Ньютон и лейбниц реферат
Обновлено: 05.07.2024
Введение
Классическая наука Нового времени начинает свое развитие в ХVII в. В это время происходит окончательное становление науки как самостоятельной и независимой от теологии формы духовной жизни человечества.
Исаак Ньютон – английский математик и естествоиспытатель, механик, астроном и физик, основатель классической физики. Он сформулировал основные законы классической механики, дал математическую формулировку закона всемирного тяготения, с научной точки зрения объяснил многие опытные данные (например, морские приливы). Он создал науку, основные идеи которой господствовали более 200 лет – до начала ХХ в. [1]
Исаак Ньютон завершил процесс становления классического естествознания, четко сформулировав механические законы всех процессов движения и взаимодействия макроскопических тел и создав для их описания математический язык бесконечно малых. В этом было отступление от атомистических воззрений, но это привело к значительному продвижению в описании и понимании природы. Несмотря на то, что в настоящее время его подход кажется естественным и очевидным на фоне абстрактных представлений современной физики, и с него начинают знакомство с этой наукой в школе, в то время понадобилось почти семьдесят лет, чтобы этот подход окончательно утвердился в умах ученых. Дав свое определение понятиям скорости, ускорения, силы, массы, Ньютон сформулировал законы динамики в виде связей между этими величинами. [2]
Велик вклад Ньютона и в математику, и в оптику, однако, фундаментом классического естествознания стала созданная им механика, которая не только навела порядок в огромном эмпирическом материале, накопленном многими поколениями ученых, но и дала в руки людей мощный инструмент однозначного предсказания будущего в широкой области объектов и явлений природы. Причины перемещения тел в пространстве, закономерности этих перемещений, способы их адекватного описания всегда были в центре внимания человека, так как непосредственно касались наиболее близкой религиозному сознанию области естествознания, а именно – движения небесных тел.
Поиск закономерностей этих движений был для человека не столько связан с удовлетворением научной любознательности, сколько преследовал глубокую религиозно-философскую цель: познать смысл бытия. Поэтому такое значение во все времена уделялось астрономическим наблюдениям, тщательной фиксации мельчайших подробностей в поведении небесных тел, интерпретации повторяющихся событий. [3]
Роль Ньютона в становлении классической науки является ключевой. Идеи Ньютона распространились на разные сферы науки. Можно говорить об их влиянии на геологические представления того времени. Важнейшим фактором такого широкого резонанса явилась сквозная для творчества Ньютона тема единства мира. Также необходимо подчеркнуть, что теологическом измерении творчества Ньютона тема единства мира была тесно связана с идеей всемогущего Творца. Могущество Бога было для Ньютона первичным и куда более важным аспектом, нежели христианское сострадание и любовь, поэтому для него столь важную роль играла и тема пророчеств, — он предложил и свой вариант даты конца света. Для Ньютона соответствие пророчеств фактам доказывало всемогущество Бога. Власть Бога распространялась на человеческую историю в той же мере, в какой она охватывала и мир Природы; именно эта власть обеспечивала единство мира. Необходимо отметить также роль Ньютона, как Алхимика. В алхимической идее о способности одних элементов превращаться в другие ему были особенно важны темы единства материи и практического освоения природы. Возможности человека в познании вещества, иерархии частиц и сил ограничены только возможностями экспериментальной техники.
Основная часть
Процесс становления классической науки в контексте влияния Ньютона на эти процессы.
Процессы становления классической науки тесно связаны с появлением науки в собственном значении этого слова. Первоначально наука возникает в форме экспериментально-математического естествознания. Период XVIII – XIX вв. считается периодом так называемой классической науки, и характеризуется в первую очередь мощным развитием физики, а также астрономии, химии и биологии. Наука классического периода носит объективный характер в исследованиях, как единственно верный способ познания мира, т.е. исследования объекта (предмета) самого по себе.
Но и до XVI века были выдающиеся учёные-философы, оказавшие сильное влияние на развитие и становление классической науки. Можно даже считать, что истинный фундамент классической науки был заложен в Древней Греции, начиная примерно с VI в. до н. э., когда на смену мифологическому мышлению пришло рационалистическое. Эмпирия дополняется научной методологией: устанавливаются правила логических рассуждений, вводится понятие гипотезы , появляется целый ряд гениальных прозрений, как например теория атомизма. В Западной Европе XVI-XVII вв постепенное становление классической науки совпадает со временем перехода от феодализма к капитализму. Начавшееся бурное развитие производительных сил (промышленности, горное и военное дело, транспорт и т.п.) потребовало решения целого ряда технических задач, что в свою очередь вызвало интенсивное формирование и развитие частных наук, среди которых наиболее значительной была механика. Укрепилась идея о возможности изменения природы и приспособления её под нужды человека на основе познания её закономерностей, все больше осознается практическая ценность научного знания.
Становление классической науки часто называется термином редукционизм. Этот термин означает методологический принцип, согласно которому сложные явления могут быть полностью объяснены с помощью законов, свойственных более простым явлениям (например, социологические явления объясняются биологическими или экономическими законами). Полученное таким образом знание становится эмпирически выверенным материалом для философии при исследовании стандартов научности и структуры самой классической науки. Классическая наука определяется совокупностью критериев:
- научность нацелена на конкретный объект, то есть считается объективной; - наука достоверна;
- отдаётся большой приоритет эмпирическому методу познания, то есть для получения научного знания основными методами стали: эксперимент, наблюдение, измерение;
В период становления классической науки, учёными-философами были сделаны открытия в таких областях как: медицина, биология, астрономия, физика, математика и т.д. Биология и зоология рассматривались как части натурфилософии (философии природы). Вкупе с остальными открытиями, сформировалась теория философии науки в целом. Особенно выделились следующие научно-философские воззрения:
в) экспериментальный метод и его господство (мысленный эксперимент); г) поиск законов природы. Развитие науки внесло свой вклад в разработку методологии.
Методология — это учение о методах и процедурах научной деятельности, а также раздел общей теории познания (гносеологии), в особенности теории научного познания (эпистемологии) и философии науки.
Характерными чертами методологии классической науки стали:
- финализм – стремление к достижению абсолютно истиной системы знания. - имперсональность – рассмотрение знания как объективно сущего, элиминация субъекта как носителя ценностей.
- наивный реализм – признание зеркального соответствия знаний действительности. - динамизм – установка на понимание окружающего мира как жестко детерминированного, где нет места случайности. Случайность рассматривалась как отражение меры незнания.
- сумматизм – ориентация на сведение сложного к простому. Целое рассматривается как сумма частей.
- механицизм – преувеличение возможностей механики как способа миропонимания. Мир и человек рассматривались как машины, механизмы.
- каузальность – всё в мире связано естественными причинами. - соединение эмпирической и практической деятельности. Эволюция этого процесса шла 14 веков.
Таким образом, наиболее выделились следующие типы классической научности:
а) биологический тип научности (характеризуется эволюционными изменениями);
б) математический тип научности (характеризуется ориентиром на стандарт математики); в) гуманитарный тип научности (появился при реконструкции имеющихся знаний, позволяя одновременно мыслить и познавать).
Этап механистического естествознания можно разделить на 2 ступени – доньютоновскую и ньютоновскую. Первая связана с революционного новыми учениями Коперника, Браге, Бруно XVII в. о существовании солнечной системы и наличия бесчисленных множеств других миров.
Так, Н.Коперник сформулировал теорию гелиоцентрической Вселенной, а Д. Бруно - идею о единой, бесконечной и неподвижной Вселенной.
Вторая ступень познания связана с именами Галилея, Кеплера и Ньютона XVIII в. Основные идеи их теорий заключалась в изучении проблем движения объектов.
Впервые проблематика движения появилась в работах Г. Галилея. Р. Декарт определил природу как протяженную субстанцию и был сторонником картезианской теории движения. П.Гассенди и Х. Гюйгенссоздали атомистическую теорию движения. Важное значение на данном этапе развития науки имели также работы родоначальника эмпиризма Ф. Бэкона (наука как средство господства человека над природой, идеал науки есть техника, необходимость создания истории науки и техники, а также учета социальной значимости науки), Р.Бойля (эксперимент), Р.И. Бошковича (атомы как центры сил) и др.
Эта теория оказала сильное влияние на развитие других наук на долгие годы, давала естественнонаучное, а не мифологическое и религиозное понимание многих явлений природы. В то время такой подход можно было считать научной революцией. Однако были и проблемы, и в частности, в одностороннем подходе, заключавшемся в принятии законов механики как единственных законов природы. По мере развития науки проблемы точного естествознания стали выходить за пределы законов и методов механики. Требовались другие, немеханические, более широкие знания. Постепенно эта теория стала терять свой универсальный характер и к середине XIX в. перестала быть общенаучной.
Этап зарождения и формирования эволюционных идей (30-е гг. XIX в. - к. XIX -н. XX в.)
С конца XVIII в. в естественных науках накапливались факты и богатый эмпирический материал, которые не могли соотноситься с механической картиной мира и не объяснялись ею. Процесс изменений генерировался с основном со стороны физики, геологии и биологии.
Физика. В период XVIII - н. XIX вв. на развитии физики существенное влияние оказало, прежде всего, учение Ньютона, окончательно победившее картезианскую теорию. Особенно быстрыми темпами развивалась механика, труды Л. Эйлера, Ж. Д’Аламбера, Ж. Лагранжа, П. Лапласа заложили основу аналитической механики, развитию мат.анализа, теории дифференцирования, теории рядов, вариационному исчислению, теории вероятности, начертательной геометрии. На развитие физики важное влияние оказывал технический процесс, развитие производственных сил определило потребность в разработке физики твердых тел, исследовании законов теплоты, электричества и магнетизма. Развивается и оптика (работы Д. Брадлея). Все эти разделы оформляются в самостоятельные отрасли физики , сначала очень обособленные, и вопроса об исследовании законов превращений различных физических форм движения не возникало. Физика еще не стремилась к построению единой научной картины мира, а была нацелена на выявление и количественные исследования отдельных явлений, фактов, частных закономерностей. В первой половине XIX в. бурный рост производства, промышленные революции и перевороты, необходимость развития крупной машинной индустрии, металлургии, горнодобычи, металлообрабатывающих отраслей и т.п. определяют потребность в развитии естествознания как элемента промышленного и сельскохозяйственного производства. Это привело к быстрым темпам развития физической науки, и становления прикладных, технических отраслей. Появились новые отрасли - теплотехника, электротехника (в т.ч. гальванопластика), фотография. Ускоренными темпами стала развиваться оптика. Следует отметить такие важнейшие научные открытия, как волновая теория света (Юнг, Френель), полевая концепция (Фарадей), закон сохранения и превращения энергии (Майер, Гельмгольц, Джоуль), новая концепция пространства и времени (неевклидова геометрия Лобачевского).
Вторая половина XIX - н. XX вв. характеризуются высокими темпами развития всех сложившихся и новых отраслей физики, особенно теории теплоты и электродинамики. Теория теплоты разрабатывалась в направлениях совершенствования термодинамики и развития кинетической теории газов. В области электродинамики важнейшим стало создание теории электромагнитного поля. Особенность физики этого периода - противоречия нового содержания науки и старых методологических установок. Развитие физики еще более тесно связано с промышленным производством, технический прогресс стал невозможен без предварительных научных исследований, открытий. Данный период был отмечен целым рядом принципиальных научных открытий: рентгеновские лучи (В. Рентген, Томсон, Резерфорд), электрон, радиоактивность (А. Беккерель, Э. Резерфорд, П. и М. Кюри), фотоэффект (Столетов), периодическая система химических элементов (Менделеев). Были сформулированы принципы термодинамики, и в связи с изучением необратимых систем произошел переход к статистической физике (Карно, Клазиус, Томсон). В работах Маха, Клиффорда дальнейшее развитие получили теории пространства и времени. Была создана теория электромагнитного поля (Максвелл, Герц).
Астрономия. К важнейшим астрономическим открытиям XVIII - XIX вв. относятся: создание внегалактической астрономии (Гершнель, Ламберт, Сведенборг), формирование идеи развития природы, космологическая теория Канта-Лапласа. К. XIX встал своеобразным триумфом ньютоновской астрономии. В этот же период, благодаря открытию фотографии и спектрального анализа, эффекта Доплера, статистической термодинамики, происходит формирование астрофизики, призванной решить ключевую проблему строения звезд и источников их энергии. Здесь следует назвать имена Р.Майера, Г. Кирхгофа, Р. Бунзена, а также Кельвина и Гермгольца.
Химия. Период XVIII - XIX вв. характеризуется переходом от алхимии к научной химии. Следует отметить труды Гассенди, Бойля (теория атомизма), Лавуазье (химия как общая теория), Дальтона (атомно-молекулярное учение).
Биология. В XVIII - XIX вв. в рамках биологии появляются первые идеи эволюции (Бюффон, Линней). Принципы эволюции впервые были сформулированы Ламарком. Наиболее полным и комплексным стало учение Ч. Дарвина, окончательно утвердившееся в к. XIX в. Тогда же произошло становление учения о наследственности (генетика), были сформулированы законы наследования (Мендель). [6]
Заключение
Таким образом, роль Ньютона неразрывно связана с его приоритетом в систематическом применении математических методов к исследованию природы, а также в открытии закона тяготения. Ньютон упрочил основания динамики как надежной опоры механической картины мира, приложив ее законы к небесным явлениям. Достижения Ньютона в применении бесконечных рядов и в дифференциальном и интегральном исчислениях намного превосходят все, что было сделано до него, и поэтому Ньютона считают основоположником этих методов анализа.
Что касается влияния на развитие физической науки, то его трудно преуменьшить. Только к 20 в. основные положения, на которые опирался Ньютон, потребовали коренного пересмотра. Ревизия привела к созданию теории относительности и квантовой теории. Ньютону принадлежат также многочисленные сочинения по теологии, хронологии, алхимии и химии.
Идеи И. Ньютона оказали положительное влияние на естественные науки. Благодаря этим идеям бурно развивались физика, химия и биология.
Исаака Ньютона можно называть основоположником и классическоймеханики и всей классической науки в целом. Его вклад в развитие научного познания мира трудно переоценить. Без него наука развивалась бы иначе.
И. Ньютон создал науку, основные идеи которой господствовали более 200 лет – до начала ХХ в. На основе осмысления законов механики была сформирована механическая научная картина мира, которая вошла в историю как ньютоновская картина мира.
В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на континенте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и тем же результатам – к созданию дифференциального и интегрального исчисления.
Прикрепленные файлы: 1 файл
призентация по математике.ppt
Ньютон и Лейбниц – создатели математического анализа
Исаак Ньютон (1643 – 1727)
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)
Производная и интеграл
- В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфри д Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники – Лоп италь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на контин енте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном , состояла из английских и шотла ндских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и те м же результатам – к созданию дифференциального и интегральн ого исчисления.
- Ряд задач дифференциального ис числения был решен еще в древн ости. Такие задачи можно найти у Евк лида и у Архимеда, однако основное понятие – поня тие производной функции – возн икло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих дву х: определение скорости прямолине йного неравномерного движения и построения касательной к про извольной плоской кривой.
- Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно и неравномерно движущейся точки впервые решил Ньютон
Он пришел к формуле
был издан в 1686 году в количестве 300 экземпляров.
Распродан за 4 года, что тогда считалось очень быстро.
Был летний день. Исаак Ньютон любил размышлять, сидя в саду, на открытом воздухе. Предание сообщает, что размышления Ньютона были прерваны падением налившегося яблока.
Так был сформулирован закон всемирного тяготения
Первые научные опыты Ньютона связаны с исследованиями света. В результате многолетней работы Исаак Ньютон установил, что белый солнечный луч представляет собой смесь многих цветов.
Ньютон построил первый зеркальный телескоп.
- Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слага емые целой неотрицательной сте пени суммы двух переменных, имеющая вид
- Долгое время считалось, что для натуральных показателе й степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффицие нты, изобрёл Блез Паскаль. Однако историки науки обнаружи ли, что формула была известна ещё в Древнем Китае в XIII веке, а также исламским математикам в XV веке.
- Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произ вольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Нь ютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечны х рядов.
Бином Ньютона в литературе
- По мере развития анализа выясн илось, что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначен ия многократного дифференциров ания, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых и дей, что Ньютон делал крайне неохот но.
Работы Лейбница по математике многочисленны и разнообразны.
1672 года Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, гораздо лучше паскалевской — он умел выполнять умножение, деление и извлечение корней. Предложенные им ступенчатый валик и подвижная каретка легли в основу всех последующих арифмометров.
Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.
Первые оптические эксперименты, одного из создателей классической физики, Исаака Ньютона. Открытие им закона всемирного тяготения. Математические работы. Совместные наработки и спор с Лейбницем. Математические начала натуральной философии Ньютона.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.05.2013 |
| Размер файла | 26,6 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
по дисциплине: Высшая математика
на тему: Рождение математического анализа в трудах Ньютона и Лейбница
Исаак Ньютон, сын мелкого, но зажиточного фермера, родился в деревне Вулсторп (графство Линкольншир), в канун гражданской войны. Отец Ньютона не дожил до рождения сына. Мальчик родился преждевременно, был болезненным, поэтому его долго не решались крестить. И всё же он выжил, был крещён, и назван Исааком в честь покойного отца. Факт рождения под Рождество Ньютон считал особым знаком судьбы. Несмотря на слабое здоровье в младенчестве, он прожил 84 года.
В 23 года Ньютон уже свободно владел базовыми методами дифференциального и интегрального исчислений, включая разложение функций в ряды и то, что впоследствии было названо формулой Ньютона-Лейбница. Проведя ряд остроумных оптических экспериментов, он доказал, что белый цвет есть смесь цветов спектра. Позже Ньютон вспоминал об этих годах: "В начале 1665 года я нашёл метод приближённых рядов и правило превращения любой степени двучлена в такой ряд в ноябре получил прямой метод флюксий; в январе следующего года я получил теорию цветов, а в мае приступил к обратному методу флюксий. В это время я переживал лучшую пору своей юности и больше интересовался математикой и философией, чем когда бы то ни было впоследствии".
1. Начало открытий
2. Первые математические работы
Математическими открытиями Ньютона заинтересовался Лейбниц, известный на тот момент как философ и изобретатель. Получив труд Ньютона 1669 года по бесконечным рядам и глубоко его изучив, он далее самостоятельно начинает развивать свою версию анализа. В 1676 году Ньютон и Лейбниц обменялись письмами, в которых Ньютон разъяснил ряд своих методов, ответил на вопросы Лейбница и намекнул на существование ещё более общих методов, пока не опубликованных (имелось в виду общее дифференциальное и интегральное исчисление). Секретарь Королевского общества Генри Ольденбург настойчиво просил Ньютона во славу Англии опубликовать свои математические открытия по анализу, но Ньютон ответил, что уже пять лет как занимается другой темой и не хочет отвлекаться. На очередное письмо Лейбница Ньютон не ответил. Первая краткая публикация по ньютоновскому варианту анализа появилась только в 1693 году, когда вариант Лейбница уже широко распространился по Европе.
Конец 1670-х годов был печален для Ньютона. В мае 1677 года неожиданно умер 47-летний Барроу. Зимой этого же года в доме Ньютона возник сильный пожар, и часть рукописного архива Ньютона сгорела. В сентябре 1677 года умер благоволивший Ньютону секретарь Королевского Общества Ольденбург, и новым секретарём стал Гук, относившийся к Ньютону неприязненно. В 1679 году тяжело заболела мать Анна; Ньютон, оставив все дела, приехал к ней, принимал активное участие в уходе за больной, но состояние матери быстро ухудшалось, и она умерла. Мать и Барроу были в числе немногих людей, скрашивавших одиночество Ньютона.
3. История создания главного научного труда Ньютона
Приведенные в ней численные методы ознаменовали рождение новой перспективной дисциплины - численного анализа.
В 1708 году начался открытый приоритетный спор с Лейбницем, в который были вовлечены даже царствующие особы. Эта распря двух гениев дорого обошлась науке - английская математическая школа вскоре увяла на целый век, а европейская - проигнорировала многие выдающиеся идеи Ньютона, переоткрыв их много позднее. Конфликт не погасила даже смерть Лейбница в 1716 году.
С работами Ньютона связана новая эпоха в физике и математике. Он завершил начатое Галилеем создание теоретической физики, основанной, с одной стороны, на опытных данных, а с другой - на количественно-математическом описании природы. В математике появляются мощные аналитические методы. В физике основным методом исследования природы становится построение адекватных математических моделей природных процессов и интенсивное исследование этих моделей с систематическим привлечением всей мощи нового математического аппарата. Последующие века доказали исключительную плодотворность такого подхода.
физика тяготение математический
Параллельно с изысканиями, закладывавшими фундамент нынешней научной (физической и математической) традиции, Ньютон, как и многие его коллеги, много времени отдавал алхимии, а также богословию. Книги по алхимии составляли десятую часть его библиотеки. Никаких трудов по химии или алхимии он не публиковал.
В 1725 году здоровье Ньютона начало заметно ухудшаться, и он переселился в Кенсингтон неподалёку от Лондона, где и скончался ночью, во сне, 31 марта 1727 года. По указу короля похоронен в Вестминстерском аббатстве. Надпись на могиле Ньютона гласит: "Пусть смертные радуются, что существовало такое украшение рода человеческого".
Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.
Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции.
Файлы: 1 файл
Исчисление.docx
Попытки построить анализ бесконечно малых и теорию рядов в полном соответствии с основными понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешным результатам не привели. Поэтому Лейбниц и его последователи пытались оправдать принципы анализа бесконечно малых путем сравнения бесконечно малой с песчинкой, которой можно пренебречь при вычислении высоты горы, посредством ссылок на вероятность и т. п.
Другая попытка была предпринята в конце XVIII века. Известный немецкий математик Вессель предложил оставить анализ бесконечно малых в анализе в качестве “полезных вспомогательных функций”. Однако, такая трактовка широкого распространения не получила - математики знали механическое и геометрическое истолкование dx и dy.
Примерно с последней четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века.
Математики пытались сначала решать новые задачи методами, разработанными классиками XVIII века - Эйлером, Даламбером, Лагранжем и другими. Однако, вскоре выяснилось, что методы классиков недостаточны, что надо развивать новые, более общие и сильные методы. Выяснилось также, что недостаточность методов классиков нередко связана с узостью трактовки основных понятий, с “изгоняемым” понятием о бесконечно малом, с “исключениями”, которые раньше оставались в тени.
Поясним сказанное одним примером.
Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.
Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:
Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.
Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной подынтегральной функции, вторая - потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы).
Примерно до последней четверти XVIII века первая трактовка понятия определенного интеграла занимала господствующее положение. Этому способствовали два обстоятельства.
К началу XVIII века были установлены правила дифференцирования всех элементарных функций и началась успешная разработка методов нахождения их первообразных (рациональных, отдельных классов иррациональных и трансцендентных функций). Благодаря этому точка зрения Ньютона вполне отвечала развитию эффективных алгоритмов интегрального исчисления.
Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Естественно, что это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница не способствовало.
Истолкование обычного определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых, от которого математики XVIII века хотели освободить математический анализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона. Факт этот хорошо подтверждался тем, как Леонард Эйлер использовал понятие об интегральной сумме. Эйлер не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих интегральных сумм. Но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы он не мог. В этом случае все слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, т. е., с точки зрения Эйлера, были нулями.
Историческая справка. В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете. Но учёных теологов было в те годы больше, чем требовалось, и лишь в 1701 г. он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле. 19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери священника. А 15 апреля 1707 г. у них родился сын, названный Леонардом.
Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлёкся математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого.
Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в Базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки.
20 октября 1720 г. 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонарда по иному пути.
Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И немудрено, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли. Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. А 8 июня 1724г. 17-летний Леонард Эйлер произнёс по- латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона - и был удостоен учёной степени магистра (в XIX в. в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии).
Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 г. Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня – и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: “Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой”, - философски заметил он.
До этого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных. Но двухтомное сочинение “ Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении ”, изданное в 1736 г., принесло ему мировую славу. Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. “Тот , кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью”, - заканчивает Эйлер своё предисловие к книге.
Дух времени требовал аналитического пути развития точных наук, применения дифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений. Этот путь и начал прокладывать Леонард Эйлер.
Конечно, и до последней четверти XVIII века концепция Ньютона сталкивалась с трудностями. В этот период встречались элементарные функции, первообразные которых не могут быть выражены через элементарные функции. Знали математики и некоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого рода факты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушить не могли. Иным оказалось положение в последней четверти XVIII и особенно в начале XIX века.
С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало значительное развитие понятия определенного интеграла. Особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.).
Это было время, когда великие идеи Ньютона и Лейбница были опубликованы сравнительно недавно и современный математический анализ только создавался. Мощные методы, которые принесли с собой эти идеи, находили применение во всех отраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути и направления, по которым должно развиваться новое исчисление. Это была, пожалуй, единственная по своей интенсивности эпоха математического творчества, и Эйлер был один из немногих по своей продуктивности творцов. Его "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени.
Разработка приемов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычислять эти интегралы так, как вычисляли обычный определенный интеграл - при помощи неопределенного, очень трудно или даже невозможно. Поэтому математики вынуждены были сохранять концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, стали на путь Лейбница. Они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.
Короче говоря, разработка способов вычисления новых видов определенного интеграла показала, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Тем самым не только ставился вопрос о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его использовании. Как уже указывалось, чтобы всё это сделать надо было преодолеть - обобщить, развить традиционное (Эйлерово) толкование функции и понятия предела.
В связи с этим возник вопрос о существовании пределов интегральных сумм, слагаемые которых были бы бесконечно малыми. В первой четверти XIX века понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций. Получение основополагающих результатов связано здесь с именем Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности и прерывности функций”. Тут же Коши дает истолкование непрерывности функции, которое более чем ясно подтверждает ясность этого его утверждения.
Новая постановка задач обоснования математического анализа ясно показывала, что дело не только в признании и применении бесконечно малых - это делали и раньше! - но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Однако, чтобы это сделать надо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать общую теорию пределов.
Изучение разрывных функций и сопоставление их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: что предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. Значит, предел не всегда является “последним” значением переменной, но во всех случаях предел есть число, к которому переменная приближается неограниченно. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт этот с противоречиями и парадоксами не связан.
Коши преодолел и вторую ограничительную тенденцию в принятой до него трактовке понятия предела. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь, порой принимая значения, равные её пределу. Это обстоятельство придало теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость. Мы до сих пор следуем пути, намеченному Огюстеном Луи Коши, с теми усовершенствованиями, которые были внесены во второй половине XIX века К. Вейерштрассом.
Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа, Тем самым подведя итог многовекового развития интегрального исчисления.
Как мы помним, еще во время эпидемии чумы, живя в деревне, Ньютон занимался исследованием бесконечно малых и, по всей видимости, еще тогда положил начало своему методу флюксий (интегральное и дифференциальное исчисления). Между тем занятость Ньютона другими областями науки и его нежелание публиковать недостаточно подготовленный материал привели к тому, что почти через сорок лет произошел спор о научном приоритете этого открытия между ним и Лейбницем.
К изданию ученый приложил два небольших математических трактата, в которых наконец-то изложил свой метод флюксий. Они и стали причиной того, что тлевший ранее спор между Ньютоном и Лейбницем о приоритете этого метода разгорелся с новой силой. Тут требуется сделать небольшое отступление и рассказать о предшествующих событиях.
Но обнародовать свои открытия Ньютон не спешил. Только в конце 1672 года он написал письмо некоему Коллинзу. Поскольку в те времена периодических научных изданий не существовало, самым распространенным способом обмена информацией между учеными была переписка. Коллинз фактически выполнял задачи диспетчера этой переписки. Но даже в письме к Коллинзу осторожный Ньютон не излагал своего метода, а только сообщал о его открытии.
В 1673 году Лейбниц получил информацию о том, что Ньютон разработал некий новый метод, и начал свои исследования в этом направлении.
24 октября 1676 года Ньютон через посредника отправил письмо Лейбницу, в котором изложил сущность своего метода в зашифрованном виде. В те времена это был распространенный способ обеспечения приоритета. 21 июня следующего года Лейбниц ответил письмом, в котором без всяких шифров изложил основы дифференциального исчисления. Отличия в методах Ньютона и Лейбница сводились только к различной системе обозначений.
В 1684 году Лейбниц опубликовал свои методы дифференциального исчисления. При этом в первом издании он по непонятным причинам не упомянул о Ньютоне. Однако во второй работе, посвященной интегральному исчислению, он отдал должное своему коллеге:
Сам Ньютон, по различным причинам до 1704 года не публиковал своих математических результатов. Между тем к началу девяностых годов, благодаря деятельности Лейбница, метод получил распространение и большинство ученых связывало его с именем немецкого ученого. В 1693 году Лейбниц попытался возобновить научную переписку с Ньютоном. Ответ англичанина был очень лоялен, но дальнейшего развития сотрудничество не получило. Возможно, изначально Ньютон не собирался бороться за приоритет. Вот что он писал Лейбницу:
Но и это не подвигло Ньютона к активным действиям. Непосредственным началом спора стала работа математика Дюилье, опубликованная в 1699 году. Дюилье враждовал с Лейбницем. Его работа подчеркивала приоритет Ньютона в открытии дифференциального и интегрального исчислений и даже намекала на то, что Лейбниц мог заимствовать результаты своего английского коллеги (немецкий ученый бывал в Лондоне и общался с Коллинзом и с Ольденбургом, секретарем Общества). Лейбниц написал, что не намерен вступать с Ньютоном в спор по поводу приоритета открытия, и временно ситуация разрядилась.
Как говорится, в спорах рождается истина, но она испаряется, когда кипят страсти. Сейчас считается, что Ньютон окончательно разработал свой метод на несколько лет раньше Лейбница, но открытия немецкого ученого были сделаны независимо. Примечательно, что сами великие ученые изначально и не настаивали на иной трактовке.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Продолжение на ЛитРес
Исаак Ньютон
САЙЗЕР НЬЮТОН
ГУК И НЬЮТОН
ГУК И НЬЮТОН Хотя Гук был всего лишь на семь лет старше Ньютона, он успел ко времени их знакомства сделать необычайно много. В чём-то его судьба напоминала ньютоновскую. Он родился слабым, болезненным, жил без отца. Никто не ожидал, что он доживёт до зрелых лет. Детство и
ПЁТР И НЬЮТОН
ПЁТР И НЬЮТОН …Штормовой осенью 1553 года английский корабль под командованием капитана Ченслора вынужденно бросил якорь у пристани неизвестного русского монастыря. Монастырь святого Николая стоял в устье Северной Двины, недалеко от Холмогор, на самом севере обширных
Ньютон о вселенной
Ньютон о вселенной Сам Ньютон, как известно, не задавался мыслью о происхождении того порядка во вселенной, который привлек все его внимание. Принцип причинности, который в теории движения солнечной системы стал на твердую почву, носит у Ньютона ограниченный характер.
Лейбниц как предтеча Бурбаки
Лейбниц как предтеча Бурбаки Лейбниц считал дедуктивные умозаключения убедительным доказательством существования Бога. Ибо наблюдение частных случаев, по его мнению, не может привести нас к общим идеям. И, если мы всё же их постигаем, то только путем самонаблюдения —
Исаак Ньютон: мальчик с ракушкой в руке
Исаак Ньютон: мальчик с ракушкой в руке Когда в 1696 году Исаака Ньютона назначили смотрителем Монетного двора, это стало признанием его заслуг в научном мире и наградой за вклад в создание репутации Англии. Так старослужащим солдатам давали в дар кусок земли, на которой
Ньютон Исаак
Ньютон Исаак (род. в 1643 г. – ум. в 1727 г.) Английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики, член (с 1672 г.) и президент (с 1703 г.) Лондонского королевского общества. Автор многих фундаментальных трудов. Разработал дифференциальное и
Исаак Ньютон
Исаак Ньютон Исаак Ньютон жил в очень беспокойное время. Англию трясла лихорадка революций и реставрации монархии, религиозных конфликтов и гражданских и внешних войн. Но все это мало отразилось на судьбе нашего героя. Поэтому его биография чрезвычайно бедна яркими
Ньютон и Гук
Исаак Ньютон
Исаак Ньютон Сэр Исаак Ньютон (25 декабря 1642 года – 20 марта 1727 года) – английский физик, математик, астроном, автор множества фундаментальных трудов, закона тяготения и трех основных законов механики, основ классической механики, теории цвета и множества других
Читайте также: