Статистика электронов и дырок в полупроводниках кратко

Обновлено: 03.07.2024

В полупроводниках различают три энергетических зоны: валентную зону, запрещённую зону и зону проводимости.

Валентная зона - энергетическая область разрешённых электронных состояний в полупроводнике, заполненная валентными электронами.

Зона проводимости - диапазон энергии, где могут находиться свободные электроны из валентной зоны, преодолевшие запрещённую зону.

Распределение электронов и дырок по энергиям подчиняется статистическим законам Ферми-Дирака и Максвелла-Больцмана.

Распределение Ферми-Дирака определяет статистическое распределение заряженных частиц по энергетическим уровням системы, находящейся в термодинамическом равновесии. В статистике Ферми-Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией ε есть

Равновесные процессы – процессы, происходящие в телах, которые не подвергаются внешним воздействиям. В состоянии термодинамического равновесия для кристалла полупроводника при заданной температуре существует определенное распределение электронов и дырок по энергиям, а также значения их концентраций. Вычисление концентраций основных и неосновных носителей заряда составляет главную задачу статистики электронов и дырок в кристаллах.

Электроны как частицы, обладающие полуцелым спином, подчиняются статистике Ферми – Дирака. Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е, выражается функцией Ферми – Дирака:

Здесь F – электрохимический потенциал, или уровень Ферми. Из (1.1) видно, что уровень Ферми можно определить как энергию такого квантового состояния, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Вид функции Ферми – Дирака схематически показан на рис. 1.3. При Т = 0 она имеет вид разрывной функции. Для E F функция f = 0 и соответствующие квантовые состояния совершенно не заполнены. При Т > 0 функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий, порядка нескольких kT, в окрестности точки E = F быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.

Вычисление различных статистических величин значительно упрощается, если уровень Ферми F лежит в запрещенной зоне энергий и удален от края зоны Е_C хотя бы на 2kT (или Е_C – Е > kT). Тогда в распределении (1.1) единицей в знаменателе можно пренебречь, и оно переходит в распределение Максвелла – Больцмана классической статистики. Это случай невырожденного полупроводника:

Рис. 1.3. Функция распределения плотности состояний в зоне проводимости N(E), функции Ферми – Дирака f и Больцмана f_Б

Функция Ферми – Дирака для электронов f_n имеет вид

Концентрация электронов в зоне проводимости равна

Величина N_C получила название эффективной плотности состояний в зоне проводимости.

В случае невырожденного полупроводника, когда уровень Ферми лежит выше потолка валентной зоны хотя бы на 2kT, то есть F – E_C > 2kT (или F – E_C > kT), функция Ферми – Дирака для дырок f_p имеет вид

а концентрация дырок в валентной зоне

где E_V – энергия, соответствующая потолку валентной зоны, а N_V – эффективная плотность состояний в валентной зоне, которая рассчитывается по уравнению (1.5), если вместо m_n взять эффективную массу дырки m_p.

Для расчета n и p по уравнениям (1.4) и (1.7) необходимо знать положение уровня Ферми F. Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от уровня Ферми, хотя зависит от температуры:

Это уравнение используется для расчета p при известном n или, наоборот, для расчета n при известном p. Величина n_i при некоторых температурах для конкретных полупроводников приводится в справочниках.

1.4. Концентрация электронов и дырок

в собственном полупроводнике

Полупроводник называется собственным, если в нем отсутствуют донорные и акцепторные примеси. В этом случае электроны появляются в зоне проводимости только за счет теплового заброса из валентной зоны, тогда n = p (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Заброс электронов из валентной зоны

в собственном полупроводнике

При отсутствии внешних воздействий (освещение, электрическое поле и т.д.) будем обозначать концентрации свободных электронов и дырок с индексом нуль, то есть n₀ и p₀ соответственно. При n₀ = p₀ из (1.8) получаем

где n_i - концентрация собственных носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне. Для расчета N_C и N_V используется формула (1.5). Как следует из соотношения (1.9), концентрация собственных носителей определяется в основном температурой и шириной запрещенной зоны полупроводника.

Функция Ферми – Дирака для электронов f_n имеет вид

Концентрация электронов в зоне проводимости равна

Величина N_C получила название эффективной плотности состояний в зоне проводимости.

а концентрация дырок в валентной зоне

1.4. Концентрация электронов и дырок

в собственном полупроводнике

Рис. 1.4. Заброс электронов из валентной зоны

в собственном полупроводнике

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Собственные полупроводники. Химически чистые полупроводники называются собственными полупроводниками. К ним относятся как чистые химические элементы Ge и Si, так и химические соединения GaAs-арсенид галлия, JnAs-арсенид индия, SiS-карбид кремния и др. При Т=0 валентная зона собственного полупроводника полностью занята электронами, а зона проводимости пуста (рис. 2.1,а). Поэтому при Т=0 проводник обладает нулевой проводимостью и ведет себя как диэлектрик. При повышении температуры, вследствие термического возбуждения, часть электронов валентной зоны приобретает энергии, достаточные для преодоления запрещенной зоны и перехода в зону проводимости (рис. 2.1,б). Это приводит к появлению в зоне проводимости свободных электронов, а в валентной зоне свободных уровней, на которые могут переходить электроны этой зоны. Кристалл становится проводящим, т.к. в зоне проводимости появились свободные электроны, а в валентной зоне уровни на которые могут переходить электроны, т.е. валентная зона становится занятой не полностью.

Чем уже запрещенная зона и выше температура кристалла, тем больше электронов переходит в зону проводимости, тем выше становится электропроводность.

Таким образом, проводимость полупроводников является возбужденной. Возбуждающим фактором может быть нагрев, облучение светом - ионизирующим излучением.

Разделение тел на полупроводники и диэлектрики носит условный характер, т.к. их проводимость определяется температурой. Например, алмаз, являющийся диэлектриком при комнатной температуре, приобретает заметную проводимость при высокой температуре ( 300 С).

Примесные полупроводники. Полупроводники, как и все вещества, содержат примесные атомы, создающие свои собственные электрические уровни, называемые примесными уровнями. Эти уровни могут располагаться как в разрешенной, так и в запрещенной зонах полупроводника на различных расстояниях от дна зоны проводимости потолка валентной зоны.

Любое твёрдое тело состоит из громадного числа отдельных частиц 10 22 – 10 23 в кубическом сантиметре. Аналитически описать поведение такого ансамбля частиц просто невозможно из – за невообразимой сложности системы уравнений и колоссального количества этих уравнений. Однако оказалось, что точное описание поведения частицы в таком ансамбле не только невозможно, но и ненужно. Дело в том, что свойства твёрдого тела определяются вероятностными, статистическими параметрами всего ансамбля, а не отдельных его элементов. Это относится к любому большому коллективу частиц, а не только к твёрдому телу – жидкостям, газу, человеческому сообществу, наконец.

Полупроводниковый кристалл можно рассматривать как ансамбль частиц с энергией W_i у каждой частицы. Среднее число частиц системы с энергией от W до W + dW определяется полной статистической функцией распределения N (W) dW, которую можно представить произведением числа состояний g (W) dW, приходящихся на интервал энергий dW на вероятность заполнения этих состояний частицами f (W): N (W) dW = g (W) f (W) dW. f (W) называют функцией распределения – это вероятность заполнения данных состояний. Вероятность заполнения энергетических состояний электронами описывается функцией Ферми - Дирака:

где k = 0,86 · 10 – 4 эВ/град - постоянная Больцмана; Т – температура; μ – химический потенциал (энергия Ферми).

уровней валентной зоны становится меньше единицы (кривая 2 на рис.2.5). При высокой температуре (Т→ ∞) вероятность заполнения любого разрешённого уровня f (W) → 0,5 (прямая 3 на рис.2.5).

Симметричное расположение уровня Ферми подтверждает положение о равенстве числа электронов и дырок в собственном полупроводнике n_i = p_i.

В примесных полупроводниках кривая распределения смещается либо к зоне проводимости (для донорных полупроводников), либо к валентной зоне (для акцепторных полупроводников). Зонные диаграммы и функции Ферми – Дирака для примесных полупроводников показаны на рис. 2.6. Слева приведена зонная модель и функция вероятности заполнения электронами энергетических уровней для полупроводников n – типа. Уже при комнатной температуре почти все электроны с примесного уровня переходят в зону проводимости. В результате заполнения зоны проводимости электронами примеси кривая распределения, а также уровень Ферми донорных полупроводников μ_д смещаются вверх.

Рисунок 2.6. Кривые распределения вероятностей заполнения энергетических уровней и положение уровня Ферми для n – полупроводников (слева) и р – полупроводников (справа).

Величина этого смещения при данной температуре зависит от концентрации донорной примеси. При значительном повышении концентрации примеси уровень Ферми располагается выше примесного уровня и даже может попасть в зону проводимости.

Для полупроводников р – типа функция Ферми – Дирака и зонная диаграмма показаны на рис.2.6. справа. У этого полупроводника примесный акцепторный уровень расположен на расстоянии W_а от потолка валентной зоны. При комнатной температуре валентные электроны переходят на примесный уровень и в валентной зоне появляется большое количество дырок. В результате кривая распределения и уровень Ферми μ_а смещаются вниз. Расположение уровня Ферми относительно примесного уровня зависит от концентрации акцепторной примеси (при Т = 0 0 К уровень располагается ниже примесного, вероятность заполнения которого при этом равна нулю).

Ранее было отмечено, что в примесных полупроводниках существуют основные носители зарядов и неосновные, число которых на несколько порядков меньше, чем основных. При изменении концентрации примесей в полупроводнике изменяется положение уровня Ферми и концентрация носителе зарядов обоих знаков – электронов и дырок. Однако произведение концентраций электронов и дырок в невырожденном полупроводнике (для которого f (W) 2 . ( 2.3 )

Выражение ( 2.3 ) называют законом действующих масс для носителей зарядов. Оно позволяет всегда найти концентрацию неосновных носителей, если известна концентрация основных носителей заряда.

В широком диапазоне температур и для различных концентраций примеси имеют место температурные зависимости концентрации носителей заряда. Такие зависимости для n – полупроводника показаны на рис. 2.7. На этом ри- сунке концентрации (количество в единице объёма) доноров находятся в соотношении: N _{д 1} 0 К уровень Ферми в полупроводнике n – типа лежит посередине между дном зоны проводимости и примесным (донорным) уровнем (рис. 2.8, слева ), валентная зона и примесный уровень заполнены, зона проводимости пуста, электропроводности нет. При повы -

Рисунок 2.8. Зависимость уровня Ферми от температуры для донорных (слева) и акцепторных (справа) полупроводников.

шении температуры начинается ионизация примеси, электроны с примесных уровней перебрасываются в зону проводимости проводимость растёт, уровень Ферми приближается к дну зоны проводимости, достигая максимума. Затем начинает увеличиваться количество электронов в зоне проводимости, ионизованных из валентной зоны – это приводит к снижению уровня Ферми. При температуре Тs все электроны примеси переходят в зону проводимости, т.е. Тs – это температура истощения примеси, она тем выше, чем больше энергия ионизации доноров. Далее всё более заметный вклад в проводимость вносят электроны, перешедшие из валентной зоны, уровень Ферми стремится к середине запрещённой зоны и при температуре Тi – температуре перехода к собственной проводимости, концентрация носителей в собственном полупроводнике совпадает с концентрацией электронов в донорном полупроводнике в области истощения примеси. Тi определяет предельную температуру работы полупроводниковых приборов и она тем выше, чем шире запрещённая зона и выше концентрация примеси ( Тi для германия составляет 480 К, для кремния 650 К ).

Всё сказанное аналогичным образом проявляется и в полупроводниках р – типа, при внесении в собственный полупроводник акцепторной примеси. Как показано на рис. 2.8 справа температурная зависимость уровня Ферми начинается от середины между потолком валентной зоны и примесным акцепторным уровнем при 0 К, проходя через минимум пересекает его при температуре истощения примеси Тs и устанавливается посередине запрещённой зоны при температуре перехода к собственной проводимости Тi .

В практике электронного приборостроения используются ещё так называемые компенсированные полупроводники, которые содержат и донорные, и акцепторные примеси и, обладая собственной, электронной или дырочной проводимостями, позволяют расширить диапазон количественных параметров полупроводниковых приборов. Зонные диаграммы компенсированных полупроводников приведены на рис. 2.9.

Рисунок 2.9. Компенсированные полупроводники: а) – с собственным характером проводимости; б) - с электронной проводимостью; в) – с дырочной проводимостью.

Полностью компенсированный полупроводник, у которого концентрации донорных и акцепторных примесей равны Nд = Nа (рис. 2.9 –а). При Т → 0 0 К электроны занимают наинизшие уровни, поэтому все акцепторные уровни заполнены, а все донорные – свободны. При повышении температуры электроны переходят в зону проводимости и такой полупроводник обладает собственной проводимостью. Если концентрация доноров превосходит концентрацию акцепторов Nд > Nа (рис. 2.9 –б), то при Т→ 0 0 К все акцепторные уровни заняты. При повышении температуры (Nд - Nа) доноров могут отдавать электроны в зону проводимости, получается аналог электронного полупроводника. Аналогичный механизм присутствует у компенсированных полупроводников с Nд 8 91011>

Читайте также: