Многомерное нормальное распределение реферат

Обновлено: 06.07.2024

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Содержание

Моделирование нормальных случайных величин

Простейшие, но неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения. Тем не менее, с увеличением слагаемых распределение суммы стремится к нормальному.

Использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

Свойства

Если случайные величины и независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями и и дисперсиями и соответственно, то также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .

Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению

Критерий согласия Пирсона
Критерий Колмогорова-Смирнова
Критерий Андерсона-Дарлинга
Критерий Жака-Бера
Критерий Шапиро-Вилка
График нормальности — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.

Многомерное нормальное распределение

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения.

Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

Произвольная линейная комбинация компонентов вектора имеет нормальное распределение или является константой.
Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин , вещественный вектор и матрица размерности , такие что:

Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрица размерности , такие что плотность вероятности вектора имеет вид:

где — определитель матрицы , а — матрица обратная к .

Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрица размерности , такие что характеристическая функция вектора имеет вид:

Замечания

Если одно из приведённых выше определений принято в качестве основного, то другие выводятся в качестве теорем.
Вектор является вектором средних значений , а — его ковариационная матрица.
В случае , многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
Если случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, то пишут .

Свойства многомерного нормального распределения

Если вектор имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно!
Если случайные величины имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций такого вектора диагональна.
Если имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если только компоненты имеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы.

Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если , а — произвольная матрица размерности , то

См. также

Заключение

Нормальное распределение наиболее часто встречается в природе, нормально распределёнными являются следующие случайные величины:

отклонение при стрельбе
ошибки при измерениях
рост человека

Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный). Доказано, что сумма очень большого числа случайных величин, влияние каждой из которых близко к 0, имеет распределение, близкое к нормальному. Этот факт является содержанием предельной теоремы Ляпунова.

Все одномерные плотности вероятности - это плотности вероятности одномерной нормальной случайной величины с параметрами, определяемыми координатами вектора X и главной диагональю ковариационной матрицы B. Кроме того, подвектор вектора Если все коэффициенты корреляционной или ковариационной матрицы B (все ее недиагональные элементы) равны нулю, то показать самим, что компоненты случайной величины являются независимыми.

если независимы. Теорема. Проводим линейное преобразование Y=AX. A - квадратная невырожденная матрица, тогда вектор Y также имеет n-мерное нормальное распределение вида Следствие: Из доказательства теоремы вытекает, что ковариационная матрица Оператор A переводит произвольную область из арифметического пространства Rn в некоторую область того же пространства. Рассмотрим произвольную область S, принадлежащую пространству

элементарных событий случайной многомерной величины X. Ей соответствует область D в пространстве элементарных событий случайного вектора Y. При этом Запишем эти вероятности где |I| - якобиан перехода Т.к. область S и соответственно D произвольны, то плотность вероятности случайного вектора x равна n-мерная плотность вероятности случайного вектора Y равна Преобразуем показатель степени e Можно показать, что если нормальное

распределение имеет данный вид, то B - ее ковариационная матрица Следствие. Тогда Y=AX имеет нормальное распределение вида Y - m-мерный вектор. Для определенности положим, что матрица A имеет вид A = (A1 A2) A1 - квадратная матрица размером A2 - матрица размерности Рассмотрим матрицу размерности равен определителю полученной квадратной матрицы и не равен нулю. E - единственная квадратная матрица размерности Следовательно, на

основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение. Z=CX Компоненты вектора Z имеют вид Пусть матрица А произвольная, но т.к. ее ранг равен m она содержит m линейно независимых столбцов. Путем перестановки столбцом соберем эти столбцы в первые m. И соответствующим образом пронумеруем компоненты вектора Х. Попадаем в предыдущий случай. Предельные случайные

Пример 6.10. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание равно 170 см, а дисперсия — 36. Найти плотность вероятности этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168 до 172 см. Сравнив наблюдаемые значения Р, с вероятностями р, соответствующих… Читать ещё >

теория вероятностей и математическая статистика

Нормальное распределение. Теория вероятностей и математическая статистика ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Нормальным законом распределения (законом Гаусса) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если ее плотность вероятности определяется следующей формулой:

где а и a 2 = D (X) — параметры распределения, интерпретируемые соответственно как математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия случайной величины X.

Соответствующая функция распределения вероятностей случайной величины имеет следующий вид:

График плотности вероятности /х) и функции распределения F (x) для нормального закона распределения случайной величины X представлены на рисунке.

Плотность вероятности/(х) и функция распределения F (x)

Отметим некоторые свойства графика/х).

Нормальное распределение с параметрами, а и, а кратко записывается как X~N (a, а). Нормальное распределение X ~ N (a, a)

с параметрами а = 0, а = 1 называется стандартным или нормированным. Обозначение: X~N (0,1).

Функция распределения F (x) случайной величины X~N (a, ст) может быть выражена через функцию Лапласа.

Вероятность того, что случайная величина при нормальном распределении примет значение, принадлежащее интервалу (дц, хт):

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 6 (по абсолютной величине),.

В частности, при а = 0 справедливо равенство.

Решение. Пусть случайная величина X выражает рост взрослых мужчин, Х -из наудачу выбранных четырех мужчин имеет рост от 168 до 172 см.

По условию математическое ожидание а=170, а дисперсия ?> = 36. Отсюда среднее квадратичное отклонение.

Следовательно, искомая плотность вероятности.

Подставив Х = 168, *2 = 172, а- 170, о = 6, и учитывая свойство функции Лапласа Ф (-х) = - Ф (х), получим.

По таблице прил. 2 находим 2Ф (0,33) = 2 • 0,1293 = 0,2586.

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный мужчина имеет рост от 168 до 172 см Обозначим A_hA₂, A₃ и Л₄ — события, состоящие в появлении мужчин с ростом от 168 до 172 см соответственно в первом, втором, третьем и четвертом испытаниях. Эти события независимы в совокупности и имеют одинаковую вероятность:

По формуле (3.8) искомая вероятность того, что хотя бы один из наудачу взятых четырех мужчин имеет рост от 168 до 172 см равна.

Пример 6.11. Исследования показали, что здоровые люди в значительной мере отличаются по содержанию в крови фермента каталазы. В табл. 6.6 приведены данные обследования 1000 людей. Определите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение фермента каталазы. Сравните данные распределения с нормальным законом, имеющим те же параметры (М и о).

Таблица 6.6. Содержание в крови фермента каталазы.

Содержание фермента каталазы, X,.

Решение. Составим расчетную таблицу 6.7, для этого:

1) запишем числовые значения случайной величины X (содержание фермента каталазы в крови) во вторую строку;
2) запишем вероятности в третью строку; в последнем столбце помещаем накопленную вероятность событий (контроль: 0,04 + 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,12 + 0,04 = I);
3) произведения вероятности р, на значения х, запишем в четвертую строку; сумму чисел строки (т.е. математическое ожида-

П ние М (Х) = ^?^р₁х,)) помещаем в последнем столбце;

4) произведение вероятности р, на квадрат отклонения случайной величины х, от ее математического ожидания М (Х) запишем в пятую строку; сумму чисел строки (т.е. дисперсию) помещаем в последнем столбце ["https://referat.bookap.info", 18].

В итоге получаем следующую расчетную табл.6.7:

Таблица 6.7. Результаты расчета параметров распределения.

3,5

4.0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

0,04

0,1

0,2

0,3

0,2

0,12

0,04

0,14

0.4

0,9

1,5

0.72

0,26

5,02

0,0924

0,1040

0,0541

0,0001

0.0461

0,1152

0,0876

0,4995

По данным таблицы находим параметры распределения:

Далее составим статистическое распределение фермента каталазы в крови (табл. 6.8). Для этого:

х‘

Таким образом, искомая вероятность.

Пример 6.13. Длина скальпеля X представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону распределения и имеет среднее значение 150 мм, а среднее квадратичное отклонение — 0,2 мм. Необходимо: а) записать выражение плотности распределения; б) найти вероятность того, что длина скальпеля будет заключена в интервале от 149,7 до 150,3 мм; в) найти вероятность того, что величина отклонения (абсолютная погрешность) не превышает 0,1 мм; г) найти, каким должно быть задано отклонение, чтобы процент скальпелей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%.

Решение. а) Подставляя исходные данные в формулу (6.12), полагая при этом гаг = 150, а = 0,2, получим выражение для плотности вероятности случайной величины X

б) Вероятность того, что длина скальпеля окажется в пределах от 149,7 до 150,3 мм, по формуле (6.15) равна.

По таблице прил. 2 находим Ф (1,5) = 0,4332, отсюда искомая вероятность

в) По формуле (6.16) найдем вероятность того, что величина отклонения не превышает заданного значения.

г) По условию процент скальпелей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%.

Поэтому можно записать

С другой стороны, Р (X -1501 Показать весь текст Стоимость уникальной работы

Многомерное нормальное распределение строится из распределения одномерных гауссовских величин.

Лучше всего представить процесс построения по шагам.

Рассмотрим n независимых случайных величин , имеющих одно и то же (стандартное) гауссовское распределение со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Эти величины назовем исходными.

Каждая величина из исходных величин имеет плотность

Так как величины независимые, то совместная плотность вероятности этих величин есть

Мы просто перемножили плотности между собой и получили написанное выражение.

Основываясь на исходных величинах, определим далее величины

Это линейное невырожденное преобразование величин , k=1,…,n.

Очевидно, среднее этих новых величин есть:

Формула для ковариаций верна (вы можете проверить это непосредственным вычислением), поскольку исходные величины , k=1,…,n с нулевыми средними значениями являются некоррелированными:

Собственно, именно эти величины и имеют совместное многомерное нормальное распределение в общем случае.

Самое главное для них – корреляционная матрица, корреляция измеряет меру связи.

Построенные новые случайные величины уже зависимы (связаны) между собой.

Не нужно запоминать формулу плотности многомерного нормального распределения, но нужно понять ее смысл.

Определим корреляционную матрицу величин .

Матрица R=kj> с элементами , i,j=1,…,n

называется корреляционной матрицей случайных величин

( есть коэффициент корреляции между величинами , ).

Легко показать, что корреляционная матрица R имеет также вид

где – матрица линейного преобразования (*), а – матрица, сопряженная к (с элементами , i,j,=1,…,n).

Определители |R| и | | указанных матриц связаны равенством |R|=| | 2 ; при этом | | есть якобиан преобразования (*), и, следовательно, совместная плотность распределения случайных величин может быть описана формулой

где – та квадратичная форма, в которую переходит сумма квадратов при линейном преобразовании, обратном к (*).

Легко видеть, что матрица ij> этой квадратичной формы является обратной к корреляционной матрице ij>, поскольку сумма квадратов переходит в квадратичную форму

где c_kj> есть матрица, обратная к , так что

Как уже отмечалось ранее, корреляционная матрица ij> является положительно определенной: при любых действительных c₁,…,c_n

Свойством положительной определенности обладает, очевидно, и обратная матрица ij>=R -1 .

Распределение вероятностей с плотностью (**), так же как и случайные величины с таким распределением вероятностей, называется нормальным (или гауссовским).

Задача 1. Покажите, как из двумерной гауссовской величины получить трехмерную, из трехмерной четырехмерную и т.д.

Задача 2. Мы определили новые нормальные величины, исходя из исходных, см. формулу (*). Очевидно, можно провести обратный процесс (операция ортоганализации), подумайте, как это сделать. Это важная процедура, именно такая процедура возникает в задачах прогнозирования.

Читайте также: