Исследование геометрических моделей планиметрия реферат

Обновлено: 05.07.2024

Учащиеся создают модель теоремы Пифагора с помощью сетевого инструмента GeoGebra. Цель работы: получить опыт создания и исследования компьютерных моделей, закрепленние теоретических заний "Этапы создания компьютерных моделей",

Вложение	Размер
Практическая работа_Теорема_Пифагора	91 КБ

Предварительный просмотр:

Работа 15. Исследование геометрических моделей (планиметрия)

1. Построим интерактивную математическую модель теоремы Пифагора с помощью программы GeoGebra ( Меню - Образовательные - GeoGebra ).

2. С помощью колесика мыши увеличьте координатные оси, а с помощью инструмента Переместить чертеж установите координатные оси чуть выше левого нижнего угла.

Внимание! При активации какого-либо инструмента программа выдает подсказку об его использовании.

3. Смоделируем прямоугольный треугольник ABC, активировав инструмент Многоугольник . При помощи мыши укажем все вершины треугольника: АВ=51, ВС=52, АС=73 (допускаются приблизительные значения).

4. Установим отображение длин всех сторон прямоугольного треугольника при помощи инструмента Расстояние или длина . Для лучшей наглядности отключим координатные оси Вид - снять галочку Оси (для включения установите галочку обратно).

5. Установим отображение всех углов прямоугольного треугольника при помощи инструмента Угол . У вас должно получится три угла: ВАС=45.39, CBA=90, ACB=44.61.

6. Произведем расчеты косинуса, синуса и тангенса углов альфа и гамма. Для этого воспользуемся командной строкой ввода. Для того, чтобы программа произвела и записала расчет не забывайте нажимать клавишу Enter .

косинус угла альфа равен АВ разделить на АС. Нам дано, что АВ=51.34, AC=73.1. Тогда косинус угла альфа будет равен 0,7;

вычислите косинус угла гамма: ВС разделить на АС;
синус угла альфа равен ВС разделить на АС. Нам дано, что ВС=52.04, AC=73.1. Тогда синус угла альфа будет равен 0,71;

вычислите синус угла гамма: АВ разделить на АС;
тангенс угла альфа равен ВС разделить на АВ. нам дано, что ВС=52.04, АВ=51.34. Тогда тангенс угла альфа будет равен 1,01;

вычислите тангенс угла гамма: АВ разделить на ВС.

7. Сохраните свою математическую модель теоремы Пифагора в личной папке под именем Пифагор, выполнив команду Файл - Сохранить как .

Теперь мы умеем:

строить математическую модель теоремы Пифагора;
работать в программе GeoGebra.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Исследование геометрических моделей. Задача о склеивании коробки. Практическая работа (11 класс)

Пратическая работа по теме "Исследование геометрических моделей" имеет целью развитие практических навыков применения электронных таблиц как инструмента моделирования, а также закрепление теориетиччес.

Решение геометрических задач. Планиметрия

По данным статистической обработки результатов ЕГЭ, а также вступительных испытаний в различные вузы, задачи по геометрии вызывают трудности не только у слабы.

Построение геометрических моделей с использованием игры "Танграм"

Исследование геометрических моделей

Значительное место в системе формирования интеллектуальной и творческой личности обучающегося отводится изучению геометрии как дисциплины, обладающей огромным гуманитарным и мировоззренческим потенциа.

Построение геометрических моделей 9 класс

Построение геометрических моделей 9 класс. По учебнику Угринович Н.Д.

Практическое занятие Геометрические головоломки для 5 класса

Как привлечь ребенка к процессу обучения и донести до него в доступной форме учебный материал?В этом нам помогут практиеские занятия.

Практическая работа по теме "Алгоритм как модель деятельности" (10 класс)

Практическая работа по теме "Алгоритм как модель деятельности" (10 класс).

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выполнила: учитель Фомина Любовь Ефимовна МБОУ СОШ№2 г. Заринска

Построить интерактивную математическую модель теоремы Пифагора с помощью программы GeoGebra Исследовать ее, вычислить sin, cos и tg угла альфа и гамма.

Шаг 1. Запустить программу GeoGebra, увеличить координатные оси и переместить чертеж, установить координатные оси чуть выше левого нижнего угла

Шаг 2. Выполнить настройку разметки координатной сетки в меню Настройка – дополнительно – Настройки/полотно

Шаг 3. Смоделировать прямоугольный треугольник ABC, активировав инструмент Многоугольник. Указать все вершины треугольника: AB=51, BC=52, AC=73

Шаг 4. Установить отображение длин всех сторон, углов прямоугольного треугольника (три угла BAC=45.39, CBA =90, ACB = 44.61

Шаг 5. Произвести расчеты cos, sin и tg углов альфа и гамма Sin альфа Cos альфа Sin гамма tg альфа Sin гамма tg гамма.

* Угринович Н.Д.У27 Информатика и ИКТ. Базовый уровень : учебник для 11 класса / Н.Д. Угринович. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 188 с. : ил. * Программа GeoGebra

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 26 человек из 18 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 751 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

24.01.2018 2045
PPTX 2.6 мбайт
37 скачиваний
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Фомина Любовь Ефимовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Исследование геометрических моделей"

· Исследование геометрических моделей на примере программы Живая геометрия.

Традиционный подход к изучению геометрии приводит к не большой популярности этого предмета, особенно среди тех, кто далёк от математики. Так обстоят дела с геометрией потому что формулировки и доказательства теорем чаще всего заучиваются, а не проверяются. Трудно представить и нарисовать рисунок к задаче. А ещё сложнее представить фигуру в пространстве.

Естественно, открытия, которые мы делаем самостоятельно, усваиваются и запоминаются лучше, чем преподнесённые нам в готовом виде. Поэтому на уроках геометрии необходимо экспериментировать. Помочь решить возникающие в связи с этим проблемы может компьютерное моделирование, где можно быстро и качественно строить чертежи.

Чертёж, построенный на бумаге с помощью карандаша и линейки, имеет важнейшее значение, но обладает двумя недостатками: требует затрат времени и конечный результат оказывается статичным. Компьютерное моделирование позволяет значительно экономить время, но самое главное: чертёж, построенный с помощью программы, можно копировать, деформировать, перемещать и видоизменять. Элементы чертежа легко измерить компьютерными средствами, а результаты этих измерений допускают дальнейшую компьютерную обработку.

Данная компьютерная программа предоставляет возможность анализирования, исследования, построения, доказательств, решения задач, головоломок и даже рисования; позволяет обнаруживать закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях, формулировать теоремы для последующего доказательства, подтверждать уже доказанные теоремы и развивать их понимание.

Итак, преступим к исследованию геометрических моделей.

Запустим программу. Перед нами основное окно. Все необходимые инструменты, а это: стрелка, точка, циркуль, линейка, текст и инструменты, создаваемые пользователем, собраны в готовальне, которая появляется каждый раз с новым чертежом. Конечно можно подумать, что инструментов очень мало, ведь даже в графической панели инструментов текстового редактора Writer готовых геометрических фигур во много раз больше. Но, во-первых, эти инструменты дополняют меню Построение и Преобразование, а во-вторых, есть папка инструментов, создаваемых каждым пользователем. Её можно пополнять своими заготовками, например, начертить и добавить в папку: параллелограмм, правильный треугольник, квадрат, серединный перпендикуляр и другие фигуры.

Построим чертёж, отражающий условие теоремы.

Итак, с помощью инструмента Точка готовальни постоим 3 произвольные точки. Затем, с помощью инструмента Текст обозначим точки буквами. Для этого надо просто выполнить щелчок по точке. Если необходимо обозначить точки другими буквами, то нужно выполнить двойной щелчок по букве, откроется диалоговое окно Переименовать, здесь можно ввести необходимое обозначение. Также можно вводить обозначения с индексами.

Теперь попарно выделяя точки (для этого нужно щёлкнуть левой кнопкой мыши по одной точке и, затем, щёлкнуть по второй точке, выберем в меню Построение команду Отрезок; для того чтобы снять выделение, то нужно щёлкнуть на пустом месте рабочей области программы). Также можно выделить все три стороны треугольника и в меню Вид выбрать цвет линий. Итак, мы получили произвольный треугольник АBC.

Теперь построим серединные перпендикуляры. Для этого выделяем отрезок АB и в меню Построение выбираем команду Точка посередине. Далее выделяем построенную середину и отрезок АB и в меню Построение выбираем команду Перпендикуляр.

Аналогично построим серединные перпендикуляры к остальным сторонам треугольника.

Теперь мы можем наглядно убедиться в том, что все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке. Давайте сохраним созданный нами чертёж, для того чтобы мы могли вернуться к первоначальному варианту, и немного поэкспериментируем.

Обратите внимание, здесь можно перемещать вершины треугольника, и наблюдать за тем, что при любом положении вершин серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Например, переместим вершину А так, чтобы точка пересечения серединных перпендикуляров находилась вне треугольника.

Или, переместим вершину А дальше, пока она не попадёт на прямую BC. Обратите внимание, точка пересечения серединных перпендикуляров пропала. Они стали параллельны друг другу. Однако и треугольника не стало.

Или, переместим вершину А дальше и получим точку пересечения с другой стороны треугольника.

Теперь мы можем сделать однозначный вывод: теорема о том, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке истинна.

Теперь определим размеры сторон треугольника и величины его углов. Для этого выделяем точки А и B, далее в меню Измерение выберем пункт Расстояние. Появится текст AB равно некоторому значению в сантиметрах. Необходимо отметить, что на самом деле для каждого чертежа длина отрезка будет своя.

Этот текст можно расположить в любом удобном месте окна. Аналогично определяем размеры остальных сторон треугольника.

Далее определим размеры углов нашего треугольника. Для этого последовательно выделяем точки C, А, B и в меню Измерение выбираем команду Угол. Появится текст с величиной угла. Аналогично выделяем остальные углы треугольника и определяем их градусные меры. Нужно отметить, что обозначение угла происходит по правилам, принятым в геометрии, то есть если выбираем угол А и хотим его обозначить тремя точками, то буква А должна располагаться посередине. Если просто выделить точку А, то команда Угол в меню Измерение будет недоступна.

Давайте снова поэкспериментируем с чертежом.

Попробуем поместить точку А на серединный перпендикуляр к стороне BC. Обратите внимание, мы получили равнобедренный треугольник и это наглядно видно по размерам сторон AB и CA. Нужно отметить, что в связи с погрешностью вычислений, углы немного отличаются, но их градусная мера примерно одинаковая, как и положено для углов при основании у равнобедренного треугольника.

Теперь попробуем поместить вершину B на серединный перпендикуляр к стороне АC. Точно это сделать достаточно сложно при данном способе выполнения чертежа, но вполне можно получить хорошее приближение, по которому будет видно, что все стороны примерно равны и все углы примерно равны 60 0 .

Теперь давайте переместим вершину А так, чтобы точка пересечения перпендикуляров совпала с серединой стороны BC – точкой T₂. Обратите внимание, мы получили прямоугольный треугольник. В этом мы можем убедиться, посмотрев на измерение угла CAB. То есть мы с вами наглядно показали существенное свойство прямоугольного треугольника, – в прямоугольном треугольнике с любой гипотенузой центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Вернёмся к нашей теореме и достроим чертёж до конца.

Давайте откроем сохранённый нами чертёж. То есть, мы с вами ещё раз можем убедиться, что использование компьютерного моделирования очень удобно. Мы всегда можем вернуться в первоначальное состояние, не затрачивая время на перечерчивание чертежа. Также лишний раз подчёркивается определённая независимость описанных выше экспериментов с чертежом от содержания теоремы.

Мы с вами знаем, что для построения описанной около треугольника окружности достаточно двух серединных перпендикуляров, ведь они однозначно определяют центр описанной окружности. Поэтому один перпендикуляр на чертеже можно скрыть. Для этого выделяем перпендикуляр к AC и в меню Вид выбираем пункт Спрятать перпендикуляр (или нажать сочетание клавиш Ctrl+H). Точно также можно скрыть точку T₃.

Далее необходимо изобразить центр описанной окружности: выделяем перпендикуляры и в меню Построение выбираем команду Точка на пересечении. С помощью инструмента Текст обозначим её буквой О. Осталось построить окружность. Для этого выделяем точку О и одну из вершин треугольника, например, А. Теперь в меню Построение выбираем команду Окружность по центру и точке. Здесь также необходимо отметить, что первым нужно выделить центр окружности, а затем точку на окружности, иначе окружность будет построена не та, что нам необходима.

Итак, нам нужно доказать, что через центр описанной около треугольника окружности проходят серединные перпендикуляры к его сторонам.

Изобразим радиусы окружности ОB и ОC, и измерим их. Теперь измерим длины отрезков CT₂ и T₂B. Таким образом, на чертеже наглядно видно (благодаря измерениям), что треугольник OCB – равнобедренный и что точка T₂– это середина отрезка BC, то есть ОT₂ – это медиана, а в равнобедренном треугольнике она является высотой.

После этого доказательства можно изложить доказательство строго, опираясь на готовый чертёж. То есть записать доказательство схематично, как это принято в геометрии.

Дан треугольник ABC, точка О – это центр описанной окружности. Нужно доказать, что точка О — это точка пересечения серединных перпендикуляров.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ОCB. Он равнобедренный, так как у него стороны ОB и ОC равны как радиусы окружности. ОT₂ является медианой, так как точка T₂ – является серединой стороны BC. Так как треугольник ОCB является равнобедренным, то ОT₂является и биссектрисой, и высотой данного треугольника. Поэтому центр окружности лежит на прямой, которая перпендикулярна стороне BC и проходит через её середину.

Аналогично доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника.

1. Постройте интерактивную математическую модель теоремы Пифагора с помощью программы GeoGebra* ( в ОС Линукс : м еню - образовательные – GeoGebra, в ОС Windows : п уск - программы) .

2. С помощью колесика мыши увеличьте координатные оси, а с помощью инструмента Переместить чертеж и установите координатные оси чуть выше левого нижнего угла.

3. Выполните настройку разметки координатной сетки в меню Настройка – дополнительно – Настройки/ полотно

4. Смоделируйте прямоугольный треугольник ABC, активировав инструмент Многоугольник . При помощи мыши укажите все вершины треугольника: АВ=51, ВС=52, АС=73 (значения могут быть приблизительными).

5. Установите отображение длин всех сторон прямоугольного треугольника при помощи инструмента Расстояние или длина .

6. Установите отображение всех углов прямоугольного треугольника при помощи инструмента Угол и последовательных щелчков мышью на точках ВАС, A С B , СВА. У вас должно получиться три угла: ВАС ≈ 45.39, CBA=90, ACB ≈ 44.61.

6. Произведите расчеты косинуса, синуса и тангенса углов альфа и гамма. Для этого воспользуйтесь командной строкой ввода. Для того чтобы программа произвела и записала расчет, не забывайте нажимать клавишу Enter .

косинус угла альфа можно вычислить как отношение АВ к АС. (АВ / АС) или как cos ( α ). Нам дано, что АВ=51.34, AC=73.1. Тогда косинус угла альфа будет равен 0,7;

вычислите косинус угла гамма: ВС разделить на АС;

синус угла альфа равен ВС разделить на АС. Нам дано, что ВС=52.04, AC=73.1. Тогда синус угла альфа будет равен 0,71;

вычислите синус угла гамма: АВ разделить на АС;

тангенс угла альфа равен ВС разделить на АВ. нам дано, что ВС=52.04, АВ=51.34. Тогда тангенс угла альфа будет равен 1,01;

вычислите тангенс угла гамма: АВ разделить на ВС.

7. Зарисуйте свою модель в тетрадь, запишите все измеренные и вычисленные величины.

8. Сделайте вывод о достоинствах и недостатках данной геометрической модели.

*Информация для учителя: программа GeoGebra для данной ОС устанавливается через менеджер пакетов Sinaptic . В Интернете есть версия под Windows .

Планиметрия - раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства на плоскости.

Основными фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки обычно обозначаются заглавными буквами - А, В, С, D. Прямые обозначаются строчными буквами - a, b, c, d. (Рис.1)

A, B, C, D, E - точки.

Прямые a и b параллельны,
прямые а и с пересекаются в точке С,
прямые b и с пересекаются в точке Е.

Точка А не принадлежит ни одной прямой.
Точка В принадлежит прямой а,
точка D - прямой b,
точка C - прямой а и с,
точка Е - прямой b и c.

Углы обозначаются так:

∠SOP или ∠О или ∠(hk) или ∠α

где h,k - полупрямые или лучи с начальной точкой О.

Рис.1 Пример обозначения точек и прямых на плоскости.

1. Для любой прямой на плоскости существуют точки принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести только одну прямую.

2. Из трех точек, лежащих на прямой, только одна лежит между двумя другими.

3. Любой отрезок имеет длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.

4. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Любой угол имеет определенную градусную меру. Градусная мера любого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучем, проходящим между его сторонами. Развернутый угол =180˚.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины.

7. От любой полупрямой от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры, меньше 180˚.

8. Для любого треугольника, существует треугольник равный данному, относительно заданной полупрямой в заданном расположении.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Даны три прямые: а,b,c. Прямая a не параллельна b, а не параллельна с, прямая b не параллельна c. Доказать, что либо 3 прямые пересекаются в одной точке либо в 3-х точках.

Допустим 3 прямые имеют две точки пересесения. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Рис.3

А прямая с пересекает прямую b в точке В.

Тогда прямая с пересекает прямую а либо в точке А, либо в точке В. Если прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда точки А,В ∈с и прямая с совпадет с b. Т.е. две точки принадлежат одновременно двум прямым b и с. Согласно аксиоме 1 это невозможно, т.к. через две точки можно провести только одну прямую. Если прямая с пересекает прямую а в точке В, тогда т.А,В ∈а и прямая а совпадет с b. Следовательно через две точки проходят две прямые а и b, что тоже невозможно согласно аксиоме 1.

Отсюда следует, что прямая с может пересекать прямую а в третьей точке, так что:

или прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда т. А ∈а,b,с и т. В ∈b,c но две прямые b и с могут иметь только одну точку пересечения; следовательно точки А и В совпадают. И следовательно три прямые а,b,с пересекаются в одной точке - в точке А. Вывод: Следовательно, наше утверждение неверно, и три прямые не могут пересекаться в двух точках. Три прямые пересекаются либо в одной, либо в трех точках.

3.Смежные углы

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. (Рис.4)

Угол равный 90° называется прямым. Меньше 90° - острым. Больше 90° - тупым. (Рис.5)

4.Вертикальные углы

Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными. (Рис.6)

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство. Пусть α₁ β₁ и α₂ β₂ - данные вертикальные углы. Угол α₁ является смежным с углом β₁. Угол β₁ является смежным с углом α₂. Тогда:

Точно так же можно доказать, что β₁ = β₂.

Рис.6 Вертикальные углы.

5.Перпендикулярные прямые

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикурярными. (Рис.7)

Теорема: Через каждую точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.

Доказательство.

Пусть а данная прямая и точка А данная точка, принадлежащая прямой а. Обозначим на прямой а полупрямую а1. И отложим от полупрямой а1 угол 90° - а1b1. Тогда прямые а и b, на которых лежат полупрямые а1 и b1 перпендикулярны.

Допустим, что существует еще одна прямая, перпендикулярная прямой а, и проходящая через точку А - прямая с. Отложим от полупрямой а1 угол 90° - а1с1. Получается, что от полупрямой, от ее начальной точки (точка А) в заданную полуплоскость можно отложить еще один угол, равный 90°. А это невозможно, так как согласно аксиоме 7, от любой полупрямой, от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Поэтому не может существовать два угла в 90° с одной и той же полупрямой в заданной полуплоскости. Теорема доказана.

Рис.7 Перпендикулярные прямые.

6.Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Теорема: Если две стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между этими сторонами другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.8)

Доказательство.

Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Угол А = А 1 , стороны AB = A 1 B 1 AC = A 1 C 1 (рис 8а) .

Возьмем третий треугольник А 1 В 2 С 2 = АВС. Треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В 2 С 2 расположим таким образом, что стороны А 1 В 1 и А 1 В 2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В 2 лежит на полупрямой А 1 В 1 , а вершина С 2 лежит в той же полуплоскости, где и С 1 . (рис 8б). Согласно аксиоме 6: на любой полупрямой, от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины. Следовательно сторона А 1 В 2 = А 1 В 1 , т.е. точки В 1 и В 2 совпадают.

Согласно аксиоме 7: от любой полупрямой, от ее начальной точки, в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Следовательно углы С 1 А 1 В 1 и С 2 А 1 В 2 равны, т.е. точки С1 и С2 совпадают. Таким образом, треугольники A 1 B 1 C 1 и A 1 B 2 C 2 совпадают. Отсюда равны и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 .

Рис.8 Первый признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников

Теорема: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.9)

Доказательство.

Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Углы А = А 1 , В = В 1 сторона AB = A 1 B 1 (рис 9) .

Возьмем третий треугольник А 1 В 2 С 2 = АВС. Треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В 2 С 2 расположим таким образом, что стороны А 1 В 1 и А 1 В 2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В 2 лежит на полупрямой А 1 В 1 , а вершина С 2 лежит в той же полуплоскости, где и С 1 . (рис 9). Т.к по условию AB = A 1 B 1 и AB = A 1 B 2 по построению, следовательно A 1 B 1 = A 1 B 2 , т.е. точки В 1 и В 2 совпадают.

Рис.9 Второй признак равенства треугольников.

Так как угол В 1 A 1 С 2 равен углу В 1 A 1 С 1 и угол А 1 В 1 С 2 равен углу А 1 В 1 С 1 , то сторона A 1 С 2 совпадает со стороной A 1 С 1 . А сторона В 1 С 2 совпадает со стороной В 1 С 1 . Т.е. вершины С 1 и С 2 совпадают. Следовательно треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником А 1 В 2 С 2 , а следовательно равен треугольнику АВС.

Третий признак равенства треугольников

Теорема: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.10)

Доказательство.

Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Стороны AB = A 1 B 1 , BС = В 1 С 1 , AС = A 1 С 1 (рис. 10) .

Возьмем третий треугольник А 1 В 1 С 2 = АВС. Треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В 1 С 2 расположим таким образом, что вершина С 2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C 1 . (рис 10). Пусть D середина отрезка C 1 C 2 . Таким образом, треугольники C 1 А 1 C 2 и C 1 В 1 C 2 - равнобедренные. А 1 D и B 1 D - медианы, а следовательно и высоты данных треугольников. Но через точку D можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой C 1 C 2 . Следовательно мы пришли к противоречию. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 - равны.

Рис.10 Третий признак равенства треугольников.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.

Пример 1

Даны три луча a,b,c. Точка О их общая начальная точка. Углы ab, ac, bc = 120°. Может ли прямая пересекать все три луча?

Доказательство:

Пусть даны три луча a,b,c с общей точкой О (Рис.11). Углы между ними составляют 120° (по условию задачи). И прямая е, пересекающая лучи а и b в точках А и В. Необходимо доказать, что прямая е не может пересечь все три луча а,b и с одновременно.
Проведем прямую d через луч с. И отложим на прямой d луч с1 в противоположную сторону от луча с. Таким образом, на прямой d лежат два луча с и с1 с общей начальной точкой О, которые являются дополнительными полупрямыми, и лежащих в разных областях угла, образованного лучами a и b: внутренней области α и внешней β. Так как луч с1 проходит между сторонами угла, образованного лучами а и b, то он пересекает прямую е в точке Р. Так как любой луч, проходящий между сторонами угла из его вершины, пересекает отрезок, концы которого лежат на сторонах данного угла. Следовательно прямая d пересекает прямую е в точке Р полупрямой (лучем) с1. Но две прямые d и e могут пересекаться только в одной точке (точка Р), поэтому луч с не может пересекать прямую е, так как он лежит на прямой d. А следовательно прямая е не может перескать все три луча одновременно.

Рис.11 Задача. Даны три луча a,b,c.

Пример 2

Через точку О середину отрезка АВ проведена прямая а, перпендикулярная прямой АВ (рис.12). Доказать, что каждая точка Х на этой прямой удалена от точек А и В на равное расстояние.

Доказательство:

Проведем два отрезка от точек А и В - АХ и ВХ. Рассмотрим два треугольника АОХ и ВОХ. Сторона АО треугольника АОХ равна стороне ОВ треугольника ВОХ по условию задачи. Сторона ОХ является общей стороной для двух треугольников. Отрезок АВ представляет собой развернутый угол с вершиной в точке О, градусная мера которого составляет 180°. Так как прямая а перпендикулярна отрезку АВ, то угол АОХ равен углу ВОХ, т.е. 90°. Таким образом, получается, что треугольники АОХ и ВОХ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда следует, что сторона АХ треугольника АОХ равна стороне ВХ треугольника ВОХ при любой взятой точки Х, лежащей на прямой а. Т.е. расстояние от точки Х до точек А и В равное.

Рис.12 Задача на признак равенства треугольников.

Пример 3

Периметр равнобедренного треугольника равен 2 метра, а основание равно 0,6 метра. Найдите длину боковой стороны.

Решение:

Периметр треугольника равен 2 метра (Рис.13). Следовательно:

Р = АВ + ВС + АС = 2

Но так как АВ = ВС (по условию задачи), то

Ответ: АВ = ВС = 0,7 метра.

Рис.13 Задача. Нахождение боковой стороны.

Пример 4

Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 40 метров, Найдите длину медианы ВD, если периметр треугольника АВD составляет 30 метров.

Решение:

Так как треугольник АВС с основанием АС равнобедренный, то АВ = ВС. А так как BD медиана, то AD = DC (Рис. 14). Обозначим стороны треугольников как:

Р_ABC = 2 x + 2 y = 40

Р_ABD = x + y + z = 30

z = 30 - (x + y) = 30 - 20 = 10

Ответ: ВD = 10 метров.

Рис.14 Задача. Нахождение медианы BD.

Пример 5

Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Треугольники ABU₁ и ABU₂ равны. Докажите, что треугольники CDU₁ и CDU₂ тоже равны.

Доказательство:

По условию задачи треугольники ABU₁ и ABU₂ равны (Рис.15). Следовательно, BU₁ = BU₂. Угол ABU₁ равен углу ABU₂. Отсюда можно сделать вывод, что угол СBU₁ равен углу СBU₂, так как эти углы являются смежными с углами ABU₁ и ABU₂.

Таким образом, треугольники СBU₁ и СBU₂ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: BU₁ = BU₂, а сторона ВС у них общая и углы между ними равны). Следовательно, угол BСU₁ равен углу BСU₂ и СU₁ = СU₂. И следовательно, угол DСU₁ равен углу DСU₂, как смежные с углами BСU₁ и BCU₂.

А отсюда делается заключительный вывод, что треугольники СDU₁ и СDU₂ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: СU₁ = СU₂, а сторона СD у них общая и углы между ними равны).

Читайте также: