Смежные и вертикальные углы кратко

Обновлено: 05.07.2024

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180 о .

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180 о .

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180 о . Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 90 0 , называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 180 0 и ∠3+ ∠2= 180 0 . Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____ 0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 180 0 . По условию задачи ∠АОК= 11 0 , то ∠ВОК+ ∠АОК= 180 0

∠ВОК+ 11 0 = 180 0

∠ВОК= 180 0 – 11 0 = 169 0 .

Ответ: ∠ВОК= 169 0

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 32 0 + 32 0 = 64 0 . ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 180 0 –∠COD= 180 0 – 64 0 =116 0 .

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 125 0 , ∠BMC= 115 0 .

Выделите верный ответ из списка:

60 0 ; 30 0 ; 75 0 ; 90 0

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 180 0 . Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 180 0 –∠AMD= 180 0 -–125 0 = 55 0 . Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополняющими лучами.

Вертикальные углы – это два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема о смежных и вертикальных углах

Теорема о СУ гласит, что их сумма равна 180°.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Доказательство данного положения легко узнать на практике при помощи построения. Так как у СУ есть общая сторона, это значит, что они расположены на развернутом угле. А поскольку такая геометрическая фигура равна 180°, то и сумма СУ будет приравниваться к этому же значению.

Следствием из данной теории будет то, что если смежные углы равны, то они прямые. ПУ = 90°. Это есть половина от величины развернутого угла, на котором и находятся два СУ.

Еще одно следствие. Если два угла равны, то смежные с ними тоже имеют одно значение.

Теорема о вертикальных углах гласит, что ВУ равны. Доказательство: Рассмотрим ВУ AOB и COD. ∠BOD смежный для каждого из ∠AOB и ∠COD. По теореме 1 ∠АОВ+∠BOD=180°, ∠COD+∠BOD=180°. Из этого ∠АОВ=∠COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD. Они образуют четыре угла. Если один из них прямой, то остальные также прямые (1 и 2, 1 и 4 — смежные, 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Смежные углы

Перечислим не отмеченные ранее свойства СУ:

угол, смежный с прямым, является прямым; смежный с острым – тупым; смежный с тупым – острым;
чем больше угол, тем меньше СУ, и наоборот;
биссектрисы СУ образуют прямой угол.

Приведем пример решения задачи со СУ.

Задача

∠1 и ∠2 – смежные, ∠1 : ∠2 = 3 : 7.

Решение

Ответ: ∠1=54°, ∠2= 126°.

Вертикальные углы

Отметим также неупомянутые свойства ВУ:

ВУ по-другому называют углом между двумя прямыми;
биссектрисы ВУ лежат на одной прямой.

Приведем пример решения задачи с ВУ.

Задача

Пусть на рисунке 1 ∠ C O D равен 45° . Чему равны ∠ A O B и ∠ A O C ?

Решение

Так как ∠ C O D и ∠ A O B вертикальные, то значит, они равны, а тогда:

\(\angle AOB=\angle COD=45^\circ\)

\(∠AOB\angle AOB+\angle AOC=180^\circ\)

Из этого \(\angle AOC=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-45^\circ=135^\circ.\)

Определение . Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными На рисунке углы АОВ и ВОС смежные.

Свойство. Сумма смежных углов равна 180º.

Так как лучи ОА и ОС образуют развернутый угол, то АОВ+ ВОС= АОС=180°.

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке углы 1 и 3, а также 2 и 4 – вертикальные. Вертикальные углы обладают следующим свойством. Свойство. Вертикальные углы равны.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Смежные и вертикальные углы.

Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.

Смежные углы.

Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч с началом в точке .

Луч разделил развёрнутый угол на два угла: и . Эти два угла и являются смежными.

Определение. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).

Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:

ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна .

Дано: и – смежные

Доказательство.

По определению смежных углов, луч является общей стороной углов и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:

Опять-таки, по определению смежных углов, лучи и – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит,

Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, - тупой; угол, смежный с тупым углом, - острый.

Вертикальные углы.

Проведём две прямые и , пересекающиеся в точке . Среди всех получившихся углов обратим внимание на те углы, стороны которых являются дополнительными полупрямыми.

Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

На рисунке луч является дополнительным к лучу , а луч – дополнительным к лучу . Значит, и – вертикальные. Аналогично, и – тоже вертикальные. Т.е., при пересечении двух прямых получается две пары вертикальных углов. Визуально вы, наверное, заметили, что вертикальные углы равны. А теперь мы это докажем.

ТЕОРЕМА: Вертикальные углы равны.

Дано: и – вертикальные,

и – вертикальные

Доказательство.

1. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.

2. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.

3. Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2:

Аналогично доказывается равенство углов . Предлагаю это доказательство провести самостоятельно.

Теорема доказана.

Укажите, на каком рисунке изображены смежные углы.

На прямой отмечена точка , из которой проведены два луча и . Назовите пары смежных углов, которые вы видите на этом рисунке.

Угол смежный с углом , равен . Найдите угол .

Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображённым на рисунке. Каким свойством они обладают?

Углы и – смежные. Угол больше угла в 4 раза. Найдите угол .

Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, меньший угол равен . Найдите остальные углы.

Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить?

Нарисуйте луч . Нарисуйте ещё два луча так, чтобы вместе с данным они образовали смежные углы.

Найдите угол, смежный с углами: .

Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением?

Найдите смежные углы, если:

один из них на больше другого;

их разность равна ;

один в 5 раз меньше другого;

12. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как:

Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме ?

На рисунке . Найдите .

Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите больший их этих углов.

На рисунке . Найдите .

Углы и являются смежными. Угол равен . Найдите угол .

Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен . Найдите остальные углы.

Три прямые пересекаются в точке . Найдите сумму углов 1, 2 и 3.

На рисунке . Найдите .

Укажите, на каком рисунке изображены вертикальные углы.

Углы и – смежные, при этом угол меньше угла на . Найдите угол .

Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают?

Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рисунке? Назовите их.

Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен . Чему равны остальные углы?

Докажите, что если один из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, имеет величину , то величины трёх остальных углов также равны .

Сумма величин двух вертикальных углов равна . Найдите величину каждого из них.

Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите меньший их этих углов.

На рисунке . Найдите .

Один из смежных углов равен . Чему равен второй угол?

На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наименьший из них?

Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были а) смежными; б) не смежными.

в 3 раза меньше, чем

величины углов и относятся, как т.е.

Даны пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .

Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.

Один из двух вертикальных углов равен . Найдите второй угол.

Нарисуйте два угла, имеющие общую вершину так, чтобы сторона одного из этих углов являлась бы дополнительной прямой к стороне другого угла, и так, чтобы они были: а) вертикальными; б) не вертикальными.

в 2 раза меньше

величины углов и относятся как т.е.

Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса , а луч – биссектриса . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .

Даны углы и . Какой может быть величина угла ?

Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были: а) смежными; б) не смежными.

в 2 раза меньше

величины углов и относятся как т.е.

Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .

Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.

На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 4 раза меньше суммы остальных трёх углов. Найдите все эти четыре угла.

На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых относится к сумме трёх других как . Найдите эти четыре угла.

На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 2 раза больше суммы двух других углов. Найдите все эти четыре угла.

Смежные углы относятся, как . Найдите эти углы.

Один из смежных углов больше другого на . Найдите эти углы.

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на больше половины другого.

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что градусные меры двух из них относятся как .

Прямые и пересекаются в точке . Внутри угла взята точка , а внутри угла – точка . .

Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

Развёрнутый угол делит плоскость на две полуплоскости. Точка лежит в одной полуплоскости, а точка – в другой; .

Равны ли углы и ? Ответ объясните.

Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если один из них равен .

Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если:

один из них на больше другого;

один из них составляет половину другого;

сумма величин двух из них равна .

Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на меньше другого. Найдите эти углы.

Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых, если сумма трёх углов равна .

Дан угол со сторонами и . Проведите полупрямую , дополнительную к . Чему равен угол со сторонами и ? Какими являются углы со сторонами и ?

На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке . Найдите сумму углов .

На рисунке . Найдите углы .

Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы.

На плоскости расположены четыре прямые. Известны углы между некоторыми из них: . Найдите углы между остальными парами прямых.

Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна .

Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, смежного с углом . Найдите угол , если .

Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как .

Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, вертикального по отношению к углу . Найдите угол , если .

Сумма градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.

Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

Сумма градусных мер вертикальных углов равна . Найдите градусные меры каждого из этих углов.

Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.

Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

Один из смежных углов на меньше другого. Найдите эти смежные углы.

Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .

Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы.

Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .

С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.

На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.

Углы и – смежные. Угол на больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.

Из точки выходят четыре луча и . Каждый из углов и является смежным с углом . Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.

Углы и – смежные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте рисунок.

На рисунке и . Найдите угол 1.

Найдите угол, если сумма двух смежных с ним углов равна .

На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.

Углы и – смежные. Угол в 3 раза больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.

Из точки выходят четыре луча и . Лучи и лежат на одной прямой, а углы и – смежные. Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.

При пересечении прямых и образовались четыре угла. Углы и – вертикальные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте чертёж.

Читайте также: