Корни реферат по математике
Обновлено: 05.07.2024
Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!
Квадратные корни Введение В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.
Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.
История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?
Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютераможно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.
И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число– нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числане обнаруживает никакой регулярной закономерности.
По следам открытия пифагорейцев
Как доказать, что числоиррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтомуи, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.
Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного не существует.
1. Квадратный корень из числа
Зная время t, можно найти путь при свободном падении по формуле:Решим обратную задачу.
Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?
Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так какЗначит, камень будет падать 5 с.
Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.
В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.
Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.
История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?
Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.
И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.
По следам открытия пифагорейцев
Как доказать, что число иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.
Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного не существует.
Зная время t , можно найти путь при свободном падении по формуле: Решим обратную задачу.
Задача . Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?
Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.
Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.
Определение . Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают
Таким образом
Пример . Так как
Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение не имеет числового значения.
= 10…0
2n нулей n нулей
Аналогично доказывается, что 2n нулей n нулей
Например,
Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х , где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х . Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .
Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.
Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.
Теорема. Если а – положительное число и – приближенное значение для по избытку, то – приближенное значение для по недостатку .
Доказательство .
По условию x1 > и потому х1 2 >a, 2 = = a . Т.к. 2 =а, причем х0. Заменяя в равенстве х 2 =а переменную х на , получаем тождество 2 =а, (1)
верное для всех а0. Заменяя в равенстве =х переменную а на х 2 , получаем тождества
= х, (2)
которое верно для всех х0.
Например , 2 = 25; 2 = 8; 2 = 0,11; = 6; =0,24.
Формулы и показывают, что для неотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимно обратны, т.е. если выполнить над каким-нибудь неотрицательным числом сначала одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.
Если а – отрицательное число, то равенство неверно, так как не имеет числового значения. При отрицательных значениях х неверно и равенство . Например , 2 ==5, а не –5. Так как х 2 = 2 , а при х 0,
то при х 2 = – х (3)
x, если х 0,
= – х, если х 2 = = 12.
Пример 1 . Упростим выражение + 2 + - 2 .
Р е ш е н и е. Так как 2 = 3, 2 = 2, то + 2 + - 2 = 2 +
2 + 2 + 2 – 2 + 2 =2 2 + 2 2 = 2 3 + 2 2 = =10.
Пример 2 . Найдем значения выражения при а = 2,1; b = 3,6
Решение. При любом значении х выполняется равенство
= . Поэтому = . Но == 1,5. Значит, при а = 2,1; b =3,6 имеем =1,5.
Выражения и имеют одно и то же значение 6.
В самом деле, = 3, = 2, = 6, поэтому = 3 2 = 6 и = == 6. Равенство = – часный случай общего утверждения.
Теорема 1 . Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел, т.е. при а 0, b 0 имеем =
Доказательство .
Пусть числа а и b неотрицательны.
Тогда по правилу возведения в степень имеем
2 = = а b
Кроме того, – неотрицательное число как произведение двух неотрицательных чисел и . Поэтому =
Пример 1. Найдем значения выражения
Мы имеем = 25, = 16, = 0,01,
и потому = 25160,01= 4.
Аналогично доказывается, что =
Теорема 2 . Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, т.е. при а 0 и b > 0 имеем
Теорема 3. При любом значении а и при любом b 0 верно равенство
При преобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула:
= ,
2 + =
= А 2 = А 2 =
= А 2 = А 2 = А .
Таким образом, квадраты обеих частей равенства оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство доказано.
Пример 1. Упростить выражение .
1-й способ . В одном случае имеем А = 5, В = 21, А 2 – В =
= 5 2 – 21 = 4, и поэтому по формуле
= – = – .
2-й способ . Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:
5 – = = =
== = .
Поэтому = =
Пример 2. Упростить выражение
= + =
= + =
2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:
Пример 3 . Упростить выражение
Пример 4 . Упростить
1.
2.
3.
Ответ:
Пример 5 . Какое из чисел больше: или ?
Очевидно, что
Оценим сумму
Так как , а , то
Ответ:
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A . В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.
Найти an , квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A , оставаясь меньше последнего.
Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an .
Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2an – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.
Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A .
Сравнить полученное число с нулём.
Если полученное число не равно 0, то найти такое 2an − 1 , которое, будучи умноженным на , даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.
Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.
После получения количества цифр, равного , прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.
Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.
1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.
2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
3. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.
4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.
5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.
6. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.
Пример. Извлечём корень .
1-й шаг . Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем с недостатком. Цифра 9 – это первая цифра корня.
3-й шаг . Число 9 возводим в квадрат (9 2 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг . К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.
5-й шаг . Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем:
18… ЇЇЇЇЇ 549 ЇЇЇЇЇ
К числу 18 нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.
6-й шаг . Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93. Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренное число 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколько граней содержит это число.
Аналогично извлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное число разбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влево и вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописыванием к числу нуля.
Данная работа посвящена квадратным корням. Рассмотрены правила действий с квадратными корнями, способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни, геометрические приложения. В работе приведены примеры действий с квадратными корнями и преобразования выражений с ними. Рассмотрен алгоритм извлечения квадратного корня.
Таким образом, цель достигнута, задачи выполнены.
1. Алгебра: Учеб. пособие для 8 кл. / Е.П. Кузнецова и др; под ред. Л.Б. Шнепермана. – 2 изд. – Мн.: Нар. асвета, 2005.
2. Алгебра: Учеб. для 8‑х кл. общеобразоват. шк. с углубл. изучением математики / К.О. Ананченко и др. – Мн.: Нар. асвета, 1994.
4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Аксенова. М.: Аванта+плюс. 2004 г.
Квадратный корень из a (корень 2-й степени) – это решение x уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под x и a подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как матрицы и операторы. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики. В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие.
Цель моего реферата познакомиться с квадратными корнями и изучить их более углубленно.
2. Изучить алгоритмы вычисления арифметического корня;
3. Узнать историю происхождения квадратного корня;
4. Ознакомится со свойствами и применениями на практике извлечения квадратного корня.
1. Теоретические основы квадратного корня.
Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого всегда неотрицательно.
Стоит помнить, что квадратный корень является элементарной функцией.
2. История возникновения квадратного корня.
2.1 Процесс вычислений в разные века
Математика на глиняных табличках (рис. 1).
Рис. 1. Глиняная табличка с нанесенными знаками
Город Вавилон (Врата Бога) с населением полтора тысяч человек был основан в Междуречье более 3000 лет до н. э. На раскопках этого древнего поселения были найдены глиняные таблички с нанесенными на них знаками. Их возраст превышает 5000 лет. Когда были расшифрованы символы клинописи, археологи с изумлением прочитали уравнения вычисления различных площадей с помощью квадратных корней. Не известие об открытии, а уже его использование. Имя великого математика, первым догадавшегося извлечь квадратный корень, утеряно для истории.
Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно). Среди таких задач:
применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам;
нахождение стороны квадрата, площадь которого задана;
решение квадратных уравнений.
Квадратный корень из пирамиды Хеопса (рис. 2).
Рис. 2. Пирамида Хеопса для вычисления квадратного корня
Как любое великое открытие, оно возникло одновременно в нескольких местах в головах разных гениальных людей. Например, в 2500 гг. до н. э. в Древнем Египте возводились пирамиды – усыпальницы фараонов. Археологи просчитали, что без знания числа р и квадратного корня построить такие сооружения с четко выстроенными коридорами и строгой ориентацией помещений по сторонам света было просто невозможно. И снова даже граффити на стенах каменных блоков не донесли до современности имен гениальных математиков.
Геометрия племен майя (рис. 3).
Рис. 3. Геометрия племен майа
Если Шумерская цивилизация еще могла как-то перетечь на Африканский континент, то математика племен майя в Южной Америке в это же время развивалась совершенно обособленно. Дворцы, возводимые в южноамериканских джунглях, не могли быть построены без знаний математики (квадратного корня в том числе), астрономии и даже основ оптики.
Великие ученые не нашей эры.
Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. Николай Орем (XIV век) впервые истолковал корень 2-й степени как возведение в степень.
Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня.
2.2. Происхождение термина и символики.
Из всей истории появления в математике квадратного корня получается, что патент на изобретение квадратичных исчислений, так же, как и на изобретение колеса, выдавать некому.
3. Квадратный корень в 21 веке
3.1. Применение операции корня к числам
Числа делятся на несколько видов (рис. 5):
- натуральные;
- целые;
- рациональные;
- действительные;
- комплексные.
Рис. 5. Виды чисел
Рассмотрим понятие квадратного корня и возможность его извлечения из некоторых приведенных видов чисел.
Квадратный корень из числа a – это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен a , то есть решение уравнения относительно переменной x .
Корень из рационального числа является рациональным числом, только если p и q (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.
Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.
При натуральных a уравнение x 2 =a не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений – поле вещественных (действительных) чисел.
Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.
Неотрицательный квадратный корень из положительного числа a называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .
3.2. Квадратный корень как элементарная функция в алгебре
График функции представлен на рисунке 2.
Рис. 2. График функции
Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной x , которая каждому x ≥ 0 ставит в соответствие арифметическое значение корня. Эта функция является частным случаем степенной функции , где .
3.3. Квадратный корень в элементарной геометрии
Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того.
3.4. Квадратный корень в информатике
Рис. 3. Решение задачи нахождения корней квадратного уравнения с помощью заданных коэффициентов a,b,c с помощью блок-схемы
4. Алгоритмы нахождения квадратного корня
4.1. Арифметическое и геометрическое извлечение квадратного корня
Арифметическое извлечение квадратного корня подразумевает под собой, что для квадратов чисел верны следующие равенства:
Такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.
Геометрическое извлечение квадратного корня подразумевает под собой выполнение следующего равенства:
В частности, если , а , то .
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из целого числа N . Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями – целая часть дополняется слева, десятичная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
ученица 8 класса
Руководитель:
учитель математики
2. С корнем квадратным - сквозь историю.
3. День квадратного корня.
4. Из истории возникновения формулы корней квадратного уравнения.
5. Квадратный корень из числа
6. Основные тождества для квадратных корней
7. Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и степени
10. Геометрические приложения.
12. Список литературы.
«Многие вещи нам не понятны не потому,
что наши понятия слабы; но потому, что
Козьма Прутков
В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями, поэтому важно знать правила действий с ними, научиться преобразовывать выражения, их содержащие, а также знать историю возникновения квадратных корней.
Цель настоящего реферата – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений их содержащих. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов. Для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Я постаралась найти способы, которые бы позволили извлечь квадратный корень в любом случае.
С корнем квадратным - сквозь историю
В 1626 г. нидерландский математик А. Жирар, сочетая знак Рудольфа с
Однако запись у Декарта несколько отличается от современной. У него, например, записано:
где буква с поставлена вместо латинского слова cubicus , что означает кубический. В современной записи это выражение будет выглядеть так: .
Вавилонская табличка (около 1800—1600 г. до н. э.) с вычислением
Интерес к квадратному корню из двух возник давно. В собрании Вавилонских исторических ценностей, хранящемся в Йельском университете (Нью-Хейвен, штат Коннектикут), есть круглая глиняная табличка, относящаяся к 1750 г. до нашей эры. На ней изображен рассеченный диагоналями квадрат и четкими клинописными знаками выписаны три цифры. Когда их прочли, стало ясно, что без малого четыре тысячи лет назад в Вавилоне умели определять диагональ квадрата по его стороне, умножая ее длину на квадратный корень из двух. Цифры на табличке как раз и представляют собой эту величину, выведенную с точностью до пятого знака: 1, 24, 51, 10. Ну что ж, это совсем неплохое приближение к истине, ведь
1 + 24/60+51/60 2 +10/60 3 =1,41421.
Невольно хочется повторить: это подсчитано в XVIII веке до нашей эры!
Еще ученые Вавилона (более 4000 лет назад) умели находить приближенное значение квадратного корня из любого натурального числа. Правило, применявшееся в Вавилоне, таково: Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа . Представив подкоренное выражение в виде: , получаем: , затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона:
Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для , например, и мы получаем последовательность приближений:
В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.
Чтобы извлечь корень из натурального числа с, его разлагают на сумму а 2 + b (число а должно быть наибольшим таким, что а 2
Грекам был известен вавилонский метод приближенного нахождения квадратного корня. Например, у Герона Александрийского (около 1 в.) написано:
Читайте также: