Способы задания точек 2 х мерных перечень кратко

Обновлено: 30.06.2024

В стереометрии любую пространственную фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (г.м.т.) , т.е. как множество точек, каждая из которых удовлетворяет заданному характеристическому свойству (точка, не принадлежащая этому множеству, не удовлетворяет этому свойству). Например, в элементарной геометрии сфера определяется как г.м.т., равноудаленных от заданной точки (центра сферы), круговая цилиндрическая поверхность как г.м.т., равноудаленных от заданной прямой (оси цилиндрической поверхности) и т.п.

В аналитической геометрии пространственные геометрические фигуры задаются как множества решений соответствующих уравнений. Рассмотрим, например, уравнение с тремя неизвестными . Его решением называется тройка чисел, при подстановке которых вместо неизвестных уравнение превращается в верное числовое равенство. Каждое решение уравнения можно рассматривать как точку в координатном пространстве с абсциссой и аппликатой . Таким образом, множество , координаты которых удовлетворяют уравнению , образуют в координатном пространстве некоторую фигуру .Например, уравнение (или ) в прямоугольной системе координат задает сферу единичного радиуса с центром

Общие уравнения геометрических мест точек в пространстве

Уравнением множества имеет вид:

в частности, в прямоугольной системе координат в цилиндрической системе координат

в сферической системе координат

где и — некоторые функции трех аргументов.

Уравнения (4.1)-(4.3) представляют собой аналитическую запись функциональной зависимости между координатами точек в пространстве, образующих геометрическое место точек. В частных случаях одна из координат может быть выражена через другую, т.е. одна координата задается как явная функция другой координаты. Тогда получается уравнение, разрешенное относительно этой координаты, например:

Заметим, что уравнениями вида в прямоугольной системе координат задаются графики функций двух переменных.

Пример 4.1. Изобразить в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям:

Решение. а) Уравнению , а ординаты и аппликаты могут принимать любые значения. Эти точки принадлежат плоскости, параллельной координатной плоскости и пересекающей ось абсцисс в точке заданное уравнение определяет две пересекающиеся прямые , при этом аппликата плоскости, проходящие через прямые и на плоскости (рис.4.1,6).

в) Уравнение равносильно системе уравнений которая определяет прямую, совпадающую с осью аппликат (рис.4.1,в).

г) Выражение есть квадрат расстояния от точки до ее ортогональной проекции на ось . Поэтому уравнению (или ) удовлетворяют только те точки, которые удалены от оси аппликат на расстояние, равное 1. Это множество точек является круговой цилиндрической поверхностью радиуса 1 (рис.4.1,г).

д) Учитывая неравенства: , делаем вывод, что левая часть заданного уравнения неотрицательна и равна нулю только при одновременном выполнении условий . Следовательно, заданное уравнение определяет множество точек первого октанта системы координат (рис.4.1,д).

Пример 4.2. Применяя цилиндрические или сферические координаты, изобразить множества точек, заданных в прямоугольной системе координат уравнениями:

Решение. а) Запишем уравнение в цилиндрической системе координат , где . Это уравнение не зависит от полярного угла . При любом фиксированном значении уравнение получаем параболу в плоскости . Следовательно, описываемое множество точек можно получить, вращая параболу вокруг ее оси симметрии (рис.4.2,а). Получаемая при этом поверхность называется параболоидом вращения.

б) Запишем уравнение в цилиндрической системе координат (напомним, что полярный радиус . При любом фиксированном значении уравнение определяет угол, составленный из двух лучей . Например, при получаем два луча в плоскости . Следовательно, описываемое множество точек можно получить, вращая угол вокруг оси , проходящей через вершину угла. При этом получаем коническую поверхность (рис.4.2,б).

в) Запишем уравнение в сферической системе координат (напомним, что радиус по определению). Это уравнение не зависит от широты и долготы . Следовательно, это множество точек, равноудаленных от начала координат, т.е. сфера (рис.4.2,в).

Пример 4.3. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) отмечены точки и . Вывести уравнение геометрического места точек , отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек равно :

а) для Решение. а) Точка равноудалена от заданных точек. Запишем уравнение

Отсюда получаем , т.е. . Следовательно, искомое г.м.т. — это плоскость, перпендикулярная отрезку

Возводя обе части уравнения в квадрат и приводя подобные члены, получаем , т.е. уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом искомое геометрическое место точек является сферой ( сферой Аполлония ).

Уравнения пересечений и объединений геометрических мест точек в пространстве

Рассмотрим основные операции с множествами точек, заданными своими уравнениями в координатном пространстве.

Пусть множества заданы общими уравнениями и соответственно.

Не трудно составить одно уравнение, равносильное этой системе, например:

равносильной одному уравнению, например:

Включение является следствием уравнения , т.е.

Равенство и равносильны (эквивалентны), т.е.

В частности, равносильные уравнения, описывающие одно и то же геометрическое место точек, получаются при тождественных алгебраических преобразованиях, например при умножении обеих частей уравнения на отличное от нуля число, при приведении подобных членов, при переносе членов из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный и т.п.

Полученные соотношения, сводящие операции с множествами в пространстве к алгебраическим операциям с уравнениями этих геометрических мест точек, не зависят от выбора системы координат. Например, в прямоугольной системе координат аналогичные соотношения получаем, полагая и , в цилиндрической системе координат при и , в сферической при и

Плоские сечения

Пусть в прямоугольной системе координат фигура

Подставляя в уравнение некоторое фиксированное значение , получаем уравнение с двумя неизвестными . Это уравнение описывает некоторое множество на координатной плоскости . Запишем уравнение в виде равносильной ему системы уравнений

Второе уравнение системы определяет плоскость, параллельную координатной плоскости . Следовательно, система (4.5) описывает множество точек фигуры (см. рис.4.4,а), т.е. плоское сечение фигуры , можно представить как совокупность ее плоских сечений (4.5) при всех значениях постоянной . Тем самым исследование и построение пространственной фигуры сводится к исследованию и построению ее плоских сечений. В этом состоит идея метода сечений . Разумеется, можно рассматривать сечения фигуры , параллельными координатным плоскостям или соответственно.

Цилиндрические фигуры

Фигура, состоящая из параллельных прямых, называется цилиндрической . Прямые называются образующими цилиндрической фигуры.

Пусть в прямоугольной системе координат фигура

в котором неизвестная множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными , а также соответствующее множество точек на координатной плоскости (при уравнению (4.6) удовлетворяют также и все точки прямой, параллельной оси аппликат и проходящей через точку . Таким образом, фигура и пересекают плоскость в точках множества (рис.4.5,а). Уравнения или также описывают цилиндрические фигуры, образующие которых параллельны оси ординат или абсцисс соответственно.

Конические фигуры

Фигура, состоящая из лучей, имеющих общее начало, называется конической . Лучи называются образующими , а их общее начало — вершиной конической фигуры.

Пусть в сферической системе координат фигура

в котором неизвестная отсутствует. Обозначим через множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными и , а также соответствующее множество точек на сфере . Тогда вместе с любой точкой уравнению (4.7) удовлетворяют также и все точки луча , исходящего из начала (рис.4.5,б).

Фигуры вращения

Пусть в цилиндрической системе координат фигура

в котором неизвестная отсутствует. Обозначим через множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными и (т.е. на плоскости , соответствующей прямоугольной системе координат). Тогда вместе с любой точкой уравнению (4.8) удовлетворяют также и все точки окружности радиуса с центром в точке на оси аппликат , плоскость, содержащая окружность, перпендикулярна этой оси (рис.4.6). Таким образом, фигуру фигуру вращения , полученную путем вращения множества вокруг оси аппликат ( оси вращения ).

Параметрические уравнения геометрических мест точек в пространстве

Функциональная зависимость между координатами точек пространства, например в прямоугольной системе координат , может быть задана в параметрической форме , в которой координаты выражаются в виде Функций вспомогательной переменной, называемой параметром :

где — параметры, принимающие действительные значения. Каждую из систем (4.9), (4.10) называют параметрическим уравнением геометрического места точек.

Пример 4.4. Изобразить в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим параметрическим уравнениям:

Решение. 1) Из первого уравнения следует, что все точки заданного множества принадлежат координатной плоскости . Из двух последних уравнений следует, что . Таким образом, заданное множество — это прямая в плоскости (рис.4.7,а).

2) Исключим из первых двух уравнений параметр . Параметром . Следовательно, заданная система описывает винтовую линию (рис.4.7,б) при .

3) Запишем заданное параметрическое уравнение в матричном виде

а затем в векторной форме , где . Полученное уравнение является аффинным уравнением плоскости, проходящей через концы базисных векторов (рис.4.7,в).

Растровая- рисунок можно сравнить с мозаикой, когда изобр разбито на небольшие одноцветные части.

Ве́кторная гра́фика — способ представления объектов и изображений в компьютерной графике, основанный на использовании элементарных геометрических объектов, таких как точки, линии, сплайны и многоугольники

Векторная графика описывает изображения с использованием прямых и изогнутых линий (векторов), а также параметров, описывающих цвета и расположение.

1.2 Что такое прототип чертежа? L

Прототи́п— прообраз, образец, оригинал.

Прототип (шаблон проектирования) — порождающий шаблон проектирования.

Применение границ чертежа

Границы чертежа- прямоуг обл пл-ти XOY мировой системы координат, задаваемая абсолютными координатами двух точек. Для задания границ исп команда Лимиты.

Для лучшей компоновки листа при печати в опред формате Автокад предлагает на этапе моделирования исп границы чертежа( лимиты)- заданные пользователем размеры области графического поля, покрытой сеткой.

Задание границ чертежа

Типы геометрических объектов.

Простые-точка, отрезок, дуга

Сложные- полилиния, размеры

Чем характеризуются сложные графические объекты? L

Классификация команд с точки зрения выполняемых функций.

Черчение, редактирование, настройка, работа с видами, работа с блоками, работа в пространстве листа.

Классификация команд с точки зрения диалога с пользователем. L

Команда: (Command:) - это область, через которую в основном происходит диалог пользователя с системой, здесь отображаются вводимые вами команды и ответы (или вопросы) AutoCAD. Эту часть будем называть зоной командных строк. Последняя строка, содержащая приглашение Команда: (Command:), называется командной строкой. Технология работы с командами: Использование диалоговых окон Панели инструментов Командная строка Имена команд Ключи (варианты выполнения) команд Повторение команд клавишей Enter Отказ от выполнения команды клавишей Esc

Определение опции команды.

Опция- подрежим сложной команды.

Способы выбора опции команды.

По умолчанию, т.е можно сразу давать параметры и команды, работающие с пом диалогового окна.

Определение стиля.

Стиль — совокупность признаков, характеризующих рассматриваемый объект( Стиль мультилинии)

Способы задания команды.

1) Взять из меню.

2) С пом инструментов.

3)Набрать с клавиатуры.

4) Из контекстного меню.

Способы завершения команды.

Отмена рез предыдущей команды.

Отмена рез шага команды

Отменить, или нажать команду заново( ИМХО) исп при использовании задания параметров для полилинии.

Повтор последней( и не только команды).

. при черчении, как правило, заданные параметры сохранялись для того объекта, кот. снова хотим использовать ( полилиния)

Что такое вид?

Вид- изобр, кот пользователь видит на экране. Оно характеризуется не только геом хар-ками, опред вид, но и дополнительными эл-тами: снимками слоев, визуальным стилем и т.д.

Типы видовых экранов

Видовой экран (viewport) представляет собой участок графического экрана, где отображается некоторая часть пространства модели рисунка.

Существуют два типа видовых экранов – неперекрывающиеся и перекрывающиеся Неперекрывающиеся видовые экраны располагаются на экране монитора подобно кафельным плиткам на стене. Они полностью заполняют графическую зону и не могут накладываться друг на друга. На плоттер неперекрывающиеся видовые экраны выводятся только поодиночке. Перекрывающиеся видовые экраны подобны прямоугольным окнам, которые располагаются на экране и перемещаются по нему произвольным образом.

Создание видового экрана.

Команда работы с видами. L

Координаты для задания двухмерных точек.

Прямоуг (задаются относит начала координат) :

Прямоуг х,у 25,35

Относительные ( точка задается относит последней выделенной точки):

Прямоуг @dx, dy @50.23

Применение сетки.

Помогает выравнивать объекты и оценивать рас-я между ними

Отображение границ чертежа

Применение шаговой привязки.

Настроенный и включенный режим гарантирует точность расст-й при задании точек курсором.

При каких режимах рисования можно задавать точки по напр-ю? L

При каких режимах рисования можно задавать точки курсором?

Полярная и шаговая привязка.

Режим полярного отслеживания.

Режим, при кот. рядом с курсором отображаются его расстояния от предыдущ точки и угол

Режим объектного отслеживания.

Позволяет задать точку, отслеживая расстояние и угол от точки, заданной фиксированной объектной привязкой, а не относительно (0,0,0) или предыдущей точки.

Какие настройки необходимы для режима объектное отслеживание?

На вкладке отслеживание опред режим отслеживания углов. На вкладке объектная привязка устан объектные привязки, относит кот будет вестись объектное отслеживание.

В AutoCAD в качестве вспомогательных объектов удобно использовать такой примитив, как точка в Автокаде (Аutocad). Такие объекты часто называют узловыми точками в Автокад. Они выводятся на печать, как и другие элементы чертежа. К тому же точка в AutoCAD может быть самостоятельным объектом. Можно настроить стиль отображения точки в Автокаде (Аutocad).

Далее рассмотрим, как поставить точку в Автокаде. Также узнаем, как изменить ее внешний вид. Для подробного изучения данной программы мы предлагаем общий курс "Autocad для начинающих" на нашем сайте.

Работа с точками в AutoCAD (как сделать точку в Автокаде)

Точка в AutoCAD представляет собой объект, для которого указать можно только координаты. Внешний вид определяется преднастройками программы.

Чтобы узнать, как нарисовать точку в Автокаде, нужно выполнить следующие шаги:

В командной строке отображается значение двух системных переменных:

(PDMODE = 0) - установлена стандартная форма точек в Автокаде (Аutocad);
(PDSIZE = 0) - установлен стандартный нулевой размер точек.

По умолчанию размер точки равен одному пикселю.

Далее необходимо указать местоположение точки на чертеже. Это можно сделать двумя способами:

графически - с помощью мыши;
указать координаты (x,y) в командной строке.

Точка в Автокад характеризуется следующими параметрами: координатами вставки, размером маркера и его стилем.

Стили точек в Автокаде

Отображение точек в Автокаде представлено 20 вариантами. Вам предлагается выбрать один из подходящих стилей маркера.

После задания всех необходимых параметров закройте окно кнопкой "Oк". Все точки, которые были построены в системе AutoCAD, автоматически перерисуются в соответствии с новыми настройками.

Рассмотрим простейший пример использования данного инструмента. Между двумя точками можно провести отрезок. При этом координаты начальной точки и конечной задавать не надо. Достаточно привязаться к узловым точкам на чертеже, как показано на рисунке. Теперь мы с вами знаем, как сделать точку в Автокаде. С нашими статьями вы узнаете, как научиться работать в Автокаде с различными графическими объектами и не только.

Автор:

При появлении запроса можно задать точное расположение с помощью координат, объектных привязок и других способов.

Включение привязки к характерным точкам объектов

При появлении запроса на указание точки, удерживая нажатой клавишу Shift, щелкните правой кнопкой мыши в области рисования. Выберите объектную привязку, которую требуется использовать.
Переместите курсор в нужное положение объектной привязки.

Курсор фиксируется на указанной характерной точке привязки, а маркер и подсказка показывают положение объектной привязки.

Если имеется несколько режимов, варианты можно перебирать путем нажатия клавиши Tab.

Курсор будет привязан к указанному геометрическому элементу, который ближе всего расположен к выбранному объекту.

Привязка к местоположению на основе двух других местоположений

Объектное отслеживание облегчает выбор точек, которые лежат на линиях отслеживания, проходящих через характерные точки объектов. Линии отслеживания могут быть горизонтальными, вертикальными, параллельными или направленными под заданным углом полярного отслеживания.

Для включения объектного отслеживания, нажмите клавишу F11.
При появлении запроса на указание точки, удерживая нажатой клавишу Shift, щелкните правой кнопкой мыши в области рисования. Выберите объектную привязку, которую требуется использовать.
Наведите курсор на точку объектной привязки.

Захваченные точки отображаются с небольшим знаком "плюс" (+).

Привязка к местоположению на заданном расстоянии от угла

Полярное отслеживание направляет перемещение курсора под определенным полярным углом с заданным приращением.

Будет выполнена привязка курсора к углам с приращением, заданным в параметрах полярного отслеживания.

Привязка к местоположению сетки

Сетка представляет собой прямоугольную комбинацию линий или точек, которая покрывает всю плоскость XY. Шаговая привязка позволяет перемещать перекрестье только на заданные пользователем интервалы. Режимы сетки и привязки не зависят один от другого, но часто включаются одновременно.

Задание параметров сетки и привязки.
1. В строке состояния щелкните правой кнопкой мыши GRIDMODE. найти
2. Щелкните "Параметры сетки".
3. В диалоговом окне "Режимы рисования" на вкладке "Шаг и сетка" установите флажки возле пунктов "Шаг" и "Сетка".
4. Задайте шаг привязки и сетки и другие параметры.
Будет выполнена привязка курсора к ближайшей точке сетки.

Ввод относительных 2D-координат

Относительные координаты отсчитываются относительно последней указанной точки. Последней указанной точкой считается точка, указанная в текущей или в предыдущей команде.
1. В строке состояния отключите динамический ввод. найти
2. На запрос координат точки в командной строке введите значения координат, используя следующий формат.
3. Декартовы координаты: введите @ x,y
Например, координаты @ 2.5,1 задают точку, лежащую на расстоянии 2,5 единиц в направлении оси X и на расстоянии 1 единицы по оси Y от предыдущей точки.

Читайте также: