Черные дыры во вселенной история их исследования реферат

Обновлено: 05.07.2024

Чёрные дыры – одна из самых загадочных тем в современной науке, и самая привлекательная для фантастических произведений. Некоторые оптимисты верят, что чёрные дыры можно использовать как порталы для путешествия в другие части Вселенной, а основные теории всё же призывают не строить надежд и иллюзий на то, что, приблизившись к ней, можно вообще остаться в живых. Итак, с чего же всё началось?

Ученые считали, что свет движется с бесконечной скоростью, поэтому ничто не может его остановить, но датскому астроному Олафу Рёмеру в 1676 году удалось доказать, что скорость света конечна. Наблюдая за затмениями, учёный заметил, что моменты затмений сдвигаются во времени в зависимости от положения Земли на орбите, что натолкнуло его на мысль о конечности скорости света.

Аспирант из Индии Субраманьян Чандрасекар во время своего морского путешествия в Англию сумел вычислить, какой величины должна быть звезда, чтобы после израсходования своего ядерного топлива смогла противостоять действию собственных гравитационных сил. Когда звезда уменьшается, частицы становятся всё ближе друг к другу, соответственно, их скорости становятся более различными. Но это отталкивание, согласно ОТО, не может быть беспредельным. Максимальная разница скоростей частиц вещества в звезде равна скорости света (этот вывод сделан из работ Эйнштейна). Это значит, что когда звезда становится достаточно плотной, отталкивание становится меньше гравитационного притяжения. Чандрасекар рассчитал, что если звезда в полтора раза больше по своей массе, чем Солнце, то она уже не сможет противостоять силам собственной гравитации, и сожмётся, образуя чёрную дыру или нейтронную звезду, вместо того, чтобы взорваться – данное значение звездной массы называется пределом Чандрасекара.

В 1932 году советский физик Ландау предположил, что гравитационная сила черной дыры будет настолько велика, что, согласно ОТО, она начнет искажать пространство-время. Такая мысль заинтересовала молодого американского физика Роберта Оппенгеймера, который описал, что из-за гравитационного поля звезды лучи света в пространстве-времени отклоняются от своих траекторий, как если бы они перемещались без неё. Такой эффект можно наблюдать в процессе солнечного затмения. Когда звезда сжимается, ее гравитационное поле увеличивается, и наклон лучей становится больше. Световым лучам становится всё труднее вырваться, и свет звезды тускнеет, а, в конце концов, с увеличением сжатия, звезда и вовсе перестает светиться.

Позднее группе ученых удалось доказать, что черные дыры могут вращаться и могут быть нестабильными.

Подтвердятся ли идеи Хокинга? Что ещё мы узнаем о черных дырах? Будем следить за новейшими открытиями!

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Исследовательская работа по астрономии

Автор: Аверкина Анна, 10 класс

Научный руководитель: Доронина Елена Анатольевна , учитель физики и астрономии

Глава 1.Теоретическая часть………………………………….………….………… 6

Как образуются черные дыры в космосе………………..……………7

Разновидности чёрных дыр……………………………………………9

Обнаружение чёрной дыры………………………………..…………12

Глава 2.Практическая часть ……………………………………………………….. 13

Список литературы и источников………………………………………………. 1 6

Тема черных дыр является одной из актуальнейших тем современной астрономии, астрофизики и космологии, так как эти объекты помогают лучше понять устройство нашей Вселенной, с момента большого взрыва по настоящий день, а также позволят понять, что будет с нашей Вселенной.

Было опрошено 30 человек. Я попросила ответить их на три вопроса, и узнала, что 80% учащихся 10 классов заинтересованы в таком явлении, как чёрные дыры и им интересно узнать о нём.

Иллюстрация 1: Диаграмма заинтересованности

Гипотеза исследования заключается в следующем:

Распространенный миф о черных дырах, который говорит, о том, что они всасывают всю материю вокруг себя, неверен. Они будут всасывать материю, которая находится на определенном расстоянии.

Цель работы состоит в том, чтобы выяснить что такое Чёрная дыра, какими свойствами она обладает, и как образуется.

Отобрать и проанализировать литературу по данной теме;

Провести опрос на выявление заинтересованности и осведомленности людей в науке (в частности, в явлении черных дыр) ;

Найти ответ на вопрос: что такое чёрная дыра, её свойства, как образуется и её виды;

Познакомиться с возникновением, формированием, видами черных дыр;

Объект исследования: Черные дыры как астрофизический объект и элемент научной фантастики.

Предмет исследования: эволюция и природа черных дыр.

Методы исследования:

Анализ различных источников литературы

Систематизация и обобщение данных

1.Теоретическая часть

Однако попытки объяснить это загадочное явление были сделаны давно, около 200 лет назад.

Исаак Ньютон, считал, что свет состоит из частиц. Значит, он обладает массой и на него действует гравитация.

Исходя из этого, английский астроном Джон Мичелл предположил, что в природе могут существовать столь массивные звезды, что даже луч света не способен покинуть их поверхность.

Великий ученый Альберт Эйнштейн теоретически доказал возможность существования черных дыр.

Где находятся черные дыры?

Самый первый вопрос, который волнует людей в проблеме чёрных дыр, это стремление узнать, где вообще находятся чёрные дыры. В действительности чёрные дыры разбросаны по всей Вселенной. Чёрная дыра может образоваться в любом месте, в том числе и рядом с Солнечной системой.

Тема черных дыр является одной из актуальнейших тем современной астрономии, астрофизики и космологии, так как эти объекты помогают лучше понять устройство нашей Вселенной, с момента большого взрыва по настоящий день, а также позволят понять, что будет с нашей Вселенной.

Чёрная дыра — область в пространстве-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света, в том числе кванты самого света. Граница черной дыры называется горизонтом событий, а её характерный размер — гравитационным радиусом.

1.2. Как образуются черные дыры в космосе.

В конце жизни звезда может начать сжиматься к центру за счет потери внутреннего давления. При этом перейдя определенную границу - радиус Шварцшильда, ее плотность станет настолько велика, что она продолжит сжатие и его уже ничего не сможет остановить. В результате получается объект с огромной массой и плотностью т. е. черная дыра. Называется "черной", т. к. вторая космическая скорость у поверхности превышает скорость света.

Черные дыры могут образовываться в результате астрофизических процессов, когда у звезд с массой, на порядок превышающей массу Солнца, кончается термоядерное топливо, и они обрушиваются внутрь себя под действием гравитационных сил. Имеется достаточно данных наблюдений, свидетельствующих о реальности существования таких черных дыр во Вселенной

С астрофизической точки зрения, обнаруженные черные дыры подразделяются на две категории:

П ервый тип- это черные дыры, образовавшиеся в результате коллапса массивных звезд и обладающие соответствующей массой. Поскольку черные дыры кажутся нам реально черными, наблюдать их крайне сложно. Если посчастливится, мы можем увидеть лишь шлейф газа, затягиваемого в черную дыру. Разгоняясь при падении, газ разогревается и испускает характерное излучение, которое мы только и можем обнаружить. Источником газа при этом является другая звезда, образующая парную систему с черной дырой и обращающаяся вместе с ней вокруг центра масс двойной звездной системы. Иными словами, сначала мы имели обычную двойную звезду, затем одна из звезд в результате гравитационного коллапса превратилась в черную дыру. После этого черная дыра начинает засасывать газ с поверхности горячей звезды.

второй тип - это гораздо более массивные черные дыры в центрах галактик. Их масса превышает массу Солнца в миллиарды раз. Опять же, падая на такие черные дыры, вещество разогревается и испускает характерное излучение, которое со временем доходит до Земли, его-то мы и можем обнаружить. Предполагается, что все крупные галактики, включая нашу, имеют в центре свою черную дыру.

Согласно теории Эйнштейна черная дыра представляет собой бездонный провал в пространстве-времени, падение в который необратимо. Что упало, то пропало в черной дыре навеки.

Рис. 4 –Гравитационные воронки (искривление пространства-времени)

1.3.Разновидности Чёрных дыр.

Современная астрофизика рассматривает четыре типа черных дыр во Вселенной : звездные , сверхмассивные , первичные и квантовые .

Звездные черные дыры

Это черные дыры со звездными массами. Они возникают как результат жизни массивных звезд. Отметим, что черные дыры образуются только из звезд, масса которых превышает массу Солнца в 20-40 раз.

Сверхмассивные черные дыры

Предпологают, что такие черные дыры находятся в центрах галактик. Их масса может составлять до 10 в девятой степени масс Солнца. Эти выводы сделаны на основании анализа движения звезд около центров галактик.

Существует также гипотеза, согласно которой сверхмассивные черные дырынаходятся в центрах квазаров – малоизученных и самых далеких из тех космических объектов, которые можно наблюдать с Земли. Квазары представляют собой ядра галактик и в своем центре имеют черную дыру.

Квазары обладают невероятно сильной светимостью и небольшими размерами, их можно наблюдать на расстоянии в 10 млрд световых лет. Эти объекты выделяют огромную энергию во всех областях спектра электромагнитных волн, а особенно — в инфракрасной области.

Первичные или реликтовые черные дыры

Самые маленькие черные дыры, образование которых происходило на ранних стадиях развития Вселенной. Появившиеся вследствие неоднородности Большого Взрыва сгустки вещества могли сжиматься до состояния черных дыр, пока остальная часть вещества расширялась.

Черная дыра — это не всегда что-то очень большое и тяжелое. Ученые предполагают, что размер некоторых первичных черных дыр может быть значительно меньше размера протона.

Квантовые чёрные дыры

Предполагается, что в результате ядерных реакций могут возникать устойчивые микроскопические чёрные дыры, так называемые квантовые чёрные дыры. Для математического описания таких объектов необходима квантовая теория гравитации. Однако из общих соображений весьма вероятно, что спектр масс чёрных дыр дискретен и существует минимальная чёрная дыра — планковская чёрная дыра.

Даже если квантовые чёрные дыры существуют, время их существования крайне мало, что делает их непосредственное обнаружение очень проблематичным.

1.4.Свойства чёрных дыр

У черных дыр очень интересные свойства. После коллапса звезды в черную дыру ее свойства будут зависеть только от двух параметров: массы и углового момента вращения. То есть, черные дыры представляют собой универсальные объекты, то есть, их свойства не зависят от свойств вещества, из которого они образованы. При любом химическом составе вещества исходной звезды свойства черной дыры будут одними и теми же. То есть, черные дыры подчиняются только законам теории гравитации - и никаким иным.

1.5.Обнаружение чёрной дыры

Рис. 5 – Искажение изображения галактики, проходящей перед черной дырой

На самом деле, большинство астрономов теперь считают, что супер массивная черная дыра может существовать в центре нашей галактики Млечный Путь (рис. 6 ). Означает ли это, что она в конечном итоге все поглотит? На самом деле, нет. Черная дыра имеет ту же массу, что и оригинальные звезды, потому как была сформирована из них. Пока ничего не предвещает слишком близкого приближения к горизонту событий, так что это безопасно. Вполне вероятно, что миллиарды звезд в нашей галактике будет продолжать орбиту вокруг этой гигантской черной дыры миллиарды лет вперед. Доказательства этой и других черных дыр может быть подтверждены с помощью функции поиска для рентгеновских лучей. Астрономы полагают, что черные дыры излучают их в большом количестве.

Глава 2.Практическая часть.

Для подробного изучения аудитории и ее заинтересованности в данном явлении я решила провести опрос среди одноклассников. Я попросила 30 человек ответить на три вопроса, и получила следующие данные:

Вопрос 1: Интересуетесь ли Вы космосом (смотрите телепередачи, читаете книги или статьи)?

а) да, данная тема мне интересна;

б) нет, мне это не нравится;

Вопрос 3 : Хотели бы Вы узнать про самые загадочные объекты во Вселенной – черные дыры?

На основании проведенного исследования мною были сделаны следующие выводы:

только небольшому числу десятиклассников был не знаком вышеуказанный термин;

Таким образом, мои исследования и моя научная работа дают возможность убедиться в ее актуальности. И главное, у меня не осталось сомнений, что людям , в частности подросткам возраста 16 — 17 лет, интересно узнавать про странные и загадочные объекты в космосе, например, такие, как черные дыры.

Из вышесказанного можно сделать вывод о том, что черная дыра - это тот объект Вселенной, который окончательно еще не изучен. Черные дыры, несомненно, самые загадочные объекты в космосе. Их причудливые свойства могут бросить вызов законам физики Вселенной и даже природе существующей действительности. Черные дыры образуются из ядер супер массивных звезд, которые можно охарактеризовать как область пространства, где огромная масса сосредоточена в пустоте, и ничего, даже свет не может там избежать гравитационного притяжения. Эта та область пространства, где вторая космическая скорость превышает скорость света. И чем массивнее объект движения, тем быстрее он должен двигаться, чтобы избавиться от силы своей тяжести.

Список использованной литературы

Bernard J. Carr and Steven B. Giddings: Quantum Black Holes May. – Scientific American, 2005.

S. Hawking. Black holes and baby universes. – New York: Bantam books, 1994.

Наука. Величайшие теории. Ньютон, закон всемирного тяготения. – Москва: Де Агостини, 2015.

Наука. Величайшие теории. Эйнштейн, теория относительности. – Москва: Де Агостини, 2015.

черная дыра

Черные дыры – пожалуй, самые таинственные и загадочные астрономические объекты в нашей Вселенной, с момента своего открытия привлекают внимание ученых мужей и будоражат фантазию писателей-фантастов. Что же такое черные дыры и что они из себя представляют? Черные дыры – это погаснувшие звезды, в силу своих физических особенностей, обладающие настолько высокой плотностью и настолько мощной гравитацией, что даже свету не удается вырваться за их пределы.

История открытия

Позже, в 1918 году о вопросе черных дыр в контексте теории относительности писал великий ученый Альберт Эйнштейн. Но только в 1967 году стараниями американского астрофизика Джона Уиллера понятие черных дыр окончательно завоевало место в академических кругах.

Как бы там ни было, и Д. Мичел, и Альберт Эйнштейн, и Джон Уиллер в своих работах предполагали только теоретическое существование этих загадочных небесных объектов в космическом пространстве, однако подлинное открытие черных дыр состоялось в 1971 году, именно тогда они впервые были замечены в телескоп.

черная дыра

Так выглядит черная дыра.

Образование

черная дыра поглощает звезду

Черная дыра поглощает звезду.

Маленькая ремарка – наше Солнце по галактическим меркам вовсе не является крупной звездой и после угасания, которое произойдет примерно через несколько миллиардов лет, в черную дыру, скорее всего, не превратиться.

Но будем с вами откровенны – на сегодняшний день, ученые пока еще не знают всех тонкостей образования черной дыры, несомненно, это чрезвычайно сложный астрофизический процесс, который сам по себе может длиться миллионы лет. Хотя возможно продвинуться в этом направлении могло бы обнаружение и последующее изучение так званых промежуточных черных дыр, то есть звезд, находящихся в состоянии угасания, у которых как раз происходит активный процесс формирования черной дыры. К слову, подобная звезда была обнаружена астрономами в 2014 году в рукаве спиральной галактики.

Количество во Вселенной

Согласно теориям современных ученых в нашей галактике Млечного пути может находиться до сотни миллионов черных дыр. Не меньшее их количество может быть и в соседней с нами галактике Андромеда, до которой от нашего Млечного пути лететь всего нечего – 2,5 миллиона световых лет.

Теория черных дыр

Свойства

Основное свойство черно дыры – это ее невероятные гравитационные поля, не позволяющие окружающему пространству и времени оставаться в своем привычном состоянии. Да, вы не ослышались, время внутри черной дыры протекает в разы медленнее чем обычно, и окажись вы там, то вернувшись обратно (если б вам так повезло, разумеется) с удивлением бы заметили, что на Земле прошли века, а вы даже состариться не успели. Хотя будем правдивы, окажись внутри черной дыры вы вряд ли бы выжили, так как сила гравитации там такая, что любой материальный объект просто разорвала бы даже не на части, на атомы.

А вот окажись вы даже поблизости черной дыры, в пределах действия ее гравитационного поля, то вам тоже пришлось бы не сладко, так как, чем сильнее вы бы сопротивлялись ее гравитации, пытаясь улететь подальше, тем быстрее бы упали в нее. Причинной этому казалось бы парадоксу является гравитационное вихревое поле, которым обладают все черные дыры.

Что если человек попадет в черную дыру

Испарение

Самая большая черная дыра

Согласно теории черных дыр в центре почти всех галактик находятся огромные черные дыры с массами от нескольких миллионов до нескольких миллиардом солнечных масс. И сравнительно недавно учеными были открыты две самые большие черные дыры, известные на сегодняшний момент, они находятся в двух близлежащих галактиках: NGC 3842 и NGC 4849.

NGC 3842 – самая яркая галактика в созвездии Льва, от нас находится на расстоянии 320 миллионов световых лет. В центре нее иметься огромная черная дыра массой в 9,7 миллиарда солнечных масс.

NGC 4849 – галактика в скопление Кома, на расстоянии 335 миллионов световых лет от нас может похвалится не менее внушительной черной дырой.

Зоны действия гравитационного поля этих гигантских черных дыр, или говоря академическим языком, их горизонт событий, примерно в 5 раз больше дистанции от Солнца до Плутона! Такая черна дыра скушала бы нашу солнечную систему и даже не поперхнулась бы.

Черная дыра

Самая маленькая черная дыра

Но есть в обширном семействе черных дыр и совсем маленькие представители. Так самая карликовая черная дыра, открытая учеными на настоящий момент по своей массе всего лишь в 3 раза превосходит массу нашего Солнца. По сути это теоретический минимум, необходимый для образования черной дыры, будь та звезда чуть меньше, дыра бы не образовалась.

Черные дыры – каннибалы

Интересные факты

  • Согласно гипотезам некоторых ученых черные дыры являются не только галактическими пылесосами, всасывающими все в себя, но при определенных обстоятельствах могут и сами порождать новые вселенные.
  • Черные дыры могут испаряться со временем. Выше мы писали, что английским ученым Стивеном Хокингом было открыто, что черные дыры имеют свойство излучение и через какой-то очень большой отрезок времени, когда поглощать вокруг будет уже нечего, черная дыра начнет больше испарять, пока со временем не отдаст всю свой массу в окружающий космос. Хотя это только предположение, гипотеза.
  • Черные дыры замедляют время и искривляют пространство. О замедлении времени мы уже писали, но и пространство в условиях черной дыры будет совершенно искривлено.
  • Черные дыры ограничивают количество звезд во Вселенной. А именно их гравитационные поля препятствуют остыванию газовых облаков в космосе, из которых, как известно, рождаются новые звезды.

Видео

И в завершение предлагаем вам интересный научно-документальный фильм о черных дырах от канала Discovery

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Образование чёрных дыр

Самый очевидный способ сформировать черную дыру — это разрушить ядро массивной звезды. До тех пор, пока звезда не исчерпала свои запасы ядерного топлива, ее равновесие поддерживается термоядерными реакциями (превращение водорода в гелий, затем в углерод и т.д.). гладить в самых массивных звездах). Тепло, вырабатываемое в результате этих реакций, компенсирует потерю энергии, покидающей звезду с ее излучением и звездным ветром. Термоядерные реакции поддерживают высокое давление в кишечнике звезды и препятствуют ее сжатию под действием собственной силы тяжести. Однако со временем ядерное топливо высыхает, и звезда начинает сжиматься.

Свойства чёрных дыр

Важно, чтобы гравитация действовала одинаково на все физические системы: Все часы показывают, что время замедляется, а все линейки показывают, что пространство расширяется вблизи черной дыры. Это означает, что черная дыра изгибает геометрию пространства и времени вокруг нее. За пределами черной дыры эта кривизна невелика, а рядом с черной дырой она настолько велика, что световые лучи могут двигаться по кругу вокруг черной дыры. За пределами черной дыры ее гравитационное поле точно описывается в теории Ньютона для тела равной массы, но вблизи черной дыры гравитационное поле становится намного сильнее, чем предсказывает теория Ньютона.

Если бы вы могли наблюдать, как звезда в телескопе превращается в черную дыру, вы бы сначала увидели, как она сжимается все быстрее и быстрее, но по мере приближения ее поверхности к радиусу тяжести сжатие замедляется, пока не достигнет полной остановки. Свет, исходящий от звезды, будет ослабевать и краснеть до тех пор, пока не будет полностью погашен. Это происходит потому, что фотоны теряют энергию, когда они преодолевают гравитацию, и им требуется больше времени, чтобы добраться до нас. Когда поверхность звезды достигает гравитационного радиуса, требуется бесконечное количество времени, чтобы свет достиг каждого наблюдателя, даже относительно близко расположенного к звезде (а фотоны теряют всю свою энергию). Следовательно, мы никогда не будем ждать этого момента, и, кроме того, никогда не увидим, что произойдет со звездой ниже горизонта события, но теоретически этот процесс можно изучить.

Рядом с черной дырой время проходит медленнее, чем далеко от нее. Если удаленный наблюдатель бросит горящий фонарик в направлении черной дыры, он увидит, что фонарик падает все быстрее и быстрее, но затем, по мере приближения к поверхности Шварцшильда, он замедлится, а его свет потускнеет и покраснеет (так как скорость вибрации всех его атомов и молекул замедляется). С точки зрения далекого наблюдателя, фонарь практически остановится и станет невидимым, так как никогда не сможет пройти сквозь поверхность черной дыры. Но если бы наблюдатель сам прыгнул туда с фонариком, он бы за короткое время пересек поверхность черной дыры и упал в центр черной дыры, разорванной на части сильными приливно-отливными гравитационными силами, возникающими в результате различного притяжения на разных расстояниях от центра.

Ультра-массивные черные дыры

Согласно нашему сегодняшнему пониманию, протяженные очень массивные черные дыры образуют ядра большинства галактик. Среди них массивная черная дыра в ядре нашей галактики, Стрелец А*.

В настоящее время существование черных дыр в звездном и галактическом масштабе рассматривается большинством ученых как доказанное астрономическое наблюдение.

Американские астрономы обнаружили, что массу сверхмассивных черных дыр можно существенно недооценить. Исследователи обнаружили, что масса центральной черной дыры должна составлять не менее 6,4 млрд. масс Солнца, чтобы звезды в галактике M87 (которая находится на расстоянии 50 млн. световых лет от Земли) могли двигаться в их нынешнем виде, что в два раза больше, чем текущая оценка ядра M87, которое имеет 3 млрд. масс Солнца.

Первичная

Черные дыры в настоящее время имеют статус гипотезы. При достаточно больших отклонениях от однородности гравитационного поля и плотности материи в первые моменты жизни во Вселенной в результате коллапса могут образовываться черные дыры. В то же время их масса не ограничена снизу, как при звездном обрушении — возможно, их масса достаточно мала. Обнаружение первичных черных дыр представляет особый интерес в связи с возможностью изучения феномена испарения черной дыры. квантовая гравитация черной дыры

Квант

Предполагается, что в результате ядерных реакций черные дыры образуют стабильные микроскопические черные дыры, так называемые квантовые черные дыры. Для математического описания таких объектов необходима квантовая теория гравитации. Однако по общим причинам весьма вероятно, что массовый спектр черных дыр дискретный и что существует минимальная черная дыра — плоская черная дыра. Его масса около 10-5 г, а радиус — 10-35 м. Длина волны комптонской черной дыры в порядке ее гравитационного радиуса равна радиусу ее гравитации.

Заключение

Ты можешь многому научиться о черных дырах, если будешь внимательно их изучать. В глубинах Вселенной столько нового и неизвестного, что, я думаю, будет изучаться еще долгое время. Уверен, что по мере совершенствования технологий однажды мы сможем узнать, опровергнуть или доказать предположения и гипотезы, которые люди выдвигали сотни лет назад.

Список литературы

Помощь студентам в учёбе
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal

Образовательный сайт для студентов и школьников

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Читайте также: