Третий признак равенства треугольников доказательство кратко
Обновлено: 05.07.2024
Дано:
Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы
- вершина A1 совместилась с вершиной A,
- вершина B1 совместилась с вершиной B,
- точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB.
При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.
I. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.
Проведём отрезок CC1.
По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтому треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1.
Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:
Таким образом, ∠ACB=∠AC1B.
Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть ∠AC1B и ∠A1C1B1 — один и тот же угол.
Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем:
Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.
Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).
Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:
III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.
По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1.
Отсюда ∠C1=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .
Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.
![]() |
Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.
Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла B− b, сторона напротив угла C− c. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.
Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.
![]() |
Вышеизложенное можно сформулировать так:
Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:
![]() |
Первый признак равенства треугольников
Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.
![]() |
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, AС=A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что .
Так как ∠A=∠A1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины A и A1 совпадали, а стороны AB и AС наложились на лучи A1B1 и A1C1, соответственно.
Так как по условию теоремы AB=A1B1, AС=A1С1, то сторона AB совместится со стороной A1B1, а сторона AС − со стороной A1С1.Тогда совместятся B и B1, C и С1. Следовательно сторона BC совместится со стороной B1C1. То есть треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся. Теорема доказана.
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
![]() |
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что .
Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, сторона AB − со стороной A1B1 (по условию теоремы AB=A1B1), а вершины C и С1 оказались по одну сторону от прямой A1B1.
Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то сторона AС наложится на луч A1C1 а сторона BС − на луч B1С1. Тогда вершина C окажется на луче A1C1 и на луче B1C1. Т.е. она окажется на пересечении этих лучей и, следовательно, вершина C совместится с общей точкой лучей A1C1 и B1C1, т.е. с вершиной C1. Таким образом совместятся стороны AC и A1C1, BC и B1C1. То есть треугольники ABC и A1B1С1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.
![]() |
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.
![]() |
Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.
Вариант 1 (Рис.6). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и ∠3=∠4 и, следовательно:
![]() ![]() . |
Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 ∠ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
![]() |
Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
![]() |
Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:
![]() ![]() . |
Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
Задачи и решения
Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).
![]() |
Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .
Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T
![]() |
Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .
Соединим подвинем, повернём треугольники равными сторонами AC и A1C1. Один из треугольников отразим сверху вниз. Затем соединим точки B и B1 отрезком .
Первое доказательство третьего признака равенства треугольников
В треугольнике ABB1 стороны AB и AB1 равны. Следовательно треугольник ABB1 равнобедренный , и его углы при основании — равны. Эти углы ABB1 и AB1B помечены одной дужкой.
В треугольнике CBB1 стороны CB и CB1 равны, следовательно треугольник CBB1 равнобедренный , и его углы при основании — равны. Эти углы CBB1 и CB1B помечены двойной дужкой.
У нас получилось, что углы ABC и A1B1C1 равны, так как они сложены из одинаковых углов. И следовательно исходные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.
ABC = A1B1C1, так как AC = A1C1, AB =A1B1 и BC =B1C1.
Из данной теоремы следует, что треугольник - жесткая фигура, т.е. фигура, не подверженная деформации.
Доказательство:
Дано: ABC, A1B1C1, AC = A1C1, AB =A1B1, BC =B1C1.
Доказать: ABC = A1B1C1
Доказательство:
Приложим ABC к A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B - с вершиной B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой AB (A1B1).
1. Луч CC1 проходит внутри A1C1B1.
2. Луч CC1 совпадает с одной из сторон A1C1B1.
3. Луч CC1 проходит вне A1C1B1.(обратите внимание, что, несмотря на то, что изображения в п.2 и в п.3 похожи, эти два случая для различных треугольников)
Рассмотрим последний случай (остальные доказываются аналогично): Поскольку по условию теоремы AC = A1C1, BC =B1C1, то CB1C1 и CA1C1 - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника B1CC1 = B1C1C, A1CC1 = A1C1C. Следовательно, B1CA1 = B1C1A1 (B1CA1 = B1CC1 - A1CC1 = B1C1C - A1C1C = B1C1A1). Таким образом, AC = A1C1, BC = B1C1, B1CA1 = B1C1A1 , а из этого следует, что ABC = A1B1C1 по I признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
Читайте также: