Золотое сечение в музыке кратко
Обновлено: 05.07.2024
Золотое сечение в музыке - обнаруживающаяся во мн. муз. произв. связь важных особенностей построения целого или его частей с т.н. золотым сечением. Понятие З. с. относится к области геометрии; З. с. называют деление отрезка на две части, при к-ром целое так относится к большей части, как бульшая часть к меньшей (гармонич. деление, деление в крайнем и среднем отношении). Если целое обозначить буквой а, бульшую часть буквой b и меньшую - буквой c, соотношение это выражается пропорцией а:b=b:с. В числовом выражении отношение b:a составляет непрерывную дробь, приближённо равную 0,618034.
В эпоху Возрождения было установлено, что З. с. находит применение в изобразит. иск-вах, в особенности в архитектуре. Было признано, что подобное соотношение частей производит впечатление гармонии, соразмерности, изящества. Композиторы нидерландской школы (Я. Обрехт) сознательно применяли З. с. в своих произв.
Первую попытку обнаружить проявление З. с. в музыке сделал в сер. 19 в. нем. учёный А. Цейзинг, к-рый неоправданно объявил З. с. всеобщей, универсальной пропорцией, проявляющейся как в иск-ве, так и в мире природы. Цейзинг нашёл, что близкое к З. с. соотношение обнаруживает мажорное трезвучие (интервал квинты как целое, большая терция как большая часть, малая терция - как меньшая часть).
Более определённое проявление соотношений З. с. в музыке было открыто в нач. 20 в. рус. исследователем Э. К. Розеновым в области муз. формы. По Розенову, оно сказывается уже в рамках периода, где мелодич. кульминация обычно располагается в точке, близкой к точке З. с. Нередко вблизи точки З. с. обнаруживаются переломные моменты и в более крупных разделах муз. формы (З. с. проявляется во временном соотношении частей, к-рое в случае изменения темпа не совпадает с соотношением числа тактов) и даже в целых одночастных произв. Хотя анализы Розенова порой чрезмерно детализированы и не лишены натяжек, в целом его наблюдения о проявлениях З. с. в музыке были плодотворными и обогатили представление о временных муз. закономерностях.
Позднее З. с. в музыке изучали В. Э. Ферман, Л. А. Мазель и др. Развивая и уточняя высказанные Розеновым положения, Мазель установил, что деление в отношении З. с. является признаком устойчивости, внутр. завершённости мелодии. Он показал, что в точке З. с. муз. периода может находиться мелодич. вершина не только всего периода, но и 2-го предложения, что точка эта может являться моментом, с к-рого 2-е предложение развивается иначе сравнительно с 1-м (эти проявления З. с. могут совмещаться). В масштабах сонатного allegro и в трёхчастной форме, по Мазелю, точка З. с. в классич. музыке обычно приходится на начало репризы (конец разработки), в музыке композиторов-романтиков - располагается в репризе, ближе к коде. Мазель ввёл понятие З. с. в курс анализа муз. произведений; постепенно оно прочно вошло в обиход сов. музыкознания.
Литература: Розенов Э. К., О применении закона "золотого деления" к музыке, "Известия СПб. Общества музыкальных собраний", 1904, вып. июнь - июль - август, с. 1-19; Tимердинг Г. Е., Золотое сечение, пер. с нем., П., 1924; Мазель Л., Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм, "Музыкальное образование", 1930, No 2.
Многие из нас знают, что такое >. Лично я узнала об этом в пятом классе, и с тех пор мечтала провести о нем свое небольшое исследование. Но, когда я в этом году взялась за работу, я поняла, что тема золотого сечения в архитектуре, скульптуре и живописи исследуется каждый год многими людьми. Я спросила совета у своей мамы, которая окончила Уральскую консерваторию им. Мусоргского. Она предложила обратиться к музыкальному искусству и поискать примеры золотого сечения в музыкальных произведениях. Мне показалась интересной эта идея, и я начала исследовать в этом ключе самые известные классические произведения.
В геометрии есть два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем.
0. 1. Понятие золотого сечения.
Наверняка всем нам не раз приходилось задумываться о том, почему природа способна создавать такие удивительные гармоничные структуры, которые восхищают и радуют глаз. Почему художники, поэты, композиторы, архитекторы создают восхитительные произведения искусства из столетия в столетие? В чем же секрет и какие законы лежат в основе этих гармоничных созданий? В течение тысячелетий многие мыслители, начиная с Пифагора и Платона и заканчивая Лосевым и Флоренским, искали ответ на этот вопрос. И большинство из них пришло к заключению, что в мире царит Всеобщая Гармония, основанная на Золотом Сечении.
Золотое сечение называется также числом PHI, или φ в честь великого древнегреческого скульптора Фидия, который использовал это число в своих скульптурах. Это деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая часть АС является средней пропорциональной между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ. Модно составить такую пропорцию: АВАС = АССВ. Чтобы найти алгебраическое построение золотого сечения отрезка, примем длину отрезка АВ за а, отрезка АС за b. Так как ВС=а-b, то а:b=b:(a-b), или а[2]=ab+b[2]. Разделив обе части на b[2] и обозначив само отношение ab буквой Ф, получим уравнение Ф2 =Ф+1. , имеющее единственный положительный корень 5+12 = 1,618034. Если рассматривать отношение не большего отрезка к меньшему, а наоборот, то алгебраическое построение сводится к решению уравнения, откуда Ф=0,618.
Геометрическое построение золотого сечения отрезка АВ осуществляется так: к отрезку АВ проводят перпендикуляр ВD, равный половине АВ, соединяют А и В, откладывают DE=DB и, наконец, АС=АЕ.
0. 2. Фигуры золотого сечения.
Помимо деления отрезка, по принципу золотой пропорции можно составить несколько фигур.
> - прямоугольник, в котором отношение ширины к высоте тоже равняется φ. Если от такого прямоугольника отрезать квадрат, то опять получится >, и так можно продолжать до бесконечности.
Разумеется, бывает и >. У равнобедренного треугольника отношение длины боковой стороны к длине основания равняется числу φ. Одно из свойств такого треугольника состоит в том, что длины биссектрис углов при основании равняются длине самого основания.
0. 3. История возникновения.
В дошедшей до нас античной литературе золотое сечение впервые встречается во 2 книге > Евклида, где дается его геометрическое построение и применение на 5- и 10-угольниках. Несомненно, золотое сечение было известно и до него. Доказательством этому может послужить пентаграмма (правильная пятиконечная звезда). Дело в том, что в этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков. Именно пентаграмма являлась симфолом союза Пифагорийцев, во главе которых стоял Пифагор. Они утверждали, что очищения духа можно добиться при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа, а мир состоит из противоположностей к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях.
В средневековой Европе с золотым сечением познакомились по арабским переводам > Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Кампано из Новары (13 век) добавил к 13 книге > предположение, содержащие арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его золотого сечения.
К 15-16 векам усилился интерес к золотому сечению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве. В средние века пентаграмма считалась магическим числом, отпугивающим сатану. Вспомните, например, проникновение Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была нарисована пентаграмма. Л. Пачоли посвятил золотому сечению тракт > (1509 г. ). Само название > получило явление от Леонардо да Винчи, считавшего, что идеальные пропорции тела человека связаны с числом φ. Хотя белорусский философ Эдуард Сороко, который считается одним из наиболее авторитетных ученых в области >, говорит следующее: > идет от Клавдия Птолемея. Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал>>.
Золотое сечение или близкие ему пропорции легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства.
0. 4. Золотое сечение в архитектуре, скульптуре.
Золотое сечение - понятие математическое, но оно является критерием гармони и красоты в искусстве. В энциклопедическом словаре изобразительного искусства дано такое определение золотого сечения: >.
Считается, что деление отрезка в отношении Золотой пропорции открыл великий Пифагор. Однако пропорции пирамиды Хеопса, барельефов из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями Золотого сечения задолго до Пифагора. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что пропорции фигур на рельефе, изображающем фараона Рамзеса, соответствуют величинам золотого сечения. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе гробницы, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения.
Множество архитектурных шедевров построено по золотой пропорции. Примером может служить величайшее сооружение древности Парфенон. Он является символом гармонии в мировом искусстве. При его раскопках были обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира.
Известный русских архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал Золотое сечение, например, здание сената в Кремле, Голицинская больница. Еще один пример применения золотого сечения - дом Пашкова в Москве, является одним из наиболее совершенных произведений архитектора В. Баженова.
0. 5. Золотое сечение в живописи.
Исследуя композиционную структуру картин - шедевров мирового изобразительного искусства, искусствоведы обратили внимание на тот факт, что в пейзажных картинах широко используется закон золотого сечения. Примером такой картины является картина И. И. Шишкина "Корабельная роща". На этой знаменитой картине с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит картину золотым сечением по горизонтали. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит картину золотым сечением по вертикали. Слева от главной сосны находится много сосен - при желании можно с успехом продолжить деление золотым сечением по горизонтали левой части картины. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника.
Тот же принцип мы видим в картине И. Е. Репина "А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года".
Фигура Пушкина помещена художником в правой части картины по линии золотого сечения. Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы Пушкина до головы Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения, проходящей вдоль фигуры Пушкина.
Еще один пример - картина Н. Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском". В этой картине фигура Пушкина также поставлена художником слева на линии золотого сечения. Композиционное построение картины подобно картине Репина. Голова военного, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.
Широко использовал золотое сечение в своем творчестве талантливый русский художник Константин Васильев, рано ушедший из жизни. Еще будучи студентом Казанского художественного училища, он впервые услышал о "золотом сечении". И с тех пор, приступая к каждой своей работе, он всегда начинал с того, что мысленно пытался определить на холсте ту основную точку, куда должны были стягиваться, как к невидимому магниту, все сюжетные линии картины. Ярким примером картины, построенной "по золотому сечению", является картина "У окна". О чем хотел поведать нам художник в этой картине? Об этом можно лишь догадываться. Одно бесспорно - перед нами жизнь как она есть. То, что двое этих молодых людей бесконечно любят друг друга, мы понимаем при первом взгляде на картину. Но если он весь во власти своего неудержимого порыва, готов отстаивать свою любовь перед кем угодно, то ее чувства что-то сдерживает. Что именно - страх, гордыня, верность родовым традициям: А может быть, наитие, природное чутье, более свойственное женскому сердцу, подсказывает ей, что не время им сейчас думать о любви?
Как бы там ни было, главная мысль этой картины, вся кульминация ее заложена именно в образе девушки, чье лицо озарено удивительной чистотой, достоинством и еще спокойной мудростью. И лицо девушки художник разместил в "золотой" точке картины, которая находится на пересечении двух "золотых" линий - горизонтальной и вертикальной, которые в точности проходят через глаз девушки. И это композиционное решение является одной из причин ощущения удивительной гармонии, которой наполнена картина, олицетворяющая все те исконные начала, которые всегда делали русскую женщину прекрасной.
0. 6. Золотое сечение втеле человека.
Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Первый пример золотого сечения в строении тела человека: если принять за центр человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1. 618. Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:
- расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1. 618
- расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1. 618
- расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1. 618
- расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1. 618
- расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1. 618
- расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618
- расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618
В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.
0. 7. Золотое сечение в литературе.
Как оказалось, принципы золотого сечения мы можем наблюдать и в литературе.
Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!Н. Васютинский констатирует:"Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть. вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!".
Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром. "), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением. Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающий первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя). Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.
1. Практическая часть.
0. 1. Золотое сечение в музыкальных произведениях.
Благодаря многим энциклопедиям и сайтам интернета я познакомилась с основным понятием золотого сечения, а также с областями его применения. Я предположила, что принцип > может встречаться и в музыкальных произведениях. Но, поскольку восприятие произведений музыкального искусства не зрительное, а слуховое, звучание разворачивается во времени, а не в пространстве, точкой золотого сечения будет не точный числовой показатель (1,618 - отношение большей части к меньшей), а близкий к нему, имеющий некоторую продолжительность. Точку золотого сечения легко рассчитывать благодаря современной технике, используя хронометр. Сначала я прослушивала произведения, отмечала их на хронометре и высчитывала отношение большей части к меньшей. Чаще всего это было близко к точке золотого сечения. Я решила взять для анализа популярные произведения классиков, таких, как Иоганн Себастьян Бах, Петр Ильич Чайковский, Людвиг ванн Бетховен и т. д.
Прослушав большое количество классической музыки, я сделала для себя открытие, что музыкальные произведения по своей форме тяготеют к симметрии. В основном произведение образует трехчастную форму. В первой части звучат одна или две темы, которые хорошо запоминаются благодаря неоднократному повторению. В средней части первоначальная тема подвергается развитию, видоизменению либо вообще не появляется. Третья часть является полным или частичным повторением первой. И это закономерно, так как если бы произведение состояло из постоянно сменяющих друг друга мотивов, сознанию было бы не за что зацепиться.
После исследования произведений с помощью математических расчетов я пришла к выводу, что точка золотого сечения во многих из них приходит начало третьей части. Из прослушанных мной произведений таковыми являются:
* И. С. Бах - Концерт для флейты, скрипки и клавесина; 1,585;
* И. Штраус - Марш Радецкого; 1,527;
* П. И. Чайковский - > из балета >; 1,652;
* П. И. Чайковский - > из балета >; 1,618!
А в вальсе №2 си-минор Шопена, наоборот, точка золотого сечения приходилась на начало средней части за счет того, что первая часть намного длиннее остальных. А этом произведении отношение большей части к меньшей равно 1,663. Точно также в первой части Симфонии №40 В. А. Моцарта, где точка золотого сечения приходится на начало средней части. Отношение частей в этом произведении равно 1,621.
Но не всегда золотое сечение связано с таким делением произведения на три части. Например, в произведении М. П. Мусоргского > самым ярким моментом была имитация звона колоколов. И вправду, если за точку золотого сечения принять момент начала звучания колоколов и высчитать отношение большего отрезка к меньшему, оно будет равно 1,633.
В произведении Грига > на 99 секунде звучит начало кульминации. Если принять ее за золотое сечение в данном произведении, то отношение будет равно 1,624.
В произведении > Л. Ванн Бетховена в примерной точке золотого сечения появляется новая, совершенно иная по характеру и окраске тема, которая несет тревогу и добавляет произведению колорита переживаний, мук. Если точку начала этой темы принять на сечение, то отношение отрезков будет равняться 1,590.
Появление самой зловещей темы, темы вражды в балетной сюите №2 из балета > С. С. Прокофьева тоже можно считать точкой золотого сечения, при которой отношение большей части к меньшей равняется 1,626.
0. 2. Расчеты золотого сечения в музыкальных произведениях.
Алгоритм расчета золотого сечения в звучащем произведении:
1. Перевести длительность звучания в секунды. Вычесть из него вступление, если оно имеется и достаточно продолжительно.
2. Прослушать произведение, завиксировать по хронометру яркие музыкальные моменты.
3. Полученные временные показатели перевести в секунды, также не включая в расчет вступление.
4. Разделить общую длительность звучания на временный показатель и получить отношение большей части к меньшей.
0. 1. Сводная таблица.
Во всех прослушанных мною произведениях я выделила точку золотого сечения. Я составила таблицу, в которой разместила произведения по степени близости кульминационных моментов к математическому показателю золотого сечения - 1. 628.
Отношение длительности звучания к временному показателю (без вступления)
1 П. И. Чайковский
> из балета > 327/202
Первая часть симфонии №40
4 С. С. Прокофьев
Фрагмент из балетной сюиты > 109/67
5 М. П. Мусоргский
6 Л. ван Бетховен
Концерт для флейты, клавесина и скрипки
8 П. И. Чайковский
> из балета > 114/69
Вальс №2 си-минор
В теоретической части я познакомилась с понятием золотого сечения и с областями его применения. А в практической части я проанализировала десять музыкальных произведений великих классиков и сделала вывод, что строение музыкальных произведений, прошедших проверку временем и неизменно любимых широким кругом слушателей, имеет в своей основе принципы золотого сечения. Таким образом, моя гипотеза подтвердилась. Я выполнила цель и задачи, которые поставила перед собой.
Я не знаю, великие композиторы специально просчитывали композицию своих произведений, основываясь на принципе щолотого сечения, или же они создавали их инстинктивно, но одно я знаю точно: своей работой я >.
Возможно ли использовать принципы золотого сечения при создании музыки?
Уверен, каждый продюсер, который хоть что-то слышал (а может быть вовсе и не слышал) о принципах золотого сечения, задавался вопросом как это работает в музыке и работает ли вообще? Кто-то искал способы скрестить музыку с математикой ради простого любопытства, кто-то, вероятно, ищет формулу создания крутого тембра, удивительной гармонии, хитовых треков целиком и тому подобное. Предлагаю вместе разобраться если ли в этом смысл.
Что такое золотое сечение
Со временем принцип золотого сечения широко распространился: его стали замечать и в архитектуре, и в поэзии, и в скульптуре. В наше время его норовят примерить вообще куда угодно. Неудивительно, что золотое сечение уже стало поводом для разного рода интернет-мемов:
По определению, золотое сечение — это деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.
Ну хорошо, а что всё-таки по поводу музыки?
Золотое сечение и музыка
Когда говорят о золотом сечении в музыке, под этим подразумевается достижение определённых пропорций при построении композиции, в аранжировке и других этапах создания трека.
Разбор заинтересованными лицами большого количества музыкальных произведений, которые по праву могут считаться великими, показал, что подавляющее их большинство выполнено как раз с применением пресловутого золотого сечения (неосознанно, разумеется).
В общем, если любопытны подробности — в сети есть много материала на эту тему, а я от себя хочу сказать следующее:
Ты не первый задаёшься этим вопросом, дружище, а результаты, как видишь, невнятны. Ради общего кругозора, пожалуй, можно углубиться в тему, но всё же музыка не математика, поэтому оставь золотое сечение учёным и разного рода теоретикам и пиши музыку так как тебя прёт изнутри.
Ты ведь не пытаешься дышать или заставить биться сердце по принципам золотого сечения, верно? А получается идеально. То, что заложено в каждом из нас, будет посерьёзней золотого сечения и других известных ныне математических формул вместе взятых. В том числе это касается и музыки. А вот тут уже действительно есть над чем подумать;)
Комментарии:
Совершенно согласен с вашим выводом. Попытки следовать математическому закону обычно разбиваются о детали реализации — например, решили мы расставить семплы во времени в соответствии с последовательностью Фибоначчи. Что считать началом семпла, что считать концом, надо ли растягивать их во времени? В конечном счете, если тебе не безразлично качество трека, начинаешь ориентироваться только на слух, и вся задумка идет прахом (; Я однажды еще пытался суммировать в синтезаторе много синусоид с частотами, кратными числам из ряда Фибоначчи. Звучало это отвратительно. А вообще, если искать закономерность, можно ее в чем угодно найти.
Смотря что считать музыкой. У известных композиторов-то получается, возможно, даже не осознанно, создавать произведения, подчиняющиеся определённым математическим закономерностям. Я думаю, можно попытаться синтезировать треки с последовательностью Ф., только лично я сперва хорошо разберусь в вопросе.
Музыка — это и есть математика. Она вся в числовых отношениях — это же давно всем известно. Не ищите законы Божественного звучания на электронных синтезаторах — это мертвое!
Мелодия имеет идеальное соотношение длительностей нот, образующая многочисленные золотые сечения.
"Ты ведь не пытаешься дышать или заставить биться сердце по принципам золотого сечения, верно?" - Как врач, скажу, что феномен золотого сечения хорошо известен в нормальной физиологии: в акте дыхания выдох/вдох = 8/5, аналогично в сокращениях сердца. Такой режим работы кардиореспираторной системы является наиболее эргономичным. А пришли к такому выводу в результате многотысячных экспериментальных исследований в процессе определения оптимальных режимов искусственной вентиляции легких и искусственных водителей ритма. Если бы изначально теория шла впереди эксперимента, сотни тысяч, если не миллионы, кардиопациентов прожили бы дольше.
Кульминация многих музыкальных произведений располагается не в центре, а немного смещена к концу произведения в соотношении 62:38 – это и есть точка золотой пропорции. Доктор искусствоведения, профессор Л. Мазель заметил, изучая восьмитактные мелодии Шопена, Бетховена, Скрябина, что во многих творениях этих композиторов кульминация, как правило, приходится на слабую долю пятого, то есть на точку золотого сечения – 5/8. Л. Мазель считал, что практически у каждого композитора – приверженца гармонического стиля можно найти подобную музыкальную структуру: пять тактов подъёма и три такта спуска. Это говорит о том, что метод золотого сечения активно применялся композиторами сознательно либо бессознательно. Вероятно, такое структурное расположение кульминационных моментов придает музыкальному произведению гармоническое звучание и эмоциональную окраску.
Серьёзное исследование музыкальных произведений на предмет проявления в них золотой пропорции предпринял композитор и музыковед Л. Сабанеев. Он изучил около двух тысяч творений разных композиторов и пришёл к выводу, что примерно в 75% случаев золотое сечение присутствовало в музыкальном произведении хотя бы один раз. Самое большое количество произведений, в которых встречается золотая пропорция, он отмечал у таких композиторов, как Аренский (95%), Бетховен (97%), Гайдн (97%), Моцарт (91%), Скрябин (90%), Шопен (92%), Шуберт (91%). Наиболее пристально он исследовал этюды Шопена и пришёл к выводу, что золотое сечение было определено в 24 этюдах из 27. Только в трёх этюдах Шопена золотая пропорция не была обнаружена. Иногда структура музыкального произведения включала в себя одновременно и симметричность, и золотое сечение. Например, у Бетховена многие произведения делятся на симметричные части, и в каждой из них проявляется золотое сечение.
Итак, можно сказать, что наличие золотого сечения в музыкальном произведении является одним из критериев гармоничности музыкальной композиции.
Работа выполнена девочками к городским Курчатовским чтнниям и стала лауреатом 2 степени.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| zolotoe_sechenie.docx | 192.83 КБ |
Предварительный просмотр:
Городские научные чтения имени И.В.Курчатова
Золотое сечение в музыке
Выполнили: Макеева Екатерина,
8А класс МБОУ СОШ №24
Руководитель: Яркова Наталья Михайловна
2.2. Первое математическое исследование золотого
II. Практическая часть………………………………………9
2.1. Применение метода золотого сечения в музыке……..9
«…Геометрия владеет двумя сокровищами –
теоремой Пифагора и золотым сечением,
и если первое из них можно сравнить с мерой золота,
Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного - золотое сечение. Наша задача узнать, что же такое золотое сечение и установить где человечество нашло применение золотого сечения.
Цель проекта: доказательство проявления золотого сечения в музыке.
Мы исходили из гипотезы, что если золотое сечение является одной из слагаеармонии, то оно должно присутствовать и в музыкальных произведениях.мых красоты и
- дать определение золотого сечения;
- узнать, кто провёл одно из первых математических исследований музыкальных произведений;
- проанализировать произведения гениальных композиторов с точки зрения золотого сечения.
Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, использующими в своей основе золотое сечение. Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете - посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная. Садясь на скамейку, вы произвели "золотое сечение". О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть "золотого сечения". Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно "золотому сечению". А Аристотель нашел соответствие "золотого сечения" этическому закону. Высшую гармонию "золотого сечения" будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и "золотое сечение" - это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы "золотого сечения", спасаясь от Дьявола. При этом ученые - от Пачоли до Эйнштейна - будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой - 1,6180339887.
Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое "золотое сечение". Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - "золотое сечение". Так что же такое "золотое сечение". Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее - нет, известен. "Золотое сечение" - это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно. И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.
Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все. Расскажем вам об этом “драгоценном камне”.
Итак – “золотое сечение” – это такое деление целого на две неравные части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей.
Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном “золотому сечению”.
Если разделить любой отрезок на две части так, чтобы отношение большей части отрезка к целому было равно отношению меньшей части к большей, получим сечение, которое называют золотым.
На рисунке отрезок АВ разделен точкой С так, что АС : АВ = СВ : АС. Обозначим это отношение Ф. Если принять длину отрезка АВ за a, а большую часть отрезка (АС) за b, то a:b = b:(a-b), или a 2 -ab-b 2 =0. Разделив обе части уравнения на b 2 и обозначив искомое отношение a/b буквой Ф, получим уравнение: Ф 2 -Ф-1=0. (*) , или Ф 2 = Ф+1. (**)
Решив его, получим единственный положительный корень Ф = (√5+1)/2, что составляет приблизительно 1,618. Таким образом, отношение большей части отрезка к меньшей и всей длины отрезка к большей его части (Ф) равно приблизительно 1,618. Обратная величина - отношение меньшей части отрезка к большей и большей части ко всему отрезку - составляет примерно 0,618.
Нетрудно заметить, что взаимно обратные величины 0,618. и 1,618. отличаются только первой цифрой. Этот факт заложен в самом уравнении для числа Ф (**). Разделим обе его части на Ф:
Если извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения Ф 2 = Ф+1, получим Ф=√(1+Ф); если заменять под корнем величину Ф на вычисленное значение (бесконечно продолжая этот процесс), получим:
Поскольку Ф = 1 + 1/Ф, можно в выражении в правой части равенства заменить в знаменателе дроби Ф на 1 + 1/Ф. Выполняя это действие снова и снова, мы получим еще одно выражение для числа Ф:
Эти числа получили название "золотых". Они действительно замечательные. Золотое сечение можно найти, рассматривая некоторые геометрические фигуры.
Пятиконечная звезда, получаемая при последовательном соединении через одну всех вершин правильного пятиугольника (пентаграмма), всегда привлекала внимание людей совершенством формы. Пифагорейцы именно ее выбрали символом своего союза. В этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков.
На рисунке AD:AC = AC:CD = AB:BC = AD:AE = AE:EC. Пользуясь симметрией звезды, этот ряд равенств можно продолжить. Все эти отношения равны числу Ф (1,618. ).
Везде, где человек ощущает гармонию - в звуках, в цвете, в размерах, - всюду присутствует "Золотое число". Глаз радуется отрезку, разделенному не строго пополам, а именно в пропорции 0,618:0,382. Может, поэтому так часто находят золотое сечение в памятниках античной архитектуры, в пропорциях идеальных человеческих фигур, вылепленных великими Фидием и Поликлетом, в классических музыкальных произведениях (еще пифагорейцы заметили, что музыкальный звукоряд построен по закону частот, равных "золотому числу"), живописи, поэзии, формах скрипок Страдивари, а также в природе – химии, ботанике, зоологии.
2.2. Первое математическое исследование золотого сечения в музыке
Розенов проанализировал популярнейшие и наиболее излюбленные произведения гениальных авторов Баха, Моцарта, Бетховена, Шопена, Глинки, а также произведения народного творчества наиболее древнего происхождения, живучесть которых является достаточным доказательством их эстетической ценности и широкой популярности.
По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии
музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).
Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции.
Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов?
Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.
Читайте также: