напряжения. В третьем примере зависимость между загрязнённостью воздуха и уровнем заболеваемости более сложная. Так как на уровень заболеваемости влияют и многие другие факторы.
То есть на математическом языке в первом и втором примере зависимости являются функциональными, а в третьем нет.
Как вы помните из прошлого урока модели могут быть материальные и информационные.
В ходе материального моделирования изготавливается макетный или опытный образец технического объекта, и проводятся его испытания по определению выходных параметров, характеристик и степени надёжности. Основной недостаток такого метода – большие временные и материальные затрат.
К информационному относится математическое моделирование. Если зависимость между величинами удаётся представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.
Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих основные закономерности изучаемого объекта, процесса или явления.
Запишем математические модели для наших зависимостей.
В первом случае путь равен скорость умножить на время. Такая зависимость называется линейной.
Во втором случае сила тока равна напряжение разделить на сопротивление. Здесь сила тока прямо пропорционально зависит от напряжения и зависимость называется линейной. Также сила тока обратно пропорционально зависит от сопротивления и зависимость называется обратной пропорциональностью.
Более сложные математические модели представляются в виде уравнений, неравенств или их систем.
Мы выяснили что, зависимости между величинами можно представлять в математической форме. Ещё зависимости можно представлять в табличной и графической форме.
Предположим мы решили проверить зависимость пути от времени при равномерном движении. Пусть скорость пешехода равна одна целая пять десятых метров в секунду. Будем увеличивать каждый раз длину пути на три метра, и измерять время, за которое пешеход будет проходить данный путь.
Результаты измерений занесём в таблицу и нарисуем график.
Если мы возьмём из таблицы пару значений c и t и подставим в формулу пути, то формула превратится в равенство. Значит, можно сделать вывод, что модель работает правильно.
В этом примере мы рассмотрели три способа моделирования зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический.
Однако математической моделью равномерного движения тела можно назвать только формулу. Формула более универсальна, она позволяет определить время движения тела на любом участке пути, а не только для экспериментального набора значений пути.
Имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график, а вот наоборот по таблице или графику вывести формулу — весьма проблематично.
Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость силы тока от напряжения. Оба примера связаны с известными физическими законами. Знания физических законов позволяют производить точные расчёты, они лежат в основе современной техники.
Информационные модели, описывающие объекты, явления, процессы в определённый момент времени, без учёта их изменений в пространстве и времени, называются статическими.
Такими моделями являются, например, структура кристаллов, классификация растений или животных.
Динамические модели учитывают изменения параметров процессов и явлений с течением времени.
В первом примере приведена именно такая модель.
В физике динамические информационные модели описывают движение тел, в биологии — развитие организмов или популяций животных, в химии — протекание химических реакций и т. д.
Завершая наш урок, давайте повторим всё, что мы сегодня изучили:
Количественной характеристикой исследуемого объекта является величина. Понятие величина включает три свойства: имя, значение, тип.
Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих основные закономерности изучаемого объекта, процесса или явления.
Отображать зависимости между величинами можно: математически с помощью формулы, таблично и графически.
Динамические модели учитывают изменения параметров процессов и явлений с течением времени.
На основаниии учебника И.Г.Семакина "Информатика и ИКТ" и различных интернет источников сделана компиляция материала на тему "Моделирование зависимостей между величинами". В конце презентации находтся примерный план урока с предполагаемыми ответами учеников. В ход урока легко вписывается любой тест по работе с электронными таблицами. Что, в общем, не является необходимым, а определяется исходя из уровня подготовки учащихся.
Моделирование зависимостей
между величинами
Дальше в лес - больше дров.
Тише едешь - дальше будешь.
Подальше положишь - поближе возьмешь.
Назвался груздем – полезай
Как аукнется - так и откликнется.
Основные свойства величин:
Основные свойства величин
По способу представления
Информационные модели
Ч и с л о в о й т и п
Математические Табличные Графические
Время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты
t(с) – время падения; H (м) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2 ) будем считать константой
Давление газа в баллоне зависит от его температуры
P (н/м 2 ) – давление газа; t (°С) – температура газа. Давление при нуле градусов P 0 будем считать константой для данного газа.
Уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе
Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей – С (мг/м 3 ). Единица измерения – масса примесей, содержащаяся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей
Моделирование уровня заболеваемости жителей города бронхиальной астмой, относится к области статистического прогнозирования, и мы рассмотрим его на следующем уроке.
Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики
Табличные и графические модели
Проверим закон свободного падения тела экспериментальным путем.
Будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время его падения.
Читайте также: