Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов реферат

Обновлено: 02.07.2024

PDF-файл из архива "Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Лабораторная работа №1", который расположен в категории " ". Всё это находится в предмете "оптимальное управление детерминированными процессами" из раздела "", которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Путем разумного выбора квадратичных критериевкачества и квадратичных ограничений в этом случае удается синтезироватьвесьма удовлетворительные управляющие устройства с линейной обратнойсвязью.Пустьсистемаописываетсявекторнымдифференциальнымуравнением с переменными коэффициентами(1)x =A(t) x + B(t) uНеобходимо перевести систему из некоторого начального состоянияx (t0) в заданное конечное состояниеx (tk) 0,(2)используя допустимые функции управления u (t) и не выходя за допустимыепределы по фазовым переменным в процессе движения.Один из методов решения этой задачи состоит в минимизациикритерия качества, представляющего собой сумму квадратичной формы отвектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных формвектора состояния и вектора управленияtJ= 1 x T Gk x t t + 1 ( x T Qx  u T Ru )dt .(3)k2k2 t0Здесь Gk и Q(t) - положительно полуопределенные матрицы, R(t) положительно определенная матрица.Управление u (t), минимизирующее функционал (3), можно найти путемсовместного решения уравнения (1) и уравнения Эйлера-Лагранжа:H, при p (tk)= Gk x (tk),p T  xHu=0,(4)(5)1___________________________________________________________________Деменков Н.П.

Аналитическое конструирование оптимальных регуляторовМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________11где функция Гамильтона H= x T Qx  u T Ru  p T ( Ax  Bu ) ,(6)22откуда управлениеu = R-1 BT p .(7)Подстановка (7) в (1) приводит к следующей линейной краевой задачеx =A x - BR-1 BT p ,x (t0) - задано(8)T(9)p = -Q x - A p ,p (tk)= Gk x (tk)Результатом решения двухточечной краевой задачи (8),(9) являетсяуправление u (t)u (t) = - K(t) x (t), где K(t) = R-1(t) BT(t) S(t),(10)а симметричная матрица S(t) определяется из матричного уравнения Риккати(11)S = - SA- ATS + SBR-1BTS - Qпри граничном условии S(tk) = Gk, а векторы x и p связаны линейнымпреобразованиемp =K x - .(12)Вектор  можно найти из уравнения(13)v *=-(AT-BR-1BT) v * - Q x ж,при граничном условии  *(tk), определяемом из (12).Для задачи терминального управления основной интерес представляетсам непрерывный закон управления с обратной связьюu ( x ) = - K(t) x (t).Выбор постоянных весовых коэффициентовЗакон управления и реакция системы в значительной степени зависятот выбора весовых коэффициентов показателя качества.

Выбор этихкоэффициентов представляет трудную задачу, так как взаимосвязь весовыхкоэффициентов и параметров оптимальной системы или ее реакцией в общемслучае очень сложная.Для получения допустимых уровней величин x (tk), x (t) и u (t) матрицыGk, Q(t) и R(t) могут быть выбраны по методу Брайсона (A.E.Bryson)диагональными со следующими элементами:1 = максимальное значение составляющих [xi(tk)]2;(14)G k ii= (tk-t0) * максимальное значение составляющих [xi(t)]2;(15)1 = (t -t ) * максимальное значение составляющих [u (t)]2.k 0irii(16)1q iiДля стационарных систем метод выбора коэффициентов функционалапредложен Эллертом (F.J.Ellert).Для объекта второго порядка, описываемого уравнением ax   11a 21a 12 0 0  ,xua 22 0 b22 (17)с показателем качестваtJ= 1 ( x T Qx  u T Ru )dt ,k(18)2 t0где tk=, а матрицы Q и R имеют вид2___________________________________________________________________Деменков Н.П.

Аналитическое конструирование оптимальных регуляторовМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________Q= q11 0  , R=  0 0 ,(19)0 q 0122 закон управления имеет видu2*(t)=-b22[k21x1*(t)+k22x2*(t)]+b22v1*(t),(20)в котором коэффициенты kij определяются из решения системы нелинейныхалгебраических уравнений (11) Риккати:2 2q22+2a22k22+2a12k21- b22k 22 =0,2 2q11+2a21k21+2a11k11- b22(21)k 21 =0,2a21k22+a22k21+a11k21+a12k11- b22 k22k21=0,а вектор  * определяется из решения дифференциального уравнения (13) приvi*(tk)=0, i=1,2dv *- 1 =q22x2ж+a22v2*+a12 v1*-b222k22v2*,dtdv2*=q11x1ж+a21v1*+a11 v1*-b112k21v2* .(22)dtТак как замкнутая система линейная стационарная, то еепередаточная функция определяется как1W(s)=(23)T 2 s 2  2Ts  1Согласно процедуре Эллерта выбор коэффициента “демпфирования” обеспечивает требуемую степень устойчивости системы при условии, что ниодна из переменных системы не превышает заданных пределов.Постоянная времени T выбирается в соответствии с требуемойполосой пропускания системы или ограничениями на u2(t) из уравненияu2(t)=- 1 <[x1(t)/(a12T2)+[a11x1(t)/a12+x2(t)]2/T+(a112/ a12+ a21)x1(t)+b22+(a11+ a22)x2(t)>+b22v1*(t)(24)при подстановке в него максимально допустимой величины u2(t), “наихудших”x1(t), x2(t) и v1(t), предварительно разрешив уравнения (22) относительно v1*(0).После определения  и T весовые коэффициенты q11 и q22 задаютсяуравнениямиq11=(1/ a122 b222)[1/T4+6 a11/T3+a112(12+2)/T2+8a113/T++(2a11a12a21a22+2 a112 a12a21+ a122 a212+ a114)],(25)22222q22=(1/b22 )[(4 -2)/T - a11 - a22 -2 a12a21].(26)Для выпуклости функционала качества весовые коэффициенты q11 и q22должны быть неотрицательными.

Это требование служит проверкойнепротиворечивоститребованийпроектированиявпредположенииправомерности выбора квадратичного показателя качества с постояннымивесовыми коэффициентами.После определения этих величин предположение о бесконечном tkотбрасывается и рассчитывается оптимальная система для заданного tk.Практическая работа1. Ознакомиться с методикой синтеза линейно-квадратичногорегулятора для непрерывной системы в пакете MATLAB с помощью процедурыфункции lqr или lqry (Приложение 1).2. Для заданного объекта управления (исходные данные взять из табл.

1)выбрать весовые коэффициенты в матрице Q, следуя:3___________________________________________________________________Деменков Н.П. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторовМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________а) методике Брайсона (13)-(15);б) методике Эллерта (формулы (24)-(26)) для замкнутой системы сошибкой по положению равной нулю.Таблица 11234567891011121314151617181920k950,1950,2800,150,4750,2700,15650,1300,150,3250,2200,150,3150,10,4400,050,5350,10,3500,150,3450,10,3600,150,3550,20,5900,150,2850,1T950,150,4100,050,50,30,50,20,40,40,20,43.

Для пунктов 2а и 2б рассчитать с помощью программы lqr или lqryкоэффициенты матрицы обратных связей K, синтезировать оптимальноеуправление и построить графики поведения оптимальной траектории иоптимального управления.4. Провести анализ качества синтезированных систем. Изменить на10% параметры объекта T и и построить траектории. Сделать выводы.Замечания:1. Для формирования замкнутой системы управления можноиспользовать процедуру feedback. Можно также воспользоваться функциейestim, формирующей наблюдающее устройство и функцией reg, формирующейдинамический регулятор.2.

При соединении регулятора с объектом управления предполагаетсяиспользование положительной обратной связи.3. С целью поддержания управления u(t) в заданных пределах можноввести в показатель качества штрафную функцию.В результате выполнения ИПР студент должен получить следующиенавыки и умения:1.

Умение определить оптимальное управление методом классическоговариационного исчисления.2. Умение решить задачу аналитического конструированияоптимального регулятора.3. Навыки по выбору постоянных весовых коэффициентов в функционалекачества.В результате выполнения ИПР студент должен получить следующиезнания:1. Нахождение оптимального управления с помощью классическоговариационного исчисления.2.

Методов решения задачи АКОР.3. Методик выбора постоянных весовых коэффициентов в функционалекачества.Оформление отчетаОтчет по лабораторной работе должен содержать:1. Структурную схему исследуемой системы.2. Переходные процессы и управление в системе до и после синтеза, атакже при изменении параметров объекта и начальных условий.3. Выводы по работе.Вопросы:4___________________________________________________________________Деменков Н.П. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторовМосковский государственный технический университет им.Н.Э.БауманаКафедра “Системы автоматического управления”__________________________________________________________________________________1. Как ставится задача нахождения оптимального управления методамиклассического вариационного исчисления?2.

Изложите методику решения задач аналитического конструированияоптимальных регуляторов.3. Какие основные проблемы возникают при решении задачи АКОР?4. Приведите основные типы критериев качества управления.5. Что характеризует критерий качества управления?6. Как учитываются ограничения на управление и почему мы ихрассматриваем?7.

Такой подход реализуется методами аналитического конструирования оптимальных регуляторов в основу которых положена концепция возмущенно-невозмущенного движения Ляпунова. Регуляторы, построенные на таких принципах, обеспечивают заранее заданные показатели качества – вид переходного процесса и время регулирования путем приведения фактического движения к невозмущенному и сведения возмущенного к нулю.

Содержание

Введение 4
1 Математическое описание объекта регулирования 5
2Расчет весовых коэффициентов функционала для первого уровня
cистемы 7
3 Синтез оптимального управления для первого уровня системы 9
4Расчет весовых коэффициентов функционала для второго уровня
Системы 13
5 Синтез оптимального управления для второго уровня системы 15
6 Реализация оптимального управления 21
7 Анализ качества регулирования 25
Выводы 34
Перечень ссылок 36

Вложенные файлы: 1 файл

kyrsovoi.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ДОНБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

к курсовому проекту

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА

1 Математическое описание объекта регулирования 5

2Расчет весовых коэффициентов функционала для первого уровня

3 Синтез оптимального управления для первого уровня системы 9

4Расчет весовых коэффициентов функционала для второго уровня

5 Синтез оптимального управления для второго уровня системы 15

6 Реализация оптимального управления 21

7 Анализ качества регулирования 25

Перечень ссылок 36

В современных условиях системы автоматического регулирования стали неотъемлемой частью практически всех сфер материального производства. Они постепенно совершенствуются и усложняются и для их синтеза используются иные подходы и методы, чем для САР предыдущих поколений. Характерными особенностями современных методов синтеза регуляторов являются:

требования к устойчивости и качеству регулирования в большом, т.е.при любых начальных отклонениях и любых возмущениях;
использование математических моделей объектов не только при синтезе регуляторов, но и в процессе нормального функционирования систем;
использование методов оптимизации;
использование полной информации о поведении объекта – учет всех его фазовых координат.

В качестве критерия оптимальности выбирается квадратичный функционал, в состав которого входит взвешенное по фазовым координатам возмущенное движение. Затем отыскивается дифференциальное уравнение системы, которое обеспечивает оптимальный закон управления. В результате решения вариационной задачи находятся коэффициенты оптимального управления.

В данной работе, для синтеза оптимального регулятора к заданному объекту будет использован метод динамического программирования Р.Беллмана и принцип максимума Понтрягина.

1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Объект управления задан передаточной функцией вида:

Структурная схема объекта управления представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Структурная схема объекта управления

График кривой разгона объекта представлен на рисунке 1.2.

С целью использования полной информации о поведении объекта – учета всех его фазовых координат необходимо перейти от передаточной функции к описанию объекта в переменных состояния:

Рисунок 1.2 – График кривой разгона объекта управления

Время установления при входе в пятипроцентную зону, как видно из графика на рисунке 1.2, составляет t_У= 9.973с.

2 расчет ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУНКЦИОНАЛА

для первого уровня системы

При аналитическом конструировании оптимальных регуляторов в качестве критерия оптимальности выбирается квадратичный функционал вида:

Функционал (2.1) характеризует интегральную квадратичную ошибку за все время переходного процесса, взвешенную по постоянным а₁, а₂, а₃, с, которые определяют вид переходного процесса (апериодический, колебательный) и время регулирования разрабатываемой САР.

Значения весовых коэффициентов функционала рассчитываются по формулам, впервые открытым заведующим кафедрой АСУ ТП Донбасского горно- металлургического института профессором Жиляковым Виктором Ивановичем:

Весовые коэффициенты, определенные из данных соотношений, позволяют заранее, еще на этапе разработки регулятора задать апериодический вид переходного процесса синтезируемой системы, обеспечив тем самым высокое качество регулирования.

Следовательно, t_р = 0,5* 10.07 = 4.987c.

Весовой коэффициент с при отсутствии дополнительных условий обычно принимается равным 1.

В результате расчета получены следующие значения весовых коэффициентов:

3 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПЕРВОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ

Поиск оптимального управления является решением задачи Лагранжа на условный экстремум. Для первого уровня системы в данной работе, при нахождении коэффициентов оптимального управления используется классический вариационный метод (метод неопределенных множителей Лагранжа).

Объект управления задан системой дифференциальных уравнений возмущённого движения (3.1):

В качестве критерия оптимальности выбирается квадратичный функционал с весовыми коэффициентами a₁,a₂,a₃.

Функционал (3.2) является целью управления, поэтому задача построения регулятора заключается в том, чтобы найти такое управление, то есть закон управления в аналитической форме, чтобы он в совокупности с уравнениями возмущенного движения образовывал устойчивую замкнутую систему, гарантировал минимум функционала и заданное качество регулирования, которое обеспечивается соответствующим выбором весовых коэффициентов a₁, a₂, a₃, с.

Таким образом, необходимо решать задачу Лагранжа – задачу на условный экстремум, так как функции у₁, у₂, у₃ будут являться решениями замкнутой системы дифференциальных уравнений (3.1) и присоединенного к ним уравнения регулятора. Данная задача решается методом неопределенных множителей Лагранжа. Вначале составляется промежуточная функция Н:

АКОР – представляет собой выбор оптимальных коэффициентов усиления для линейной стационарной системы по квадратичному критерию качества.

В основе метода АКОР лежит применение теоремы Ляпунова об устойчивости для линейных систем, удовлетворяющих условию: положительной определенной квадратичной форме при отрицательном значении ее производной.

Рассматривается линейная система:

Функция Ляпунова:

- система устойчива.

Если для линейной системы существует положительно-определенная – функция Ляпунова и ее производная , то линейно-динамическая система устойчива. Интерпретация метода Ляпунова. Если функция Ляпунова равна квадрату расстояния до положения равновесия и это величина убывает, то система стремится к положению равновесия, следовательно, движение к положению равновесия устойчиво.

Рис. Интерпретация метода Ляпунова

Если ,

– система устойчива.

, оператор Лапласа ,

Корень характеристического уравнения .

– система устойчива.

Для систем третьего и более высокого порядка сложно подобрать функцию Ляпунова для проверки устойчивости. Для выбора функции Ляпунова на основе метода динамического программирования решена задача о выборе функции Ляпунова методом АКОР.

Для линейной стационарной системы:

…

Описываемой векторным уравнением:

Задается квадратичный критерий качества:

Критерий качества в матричной форме:

Определяется оптимально уравнение из условия минимума квадратичного критерия.Оптимальным решением является линейный регулятор , где ,

Матрица определяется из уравнения Риккати:

Это уравнение позволяет найти четыре значения для матрицы Сильвестра , из которых два комплексных решения, одно – неустойчивое и только одно устойчивое решение. Это решение определяет оптимальные коэффициенты усиления для задачи аналогичного конструирования.

Для решения задачи АКОР необходимо ввести матрицу динамических коэффициентов, матрицу коэффициентов управления, матрицы весовых коэффициентов и и записать обращение к стандартной программе В результате будут вычислены матрицы оптимальных коэффициентов K, матрица Сильвестра S и матрица собственных значений системы E.

0 0 0

= 1 0 0 0 + 0 U

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

При выборе весовых коэффициентов и можно использовать метод Беллмана:

Полученное решение является оптимальным управлением с отрицательной обратной связью по координатам состояния.

Общее число измеряемых координат намного меньше числа координат состояния, поэтому решается задача аналитического конструирования управления только по измеряемым координатам.

привод самолет S 1/S

--Ky

Рис. Схема управления по измеряемым координатам

Матрица перекрестных связей:

или

Синтез системы в пространстве состояний основан на описании уравнений движения в математической форме с использованием матрицы динамических коэффициентов а, матрицы управления b, матрицы измерений с и матрицы коэффициентов влияния управления на измерениях d.

Метод размещения измерений матрицы динамических коэффициентов замкнутой системы требует ввода технического задания на значение частот и коэффициентов относительного демпфирования исполнительных устройств, короткопериодического движения самолета и траекторного движения.

Программа place позволяет найти необходимые коэффициенты усиления

Метод АКОР требует задать весовые коэффициенты для квадратов допустимых отклонений координат и управления. В этом случае получается оптимальным по точности система с собственными частотами и коэффициентами демпфирования, которые зависят от выбранных весовых коэффициентов.

Где P (t, tj) — решение уравнения Риккати при граничном условии (2.54). Заметим, что требование положительной определенности матрицы R имеет существенное значение. Действительно, предположим, что матрица R вместо того, чтобы быть положительно определенной, равна нулю. В этом случае выражение uTRu в функционале качества управления I также обращается в нуль, обратная матрица Л-1, входящая в закон… Читать ещё >

оптимальное управление в технических системах

Аналитическое конструирование регуляторов ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Аналитическим конструированием регуляторов называется линейное оптимальное регулирование. Оно является частным случаем оптимального регулирования, когда как объект регулирования, так и регулятор предполагаются линейными. Специальное рассмотрение этого класса задач оптимального регулирования обусловливается следующими причинами:

• многие объекты регулирования удовлетворительно описываются линейными моделями;
• решение задач линейного оптимального регулирования представляет собой гораздо меньшие вычислительные трудности, чем решение нелинейных задач;
• решение задачи оптимального управления, при котором система должна находиться вблизи некоторого заданного режима, обычно требует рассмотрения малых отклонений от этого режима и поэтому возможна в линейной постановке;
• вычислительные процедуры линейного оптимального управления часто легко обобщаются для решения нелинейных задач оптимизации;
• в рамках линейного подхода можно говорить об общей теории автоматического управления широкого класса многомерных систем, дающей решение всех типовых задач управления.

Рассмотрим решение задачи линейного оптимального регулирования как для конечного, так и для бесконечного промежутка времени, на котором задан критерий оптимизации, причем предполагается, что вектор состояния наблюдается непосредственно.

Постановка задачи. Дана линейная система, описываемая векторными дифференциальными уравнениями:

при начальных условиях x (t₀) = х°, где A (t), B (t), C (t) — матричные функции времени, соответственно, порядка (пх п), (пх т), (пхр). Здесь x (t) — п-мерный вектор состояния, u (t) — m-мерный вектор управления, у (t) — р-мерный вектор выходных или наблюдаемых переменных.

Рассматриваемая задача регулирования состоит в том, чтобы найти вектор управления u (t), обеспечивающий за некоторый промежуток времени Г переход системы из начального состояния, характеризуемого ненулевыми начальными условиями x (t₀), в конечное состояние x (t 1) = 0.

В качестве критерия оптимизации или показателя качества регулирования используется квадратичный критерий:

Очевидно, что значение функционала I зависит от начального состояния x (t₀), момента времени t₀ и управления и в течение интервала [to> *4].

Смысл этого квадратичного функционала можно пояснить следующим образом. Выражение

где R (t) — положительно-определенная симметричная матрица для всех t, является мерой количества энергии, используемой для управления. Выражение

где Q (t) — положительно-определенная, симметричная матрица для всех t, является мерой нормы | |x (f) | | вектора x (f) в процессе регулирования. Наконец, выражение.

где GCtj) — неотрицательно определенная матрица, характеризует допустимую величину нормы вектора x (t) на конце интервала регулирования.

Очевидно, что в процессе регулирования нужно стремиться к тому, чтобы все эти три величины были наименьшими. Поэтому задача оптимального регулирования состоит в том, чтобы минимизировать функционал (2.48). Выбор матриц R (f), Q (0, G (t) проводится, исходя из особенностей задачи.

Итак, постановка проблемы оптимального линейного регулирования может быть сформулирована следующим образом. Найти вектор оптимального управления u*(f), t е (t₀, tj), обращающий в минимум функционал Дх (С₀), и, t₀], и найти величину Г [x (t₀), t₀] этого минимума при условии, что уравнение объекта регулирования имеет вид (2.47).

Задачи регулирования, решаемые в такой постановке, называют линейно-квадратичными проблемами, так как они решаются в линейном классе систем при квадратичном критерии.

Для решения поставленной задачи будем использовать как необходимое условие экстремума уравнение Веллмана. Заменяя обозначения со на Г, С на t, а на х, и на и, а также произведение скаляров Эсо/Эа и Да, и) на произведение векторов [ЭГ/Эх] и Дх, и, t), получим уравнение (2.36) в виде.

Решение задачи линейного оптимального регулирования для конечного времени. Вернемся теперь к задаче линейного оптимального регулирования. В этом случае.

Оптимальное значение показателя качества управления Г [x (t), t] аналогично подынтегральному выражению в функционале (2.48) и может быть представлено в виде квадратичной формы Тогда

Кроме того, в линейном случае и, согласно (2.48),.

Таким образом, уравнение (2.49) в рассматриваемом случае принимает вид

Так как матрица R (t) положительно определена, то выражение имеет минимум, если полагать, что.

Тогда уравнение (2.50) сводится к виду.

Данное уравнение справедливо для всех х, поэтому.

Это матричное нелинейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами называется уравнением Риккати.

В случае проблемы регулирования для граничных условий справедливо или

Так как P (tj) и G симметричны, a x (t₃) — произвольно, то.

Можно показать, что уравнение (2.51) имеет устойчивое единственное решение при следующих условиях:

— регулируемый объект, определяемый матрицами А и В, является управляемым;
— симметричные матрицы Q и R, входящие в критерий качества регулирования (2.48), являются положительно-определенными.

Эти условия обычно удовлетворяются для задач регулирования, в которых требуется, чтобы регулируемые переменные стремились к постоянным требуемым значениям. Однако они не всегда удовлетворяются, если переменные должны изменяться согласно желаемым законам изменения во времени.

Итак, если объект регулирования описывается уравнением (2.47) и критерий качества регулирования имеет вид (2.48), то оптимальный закон регулирования определяется формулой

а оптимальное значение критерия качества равно.

Сделаем несколько замечаний относительно закона управления (2.48), предварительно представив его в виде.

Полученный закон регулирования (2.54) показывает, что:

1) для линейных систем с квадратичным критерием качества он является линейным законом, определяющим оптимальное управление и* (О в виде линейной функции от вектора состояния x (t);
2) он определяет структуру системы регулирования как систему с обратной связью, так как связывает выход x (t) со входом и, чем выгодно отличается от принципа максимума, где оптимальное управление является функцией времени, а не состояния;
3) регулятор, реализующий закон управления, не является динамическим элементом, так как выход регулятора или вход объекта и в момент времени t определяется значениями входа регулятора и выхода объекта х в тот же момент времени f, т. е. без запаздывания;
4) из уравнения Риккати (2.51) и уравнения (2.52) очевидно, что k (t) зависит от времени даже в том случае, когда все матрицы, входящие в (2.51) и (2.52), не зависят от времени, т. е. когда объект является стационарным.

Решение задачи линейного оптимального регулирования для бесконечного времени. Рассмотрим решение задачи оптимального регулирования для случая, когда интервал оптимизации Г бесконечен, а не конечен, как это было ранее. Итак, предположим, что задан объект регулирования, описываемый уравнениями:

Требуется найти оптимальное регулирование u*(t), t > f₀, минимизирующее функционал:

где матрицы R (t), Q (t) соответственно положительно и неотрицательно определенные.

Эта проблема не всегда имеет решение. Действительно, рассмотрим следующий простой пример:

Причем так что.

Легко видеть, что минимум (2.55) достигается при и = 0, но и в этом случае I = °°.

В случае конечного Т оптимальное значение I всегда конечно, а в случае Т = °° состояние ^(tg), как это видно из уравнения (2.54а), неуправляемо. При этом неуправляемая часть решения уравнения (2.54а) неустойчива, Х](0 = е‘, и входит в функционал в виде е 2 '. Поэтому с самого начала будет введено допущение: система полностью управляема для любого t.

Можно показать, что в этом случае оптимальное регулирование имеет вид

где

и минимальное значение функционала (2.48) равно причем P (t, tj) является решением уравнения Риккати

при граничном условии

Можно отметить, что матрица коэффициентов усиления к в законе регулирования не зависит от времени только в том случае, когда оптимизация производится на бесконечном интервале, объект регулирования стационарен и матрицы Ки Q, входящие в показатель качества регулирования, не зависят от времени.

Читайте также: