Группа невырожденных матриц реферат

Обновлено: 05.07.2024

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

Содержание

Глава I. Алгебра матриц……………………………………………………………. 3
1. Понятие матрицы…………………………………………………………..3
2. Виды матриц………………………………………………………………..3
3. Основные операции над матрицами и их свойства……………………. 5
3.1. Сложение матриц……………………………………………………. 5
3.2. Умножение матрицы на число………………………………………. 5
3.3. Произведение матриц………………………………………………….6
4. Вырожденные и невырожденные матрицы………………………………8
5. Обратная матрица…………………………………………………………..8
6. Понятие и основные свойства определителя…………………………….10
7. Транспонирование…………………………………………………………11
Глава II. Реализация матричных операций в Mathcad……………………………..12
Заключение…………………………………………………………………………. 17
Литература…………………………………………………………………………….18

Работа содержит 1 файл

Алгебра матриц.doc

Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d₁ = d₂ = … = d_n = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом,

В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что

А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6)

Первая из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.6), но и элементарно проверяемое равенство

А + 0 = 0 + А = А.

В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадратных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю).

4. Вырожденные и невырожденные матрицы

Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Пример. , = 16-15 = 1 0; А – невырожденная матрица.

, = 12-12 = 0; А – вырожденная матрица.

Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.

Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной.

Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. =0. Найдем , т.к. =0; итак, =0; АВ - вырожденная матрица.

Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.

5. Обратная матрица

Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если

В – матрица обратная к А.

Теорема. Если для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.

Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что

Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е. Х = У. Теорема доказана.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Обратная матрица А -1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А -1 , т.е. А А -1 = А -1 А = Е. Тогда, ½ А А -1 ½ = ½ А ½ ½ А -1 ½ = ½ Е ½ =1, т.е. ½ А ½ 0 и

½ А -1 ½ 0; А – невырожденная.

Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица порядка n

так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

ее называют присоединенной к матрице А.

Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А * , для .

Найдем произведения матриц АА * и А * А. Обозначим АА * через С, тогда по определению произведения матриц имеем: С_ij = а_i1А _1j + а _i2А _2j + … + а _inА_nj;

При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С_ij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i j, т.е. для элементов С_ij вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак,

Аналогично доказывается, что произведение А на А * равно той же матрице С. Таким образом, имеем А * А = АА * = С. Отсюда следует, что

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , то Итак, обратная матрица существует и имеет вид:

6. Понятие и основные свойства определителя

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка п:

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Если порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента а_{i j} определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента.

Если далее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид

то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а₁₁ а₂₂— а₁₂ а₂₁ и обозначаемое одним из символов:

Итак, по определению

Формула (1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений.

Прежде всего отметим, что detA=detA T , т. е. определитель матрицы не изменяет своего значения при возможной замене её строк и столбцов (трансформированием матрицы). Поэтому все свойства определителя, сформулированные для столбцов, справедливы и для строк, и обратно. Основные свойства:

при перестановке двух столбцов определитель теряет знак (свойство антисимметрии);
определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь столбца равны нулю или если один из столбцов является линейной комбинацией любых его других столбцов (в частности, определитель, у которого хотя бы два столбца одинаковы, равен нулю);
умножение всех элементов какого-нибудь столбца на скаляр равнозначно умножению определителя на это число (общий множитель элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя);
умножение матрицы n-го порядка на скаляр соответствует умножению её определителя на l n , т. е. det( l , A)= l n detA;
значение определителя не изменится, если к какому-нибудь столбцу прибавить другой столбец, умноженный на скаляр l ;
если два определителя одинаковых порядков различаются между собой только элементами i-того столбца, то их сумма равна определителю, элементы i-того столбца которого равны суммам соответствующих элементов i-х столбцов исходных определителей, а остальные элементы – те же, что у исходных.

7. Транспонирование

Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров — матрица AT размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].

2) (А + В)т = Ат + Вт;

3) (А В С)т = СтВтАт - транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, записанных в обратной последовательности.

Если А = Ат, матрица симметрична.

II. Реализация матричных операций в Mathcad

Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами в системе MathCad. Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001. Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

При работе с матрицами используется панель инструментов “Матрицы”

Рис.1 Панель инструментов Матрицы

Для ввода матрицы:

введите имя матрицы и знак присваивания (двоеточие)
щелкните по значку “создать матрицу” в панели “Матрицы”.
В появившемся диалоге задайте число строк и столбцов матрицы.

После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно:

выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции,
или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Меню “Символы” содержит три операции - транспонирование, инвертирование, определитель.

Это означает, например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/ Определитель.

Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1.

width="32" height="25" border="0" />
размера называется прямоугольная матрица размера с элементами , задающимися соотношением (7). Нами доказана

3.2.1 Теорема. Произведение двух линейных отображений с матрицами и является линейным отображением с матрицей . Другими словами,

Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6).

Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение двух произвольных матриц , , имея в виду, однако, что символ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице . Именно при этом условии работает правило (7) "умножения -й строки на -й столбец ", согласно которому

Число строк, матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов --- числу столбцов матрицы . В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, , как показывает хотя бы следующий пример:

Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.

Следствие. Умножение матриц ассоциативно:

Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).

3.3 Квадратные матрицы

Пусть (или ) --- множество всех квадратных матриц () порядка с вещественными коэффициентами ,

Единичному преобразованию , переводящему каждый столбец в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица

Можно записать , где

- символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить на , показывает, что справедливы соотношения

Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с .

Как мы знаем (см. (5)), матрицы из можно умножать на числа, понимая под , где , матрицу .

Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:

- известная нам скалярная матрица.

В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности с любой матрицей . Весьма важным для приложений является следующее его обращение.

3.3.1 Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми матрицами в , должна быть скалярной.

Доказательство. Введем матрицу , в которой на пересечении -й строки и -го столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если --- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,

Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы

с единственным ненулевым -м столбцом и соответственно с единственной ненулевой -й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям при и . Меняя и , получаем требуемое.

Отметим еще соотношения , которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.

Для данной матрицы можно попробовать найти такую матрицу , чтобы выполнялось условие

Если матрица существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие

означающее, что --- преобразование, обратное к . существует тогда и только тогда, когда --- биективное преобразование. При этом определено однозначно. Так как , то биективность означает, в частности, что

Пусть теперь --- какое-то биективное линейное преобразование из в . Обратное к нему преобразование существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы

и применим к обеим частям этих равенств преобразование . В силу его линейности получим

Так как , то

откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что , --- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем , где --- некоторая матрица. Переписав условие () в виде (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).

Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование биективно. При этом преобразование линейно. Биективность равносильна условию, что любой вектор-столбец записывается единственным образом в виде (1)

где --- столбцы матрицы (сюръективность приводит к существованию , для которого , а инъективность дает единственность : если , то , откуда, согласно (12), ). Значит, совпадает с пространством столбцов матрицы , так что .

Если матрица, обратная к , существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом . В таком случае (см. ())

Квадратную матрицу , для которой существует обратная матрица , называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование . В противном случае матрицу и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными).

Резюмируем полученные нами результаты.

3.3.2 Теорема. Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14).

Следствие. Невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные --- матрицы, то произведение также невырождено и .

Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия .

Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:

где , , --- произвольные матрицы из .

Действительно, полагая , мы получим для любых равенство (используется дистрибутивность в ):

левая часть которого дает элемент матрицы , а правая --- элементы и матриц и соответственно . Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности

для линейных отображений , , из в можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из (), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.

Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.

Пусть – группа, – ее единичный элемент, .

Определение.Порядком элемента группы называется наименьшее натуральное число , такое, что . Если для любого натурального числа , то называют элементом бесконечного порядка.

Примеры

5.1.В мультипликативной группе комплексных чисел

1) порядок равен , так как ;

2) порядок равен , так как , ;

3) порядок равен 3, так как , , ;

4) порядок равен , так как , , , ;

5) порядок равен , так как , , , ;

6) число – элемент бесконечного порядка, так как при .

5.2.В мультипликативной группе невырожденных квадратных матриц второго порядка с действительными элементами

1) порядок матрицы равен , так как , = ;

2) порядок матрицы равен , так как , , ,

;

3) матрица – элемент бесконечного порядка, так как ,

, , можно доказать методом математической индукции при .

Циклические группы

Определение.Мультипликативная группа называется циклической, если основное множество группы состоит из степеней какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы.

, где – образующий элемент.

Определение.Аддитивная группа называется циклической, если ее основное множество состоит из кратных какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы.

, где – образующий элемент группы.

Теорема 1.Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка изоморфны между собой.

Теорема 2. Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа.

Примеры

5.4. – аддитивная группа целых чисел.

или

следовательно, – циклическая группа с образующим элементом или .

5.5.Аддитивная группа является циклической с образующим элементом или . Этот результат следует из примера 5.3.

5.6.Выясните, является ли мультипликативная группа корней 6-ой степени из 1 циклической. Если да, то найдите все ее образующие элементы.

, где – единичный элемент. Найдем порядок каждого элемента группы, для чего используем таблицу Кэли задачи 1.10.

, порядок равен ;

, , , , , , порядок равен 6, видим, что множество состоит из степеней элемента , следовательно, группа – циклическая, с образующим элементом ;

, , , порядок равен ;

, , порядок равен ;

, , , порядок равен ;

, , , , , , порядок равен . Видим, что элемент также является образующим элементом данной группы.

Вывод: группа является циклической, с образующим элементом или .

5.7.Найдите порядок каждого элемента симметрической группы 3-ей степени. Выясните, какие циклические подгруппы данной группы они порождают.

Дана группа , где , – единичный элемент данной группы.

При решении используем результаты примера 2.7:

, порядок равен . Единичная подгруппа – циклическая;

, , порядок равен . Кроме того, подгруппа является циклической, с образующим элементом ;

, , , порядок равен , а подгруппа является циклической, с образующим элементом ;

, , порядок равен , подгруппа – циклическая, с образующим элементом ;

, , , порядок равен . Видим, что элемент еще один образующий элемент подгруппы ;

, , порядок равен , подгруппа – циклическая, с образующим элементом .

Вывод: группа циклической не является, но все подгруппы этой группы, кроме самой группы, циклические. Подгруппа имеет два образующих элемента и .

5.8.Докажите, что множество , состоящее из матриц , , , , является подгруппой мультипликативной группы невырожденных квадратных матриц 2-го порядка с действительными элементами. Является ли эта группа абелевой? Является ли она циклической? Каковы ее образующие элементы?

Составим таблицу умножения для матриц из множества

×

Из таблицы видим, что умножение – алгебраическая операция в , операция умножение – коммутативна, так как таблица симметрична относительно главной диагонали, в алгебре , , , . По критерию подгруппы, алгебра - подгруппа мультипликативной группы невырожденных матриц с действительными элементами, причем абелева.

Найдем порядок каждого элемента подгруппы

, следовательно, порядок равен ;

, , порядок равен ;

, , , , порядок равен , кроме того подгруппа – циклическая, так как множество G состоит из степеней матрицы , т.е. матрица является образующим элементом подгруппы ;

, , , , порядок равен 4, матрица – образующий элемент подгруппы .

Изоморфизм групп

Пусть даны группы и .

Определение.Группы и называются изоморфными, если существует отображение j множества на множество , удовлетворяющее условиям:

1) - инъективное отображение множества на множество , т.е.

если , то ;

2) , .

Обозначают .

Примеры

6.1.Докажем, что аддитивная группа целых чисел изоморфна аддитивной группе четных чисел.

и – данные группы. .

Зададим отображение множества на множество формулой: , :

1) - инъективное отображение, так как для любых и , и если , то , т.е. ;

2) .

По определению, - изоморфизм группы на группу , следовательно, .

6.2.Докажите, что аддитивная группа четных чисел изоморфна мультипликативной группе целых степеней числа .

Даны группы , , где , .

Зададим отображение множества на множество формулой , :

1) отображение - инъективное, так как , , и если , то , , и ;

2) .

По определению, .

6.3.Докажите, что аддитивная группа действительных чисел изоморфна мультипликативной группе положительных действительных чисел.

и – данные группы.

Зададим отображение множества на множество формулой , :

1. отображение - инъективное, так как , и если , то , то есть ;

2. .

По определению, .

6.4.Докажите, что мультипликативная группа матриц вида , изоморфна аддитивной группе действительных чисел.

Пусть , где , – данные группы.

Зададим отображение множества на множество формулой:
, :

1. - инъективное отображение, так как , , если , то ;

2. ,

Пусть — квадратная матрица -го порядка

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель не равен нулю: . В противном случае () матрица называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице , называется матрица

где — алгебраическое дополнение элемента данной матрицы (оно определятся так же, как и алгебраическое дополнение элемента , определителя).

Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие

где — единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .

Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

, причем .

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц и :

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

т. е.

Отметим свойства обратной матрицы:

Пример №3.1.

Найти если .

Решение:

1) Находим : .

2) Находим : поэтому .

3) Находим : .

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера .

Выделим в ней строк и столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где — число сочетаний из элементов по .)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или .

Очевидно, что , где — меньшее из чисел и .

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример №3.4.

Найти ранг матрицы:

Решение:

Вес миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля . Значит, . Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: