Существование плоскости проходящей через данную прямую и данную точку доказательство кратко
Обновлено: 03.07.2024
Доказательство. Пусть АВ — данная прямая и С — не лежащая на ней точка (рис. 312). Проведем через точки А и С прямую (аксиома I). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость (аксиома С3) Она проходит через прямую АВ и точку С. Докажем, что плоскость , проходящая через прямую АВ и точку С, единственна. Допустим, существует другая плоскость ', проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плоскости и ' пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В, С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Параллелепипед. Виды параллелепипеда.
Параллелепипед — это четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.
Наклонный
Прямой
Виды прямых параллелепипедов:
Прямой параллелепипед, основание — параллелограмм
Прямоугольный параллелепипед, основание — прямоугольник
Специальные случаи прямоугольного параллелепипеда
Правильная четырёхугольная призма, основание — квадрат, высота призмы не обязательно равна стороне основания
Куб, все рёбра куба равны, все грани — квадраты
БИЛЕТ 2.
Теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну.
Доказательство:
1) Рассмотрим прямые a и b, которые пересекаются в точке C.
2) Выберем точку A на прямой a и точку B на прямой b так, чтобы эти точки не совпадали с точкой C.
3) Из второй аксиомы следует, что через точки A, B и C можно провести одну единственную плоскостьα. В таком случае прямые a и b находятся на плоскостиα(судя по третьей аксиоме).
Тетраэдр. Сечения тетраэдра.
Правильный тетраэдр: частный случай правильной треугольной пирамиды.
Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости, плоскость при этом называется секущей плоскостью.
БИЛЕТ 3.
Теорема о существовании и единственности прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащей на ней.
Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну.
Доказательство:
1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.
2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.
Пирамида. Элементы. Виды.
N-угольная пирамида представляет собой многогранник, одна грань которого называется основанием пирамиды, - некоторый n-угольник, а остальные n граней- треугольники с общей вершиной. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами ее основания, называются боковыми ребрами пирамиды.
Виды:
Правильная
Треугольная
Тетраэдр
БИЛЕТ 4.
Признак Параллельности двух прямых(теорема о параллельности трёх прямых).
А)Две прямые a и b на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a∥b.
Б) Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Доказательство:
Выберем точку M на прямой b. Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая: 1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.
Пусть прямая b пересекает плоскость α. Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.
Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.
Пусть у прямых a и b есть общая точка L. Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек. Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.
2)Свойства пирамиды у которой боковые ребра равны.
Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности.
— все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы;
— все углы, которые боковые ребра образуют с высотой пирамиды, равны.
Билет 5.
На этом уроке мы рассмотрим некоторые следствия из аксиом. Рассмотрим и докажем теорему о том, что через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Рассмотрим и докажем теорему о том, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Далее с помощью аксиом и двух теорем-следствий мы решим несколько задач.
Доказательство:
1) рассмотрим прямую \(a\) и точку \(A\), которая не находится на этой прямой.
2) На прямой \(a\) выберем точки \(B\) и \(C\).
3) Так как все \(3\) точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки \(A\), \(B\) и \(C\) можно провести одну-единственную плоскость α .
4) Исходя из третьей аксиомы, сделаем вывод о том, что плоскость α проходит через прямую \(a\) и через точку \(A\). Т.к. точки прямой \(a\) — \(B\) и \(C\) — лежат на плоскости α .
Доказательство:
1) рассмотрим прямые \(a\) и \(b\), которые пересекаются в точке \(C\).
2) Выберем такие точки, которые не будут совпадать с точкой \(C\). Точка \(A\) на прямой \(a\) и точка \(B\) на прямой \(b\).
3) Из второй аксиомы следует, что через точки \(A\), \(B\) и \(C\) можно провести одну-единственную плоскость α . В таком случае прямые \(a\) и \(b\) находятся на плоскости α (судя по третьей аксиоме).
даны пересекающиеся отрезки \(AC\) и \(BD\). Доказать, что все отрезки \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) находятся на одной плоскости.
1) из второй теоремы следует, что через \(AC\) и \(BD\) можно провести только одну плоскость, которую обозначим α . Это значит, что точки \(A, B, C\) и \(D\) принадлежат плоскости α .
2) Из третьей аксиомы следует, что все точки прямых \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) принадлежат плоскости. Поэтому все соответствующие отрезки лежат на плоскости α .
У аксиом стереометрии есть несколько очень нужных следствий, которые упрощают решения задач и доказательства теорем. На данном уроке мы рассмотрим эти следствия и решим несколько задач, при решении которых будем использовать сами аксиомы стереометрии и следствия из них.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Некоторые следствия из аксиом стереометрии"
На прошлом уроке мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии. Давайте еще раз повторим их.
Первая аксиома звучит так: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Вторая аксиома звучит так: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Третья аксиома звучит так: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Сегодня на уроке мы сформулируем и докажем некоторые следствия из этих аксиом. По аналогии с аксиомами следствия мы будем обозначать заглавной буквой С с нижним индексом.
Итак, первое следствие звучит так: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Докажем это. Рассмотрим прямую a и не лежащую на ней точку B. Нам необходимо доказать, что через прямую a и точку B проходит плоскость. Отметим на прямой a две точки C и D. Точки B, C, D не лежат на одной прямой, поэтому согласно первой аксиоме, (а именно, тому что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна) через эти точки проходит некоторая плоскость α. Поскольку точки C и D прямой a лежат в плоскости, то по второй аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости) вся прямая a лежит в плоскости α.
Теперь давайте докажем единственность этой плоскости. Любая плоскость, которая проходит через прямую a и точку B проходит через точки B, C, D. То есть она совпадает с плоскостью α, поскольку по первой аксиоме, плоскость, которая проходит через три точки, не лежащие на одной прямой – единственная.
Теперь давайте сформулируем и докажем второе следствие.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Рассмотрим прямые a и b, которые пересекаются в точке А. Тогда нам необходимо доказать, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Отметим на прямой b точку B, не совпадающую с точкой А. Тогда из первого следствия, через прямую a и точку B можно провести плоскость α. Так как точки А и B прямой b лежат в плоскости α, то по второй аксиоме мы получим, что вся прямая b лежит в плоскости α. Поскольку через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость, то значит, любая плоскость, проходящая через прямые a и b совпадает с плоскостью α.
Таким образом, наша теорема доказана.
Решим несколько задач.
Задача. Две прямые пересекаются в точке . Доказать, что все прямые, которые пересекают данные прямые и не проходят через точку , лежат в одной плоскости.
По второму следствию из аксиом стереометрии через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Значит, через данные прямые проведем плоскость альфа.
Проведем прямую, которая будет пересекать прямые, но не проходит через точку B. Эта прямая с каждой из данных прямых имеет по одной общей точке. Эти точки принадлежат построенной плоскости, поскольку прямые принадлежат этой плоскости. Получаем, что две точки прямой принадлежат плоскости, значит, по второй аксиоме, вся прямая лежит в этой же плоскости. Поскольку прямую мы проводили произвольно, то, очевидно, что каждая из прямых, которые будут пересекать исходные прямые будет лежать в этой же плоскости, что и требовалось доказать.
Задача. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
Первое утверждение неверно, так как окружность и плоскость имеют две общие точки, если они пересекаются. То есть окружность не лежит в плоскости, а только пересекает ее.
Перейдем ко второму утверждению. По первой аксиоме через три точки, не лежащих на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну. Точки окружности не могут лежать на одной прямой, поэтому проведем через них плоскость. Очевидно, что эти точки лежат в плоскости окружности, но поскольку аксиома говорит о том, что такая плоскость единственная, значит, окружность будет принадлежать этой плоскости. То есть второе утверждение верно.
Задача. Пусть точки не лежат на одной прямой. Отметим на прямой точку , а на прямой – точку . Доказать, что точка прямой лежит в плоскости .
По первой аксиоме через точки А, B, C проведем плоскость α. Так как прямая АB лежит в плоскости α, значит, точка D лежит в плоскости α. Аналогично, поскольку прямая АC лежит в плоскости α, то и точка Е лежит в плоскости α. Получаем, что две точки прямой DE лежат в плоскости α. Применим вторую аксиому и получим, что вся прямая DE лежит в плоскости α. Тогда точка F прямой DE тоже лежит в плоскости α. Что и требовалось доказать.
Задача. Пусть стороны и треугольника лежат в плоскости . Доказать, что и медиана лежит в плоскости .
Поскольку стороны AB и АC лежат в плоскости α, значит, точки B и C лежат в этой плоскости, то есть, по второй аксиоме, сторона BC тоже лежит в этой плоскости. Точка M лежит на прямой BC, значит, она лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.
Подведем итоги урока. Итак, сегодня на уроке мы повторили аксиомы стереометрии, сформулировали и доказали некоторые следствия из аксиом и рассмотрели задачи, на использование аксиом и следствий из них.
Читайте также: