Вероятностное пространство кратко и понятно

Обновлено: 02.07.2024

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

Содержание

Определение

Вероятностное пространство — это тройка ,\mathsf)" width="" height="" />
(иногда обрамляемая угловыми скобками: ), где

Замечания

Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
Каждое случайное событие (элемент " width="" height="" />
) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом .
Требование, что " width="" height="" />
является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть — конечное множество, содержащее элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств . Его часто символически обозначают " width="" height="" />
. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно " width="" height="" />
, что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

$\mathsf (A) = \frac$
,

где , и - число элементарных исходов, принадлежащих .

В частности, вероятность любого элементарного события:

$\mathsf (\<\omega\>) = \frac,\; \forall \omega \in \Omega.$

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба () и выпадение решки (" width="" height="" />
), то есть \>." width="" height="" />
Тогда = \,\<\mathrm

\>,\<\Gamma,\mathrm

\>,\varnothing\>," width="" height="" />
и вероятность можно посчитать следующим образом:

$\mathsf (\) = \frac,\; \mathsf(\<\mathrm\>) = \frac,\; \mathsf(\<\Gamma,\mathrm\>) = 1,\; \mathsf(\varnothing) = 0.$

$(\Omega,\mathfrak<F> Таким образом определена тройка ,\mathsf)$
— вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.

При построении математической модели мы должны найти компромисс между двумя обстоятельствами. С одной стороны, она должна быть достаточно подробной, чтобы учесть все существенные черты изучаемого явления. С другой стороны, необходимо отбросить все несущественные детали, затемняющие суть дела. Излишняя подробность затрудняет изучение свойств модели, а чрезмерное упрощение может привести к неправильным выводам относительно поведения реальной системы.

Мы начинаем изучение курса теории вероятностей с исследования свойств моделей таких случайных экспериментов, которые имеют конечное или счетное число исходов. Элементарным исходом мы будем называть такое событие, которое однозначно (с определенной точки зрения) говорит о том, чем закончился эксперимент. Это сразу же накладывает на множество элементарных исходов следующее важное ограничение: в каждом испытании происходит один и только один элементарный исход.

Чтобы понять, как должна выглядеть наша модель, рассмотрим пример. Однородный игральный кубик в одинаковых условиях подбрасывают много раз и отмечают число очков, выпавших на верхней грани. Ясно, что в этом эксперименте есть 6 элементарных исходов, которые мы обозначим ( означает, что выпало к очков). Пусть - относительная частота появления исхода . Тогда эти частоты обладают следующими свойствами:

Как отмечалось выше, частоты тяготеют к некоторым числам, которые мы будем называть вероятностями этих исходов. Ясно, что они должны наследовать свойства частот. Эти предварительные рассмотрения приводят нас к следующему определению.

Определение 1. Дискретным вероятностным пространством называется пара , где -конечное или счетное множество, Р - вещественная функция, заданная на , такая, что

Множество называется пространством элементарных исходов, его элементы -элементарными исходами, а число - вероятностью появления элементарного исхода .

Пример 1. Симметричную монету подбрасывают один раз. Здесь два элементарных исхода: выпал герб - Г, выпала цифра - Ц. Таким образом, . В силу симметрии естественно положить 5

Пример 2. Однородный симметричный игральный кубик подбрасывают один раз. В этом случае

Другие примеры будут приведены на практических занятиях. Важную роль играет следующий частный случай дискретного вероятностного пространства.

Определение 2 . Говорят, что мы имеем задачу на классическое определение вероятности, если -конечное множество и для всех , , т.е. все исходыравновозможны.

Обычно предположение о равновозможности исходов делается из соображений симметрии задачи. Но так ли это на самом деле (т.е. верна ли модель), можно установить только из сравнения с экспериментальными данными.

События и операции над ними

До сих пор мы рассматривали только элементарные исходы, т.е. в некотором смысле простейшие события. Но кроме них нас могут интересовать и другие, более сложные события. В примере 2 мы можем рассмотреть событие А, состоящее в том, что выпало четное число очков. В теории вероятностей о каждом событии мы хотим знать только одно: произошло оно или нет в данном испытании. Каждое испытание (т.е. однократное проведение эксперимента) заканчивается появлением одного из элементарных исходов, которые однозначно описывают то, чем закончился эксперимент. В частности, по элементарному исходу можно определить, произошло событие А или нет. Поэтому все элементарные исходы делятся на две группы: те , которые приводят к появлению события А (назовем их благоприятными этому событию), и все остальные. С точки зрения их появления в рассматриваемом эксперименте событие А и множество благоприятных для него исходов являются для нас эквивалентными. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Определение 3 . Случайным событием назовем произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Будем говорить, что событие произошло, если появился элементарный исход, ему принадлежащий, т.е. благоприятный.

Пример 3. Подбрасывают игральный кубик, А - выпала четная цифра. Тогда

В силу того, что каждое случайное событие отождествляется с некоторым подмножеством А пространства элементарных исходов О, различные операции над множествами позволяют определить некоторые операции над событиями. С точки зрения теории вероятностей каждое событие характеризуется только тем, когда оно происходит, а когда нет. Поэтому определения операций над событиями даются именно в этих терминах. С другой стороны, они соответствуют определенным операциям над множествами. Отсюда появляется определенная двойственность терминологии.

1) Событие называется достоверным, если оно происходит всегда, и невозможным, если оно никогда не происходит. Этим событиям соответствуют все пространство и пустое множество .

2) Объединением двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих двух событий. На языке теории множеств это соответствует операции объединения множеств и обозначается как

3) Пересечением двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба эти события одновременно. Это соответствует операции пересечения множеств и обозначается или

4) События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут происходить одновременно. Это соответствует непересекающимся множествам и обозначается

5) Суммой событий А и В называется их объединение в случае, когда они несовместны. Это не новая операция, а частный случай определения 2 и обозначается

6) Событие называется противоположным к событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. На языке теории множеств это соответствует переходу к дополнению множества А.

7) Разностью двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит А и не происходит В. Это соответствует операции разности множеств и обозначается

8) Говорят, что событие А влечет событие В, если при появлении события А, обязательно происходит и событие В. Это означает, что множество А есть часть (подмножество) множества В и обозначается

Чтобы наглядно представлять себе операции над событиями, полезно рисовать их в виде некоторых фигур на плоскости, например кругов. Картинки такого рода называются диаграммами Венна.

Конкретные примеры событий и операций над ними будут рассмотрены далее, а также на практических занятиях. Некоторые свойства операций над событиями собраны в следующем предложении.

Задача 1. Доказать предложение 1.

Во многих задачах нас интересует не все множество событий, связанных с данным экспериментом, а только некоторые из них. Но всегда нам хотелось бы, чтобы определенные выше операции над событиями не выводили нас за пределы рассматриваемого множества событий. В связи с этим полезно следующее понятие.

Определение 5 . Некоторый класс событий называется алгеброй событий, если

Задача 2. Доказать, что все определенные выше операции не выводят нас за пределы алгебры

С практической точки зрения выбор некоторой алгебры событий соответствует определенному взгляду на случайный эксперимент. Алгебра событий - это только те события, которые нас интересуют с этой точки зрения (например, те, которые доступны наблюдению).

Вероятности событий и их свойства

До сих пор мы рассматривали только вероятности элементарных исходов. Теперь мы определим вероятности событий и исследуем некоторые их свойства.

Определение 6 . Вероятностью события А называется число

(2.1)

Пример 4. Симметричный игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность события А, состоящего в том, что выпала четная цифра.

В этом случае , .

Пример 5. Пусть мы имеем задачу на классическое определение вероятности. Если , где - общее число элементарных исходов, а - число благоприятных исходов для события

А, то

Именно этот результат обычно приводят в качестве определения в элементарных учебниках по теории вероятностей.

Соберем некоторые простейшие свойства вероятностей в виде следующего предложения.

Предложение 2 . Пусть выделена некоторая алгебра событий, для которых определены вероятности по формуле (1). Тогда справедливы следующие свойства:

Доказательство. Основными являются свойства 1-3. Только здесь мы будем использовать в явном виде то, что мы работаем в рамках дискретного вероятностного пространства. Все остальные свойства будут выведены из этих трех.

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определений дискретного вероятностного пространства и вероятности события.

Докажем свойство 3. Пусть, вначале, . Тогда мы имеем два события и . Так как они несовместны, то исходы распадаются на два непересекающихся класса: те, что принадлежат , и те, что принадлежат . В силу свойств рядов с неотрицательными членами имеем

Для произвольного доказательство проводится по индукции. Предлагается это сделать самостоятельно.

Свойство 4 очевидно следует из определения вероятности события и того, что сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1.

События и несовместны, и . Используя свойства 2 и 3, имеем:

Представим события А, В и в следующем виде:

Далее используем свойство 3:

Этим доказано свойство 5.

Свойства 6,7,8,9 можно доказать аналогично (сделать самостоятельно!).

Докажем свойство 10. Для упрощения доказательства введем одно новое понятие, которое будет полезным и в других вопросах.

Индикатором события А называется функция , заданная на пространстве элементарных исходов по правилу:

Легко доказать следующие свойства индикаторов событий:

2) , 3)

Используя понятие индикатора события, можно в следующем виде записать определение вероятности события:

(2.2)

Применим этот результат к доказательству свойства 10. В силу предложения 2.1 мы имеем. Тогда для индикаторов

получаем

Дальше воспользуемся формулой (2), свойством аддитивности суммы ряда и перейдем к противоположному событию.

Из вышеизложенного следует, что основой нашей модели является некоторое множество (алгебра) событий и вероятности этих событий, обладающие свойствами 1-3 из предложения 2.2. Поэтому мы можем дать новое определение вероятностного пространства.

Определение 7 . Вероятностным пространством (в слабом смысле) называется тройка , где - произвольное множество, - некоторая алгебра его подмножеств, а Р - вещественная функция, заданная на и обладающая свойствами:

2) ,

3) если -попарно несовместны , то

Множество называется пространством элементарных исходов, элементы алгебры называется событиями, число - вероятностью события А.

Преимущество такого определения в том, что оно применимо и к некоторым ситуациям, в которых мы имеем несчетное множество элементарных исходов. Одним из первым был рассмотрен следующий частный случай.

Определение 8 . Говорят, что мы имеем задачу на геометрическое определение вероятности, если есть ограниченное борелевское подмножество в , - алгебра всех его борелевских подмножеств, а вероятность событий задается по правилу

где -мера Лебега( длина, площадь, объем, . ) множества

Пример 6. Из отрезка случайным образом выбирают точку. Найти вероятность того, что она лежит на расстоянии не более от точки 0.

В результате такого эксперимента мы получаем некоторую точку . Поэтому естественно положить . Если воспользоваться геометрическим определением вероятности, то получаем и

Вероятностное пространство состоит из трех элементов: [1] [2]

А пространство образца, Ω < displaystyle Omega>, который представляет собой набор всех возможных исходов.
An пространство событий, который представляет собой набор События F < displaystyle < mathcal >> , событие представляет собой набор результаты в пространстве образца.
А функция вероятности, который присваивает каждому событию в пространстве событий вероятность- число от 0 до 1.

Чтобы предоставить разумную модель вероятности, эти элементы должны удовлетворять ряду аксиом, подробно описанных в статье.

Русский математик Андрей Колмогоров ввел понятие вероятностного пространства вместе с другими аксиомы вероятности, в 1930-е гг. В современной теории вероятностей существует ряд альтернативных подходов к аксиоматизации - например, алгебра случайных величин.

Содержание

Вступление

Вероятностное пространство - это математическая тройка ( Ω , F , п ) < displaystyle ( Omega, < mathcal >, P)> это представляет собой модель для определенного класса реальных ситуаций. Как и в случае с другими моделями, его автор в конечном итоге определяет, какие элементы Ω < displaystyle Omega>, F < displaystyle < mathcal >> , и п < displaystyle P>будет содержать.

Определение

Короче говоря, вероятностное пространство - это измерить пространство такая, что мера всего пространства равна единице.

Расширенное определение следующее: вероятностное пространство - это тройка ( Ω , F , п ) < displaystyle ( Omega, < mathcal >, P)> состоящий из:

Дискретный корпус

Общий случай

Если Ω есть бесчисленный, тем не менее, может случиться так, что п(ω) ≠ 0 для некоторых ω; такой ω называются атомы. Они не более чем счетные (возможно пустой) множество, вероятность которого является суммой вероятностей всех атомов. Если эта сумма равна 1, то все остальные точки можно безопасно исключить из выборочного пространства, возвращая нас к дискретному случаю. В противном случае, если сумма вероятностей всех атомов находится между 0 и 1, то вероятностное пространство распадается на дискретную (атомарную) часть (возможно, пустую) и неатомный часть.

Неатомный случай

Полное вероятностное пространство

Примеры

Дискретные примеры

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Если 100 избирателей должны быть выбраны случайным образом из числа всех избирателей в Калифорнии и их спросить, за кого они будут голосовать за губернатора, тогда набор всех последовательности из 100 калифорнийских избирателей будет пробным пространством Ω. Мы предполагаем, что отбор проб без замены используется: только последовательности из 100 разные избиратели допускаются. Для простоты рассматривается упорядоченный образец, то есть последовательность отличается от . Мы также считаем само собой разумеющимся, что каждый потенциальный избиратель точно знает свой будущий выбор, то есть он не выбирает случайным образом.

Брайан знает точное количество избирателей, которые проголосуют за Шварценеггера. Его неполная информация описывается соответствующим разбиением Ω = B₀ ⊔ B₁ . ⊔ B₁₀₀ и σ-алгебра F < Displaystyle scriptstyle < mathcal >> _Брайан состоит из 2 101 События.

Неатомные примеры

Пример 4

Число от 0 до 1 выбирается случайно и равномерно. Здесь Ω = [0,1], F < Displaystyle scriptstyle < mathcal >> является σ-алгеброй Наборы Бореля на Ω и п это Мера Лебега на [0,1].

В этом случае открытые интервалы вида (а,б), где 0 Пример 5

Честная монета подбрасывается бесконечно. Здесь можно взять Ω = ∞ , множество всех бесконечных последовательностей чисел 0 и 1. Комплекты цилиндров <(Икс₁, Икс₂, . ) ∈ Ω: Икс₁ = а₁, . Икс_п = а_п> могут использоваться как генераторные установки. Каждый такой набор описывает событие, в котором первый п броски привели к фиксированной последовательности (а₁, . а_п), а остальная часть последовательности может быть произвольной. Каждому такому событию естественным образом можно дать вероятность 2 −п .

Эти два неатомарных примера тесно связаны: последовательность (Икс₁,Икс₂. ) ∈ ∞ ведет к числу 2 −1 Икс₁ + 2 −2 Икс₂ + . ∈ [0,1]. Это не индивидуальная переписка между ∞ и [0,1] однако: это изоморфизм по модулю нуля, что позволяет рассматривать два вероятностных пространства как две формы одного и того же вероятностного пространства. Фактически, все непатологические неатомарные вероятностные пространства в этом смысле одинаковы. Они так называемые стандартные вероятностные пространства. Базовые приложения вероятностных пространств нечувствительны к стандартности. Однако недискретное обусловливание легко и естественно в стандартных вероятностных пространствах, иначе оно становится неясным.

Связанные понятия

Распределение вероятностей

Любой распределение вероятностей определяет вероятностную меру.

Случайные переменные

А случайная переменная Икс это измеримая функция Икс: Ω → S из выборочного пространства Ω в другое измеримое пространство S называется пространство состояний.

Если А ⊂ S, обозначение Pr (Икс ∈ А) - это обычно используемое сокращение для п(ω ∈ Ω: Икс(ω) ∈ А>).

Определение событий с точки зрения пространства выборки

Условная возможность

Колмогоровское определение вероятностных пространств дает начало естественной концепции условная возможность. Каждый набор А с ненулевой вероятностью (то есть п(А)> 0) определяет другую вероятностную меру

на пространстве. Обычно это произносится как «вероятность B данный А”.

На любое мероприятие B такой, что п(B)> 0 функция Q определяется Q(А) = п(А|B) для всех событий А сам по себе является вероятностной мерой.

Независимость

Два события, А и B как говорят независимый если п(А∩B)=п(А)п(B).

Две случайные величины, Икс и Y, считаются независимыми, если какое-либо событие определяется с помощью Икс не зависит от какого-либо события, определенного в терминах Y. Формально они порождают независимые σ-алгебры, где две σ-алгебры грамм и ЧАС, которые являются подмножествами F называются независимыми, если любой элемент грамм не зависит от какого-либо элемента ЧАС.

Взаимная эксклюзивность

Два события, А и B как говорят взаимоисключающий или же непересекающийся если возникновение одного влечет за собой отсутствие другого, т.е. их пересечение пусто. Это более сильное условие, чем вероятность их пересечения нулю.

Если А и B являются непересекающимися событиями, то п(А∪B) = п(А) + п(B). Это распространяется на (конечную или счетно бесконечную) последовательность событий. Однако вероятность объединения бесчисленного множества событий не является суммой их вероятностей. Например, если Z это нормально распределенный случайная величина, тогда п(Z=Икс) равно 0 для любого Икс, но п(Z∈р) = 1.

Вероятностное пространство называется дискретным, если конечно или счетно, - - алгебра всех подмножеств (включая ), вероятность определена для каждого одноточечного подмножества пространства элементарных событий :

, , (16.1)

. (16.2)

Для любого события его вероятность определяется равенством

. (16.3)

Примеры - алгебр

17.1. Пусть - произвольное пространство элементарных событий, на котором не заданы какие-либо события. Для построения - алгебры согласно определению (п.15) необходимо рассмотреть все дополнения, объединения и пересечения заданных событий и включить их в - алгебру. Поскольку в данном случае имеется единственное событие , то возможно построить только его дополнение . Теперь имеется система из двух событий >. Дальнейшее применение операций дополнения, объединения, пересечения не дает новых событий. Таким образом, в данном примере - алгебра .

17.2. Пусть - пространство элементарных событий и - некоторое событие, не совпадающее с , т.е. . Таким образом, имеется система из двух событий . Эту систему можно расширять, включая в нее новые события, которые получаются в результате операций дополнения, объединения, пересечения над событиями . Процедуру расширения системы событий имеет смысл продолжить рекуррентно до прекращения появление новых событий. Предельная система событий называется - алгеброй, порожденной системой событий .

Рассмотрим операцию дополнения над событиями системы. Ее результат , - это новые события, не содержащиеся в исходной системе , включение которых дает новую систему событий

. (17.1)

Очевидно, последующие операции дополнения, объединения, пересечения не дают новых событий, не содержащихся в (17.1). Таким образом, система событий (17.1) является - алгеброй, порожденной системой .

17.3. Усложним пример. Пусть - пространство элементарных событий, - два несовместных события, таких что . Таким образом, имеется система трех событий . Операция объединения над событиями этой системы приводит к появлению одного нового события . Полученная система четырех событий расширяется до восьми путем включения их дополнений. Несложно видеть, что применение операций дополнения, объединения, пересечения к этим восьми событиям не порождает новых событий. Таким образом, система восьми событий

(17.2)

является - алгеброй, порожденной системой событий .

17.4. Рассмотрим - пространство элементарных событий и два произвольных события , рис. 17.1. Для построения - алгебры, порожденной некоторой системой событий, во многих случаях удобно применить следующий прием.

На выделим все несовместные события , рис. 17.1. При этом , , , , и т.д. - алгебра будет содержать все события , все объединения событий , а также невозможное событие . Действительно, операция пересечения любых событий из множества порождает единственное событие . Операция дополнения над событиями из множества порождает событие, которое выражается через объединение событий . Следовательно, над событиями достаточно рассмотреть только операцию объединения, вместо трех операций - дополнения, пересечения, объединения для исходной системы событий .

Теперь для построения - алгебры рассмотрим события , все их объединения и выразим полученные события через исходные . Очевидно: , , , . Парные объединения дают следующие события: , , ; , ; . Тройные объединения: , , , .

Таким образом, - алгебра содержит события: , , , ; , , , , , ; , , , , а также и - всего 16 событий.

Отметим, что при определении - алгебры порождающая система событий, как правило, составляется из событий, наблюдаемых в опыте.

Отметим, что события совпадают с событиями (8.1), которые рассматривались при выводе формулы сложения для частот. Действительно, , , и наконец, по формуле (6.1) .

17.5.Рассмотрим обобщение примера 4. Пусть исходная система событий - содержит произвольных событий . Для построения - алгебры, подобно примеру 4, введем события вида

, (17.3)

где каждое или , причем и . Поскольку каждое может принимать два значения 0 или 1, то число всех событий вида равно . Эти события образуют полную группу несовместных событий. Таким образом, события на - алгебре выполняют роль ортогонального базиса, позволяющего представить произвольное событие через несовместные (ортогональные в смысле операции пересечения) события . В теории множеств множества вида называются конституентами. Аппарат конституент позволяет показать, что в данном примере число всех событий - алгебры не превышает (включая и ), причем число событий достигает максимального значения, когда все отличны от (как в примере 4). Этот результат позволяет судить о высокой скорости роста числа событий в - алгебре в зависимости от - числа событий в исходной системе. Для примера 4 число , следовательно, число событий в - алгебре равно .