Теорема о базисном миноре доказательство кратко

Обновлено: 05.07.2024

Рассмотрим матрицу $A$ типа $(m,n)$. Пусть, для определенности, $m \leq n$. Возьмем $m$ строк и выберем $m$ столбцов матрицы $A$, на пересечении этих строк и столбцов получится квадратная матрица порядка $m$, определитель которой называют минором порядка $m$ матрицы $A$. Если этот минор отличен от 0, его называют базисным минором и говорят, что ранг матрицы $A$ равен $m$. Если же этот определитель равен 0, то выбирают другие $m$ столбцов, на их пересечении стоят элементы, образующие другой минор порядка $m$. Если минор равен 0, продолжаем процедуру. Если среди всех возможных миноров порядка $m$ нет отличных от нуля, мы выбираем $m-1$ cтрок и столбцов из матрицы $A$, на их пересечении возникает квадратная матрица порядка $m-1$, ее определитель называется минором порядка $m-1$ исходной матрицы. Продолжая процедуру, ищем ненулевой минор, перебирая все возможные миноры, понижая их порядок.

Ненулевой минор данной матрицы наивысшего порядка называется базисным минором исходной матрицы, его порядок называется рангом матрицы $A$, строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисныи строками и столбцами. Ранг матрицы обозначается $rang(A)$.

Из этого определения следуют простые свойства ранга матрицы: это целое число, причем ранг ненулевой матрицы удовлетворяет неравенствам: $1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)$.

Как изменится ранг матрицы, если вычеркнуть какую-нибудь строку? Добавить какую-нибудь строку?

1) Ранг может уменьшиться на 1.

2) Ранг может увеличиться на 1.

Пусть $A$ - матрица типа $(m,n)$. Рассмотрим столбцы матрицы $A$ - это столбцы из $m$ чисел каждый. Обозначим их $A_1,A_2. A_n$. Пусть $c_1,c_2. c_n$ - какие-то числа.

Столбец \[ D=c_1A_1+c_2A_2+. +c_nA_n = \sum _^nc_mA_m \] называется линейной комбинацией столбцов $A_1,A_2. A_n$, числа $c_1,c_2. c_n$ называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Пусть дано $p$ столбцов $A_1, A_2, . A_p$. Если существуют такие числа $c_1,c_2. c_p$, что

1. не все эти числа равны нулю,

2. линейная комбинация $c_1A_1+c_2A_2+. +c_pA_p =\sum _^pc_mA_m$ равна нулевому столбцу (т.е. столбцу, все элементы которого нули), то говорят, что столбцы $A_1, A_2, . A_p$ линейно зависимы. Если для данного набора столбцов таких чисел $c_1,c_2. c_n$ не существует, столбцы называются линейно независимыми.

\[ A_1=\left( \begin 1 \\ 0 \end \right), A_2=\left( \begin 0 \\ 1 \end \right), \] тогда для любых чисел $c_1,c_2$ имеем: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left( \begin 1 \\ 0 \end \right)+c_2\left( \begin 0 \\ 1 \end \right)=\left( \begin c_1 \\ c_2 \end \right). \]

Эта линейная комбинация равна нулевому столбцу тогда и только тогда, когда оба числа $c_1,c_2$ равны нулю. Таким образом, эти столбцы линейно независимы.

Для того, чтобы столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Пусть столбцы $A_1,A_2. A_m$ линейно зависимы, т.е. для некоторых констант $\lambda _1, \lambda _2. \lambda _m$, не все из которых равны 0, выполняется: \[ \sum _^m\lambda _kA_k=0 \] (в правой части - нулевой столбец). Пусть, например, $\lambda _1 \neq 0$. Тогда \[ A_1=\sum _^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] т.е. первый столбец - линейная комбинация остальных.

Для любой ненулевой матрицы $A$ справедливо следующее:

1. Базисные столбцы линейно независимы.

2. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией его базисных столбцов.

(Аналогичное верно и для строк).

Пусть, для определенности, $(m,n)$ - тип матрицы $A$, $rang(A)=r \leq n$ и базисный минор расположен в первых $r$ строках и столбцах матрицы $A$. Пусть $s$ - любое число между 1 и $m$, $k$ - любое число между 1 и $n$. Рассмотрим минор следующего вида: \[ D=\left| \begin a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ \end \right| , \] т.е. мы к базисному минору приписали $s-$ый столбец и $k-$ую строку. По определению ранга матрицы этот определитель равен нулю (если мы выбрали $s\leq r$ или $k \leq r$ , значит в этом миноре 2 одинаковых столбца или 2 одинаковых строки, если $s>r$ и $k>r$ - по определению ранга минор размера больше $r$ обращается в ноль). Разложим этот определитель по последней строке, получим: \[ a_A_+a_A_+. +a_A_+a_A_=0. \quad \quad(16) \]

Здесь числа $A_$ - алгебраические дополнения элементов из нижней строки $D$. Их величины не зависят от $k$, т.к. образуются с помощью элементов из первых $r$ строк. При этом величина $A_$ - это базисный минор, отличный от 0. Обозначим $A_=c_1,A_=c_2. A_=c_s \neq 0$. Перепишем в новых обозначениях (16): \[ c_1a_+c_2a_+. +c_ra_+c_sa_=0, \] или, разделив на $c_s$, \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Это равенство справедливо для любого значения $k$, так что \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \] \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \] \[ . \] \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_. \] Итак, $s-$ый столбец является линейной комбинацией первых $r$ столбцов. Теорема доказана.

Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы равен числу ее линейно независимых столбцов (которое равно числу линейно независимых строк).

Если определитель равен нулю, то у него есть столбец, который является линейной комбинацией остальных столбцов.

Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то столбцы матрицы линейно зависимы.

Некоторые преобразования матрицы не меняют ее ранг. Такие преобразования можно назвать элементарными. Соответствующие факты нетрудно проверить с помощью свойств определителей и определения ранга матрицы.

1. Перестановка столбцов.

2. Умножение элементов какого-нибудь столбца на ненулевой множитель.

3. Прибавление к столбцу любого другого столбца, умноженного на произвольное число.

4. Вычеркивание нулевого столбца.

Аналогичное верно и для строк.

С помощью этих преобразований матрицу можно преобразовать к так называемой "трапециевидной" форме - матрице, под главной диагональю которой располагаются только нули. Для "трапециевидной" матрицы ранг - это число ненулевых элементов на главной диагонали, и базисный минор - минор, диагональ которого совпадает с набором ненулевых элементов на главной диагонали преобразованной матрицы.

\[ A=\left( \begin 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end \right). \] Будем преобразовывать ее с помощью указанных выше преобразований. \[ A=\left( \begin 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end \right) \mapsto \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end \right) \mapsto \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end \right) \mapsto \] \[ \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\mapsto \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end\right). \]

Здесь мы последовательно делаем следующие шаги: 1) переставляем вторую строку наверх, 2) вычитаем первую строку из остальных с подходящим множителем, 3) вычитаем вторую строку из третьей 4 раза, прибавляем вторую строку к четвертой, 4) вычеркиваем нулевые строки - третью и четвертую. Наша итоговая матрица прибрела желаемую форму: на главной диагонали стоят ненулевые числа, под главной диагональю - нули. После этого процедура останавливается и число ненулевых элементов на главной диагонали равно рангу матрицы. Базисный минор при этом - две первые строки и два первых столбца. На их пересечении стоит матрица порядка 2 с ненулевым определителем. При этом, возвращаясь по цепочке преобразований в обратную сторону, можно проследить, откуда возникла та или иная строка (тот или иной столбец) в конечной матрице, т.е. определить базисные строки и столбцы в исходной матрице. В данном случае первые две строки и первые два столбца образуют базисный минор.

Пусть $A$ - матрица типа $(m,n)$ ранга $r_1$, $B$ - матрица типа $(p,n)$ ранга $r_2$. Объединим их строки - получим матрицу $C$. Можно ли дать двустороннюю оценку ранга матрицы $C$?

$max(r_1, r_2) \leq rang(C) \leq \min(n, r_1 + r_2)$

1. Вычислить ранг матрицы

а) \[ \left( \begin 1 &2 &1 & 1 \\ 2& 4 & 2 & 2\\ 3 & 6& 3& 5 \end \right) . \]

б) \[ \left( \begin 1 &7 &7 & 9 \\ 7& 5 & 1 & -1\\ 4 & 2& -1& -3 \\ -1 & 1 & 3 &5 \end \right) . \]

в) \[ \left( \begin 2 & 1 &11 & 2 \\ 1& 0 & 4 & -1\\ 11 & 4& 56& 5 \\ 2 & -1 & 5 &- 6 \end \right) . \]

г) \[ \left( \begin 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2& 1 & 1 & 4\\ 3 & 2& 1& 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end \right) . \]

2. Доказать равенство $rang(A)=rang(A^T)$.

3. Пусть $A$ и $B$ - матрицы с одинаковым числом строк. Доказать, что \[ rang\left( \begin A & B\\ 2A & 3B \end \right)=rang(A)+rang(B). \]

В данной публикации мы рассмотрим теорему о базисном миноре (формулировка и следствия). Также разберем пример задачи для демонстрации ее применения на практике.

Формулировка теоремы

В произвольной матрице A столбцы/строки, входящие в состав базисного минора M (называются “базисными”), линейно независимы. Каждый столбец/строка матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов/строк.

Допустим, дана матрица A размером mxn . Базисным называется ненулевой минор M порядка r , при этом все миноры более старшего порядка ( r+1 и выше) равняются нулю или их вовсе нет. Это значит, что r равняется меньшему из чисел m или n .

Из теорему о базисном миноре следует:

Пример задачи

Давайте найдем всем базисные миноры матрицы A, представленной ниже, а также определим ее ранг.

Решение:

1. Выполним элементарные преобразования над матрицей, чтобы упростить ее. Для начала разделим третью строку на 2 и переставим ее с первой местами.

2. Отнимем из третьей строки первую.

3. Получаем матрицу с нулевой строкой, что означает, что все миноры третьего порядка равняются нулю.

4. Таким образом, базисными в нашем случае могут быть только ненулевые миноры второго порядка, состоящие из первой и второй строк полученной матрицы.

Ответ:
Все рассчитанные миноры отличны от нуля, значит, все они являются базисными. Ранг матрицы равен двум , так как все миноры более высокого (третьего) порядка равны нулю.

$A = \begin a_ & a_ & \cdots & a_ \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end$

каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

В матрице минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю или не существуют вовсе, т.е. совпадает с меньшим из чисел или .

Следствие. Определитель -го порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Теорема о базисном миноре матрицы служит для доказательства таких важных теорем:

Теорема 1. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

Теорема 2. (Теорема о ранге матрицы). Для любой матрицы ее ранг равен максимальному количеству ее линейно независимых строк (столбцов).

Примеры решения задач

$A = \begin -1 & 2 & 1 & 4\\ 1 & 2 & -1 & 5\\ 0 & 4 & 0 & 9 \end$

$A = \begin -1 & 2 & 1 & 4\\ 1 & 2 & -1 & 5\\ 0 & 4 & 0 & 9 \end ~ \begin -1 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 0 & 9\\ 0 & 4 & 0 & 9 \end$

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на , остальные строки оставим без изменения

$A = \begin -1 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 0 & 9\\ 0 & 4 & 0 & 9 \end ~ \begin -1 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end$

Таким образом, все миноры третьего порядка будут равны нулю, так будут содержать нулевую строку.

Выпишем все миноры второго порядка

$M_ ^ = \begin -1 & 2 \\ 0 & 4 \end = -4-0=-4 \text< >;\text < >M_^ = \begin -1 & 1 \\ 0 & 0 \end = 0-0=0$

$M_<14> ^ = \begin -1 & 4 \\ 0 & 9 \end = -9-0=-9 \text< >;\text < >M_^ = \begin 2 & 1 \\ 4 & 0 \end = 0-4=-4$

$\text<rang> Миноры второго порядка, содержащие элементы третьей строки, так же все будут нулевыми. Таким образом, (A) = 2$
и базисными будут все ненулевые миноры второго порядка.

Столбцы матрицы $A$, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы $A$ линейно выражается через остальные столбцы из базисного минора.

В матрице $A$ размеров $m \times n$ минор $r$-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры $(r + 1)$-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Следствие. Если все столбцы матрицы $A$ линейно выражаются через $r$ столбцов $A_, A_, \ldots, A_$, которые образуют линейно независимую систему, то ранг матрицы $\operatorname A=r$ .

Примеры решения задач

Задание. Найти все базисные миноры и ранг матрицы:

$$A=\left(\begin1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end\right)$$

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка будет нулевой. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, который будет состоять из элементов первых двух строк матрицы. Перебираем всевозможные миноры второго порядка, состоящие из элементов указанных строк:

Таким образом, пять минор являются ненулевыми и каждый из них - базисный. Следовательно, так как порядок базисных миноров равен двум, то и ранг матрицы равен двум: $\operatorname A=2$ .

Ответ. Базисные миноры $M_^, M_^, M_^, M_^, M_^ ;$ rang $A=2$ .

Читайте также: