Интегралы и дифференциальные уравнения реферат

Обновлено: 02.07.2024

Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко – в физике.
Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП).

Файлы: 1 файл

Документ Microsoft Office Word (2).docx

Выполнил: Грушев Андрей

Проверила: Рамзина Нина Михайловна

Понятие дифференциальных уравнений:

Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко – в физике.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП). Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Одно из простейших применений дифференциальных уравнений – решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид. Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки.

Дифференциальное уравнение y' = y, вместе с начальным условием y(0) = 1, задаёт экспоненту: y(x) = ex. Если x обозначает время, то эта функция описывает рост популяции в условиях неограниченности ресурсов.

Решением дифференциального уравнения y' = f(x), правая часть которого не зависит от неизвестной функции, является неопределённый интеграл:, где C – произвольная константа.

Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях:

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Напомним, что на основе анализа дифференциальных уравнений так были открыты электромагнитные волны, и только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных колебаний стало возможным рассматривать уравнения Максвелла как математическую модель реального физического явления.

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, в свою очередь, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Органическая связь физического и математического ясно проявилась в методе флюксий Ньютона. Законы Ньютона представляют собой математическую модель механического движения. Через обыкновенные дифференциальные уравнения шли приложения нового исчисления к задачам геометрии и механики; при этом удалось решить задачи, которые в течение долгого времени не поддавались решению. В небесной механике оказалось возможным не только получить и объяснить уже известные факты, но и сделать новые открытия (например, открытие Неверье в 1846 году планеты Нептун на основе анализа дифференциальных уравнений).

Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают тогда, когда неизвестная функция зависит лишь от одной независимой переменной. Соотношение между независимой переменной, неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка составляет дифференциальное уравнение. В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой богатую, широко разветвленную теорию. Одними из основных задач этой теории являются существование у дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям (начальные данные Коши, когда требуется определить решение, принимающее заданные значения в некоторой точке и заданные значения производных до некоторого конечного порядка, краевые условия и другие), единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения понимают малые изменения решения при малых изменениях дополнительных данных задачи и функций, определяющих само уравнение. Важными для приложений являются исследование характера решения, или, как говорят, качественного поведения решения, нахождение методов численного решения уравнений. Теория должна дать в руки инженера и физика методы экономного и быстрого вычисления решения.

Уравнения с частными производными начали изучаться значительно позже. Нужно подчеркнуть, что теория уравнений с частными производными возникла на основе конкретных физических задач, приводящих к исследованию отдельных уравнений с частными производными, которые получили название основных уравнений математической физики. Изучение математических моделей конкретных физических задач привело к созданию в середине XVIII века новой ветви анализа – уравнений математической физики, которую можно рассматривать как науку о математических моделях физических явлений [Боярчук А.К., Головач Г.П.Справочное пособие по высшей математике. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений, уравнения в частных производных первого порядка. Т.5, Ч.2. Изд.5М: Метра 2006].

Основы этой науки были заложены трудами Даламбера (1717 – 1783), Эйлера (1707 – 1783), Бернулли (1700 – 1782), Лагранжа (1736 – 1813), Лапласа (1749 – 1827), Пуассона (1781 – 1840), Фурье (1768 – 1830) и других ученых. Интересно то, что многие из них были не только математиками, но и астрономами, механиками, физиками. Разработанные ими при исследовании конкретных задач математической физики идеи и методы оказались применимыми к изучению широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории дифференциальных уравнений.

Важнейшими уравнениями математической физики являются: уравнение Лапласа, уравнение теплопроводности, волновое уравнение.

Здесь мы предполагаем, что функция u зависит от t и трех переменных x1, x2, x3. Уравнение с частными производными – это соотношение между независимыми переменными, неизвестной функцией и ее частными производными до некоторого порядка. Аналогично определяется система уравнений, когда имеется несколько неизвестных функций.

Разве не удивительным является тот факт, что такое простое по форме уравнение, как уравнение Лапласа, содержит в себе огромное богатство замечательных свойств, имеет самые разнообразные приложения, о нем написаны многие книги, ему посвящены многие сотни статей, опубликованных в течение последних столетий, и, несмотря на это, осталось еще много трудных связанных с ним нерешенных проблем.

К изучению уравнения Лапласа приводят самые разнообразные физические задачи совершенно разной природы. Это уравнение встречается в задачах электростатики, теории потенциала, гидродинамики, теории теплопередачи и многих других разделах физики, а также в теории функций комплексного переменного и в различных областях математического анализа. Уравнение Лапласа является простейшим представителем широкого класса так называемых эллиптических уравнений.

Здесь, может быть, уместно вспомнить слова А. Пуанкаре: "Математика – это искусство давать разным вещам одно наименование". Эти слова являются выражением того, что математика изучает одним методом, с помощью математической модели, различные явления действительного мира.

Так же как и уравнение Лапласа, важное место в теории уравнений с частными производными и ее приложениях занимает уравнение теплопроводности. Это уравнение встречается в теории теплопередачи, в теории диффузии и многих других разделах физики, а также играет важную роль в теории вероятностей. Оно является наиболее простым представителем класса так называемых параболических уравнений. Некоторые свойства решений уравнения теплопроводности напоминают свойства решений уравнения Лапласа, что находится в согласии с их физическим смыслом, так как уравнение Лапласа описывает, в частности, стационарное распределение температуры. Уравнение теплопроводности было выведено и впервые исследовано в 1822 году в знаменитой работе Ж. Фурье "Аналитическая теория тепла", которая сыграла важную роль в развитии методов математической физики и теории тригонометрических рядов.

Волновое уравнение описывает различные волновые процессы, в частности распространение звуковых волн. Оно играет важную роль в акустике. Это представитель класса так называемых гиперболических уравнений.

Изучение основных уравнений математической физики дало возможность провести классификацию уравнений и систем с частными производными. И.Г. Петровским в 30-е годы были выделены и впервые изучены классы эллиптических, параболических и гиперболических систем, которые теперь носят его имя. В настоящее время это наиболее хорошо изученные классы уравнений.

Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической) не следует существование решения соответствующей математической задачи.

В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронных вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований [Будак А.Б., Щедрин Б.М.Элементарная математика. Руководство для поступления в вузы. Изд.5 М.: Инфра –М 2005].

Вычислительный эксперимент стал также мощным средством теоретических исследований в физике. Он проводится над математической моделью физического явления, но при этом по одним параметрам модели вычисляются другие параметры и делаются выводы о свойствах изучаемого физического явления. Цель вычислительного эксперимента – построение с необходимой точностью с помощью ЭВМ за возможно меньшее машинное время адекватного количественного описания изучаемого физического явления. В основе такого эксперимента очень часто лежит численное решение системы уравнений с частными производными. Отсюда происходит связь теории дифференциальных уравнений с вычислительной математикой и, в частности, с такими ее важными разделами, как метод конечных разностей, метод конечных элементов и другие.

1. Америн В.С.Введение в математическое моделирование

2. Боярчук А.К., Головач Г.П.Справочное пособие по высшей математике. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений, уравнения в частных производных первого порядка. Т.5, Ч.2. Изд.5М: Метра 2006

3. Будак А.Б., Щедрин Б.М.Элементарная математика. Руководство для поступления в вузы. Изд.5 М.: Инфра –М 2005

4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики М.: ИЛ, 1963 г.

5. Олейник О. А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях М.:МГУ 1996

Основные вопросы лекции: первообразная; неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методы интегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма; понятие определенного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница; применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений; задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , если в любой точке этого промежутка .

Теорема. Если и – первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство

= + .

Множество всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом,

= + .

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть


.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть


3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть


,


где – произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть


5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть


.

Метод замены переменной


,


где – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Метод интегрирования по частям


,

где и – дифференцируемые функции.

Интегрирование рациональных дробей. Простейшими дробями называют дроби вида

и ,

причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней.


Рациональную функцию можно разложить в сумму простейших дробей, причем в знаменателе этих дробей могут быть и степени от выражения стоящего в знаменателе.

Для интегралов вида делают замену , а для интегралов в общем случае используются подстановки Эйлера.

При интегрировании тригонометрических выражений в общем случае используется замена переменной , где .



Талица основных интегралов.

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


10.


11.


12.

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок наэлементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида


(1)

будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на, обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть

= .

Экономический смысл интеграла. Если – производительность труда в момент времени , то есть объем выпускаемой продукции за промежуток . Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или .

Достаточное условие существования интеграла. Теорема. Если непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Интегрирование дифференциальных уравнений с

помощью рядов.

Теорема 1. Об аналитичности решения. Пусть дано линейное уравнение второго порядка:

Если - аналитические функции x в окрестности точки x 0 , то решения уравнения (1) тоже будут аналитическими функциями в точке x 0 и, следовательно, их можно представить в виде ряда:

Теорема 2. О разложимости решения в обобщенный степенной ряд. Если (1) удовлетворяет условиям теоремы 1, но при этом x = x 0 является нулем порядка s для функции , где s -конечное число, нулем порядка s -1 или выше для и нулем порядка не ниже s -2 для ( s >2). Тогда существует хотя бы одно нетривиальное решение (1), которое может быть представлено в виде обобщенного степенного ряда:

где - некоторое действительное число.

Замечание. Второе линейно независимое решение (1) тоже имеет вид (3) или может быть представлено в виде произведения обобщенного степенного ряда и .

Замечание. В конкретных задачах подбирают степенной или обобщенный степенной ряд, формально удовлетворяющий уравнению (1). При подстановке решения в уравнение (1) мы должны получить тождество, которое позволит определить коэффициенты или и . А далее полученный ряд исследуется на сходимость и вычисляется его сумма, которая и будет частным решением (1). Линейная комбинация частных решений в виде бесконечных рядов – общее решение (1).

Перепишем (1) в виде:

Замечание. С помощью замены переменных можно свести процесс поиска решения в окрестности точки к поиску решения в окрестности точки x =0. В дальнейшем будем, не нарушая общности, считать, что решение ищется в точке x =0 . Это решение имеет вид:

Решение (5) подставим в уравнение (4), приведем подобные и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x . Т.о. получим рекуррентные соотношения, позволяющие определить коэффициенты . Первые одно или два уравнения позволяют вычислить . Эти соотношения называются определяющими .

Теорема Фукса (позволяет определить решение в виде (5)). Пусть дано дифференциальное уравнение (4), такое, что функции имеют полюсы в точке . Тогда решения этого уравнения можно искать в виде обобщенного степенного ряда (3) при условии, что и остаются конечными в x 0 .

Пример . Пусть дано (4) и удовлетворяют условиям теоремы Фукса, т.е. могут быть представлены в виде:

Подставим решение (5) в (4), учитывая выражения для . Вычислим производные от решения и тоже подставим в (4):

В итоге получим:

Минимальная степень x в (*) – (). Вычислим коэффициенты при , т.е. при n =0:

Квадратное уравнение относительно – определяющее соотношение, решив его, получим . В общем виде, выписав соотношение при , найдем зависимости для .

Из определяющего уравнения мы находим два значения .

1) Предположим, что не равны между собой и их разность не равна целому числу . Тогда можно последовательно вычислить два ряда коэффициентов соответствующих . После этого получим два обобщенных степенных ряда типа (5), которые определяют линейно-независимые решения уравнения (4).

2) Пусть , значит по соотношению (5) можно найти только одно решение (4), а второе будем искать с помощью следующего приема. Пусть и линейно-независимые решения (4), -произвольные функции. Подставим и в уравнение (4) и исключим из него :

Левая часть этого уравнения, с точностью до множителя будет производной от выражения:

3) Пусть , но натуральное число ( ). Тогда мы можем выписать коэффициенты ряда соответствующие : . Для ряда, который соответствует , процесс вычисления коэффициентов обрывается на номере n-1. Соотношения, которые мы получаем, связывают коэффициент с ….

Значит, от этого соотношения остается равенство:

Если уже вычисленные коэффициенты не удовлетворяют этому равенству, то найти второе частное решение вида (5) - невозможно, т.е. предложенный метод не позволяет определить общий интеграл. Если же это соотношение выполняется, тогда можно все коэффициенты выразить через .Тогда остается неопределенным и ряд для корня строится с точностью до двух параметров .

Пример. Гипергеометрический ряд.

- постоянные параметры.

Это уравнение имеет две особые точки x =0 и x =1, т.е. мы можем искать решение уравнения в виде ряда в окрестности 0 или 1, т.к. для обеих точек условие теоремы Фукса выполняются. Будем искать решение в виде:

Подставим в исходное уравнение:

Выпишем коэффициенты при соответствующих степенях x :

В этом случае каждое решение может быть представлено в виде обобщенного степенного ряда.

1). v 1 =0,

Гипергеометрический ряд Гаусса. Этот ряд сходится абсолютно при любых значениях , если | x | x |=1 абсолютно, если . Обозначается этот ряд следующим образом: , где F -гипергеометрическая функция Гаусса.

Тогда общее решение исходного уравнения: .

Уравнение Бесселя.

где- произвольное действительное число, называется уравнением Бесселя .

В некоторых случаях может быть комплексным, но тогда предполагается неотрицательной его действительная часть.

Для (1) выполняется условие теоремы Фукса - x =0 особая точка. Значит, решение будем искать в виде:

Если подставить (2) в (1), то получим следующие соотношения при степенях x .

В качестве определяющего соотношения выберем первое уравнение системы, тогда

Рассмотрим второе равенство из (3):

Т.к. , а каждое определяется через , то все нечетные коэффициенты будут равны нулю. А все четные коэффициенты будут определяться по формуле (6).

В (8) выразим все коэффициенты через :

Воспользуемся свойствами гамма-функции () и запишем коэффициенты в компактной форме:

Определение. Ряд (2) соотвествующий , с коэффициентом , определяющемся по формуле (9) и - по формуле (10) – называется функцией Бесселя первого рода -ого порядка.

Если , то второе линейно-независимое решение имеет вид:

Ряды (13) и (14) сходятся для любых x .

Заметим, что (14) определяет функцию Бесселя только для дробных значений , поскольку при целых отрицательных коэффициенты этого ряда не существуют. Но т.к. функция Бесселя непрерывна, мы можем продолжить ее и для =- n , где n – целое число. Т.е. . В этом случае мы получим только одно линейно-независимое решение.

Периодические решения дифференциальных уравнений.

Дано дифференциальное уравнение вида:

Пусть нужно найти периодическое решение некоторого дифференциального уравнения, тогда естественно искать решение в виде соответствующего ряда Фурье.

Если решение уравнения (1) имеет период Т, то тогда правая часть (1) тоже периодическая функция с периодом Т. Подставим известное решение в уравнение (1) и, заменив х=х+Т , получим:

Воспользуемся тем, что решение имеет период Т, т.е.:

Для того, чтобы последнее выражение было тождеством необходимо и достаточно, чтобы F была периодической, т.е. функция F вдоль интегральной кривой имела период Т по явно входящему аргументу х .

Замечание. Если правая часть (1) при любом выборе , не является периодической функцией по х, то периодического решения (1) не существует.

Замечание. Если функция F не зависит явно от аргумента х , то F можно рассматривать как периодическую функцию от х любого периода и поэтому у уравнения (1) будут существовать периодические решения любого периода.

Пусть дано уравнение (3)

и требуется найти периодическое решение этого уравнения. Предположим, что f ( x ) – периодическая функция с периодом 2  . Раз правая часть имеет период 2  , то мы ее можем представить в виде ряда Фурье.

Подставим (4) и (5) в (3):

Периодическое решение полностью определено.

Замечание. Ряд (5) с определенными коэффициентами (6) сходится и допускает двукратное дифференцирование. В силу того, что f ( x ) непрерывна, ряд сходится равномерно и значит решение y ( x ) – сумма этого ряда.

Замечание. Если коэффициенты в периодическом решении и число а мало отличается от целого числа n, тогда наступает явление резонанса, т.е. резко возрастает один из коэффициентов . Если a = n и хоть один из коэффициентов не равен 0, то периодического решения не существует. Если оба коэффициента , то при a = n периодическое решение уравнения существует.

Содержание

Введение……………………………………………………………….……3
Основные понятия и определения………………………………….……..4
Существование решения дифференциального уравнения первого порядка…………………………….……. …..6
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными……………………….……. …. 12
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………………..…16
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………….…. ….18
Заключение…………………………………………………………….…..20
Литература………..………………………………………………………..21

Вложенные файлы: 1 файл

Диф ур - копия.docx

  1. Введение………………………………………………………… …….……3
  2. Основные понятия и определения………………………………….……..4
  3. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка…………………………………………………………. ……. …..6
  4. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными………………………………………………… .……. …. 12
  5. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………… ……..…16
  6. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………… .…. ….18
  7. Заключение…………………………………………………… ……….…..20
  8. Литература………..……………………………………… ………………..21

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными.

Основные понятия и определения.

Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Например, пусть дано дифференциальной уравнение .

Тогда любая функция вида y=c1sinx+c2cosx, где c1, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c1si nx+c2cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем .

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка

отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c1, c2, …, cn), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c1, c2, …, cn, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, …, cn)=0.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c1, c2 , …, cn. Обычно значения этих произвольных постоянных c1, c2 , …, cn определяются заданием начальных условий: y(x0)=y0, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

решая которые относительно c1, c2 , …, cn находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x0,y0).

Существование решения дифференциального уравнения первого порядка.

Задано дифференциальное уравнение вида

Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Тогда из следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) – первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c0. Из y(x0)=y0, y(x0)=F(x0)+c0 получаем c0=y0-F(x0), т.е. y(x)=F(x)-F(x0)+y0.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F(x)-F(x0) равна значению определенного интеграла ,

И, следовательно, получаем

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, получила в литературе название задачи Коши.

Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравнения было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнение и начальные значения x0,y0.

А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ;

Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. , где L – постоянная;

То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где .

Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится по правилу:

Далее можно показать, что функция дает единственное решение дифференциального уравнения в промежутке .

Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y / .

Более общим видом является случай уравнения вида , не разрешимого относительно производной y / .

Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y / , и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений (k=1,2,…,m).

Если при этом каждая из функций (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то через точку (x0,y0) будет проходить m интегральных кривых уравнения . Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого из уравнений (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Yk(x,c) (k=1,2,…,m).

Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида . Разрешая его относительно y / получаем два уравнения y / =1 и y / =-1, т.е. через каждую точку плоскости xOy проходят две интегральные кривые, касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 45 0 и 135 0 . Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-x+c.

Особым решением дифференциального уравнения

называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.

Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение может иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.

Особые решения дифференциального уравнения.

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y / )=0.

Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с условием , не обеспечивающим представление y / как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y / )=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

и исключая из нее переменную y / , получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y / )=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y / )=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y / )=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения.

Пример 1. Дано уравнение .

Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

Пример 2. Дано уравнение .

Для него , т.е. дискретной кривой нет. Из и условия , получаем точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает .

Покажем, что . Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x0=x(t0), y0=y(t0) при t=t0 равен

Читайте также: