Теоремы сложения и умножения вероятностей кратко

Обновлено: 05.07.2024

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием сложения вероятностей.

Методические указания по теме 3.1:

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей:

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связан с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Вероятностью события называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. . Невозможному событию соответствует вероятность , а достоверному - вероятность

Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле, получим .

Пример 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через . Общее число случаев . Число случаев m, благоприятствующих появлению события , равно 3. По формуле получим .

Пример 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через . Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два:

Число случаев m, благоприятствующих событию , составляет

По формуле находим вероятность появления двух черных шаров:

Теорема сложения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Пример 4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной.

Очевидно, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B – одна деталь стандартная, две нестандартные; C – две детали стандартные, одна нестандартная и D – три детали стандартные.

Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A = B + C + D. По теореме сложения имеем P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Находим вероятность каждого из этих событий:

Сложив найденные величины, получим

Пример 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Пусть A – событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а B – в том, что оно кратно 5. Найдем Так как A и B совместные события, то воспользуемся формулой:

Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события A); 18 – кратными 5 (благоприятствуют наступлению события B) и 6 – кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события AB). Таким образом, т.е.

Теорема умножения вероятностей:

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Пример 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Пусть - появление белого шара из первой урны, а - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события и независимы. Найдем

По формуле получим:

Пример 7. В ящике находятся 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Введем следующие обозначения: - первая взятая деталь стандартная; - вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события , равна

Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:

Вопросы для самопроверки по теме 3.1:

1. Что такое событие?

2. Какие события называются достоверными?

3. Какие события называются невозможными?

4. Дать определение вероятности.

5. Сформулировать теорему сложения вероятностей.

6. Сформулировать теорему умножения вероятностей.

Задания для самостоятельного решения по теме 3.1:

1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.

3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

4. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один и автоматов не потребует внимания рабочего.

5. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

6. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.

Методические указания по теме 3.1:

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Число случаев m, благоприятствующих событию , составляет

По формуле находим вероятность появления двух черных шаров:

Сложив найденные величины, получим

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:

По формуле получим:

Вопросы для самопроверки по теме 3.1:

1. Что такое событие?

2. Какие события называются достоверными?

3. Какие события называются невозможными?

4. Дать определение вероятности.

5. Сформулировать теорему сложения вероятностей.

6. Сформулировать теорему умножения вероятностей.

Задания для самостоятельного решения по теме 3.1:

1. Предмет теории вероятностей.

2. Краткая историческая справка.

3. Виды случайных событий.

4. Определение вероятности.

5. Теорема сложения вероятностей.

6. Теорема умножения вероятностей.

1. Предмет теории вероятностей.

Наблюдаемые нами явления (события) можно разделить на 3 вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверное событие - это событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S .

Невозможное событие - это событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S .

Случайное событие - это событие, которое при осуществлении условий S может либо произойти, либо не произойти.

Каждое случайное событие есть следствие действий многих случайных причин (сила, с которой брошена монета, форма монеты и т.д.). Учесть влияние всех этих причин невозможно, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому, теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. Она просто не в силах этого сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно повторяться и наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S . Достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, можно предсказать с небольшой погрешностью число появления герба при подбрасывании монеты большого числа раз.

2. Краткая историческая справка.

Эту задачу в 1654 году кавалер де Мере предложил для решения своему другу, знаменитому Блезу Паскалю. Тот решил ее и для более общего случая. Решив задачу сам, Паскаль предложил решить ее своему не менее знаменитому современнику Пьеру Ферма. Каждый из них решил задачу своим способом, и на основе этого у них завязалась переписка.

Таким образом, были положены основы математической теории вероятностей.

Страстный игрок в кости кавалер де Мере так же относится к числу основателей теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял известных математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам.

Таким образом, первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытку создания теории азартных игр ( XVI - XVII вв).

В XIX - XX вв теория вероятностей стала стройной математической наукой. (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Липунов и т.д.)

3. Случайные события.

Случайные события или просто события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Полной группой случайных событий называется группа всевозможных, равновозможных и единственно-возможных событий.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

4. Определение вероятности.

4.1 Классическое определение вероятности (определяет количественные шансы наступления случайного события)

Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных случаев к общему числу всевозможных, равновозможных и единственно-возможных случаев.

Свойство 1: Вероятность достоверного события равна 1.

Доказательство: т.к. m = n , то:

Свойство 2: Вероятность невозможного события равна 0.

Доказательство: т.к. m =0, то:

Свойство 3: Вероятность случайного события есть положительно число, заключенное между 0 и 1.

Доказательство: Т.к. 0 m n , то 0 P ( A )

Свойство 4: Вероятность произвольного события определяется неравенством .

1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найдите вероятность того, что набрана нужная цифра.

2. В партии из 10 изделий- 7 нестандартных. Найдите вероятность того, что среди 6-ти взятых наудачу изделий:

а) все шесть нестандартные;

б) 4- нестандартные?

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо.

4.2 Статистическое определение вероятности (экспериментальное, опытное определение).

Статистической вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих исходов опытов к общему числу проведенных опытов (испытаний).

4.3 Геометрическое определение вероятности (вероятность попадания точки в заданную область).

Пример: На территории крытой военной базы стоит 4 цистерны. Какова вероятность прямого попадания с воздуха в одну из цистерн?

5. Теорема сложения вероятностей.

Суммой случайных событий А и В называется событие А+В, состоящее как из исходов, благоприятствующих событию А, так и из исходов, благоприятствующих событию В. (Исходы, благоприятствующие событиям А и В одновременно, считаются только один раз.)

Понятие суммы распространяется на любое число случайных событий А, В, С и т.д.

Теорема: Если случайные события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Пример: В урне имеется 30 шаров: 10- красных, 5- синих, 15- белых. Найдите вероятность появления цветного (не белого) шара.

Случайные события А и называются противоположными, если они несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

Пример: Вероятность того, что день будет дождливым равна 0,7. Найдите вероятность того, что день будет не дождливым.

Решение: p =0,7, q =1- p =1-0,7=0,3.

Пример: В XVII веке во Франции страстный игрок в кости рыцарь де Мере хотел разбогатеть при помощи игры в кости и для этого он придумывал различные усложненные правила игры. Однажды, де Мере придумал следующие правила:

Первая игра де Мере: Игральная кость подбрасывается 4 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Решение: Пусть р- вероятность того, что при четырех бросках не выпадет 6 очков, q - вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков (вероятность противоположного события).

Рыцарь стал часто выигрывать и с ним перестали играть. Тогда он придумал вторую игру.

Вторая игра де Мере: 2 игральные кости подбрасывают 24 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадут две шестерки.

Эта игра его разорила.

Теорема: Если случайные события не совместны в совокупности, то

Следствие: Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна…

. События образуют полную группу случайных событий.

Произведением случайных событий А и В называют событие A*B, состоящее из тех и только тех исходов, которые благоприятствуют одновременно и событию А, и событию В.

Теорема: Для любых случайных событий А и В справедливо равенство:

Доказательство: т.к. число A*B при суммировании исходов, благоприятствующих каждому из событий считается дважды, то один раз это число необходимо отнять.

Пример: Найдите вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет грань с четным числом очков или числом очков кратным трем.

6. Теорема умножения вероятностей.

Случайное событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Пример: Подбросили 2 монеты. Появление герба на второй монете не зависит от того, что выпало на первой и наоборот. Это два независимых друг от друга события.

Вероятность случайного события А, вычисленная при условии, что событие В имело место, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В).

Если А и В- независимые случайные события, то Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В).

Теорема: Вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

Доказательство: Пусть А и В зависимые случайные события. Событию А благоприятствует k исходов. Событию В благоприятствует l исходов. Событию A*B благоприятствует m исходов. Всего исходов – n . Р(А)=k/n . P(B/A)= m/k. P(A) * P(B/A)=m/n . ч . т . д .

В урне 15 белых шаров и 20- черных. Найдите вероятность того, что оба шара, вынутых наудачу- белые.

Теорема: Вероятность произведения нескольких случайных событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Теорема: Вероятность произведения двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A*B)=P(A)*P(B)

Доказательство: P(A*B)=P(A)*P(B/A)= P(A)*P(B), т.к. А и В- независимы. Ч.т.д.

Пример: В урне 7 белых шаров и 6- черных. Вынули первый шар, запомнили его цвет и вернули его обратно. После этого вынули второй шар. Найдите вероятность, что оба шара были белые.

Теорема: Вероятность произведения нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей.

Пример: Производится 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при втором- 0,8, при третьем- 0,9. Найдите вероятность того, что в результате этих трех выстрелов будет ровно одна пробоина.

Р(А)=0, 7*0,2 * 0,1+0,3 * 0,8 *0,1+0,3 * 0,2 * 0,9=0,014+0,024+0,054=0,092

Рассмотрим решение задачи кавалера де Мере.

Первый игрок может победить в первой же игре или во второй (потерпев в первой игре поражение). Тогда

Т.е. вероятность, что первый игрок одержит победу, равна 3/4. Для второго игрока эта вероятнсоть равна 1/3. Ставку необходимо разделить 3:1.

Старинные задачи:

1. По преданию, когда-то в сельской местности России среди девушек существовало гадание. Одна из подруг зажимала в руке 6 травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу, а другая девушка связывала эти травинки попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж. Какова вероятность этого события?

Решение: Первую травинку можно завязать с одной из сторон с любой из пяти оставшихся травинок. Одну из оставшихся (4) травинок можно связать с любой из трех. И оставшиеся 2 можно теперь связать только одним способом. Имеем 5 3 1=15. Чтобы получилось кольцо, снизу первую травинку можно связать с любой из 4-ех, не связанной с ней сверху. Конец полученной четверки можно связать с одной из двух оставшихся травинок, не связанных с ней сверху. Далее, оставшиеся 2 конца можно связать только одним способом. Имеем 4 *2 *1=8.

Гадание чаще всего сбывалось, т.к. в этом возрасте действительно примерно 50 % девушек выходило замуж.

2. В XVII веке в Генуе возникла знаменитая лотерея. Генуэзская лотерея в XVIII веке разыгрывалась во Франции, Германии и других европейских странах. В лотерее разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают 5. По условию можно ставить ту или иную ставку на любой из 90 номеров или на любую совокупность 2-ух, 3-ех,4-ех или 5-ти номеров. Если участник лотереи ставит на один номер, то он получает при выигрыше в 15 раз больше ставки, если на 2 номера (амбо), то в 270 раз, если на 3 (терн)- в 5500 раз, если на 4 (катерн)- в 75000 раз, елс на 5 (квин)- в 1000000 раз. Какова вероятность выиграть в каждом из указанных 5-ти случаев.

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.

Тeория. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

Пример 1. При бросании игральной кости выпадение 3 очков и 6 очков события несовместные, так как они одновременно не могут произойти в одном и том же опыте.

Пример 2. А — появление четырех очков при бросании игральной кости; В-появление четного числа очков. События А и В совместные, так появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность появления другого события, в противном случае события зависимы.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна :

$P_A (B)=(P(AB))/(P(A))$

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

$P_A(B)=\frac35.$

Этот же результат можно получить по формуле

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

$P(A)=\frac36=\frac12.$

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором—белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений

$A_6^2=\frac<6!> =5\cdot 6=30.$

Из этого числа исходов событию AВ благоприятствуют исходов. Следовательно,

$P(AB)=\frac<9> =\frac.$

Искомая условная вероятность

$P_A(B)=\frac<P(AB)> =\frac>=\frac35.$

Как видим, получен прежний результат.

Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

$P(AB)=P(A)P_A (B)$

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

$P(A_1A_2A_3. A_n) =P(A_1)P_<A_1> (A_2)P_(A_2). P_>(A_n),$

— вероятность события A_n, вычисленная в предположении, что события A₁, A₂, A₃, . , A_n-1 наступили.

. Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т.д.

Пример 4. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), .

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик— конусный, т. е. условная вероятность .

По теореме умножения, искомая вероятность

$P(AB)=P(A)P_A(B)=\frac<3> \cdot \frac79=\frac.$

Пример 5. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем—синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность

$P(ABC)=P(A)P_A(B)P_<AB> (C)=\frac\cdot \frac\cdot\frac=\frac.$

Теорема умножения вероятностей (для независимых событий). Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

$P(A_1+A_2+\ldots+A_n )=P(A_1 )+P(A_2 )+\ldots+P(A_n ).$

Пример 6. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A) P (A) = 10/30 = 1/3. Вероятность появления синего шара (событие B) P (B) = 5/30 = 1/6. События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P (A + B) = P (A) + P (B) = 1/3 + 1/6 = 0,5.

Пример 7. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35.Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Теорема сложения вероятностей (для совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).$

Для трех событий A, B, C имеем:

$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).$

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Для независимых событий:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).$

Пример 8. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р (АВ)=Р (А)*Р(В) = 0,7*0,8 = 0,56. Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А) + Р(В)—Р(АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,56=0,94.

Замечание. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой . В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы:

$q_1=1- p_1 =1-0,7 = 0,3;\qquad q_2=1-p_2= 1-0,8 = 0,2.$

$P= 1 - q_1q_2= 1- 0,3\cdot 0,2 = 0,94$

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна . Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

Для зависимых событий:

Вероятность появления хотя бы одного события.

$\bar<A_1> Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2, . An, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий ,\bar. \bar$
:

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий:

Практический материал.

1.(6.4.12) В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть выборки: а) без возвращения; б) с возвращением.

2. Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления этого события. Определить вероятность того, что: а) придется проводить четвертый опыт; б) будет проведено четыре опыта. Ответ: а) P (A)=0,8 3 ; б) P (B)=0,8 3 ·0,2

3. Три стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что при одновременном залпе этих стрелков в мишени будет: а) только одно попадание; б) хотя бы одно попадание. Ответ: а) 0,092; б) 0,994

4. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. (Указание: Задача обратная примеру 8). Ответ: 0,7

5. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное. Ответ: 0,18

6. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. Ответ: 0,432

Сформулируем основные теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух независимых событий равна сумме вероятностей этих событий

$P(A+B)= P(A)+P(B)$

Замечание. Эта теорема распространяется на произвольное количество независимых событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей появления каждого из этих событий

$P(A \cdot B)= P(A) \cdot P(B)$

$P(A \cdot B)=P(A) \cdot P(B_)$

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий. Вероятность произведения двух зависимых событий называется произведение вероятности наступления одного из событий на условную вероятность наступления второго события

Определение. Суммой событий ,A_,\cdots , A_$" />
называется такое событие В, которое состоит в наступлении хотя бы одного события $" />
.

$B= A_<1> ,A_,\cdots , A_ = \sum\limits_^k A_$

$A_<1> Определение. Произведением событий ,A_,\cdots , A_$
называется такое событие В, которое состоит в одновременном появлении всех событий

$B= A_<1> \cdot A_ \cdot \cdots \cdot A_ = \prod\limits_^k A_$

Пример 5. Два стрелка стреляют одновременно по мишени. Найти вероятности, что .

оба промахнулись;

оба попали;

попал один из стрелков;

попал хотя бы один из стрелков,

если вероятность попадания у первого стрелка 0,7, а у второго 0,8.

Решение. Составим таблицу возможных исходов, введя обозначения попал "+", промазал "-"

Т.е. из таблицы видим, что всего 4 вероятных исхода. Других вариантов нет. Ответим теперь на вопросы.

а) Оба стрелка промахнулись, т.е. оба события "промах первого стрелка" и "промах второго стрелка" наступили одновременно, поэтому воспользуемся теоремой умножения вероятностей

$\overline <P(A)> =\overline <P(A_<1>)> \cdot \overline <P(A_<2>)>= (1-0,7) \cdot (1-0,8) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$

б) Аналогично рассуждая относительно попадания, получим

$P(A) = P(A_<1> ) \cdot P(A_)= 0,7 \cdot 0,8 = 0,56$

в) В этом случае следует воспользоваться теоремой сложения вероятностей, так как из таблицы видно, что это два взаимоисключающих исхода:

попал первый стрелок, то второй промахнулся,

если попал второй стрелок, то первый промахнулся.

$P(B) = P(A_ ) \cdot \overline P(A_) + P(A_) \cdot \overline P(A_) = 0,7 \cdot (1-0,8) +0,8 \cdot (1-0,7) =0,7 \cdot 0,2 +0,8 \cdot 0,3 =0,38$

г) В этом случае нас не интересует только один исход испытаний, когда промахнулись оба, поэтому ответ можно найти как

$P(C)=1-\overline <P(A)> =1-0,06=0,94 ,$

или, перебирая последовательно все возможные варианты исходов,

$P(C)=P(A_ ) \cdot P(A_) +\overline <P(A_)> \cdot P(A_) +\overline <P(A_)> \cdot P(A_) =0,7 \cdot 0,8 + (1-0,7) \cdot 0,8+(1-0,8) \cdot 0,7 =0,94$

Читайте также:


Международные отношения геополитика кратко

Микрофлора мяса и мясных продуктов кратко

Дело молодых историков кратко суть

Рождаемость это в географии 8 класс кратко

Церковь эвтаназии религия кратко