Уравнения лагранжа первого рода кратко

Обновлено: 30.06.2024

Уравнения Лагранжа первого рода, в некоторых случаях удобно использовать для нахождения реакций связей, если закон движения уже найден каким-либо другим способом (Например с помощью Уравнений Лагранжа второго рода).

Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Проставить интервики в рамках проекта Интервики.

Теоретическая механика
Физические законы и уравнения

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Уравнения Лагранжа первого рода" в других словарях:

Уравнения Лагранжа второго рода — У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнения Лагранжа. Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма. Вид уравнений Если… … Википедия

Уравнения Лагранжа — Уравнения Лагранжа: Уравнения Эйлера Лагранжа Уравнения Лагранжа первого рода Уравнения Лагранжа второго рода Уравнение Лагранжа Даламбера … Википедия

Список объектов, названных в честь Лагранжа — Существует несколько математических и физических объектов, носящих имя французского математика XVIII века Луи Жозефа Лагранжа: Теоремы Теорема Лагранжа в математическом анализе см. формула конечных приращений Теорема Лагранжа (теория групп) … Википедия

Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 … Википедия

ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СОЛИТОН — солитон с нетривиальной топологич. характеристикой (типа степени отображения, инварианта Хопфа и т … Физическая энциклопедия

Закон сохранения энергии — Закон сохранения энергии фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и… … Википедия

Интеграл Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 … Википедия

Эйлеров интеграл — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 … Википедия

Эйлеровы интегралы — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 … Википедия

НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ — системы материальных точек, стесненные связями, среди к рых имеются кинематич. связи, накладывающие ограничения на скорости (но не на положения) точек системы в ее возможных положениях (см. Голономная система), задаваемые неинтегрируемыми… … Математическая энциклопедия

Уравнения Лагранжа получают на основе принципа наименьшего действия. Функция действия S- среди физических величин занимает центральное место. По определению, действие от момента времени до момента равно:

$\[S=\int^<x$

где \right)" width="50" height="18" />
— функция Лагранжа. Для нерелятивистской частицы в статическом потенциальном поле L=T-U, где T – кинетическая энергия, U – потенциальная. Центральная роль действия в физике обусловлена существованием принципа наименьшего действия (принцип Гамильтона). На основе принципа наименьшего действия из S и L получают уравнения движения (уравнения Лагранжа). Построение теории сводится к нахождению фундаментального лагранжиана, описывающего физический мир, и к решению вытекающих из него уравнений. (Лагранжиан – плотность функции Лагранжа: \right)=\frac<\partial L><\partial V>.\ x_" width="126" height="24" />
– координаты мировой точки.

Дифференциальные уравнениям Лагранжа первого рода

$m\frac<d^2x> =F_x+\lambda \frac<\partial f><\partial x>;\ m\frac=F_y+\lambda \frac<\partial f><\partial y>;\ m\frac=F_z+\lambda \frac<\partial f><\partial z>\qquad (2)\$

называют дифференциальными уравнениями Лагранжа первого рода для движения несвободной материальной точки. Из этих трех дифференциальных уравнений и одного конечного уравнения – уравнения поверхности:

можно найти четыре неизвестных – координаты точки x,y,z и неопределённый множитель Лагранжа как функций времени и произвольных постоянных интегрирования. Постоянные определяются из начальных условий. По найденному легко определить силу реакции поверхности (N= ). Используя приведенные выше уравнения Лагранжа для одной материальной точки можно обобщить их для голономной системы состоящей из п материальных точек, на которую наложено k связей вида:

$f_i\left(x_1,y_1,z_1;\dots ;x_n,y_n,z_n;\ t\right)=0\ \left(i=1,2,3,\dots ,k\right) \qquad (4)$

$m_ \frac>=F_+\sum^k_<<\lambda>_i\frac<\partial f_i><\partial x_>>;\ m_\frac<d^2y_>=F_+\sum^k_<<\lambda>_i\frac<\partial f_i><\partial y_>>;\ m_\frac<d^2z_>=F_+\sum^k_<<\lambda>_i\frac<\partial f_i><\partial z_>>;\ \left(\nu =1,2,3,\dots ,n\right)\qquad (5);$

где " width="24" height="11" />
– массы точек системы; ,y_,z_" width="71" height="12" />
– координаты этих точек; ,F_,F_" width="102" height="18" />
– проекции приложенных к каждой точке активных сил; _i" width="16" height="15" />
– неопределенные множители, пропорциональные реакциям соответствующих связей; t- время. Уравнения (5) совместно с (4) дают систему 3n+k дифференциальных уравнений. Из них находят 3n неизвестных функций (t),y_ (t),z_(t)" width="78" height="41" />
, дающих закон движения точек системы, и k множителей , позволяющих определить проекции реакций.

Для нахождения закона движения уравнениями Лагранжа первого рода пользуются редко, так как интегрирование системы 3n+k уравнений, когда n велико весьма затруднительно. Однако, если закон движения найден каким – либо другим путем, то по уравнениям Лагранжа первого рода в которых известны левые части, можно определять реакции связей.

Уравнения Лагранжа второго рода

$\dot<q_1> Если движение голономной системы описывается обобщенными координатами и обобщенными скоростями ,\ \dot,\dots ,\ \dot$
, то уравнения движения имеют вид:

$\frac<d> \left(\frac<\partial T><\partial \dot<q_i>>\right)-\frac<\partial T><\partial q_i>=Q_i\ (i=1,2,\dots ,s) \qquad (6)$

где T – кинетическая энергия системы, а — обобщенная сила.

Разность полной производной по времени от частной производной от кинетической энергии по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

Уравнения (6) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Если движение происходит в потенциальном поле, то уравнения Лагранжа можно записать в виде:

$\frac<d> \left(\frac<\partial T><\partial \dot<q_i>>\right)-\frac<\partial T><\partial q_i>=-\frac<\partial U><\partial q_i>$

$\frac<d> \frac<\partial><\partial \dot<q_i>>\left(T-U\right)-\frac<\partial><\partial q_i>\left(T-U\right)=0$

$\frac<d> \frac<\partial L><\partial \dot<q_i>>-\frac<\partial L><\partial q_i>=0 \qquad (7)$

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Они описывают движение механической системы, подчиненной идеальным связям. Уравнения Лагранжа второго рода можно использовать при изучении движения любой механической системы с геометрическими связями, независимо от того, сколько точек или тел входят в систему, как движутся тела и какое движение рассматривается.

Применение уравнений Лагранжа

В случае применения уравнений Лагранжа второго рода при решении задач динамики применяется четкая последовательность действий. Следует:

определить число степеней свободы материальной системы;
выбрать систему координат и ввести независимые обобщенные координаты; (Количество координат должно быть равно, числу степеней свободы);
вычислить обобщенные силы , последовательно задавая элементарные положительные приращения соответствующих координат;
вычислить кинетическую энергию системы (T) как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей;
найти частные производные кинетической энергии системы по обобщенным скоростям <\partial \dot>)" width="37" height="26" />
, вычислить производные по времени от них (\left(\frac<\partial T><\partial \dot>\right))" width="71" height="34" />
;
определить частные производные кинетической энергии системы по обобщенным координатам (<\partial q_i>)" width="29" height="26" />
;
результаты, полученные в пунктах 3,5,6 объединить в уравнении Лагранжа второго рода;
далее действовать в зависимости от условий задачи. При необходимости проинтегрировать полученные уравнения, используя начальные условия движения;
провести анализ полученного решения.

Примеры решения задач

$m\frac<d^2x> =\lambda \frac<\partial f><\partial x>;\ m\frac=F_y+\lambda \frac<\partial f><\partial y>;\ m\frac =mg+\lambda \frac<\partial f><\partial z>\qquad (1.1)$

$\lambda =\frac<N> где .$

К дифференциальным уравнениям необходимо добавить уравнение связи, а именно уравнение поверхности сферы:

$f\left(x,y,z,\right)=R^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=0\qquad (1.2)$

$\frac<\partial f> <\partial x>=-2x,\ \frac<\partial f><\partial y>=-2y,\ \frac<\partial f><\partial z>=-2z;\$

$\triangle f=\sqrt<<\left(\frac<\partial f> <\partial x>\right)>^2+<\left(\frac<\partial f><\partial y>\right)>^2+<\left(\frac<\partial f><\partial z>\right)>^2>=2\sqrt=2R,\$

$\sqrt<x^2+y^2+z^2> =R$

$\frac<\partial f> Поставим в уравнение (1.1) значение производных <\partial x>,\ \frac<\partial f><\partial y>,\ \frac<\partial f><\partial z>$
, имеем:

$m\frac<d^2x> =-2\lambda x;\ m\frac=-2\lambda y;\ m\frac=-mg-2\lambda z\qquad (1.3)$

Проинтегрируем систему (1.3.) приближенно. Для получения первого приближения сохраним в уравнении только первые степени величин x/R, y/R и пренебрежем их квадратами в выражении для z:

$z=\sqrt<R^2-y^2-x^2> \qquad (1.4)$

Разложим выражение (1.4) по формуле для бинома, получим:

$z=R\sqrt<1-\frac >=R<\left(1-\frac\right)>^>\approx R\left(1-\frac\right)\approx R \qquad (1.5)$

$\ddot<z> Полагая в третьем уравнении системы (1.3.) z=R и =0$
, имеем:

$mg-2\lambda R=0,\ \lambda =\frac<mg> $

то есть

Подставим значение в первые два уравнения системы (1.3), получим:

$\frac<d^2x> =-\fracx;\ \frac=-\fracy;\$

$\frac<d^2x> или +\fracx=0;\ \frac+\fracy=0$

Решения этих уравнение представляют в виде:

$x=C_1 \sin \left(\sqrt t+C_2\right);\ y=C_3 \sin \left(\sqrtt+C_4\right)\qquad (1.6)$

Продифференцируем x и y по времени, получим:

$\dot<x> =C_1\sqrt \cos \left(\sqrtt+C_2\right);\ \dot=C_3\sqrt \cos \left(\sqrtt+C_4\right)\qquad (1.7)$

Используем начальные условия, подставим их в (1.6), (1.7), получим:

$x_0=C_1 \sin C_2;\ 0=C_3 \sin C_4;\ 0=C_1\sqrt \cos C_2;\ v_0=C_3\sqrt< \cos C>_4\qquad (1.8)$

$C_4=0;\ C_2=\frac<\pi> Из второго и третьего уравнения системы (1.8) находим$
.

Подставляя эти значения в первое и четвертое уравнения, имеем

$x_0=C_1;\ C_3=v_0\sqrt<\frac<R> >$

Искомые уравнения примут вид:

$x=x_0 \sin \left(\sqrt t\right);\ y=v_0\sqrt> \cos \left(\sqrtt\right);\ z=R.\qquad (1.9)$

Если из полученных уравнений исключить параметр t, то получим уравнение траектории материальной точки в координатной форме:

$\frac<x^2> +g\frac=1;\ z=R (1.10)$

$x=l \sin \varphi ;\ y=l \cos \varphi ,\ l=l(t)\qquad (2.1)$

Продифференцируем (2.1), тогда получим проекции скоростей на оси:

$\dot<x> =\dot \sin \varphi +l\dot \cos \varphi ,\ \dot=\dot \cos \varphi -l\dot \sin \varphi ;\ v=\sqrt>^2+<\dot>^2>\qquad (2.2)$

Запишем выражение для кинетической энергии, используя выражения (2.2) :

$T=\frac<mv^2> =\frac\left(>^2+>^2\right)=\frac(l^2+>^2^2>)\qquad (2.3)$

$Q_<\varphi> Пусть обобщенная координата . Нужной найти обобщенную силу: .$
Используем то, что:

$\partial A=Q_<\varphi> .\delta \varphi =-mgl \sin \varphi \cdot \delta \varphi \qquad (2.4)$

$Q_<\varphi> Следовательно, =-mgl \sin \varphi \qquad (2.5.)$

Запишем уравнение Лагранжа второго рода:

$\frac<d> \left(\frac<\partial T><\partial \dot>\right)-\frac<\partial T><\partial \varphi>=Q_\$

$\frac<\partial T> Найдем <\partial \dot<\varphi>>$
используя (2.3) :

$\frac<\partial T> <\partial \dot>=ml^2\dot\qquad (2.5)$

$\frac<d> \left(\frac<\partial T><\partial \dot>\right)=m(2l\dot\dot+l^2\ddot)\qquad (2.6)$

$\frac<\partial T> <\partial \varphi>=0\qquad (2.7)$

Подставим (2.6), (2.7) в уравнение Лагранжа, получим:

$m\left(2l\dot<l> \dot+l^2\ddot\right)=-mgl \sin \varphi$

$l\ddot +2\dot\dot+g \sin \varphi =0$

Таким образом, уравнение движения найдено.

$l\ddot +2\dot\dot+g \sin \varphi =0$

Читайте также: