Схемы дедуктивных умозаключений кратко

Обновлено: 05.07.2024

Умозаключение. Общая характеристика дедуктивных умозаключений

1. Понятие умозаключения

Умозаключение — это форма абстрактного мышления, посредством которой из ранее имевшейся информации выводится новая. При этом не задействуются органы чувств, т. е. весь процесс умозаключения проходит на уровне мышления и независим от получаемой в данный момент извне информации. Визуально умозаключение отражается в виде столбца, в котором присутствует как минимум три элемента. Два из них — это посылки, третье называют заключением. Друг от друга посылки и заключение принято отделять горизонтальной чертой. Заключение всегда пишется снизу, посылки — сверху. И посылки, и заключение представляют собой суждения. Причем эти суждения могут быть как истинными, так и ложными. Например:

Все млекопитающие — животные.

Все кошки — млекопитающие.

Все кошки — животные.

Это умозаключение является истинным.

Умозаключение имеет ряд преимуществ перед формами чувственного познания и опытными исследованиями. Так как процесс умозаключения проходит только в области мышления, он не затрагивает реальных предметов. Это очень важное свойство, так как зачастую у исследователя нет возможности получить для наблюдения или опытов реальный предмет в силу его дороговизны, размеров или удаленности. Некоторые предметы на данный момент вообще можно считать недоступными для прямого исследования. Например, к такой группе предметов можно отнести космические объекты. Как известно, исследование человеком даже ближайших к Земле планет представляется проблематичным.

Другим преимуществом умозаключений является то, что они позволяют получить достоверную информацию об изучаемом объекте. Например, именно посредством умозаключения Д. И. Менделеев создал свою периодическую систему химических элементов. В области астрономии зачастую положение планет определяется без любого видимого контакта, исходя только из уже имеющейся информации о закономерностях положения небесных тел.

Недостатком умозаключения можно назвать то, что зачастую заключения характеризуются абстрактностью и не отражают многих конкретных свойств предмета. Это не относится, например, к упомянутой выше периодической таблице химических элементов. Доказано, что при ее помощи были открыты элементы и их свойства, которые на тот момент еще не были известны ученым. Однако так бывает не во всех случаях. Например, при определении положения планеты астрономами свойства ее отражаются лишь приблизительно. Также зачастую нельзя говорить о правильности заключения до тех пор, пока оно не прошло проверку на практике.

Умозаключения могут быть истинными и вероятностными. Первые с достоверностью отражают реальное положение вещей, вторые носят неопределенный характер. Видами умозаключения являются: индукция, дедукция и заключение по аналогии.

Умозаключение — это прежде всего выведение следствий, оно применяется повсеместно. Каждый человек в своей жизни независимо от профессии строил умозаключения и получал следствия из этих заключений. И здесь встает вопрос истинности таких следствий. Человек, который не знаком с логикой, пользуется ею обывательским уровнем. То есть судит о вещах, строит умозаключения, делает выводы, исходя из того, что накопил в процессе жизни.

Несмотря на то что практически каждый человек проходит обучение основам логики в школе, учится у родителей, обывательский уровень знания нельзя считать достаточным. Конечно, в большинстве ситуаций достаточно и этого уровня, но есть процент случаев, когда логической подготовки просто не хватает, хотя именно в таких ситуациях она больше всего нужна. Как известно, существует такой вид преступлений, как мошенничество. Чаще всего мошенники пользуются простыми и проверенными схемами, однако некоторый процент их занимается высококвалифицированным обманом. Такие преступники знают логику едва ли не в совершенстве и, кроме того, обладают способностями в области психологии. Поэтому им зачастую ничего не стоит обмануть человека, который не подготовлен. Все это говорит о необходимости изучения логики как науки.

Выведение следствия — очень распространенная логическая операция. По общему правилу, для получения истинного суждения необходимо, чтобы и посылки были истинны. Однако данное правило не относится к доказательству от обратного. В этом случае намеренно берутся заведомо ложные посылки, которые необходимы, чтобы через отрицание их определить необходимый объект. Другими словами, ложные посылки в процессе выведения следствия отбрасываются.

2. Дедуктивные умозаключения

Как и многое в классической логике, теория дедукции обязана своим появлением древнегреческому философу Аристотелю. Он разработал большую часть вопросов, связанных с этим видом умозаключений.

Согласно работам Аристотеля дедукция — это переход в процессе умозаключения от общего к частному. Другими словами, дедукцией является постепенная конкретизация более абстрактного понятия. Она проходит через несколько ступеней, каждый раз выводя следствие из нескольких посылок.

Необходимо сказать, что в процессе дедуктивного умозаключения должно получаться истинное знание. Такой цели можно добиться только при соблюдении необходимых условий, правил. Правила вывода бывают двух видов: правила прямого и правила косвенного вывода. Прямой вывод означает получение из двух посылок заключения, которое будет истинным при условии соблюдения правил прямого вывода.

Так, должны быть истинны посылки и соблюдены правила получения следствий. При соблюдении этих правил можно говорить о правильности мышления относительно взятого предмета. Это означает, что для получения истинного суждения, нового знания не обязательно иметь всю информацию. Часть сведений может быть воссоздана логическим путем и закреплена. Закрепление необходимо, так как без него сам процесс получения новой информации становится бессмысленным. Ни передать такую информацию, ни как-либо иначе использовать ее не представляется возможным. Естественно, что такое закрепление происходит посредством языка (разговорный, письменный, язык программирования и т. д.). Закрепление в логике происходит прежде всего при помощи символов. Например, это могут быть символы конъюнкции, дизъюнкции, импликации, буквенные выражения, скобки и др.

Дедуктивными являются следующие типы умозаключений: выводы логических связей и субъектно-предикатные выводы.

Также дедуктивные умозаключения бывают непосредственными.

Они делаются из одной посылки и называются превращением, обращением и противопоставлением предикату, отдельно рассматриваются умозаключения по логическому квадрату. Выводятся такие умозаключения из категорических суждений.

Рассмотрим эти умозаключения. Превращение имеет схему:

По этой схеме видно, что посылка только одна. Это категорическое суждение. Превращение характеризуется тем, что при изменении качества посылки в процессе вывода не происходит изменения ее количества, а предикат следствия отрицает предикат посылки. Есть два способа превращения — двойное отрицание и замена отрицания в предикате отрицанием в связке. Первый случай отражен на схеме, приведенной выше. Во втором превращение отражается на схеме как S есть не-Р — S не есть Р.

В зависимости от типа суждения превращение можно выразить следующим образом.

Все S есть Р — Ни одно S не есть не-Р. Ни одно S не есть Р — Все S есть не-Р. Некоторые S есть Р — Некоторые S не есть не-Р. Некоторые S не есть Р — Некоторые S есть не-Р. Обращение — это умозаключение, в котором при перемене мест субъекта и предиката качество посылки не меняется.

То есть в процессе вывода субъект встает на место предиката, а предикат — на место субъекта. Соответственно, схему обращения можно изобразить как S есть Р — Р есть S.

Противопоставление предикату характеризуется тем, что связка в следствии меняется на противоположную, субъект противоречит предикату посылки, а предикат эквивалентен субъекту посылки.

Необходимо сказать, что непосредственное умозаключение с противопоставлением предикату невозможно вывести из частноутвердительных суждений.

Приведем схемы противопоставления в зависимости от типов суждений.

Некоторые S не есть Р — Некоторые не-Р есть S. Ни одно S не есть Р — Некоторые не-Р есть S. Все S есть Р — Ни одно Р не есть S.

Объединяя сказанное, можно рассматривать противопоставление предикату как продукт сразу двух непосредственных умозаключений. Первым из них производится превращение. Его результат подвергается обращению.

3. Условные и разделительные умозаключения

Говоря о дедуктивных умозаключениях, нельзя не обратить внимания на условные и разделительные умозаключения.

Условные умозаключения называются так потому, что в качестве посылок в них используются условные суждения (если а, то b). Условные умозаключения можно отразить в виде следующей схемы.

Если а, то b. Если b, то с. Если а, то с.

Выше указана схема умозаключений, являющихся видом условных. Для таких умозаключений характерно, что все их посылки являются условными.

Другим видом условных умозаключений являются условно-категорические суждения. Соответственно названию в этом умозаключении не обе посылки являются условными суждениями, одна из них — простое категорическое суждение.

Необходимо также упомянуть о модусах — разновидностях умозаключений. Существуют: утверждающий модус, отрицающий модус и два вероятностных модуса (первый и второй).

Утверждающий модус имеет самое широкое распространение в мышлении. Это связано с тем, что он дает достоверное заключение. Поэтому правила различных учебных дисциплин строятся в основном на основе утверждающего модуса. Можно отобразить утверждающий модус в виде схемы.

Приведем пример утверждающего модуса.

Если топор упадет в воду, он утонет.

Топор упал в воду.

Два истинных суждения, которые являются посылками этого суждения, преобразуются в процессе вывода в истинное суждение. Отрицающий модус выражается по следующей схеме. Если а, то b. Не-b. Не-а.

Это суждение строится на основе отрицания следствия и отрицания основания.

Умозаключения могут давать не только истинные, но и неопределенные суждения (неизвестно, истинны они или ложны).

В связи с этим следует сказать о вероятностных модусах.

Первый вероятностный модус на схеме отображается следующим образом.

Как ясно из названия, следствие, выводимое из посылок при помощи этого модуса, является вероятным.

Если дует сильный ветер, то яхту кренит набок.

Яхту кренит набок.

Вероятно, дует сильный ветер.

Как мы видим, от утверждения следствия к утверждению основания невозможно вывести истинное умозаключение.

Второй вероятностный модус в виде схемы можно изобразить так.

Если а, то b. Не-а.

Вероятно, не-b. Приведем пример.

Если человек лежит под солнцем, он загорит.

Этот человек не лежит под солнцем.

Он не загорит.

Как видно из приведенного примера, производя умозаключение от отрицания основания к отрицанию следствия, мы получим не истинное, а вероятностное следствие.

Формулы утверждающего и отрицающего модусов являются законами логики, в то время как формулы вероятностных — не являются.

Разделительные умозаключения делятся на простые разделительные и разделительно-категорические умозаключения. В первом случае разделительными являются все посылки. Соответственно, разделительно-категорические суждения имеют в качестве одной из посылок простое категорическое суждение.

Таким образом, разделительным считается умозаключение, все или часть посылок которого являются разделительными суждениями. Структура простого разделительного умозаключения отражается следующим образом.

S есть А или В, или С.

А есть А1 или А2.

S есть А1 или А2, или В, или С.

Примером такого умозаключения является следующее.

Путь бывает прямым или окружным.

Окружный путь бывает с одной пересадкой или с несколькими пересадками.

Путь бывает прямым или с одной пересадкой, или с несколькими пересадками.

Разделительно-категорические умозаключения можно представить в виде схемы.

S есть А или В. S есть А (В). S не есть В (А). Например:

Выстрел бывает точным и неточным. Этот выстрел является точным. Этот выстрел не является неточным.

Здесь необходимо упомянуть об условно-разделительных умозаключениях. От указанных выше умозаключений они отличаются посылками. Одна из них — это разделительное суждение, что не является особенным, однако вторая посылка таких суждений состоит из двух или нескольких условных суждений.

Условно-разделительное суждение может быть или дилеммой, или трилеммой. В дилемме условная посылка состоит из двух членов. При этом разделительная подразумевает наличие выбора. Другими словами, дилемма — это выбор одного из двух вариантов.

Дилемма бывает простой конструктивной и сложной конструктивной, а также простой и сложной деструктивной. Первая имеет две посылки, одна из которых утверждает одинаковый исход двух предложенных ситуаций, другая говорит о том, что возможна одна из этих ситуаций. Следствие резюмирует утверждение первой посылки (условного суждения).

Если нажать на карандаш, он сломается; если согнуть карандаш, он сломается.

Можно нажать на карандаш или согнуть карандаш.

Карандаш сломается.

Сложная конструктивная дилемма предполагает более тяжелый выбор между альтернативами.

Трилемма состоит из двух посылок и следствия и предлагает выбор из трех вариантов или констатирует три факта.

Если спортсмен вовремя нанесет удар, то он победит; если спортсмен правильно распределит силы, то он победит; если спортсмен выполнит прыжок чисто, то он победит.

Спортсмен вовремя нанесет удар или правильно распределит силы на дистанции, или выполнит прыжок чисто.

Спортсмен победит.

Бывают случаи, когда в условных, разделительных или условно-разделительных умозаключениях пропускаются заключение или одна из посылок. Такие умозаключения называют сокращенными.

Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению (2), в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение. Но как строить такие умозаключения и проверять их правильность?

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Для этого предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных (правильных) умозаключений. Правил много, но наиболее часто используются следующие:

– правило заключения; – правило отрицания;

В начальном курсе математики для доказательства используют только правило заключения (см. пример 1).

Дедуктивные рассуждения (умозаключения) с большей или меньшей строгостью следует использовать при изучении начального курса математики, т. к. именно они воспитывают строгость, четкость, лаконичность мышления. Особенность дедуктивных рассуждений заключается в их тесной связи с индуктивными. А так же – то, что в нач. кл. они применяются в неявном виде, т. е. общая и частная посылка в большинстве случаев не проговариваются, уч-ки сразу приступают к действию, которое соответствует заключению. Для сознательного проведения дед. рассуж. необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления мл шк., которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться дедуктивным рассуждением.

Дедуктивные рассуждения имеют место в начальном курсе математики и при вычислении значений выражений. В качестве общей посылки выступают правила порядка выполнения действий в выражениях, в качестве частной посылки – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка выполнения действий.

Анализ школьной практики позволяет сделать вывод о том, что для формирования у школьников умений рассуждать не всегда используются все методические возможности. Например, при выполнении задания:

Сравни выражения, поставив знак или =, чтобы получилась верная запись: 6+3 . 6+2 6+4 . 4+6 учащиеся предпочитают заменять рассуждения вычислениями: «6+2

1. Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом вычитаемого, то разность увеличится на столько же единиц.

2. Если делитель уменьшить в несколько раз, не изменяя при этом делимого, то частное увеличится во столько же раз.

3. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом другое, то сумма увеличится на столько же единиц.

4. Если каждое слагаемое делится на данное число, то сумма тоже разделится на это число.

5. Если из данного числа вычесть предшествующее ему число, то получим 1.

Задания расположены в другой последовательности, чем посылки.

1. Найди разность: 84 – 83, 32 – 31, 54 – 53.

2. Назови суммы, которые делятся на 3:

9+27, 6+9, 5+18, 12+24, 3+4, 3+6.

3. Сравни выражения и поставь знаки или = :

125–87 . 127–87 246–93 . 249–93

4. Сравни выражения и поставь знаки или = :

304: 8 . 304:2 243:9 . 243:3 1088:4 . 1088:2

5. Как быстро найти сумму второго примера в каждом столбике:

25+13=38 134+28=162 257+375=632

27+13= … 139+28= … 257+378= …

Таким образом, дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов обоснования истинности суждений в начальном курсе математики. Учитывая, что они доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.

Задача– сформулированный словами вопрос, ответ на который можно получить, выполнив определённый набор операций (Истомина Н.Б.). В начальном курсе математике решению текстовых задач уделяется огромное внимание, так как они являются не только средством формирования многих математических понятий, но и средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Текстовая задача– описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П.)

Текстовая задача содержит 2 основных элемента:

1) условие задачи -утверждение задачи. В задаче обычно не одно условие, а несколько. Они представляют собой количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними.

2) требование задачи – Их может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в утвердительной форме.

Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.Чтобы понять структуру задачи, надо построить высказывательную модель задачи.

Этапы решения задачи.

– правило заключения; – правило отрицания;

В начальном курсе математики для доказательства используют только правило заключения (см. пример 1).

125–87 . 127–87 246–93 . 249–93

4. Сравни выражения и поставь знаки или = :

304: 8 . 304:2 243:9 . 243:3 1088:4 . 1088:2

5. Как быстро найти сумму второго примера в каждом столбике:

25+13=38 134+28=162 257+375=632

27+13= … 139+28= … 257+378= …

Текстовая задача содержит 2 основных элемента:

Большую часть знаний об окружающем нас мире мы получаем с помощью рассуждений. Знание будет истинным, если оно получено путем правильного рассуждения, а таким считают рассуждение, построенное по правилам логики.

Рассуждения лежат в основе доказательства, без которого трудно представить математику. На сегодняшней лекции мы познакомимся с правилами, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения, познакомимся со структурой и способами доказательств, и взаимосвязях дедукции и индукции.

Понятие умозаключения. Виды умозаключений

Определение. Умозаключение - эта форма мышления или логическое действие, в результате которого из одного или нескольких известных нам определенным образом связанных суждений получается новое суждение, в котором содержится новое знание.

Умозаключения бывают разные. Среди умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику, выделяют:

- дедуктивные умозаключения;

- индуктивные умозаключения;

- рассуждения по аналогии.

Пример 1.Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: "Число 23 - двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3".

Первое и второе предложения в этом умозаключении - посылки, причем, одна посылка - общего характера - это высказывание "любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых", а другая - частная, она характеризует только число 23 - "оно двузначное". Заключение - это предложение, которое стоит после слова "следовательно", - также носит частный характер, т.к. в нем речь идет о конкретном числе 23.

В примере 1 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности. Такие умозаключения называют в логике дедуктивными.

Определение. Дедуктивным умозаключением называют умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А₁, А₂, . А_n, а заключение - буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так:

А₁, А₂, . А_n В. Часто используют такую запись:

А₁, А₂, . А_n . Здесь черта заменяет слово "следовательно".

Замечание.

- В дедуктивных умозаключениях мысль движется от общего к частному.

- Дедуктивные умозаключения позволяют строить частные суждения из общих.

- В дедуктивном умозаключении при истинных посылках, истинно и заключение.

Определение. Индуктивное умозаключение - это такое умозаключение, в результате которого на основании знания об отдельных предметах данного множества (или об отдельных подмножествах данного множества) получается общий вывод, содержащий какое-либо знание обо всех предметах данного множества.

В начальном курсе математики выделяют полную и неполную индукцию.

Определение.Полная индукция – умозаключение, в правильности которого убеждаются, рассматривая все отдельные случаи (объекты, фигуры, числа), которые составляют конечное множество.

Утверждения, которые делаются на основе использования полной индукции, всегда правильные, так как полная индукция является методом доказательства.

Кроме полной индукции, в математике и в методике ее преподавания встречаются рассуждения по неполной индукции.

Определение. Неполная индукция – умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Является ли это умозаключение логически строгим? Конечно, нет. Верно ли, что такого типа умозаключениями нельзя пользоваться? Нет, так как такого типа умозаключения часто являются источником правильных гипотез, укрепляют веру в истинность утверждений, которые на определенном этапе обучения нельзя обосновать строго.

Например, построив по точкам графики нескольких линейных функций, учащиеся убеждаются, что графиком их является прямая линия. После этого по индукции делается вывод, что графиком какой–либо функции является прямая линия. Этот вывод правильный, хоть и имеет характер гипотезы, пока в аналитической геометрии не будет доказан.

Рассуждения по неполной индукции часто встречаются в начальном курсе обучения математике. Они являются как бы источником веры в правильность действий учителя и ученика. Приведем пример рассуждений, называемых неполной индукцией.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным законом умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что 6∙3=3∙6, 5∙2=2∙5, 3∙7=7∙3. А затем, на основе полученных равенств, делают вывод: для всех натуральных чисел а и b верно равенство a∙b=b∙a.

В данном умозаключении посылками частного вида являются первые три равенства: в них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Очевидно, что ни один из приведенных аргументов не является логически достаточным для того, чтобы сделать вывод о справедливости переместительного закона умножения. Демонстрация конечного (и даже большого) количества числовых примеров не является достаточным аргументом для того, чтобы утверждать, что свойство справедливо для всех пар чисел.

Замечание.Часто рассуждения по неполной индукции приводят к неправильным выводам. Однако в методике преподавания начального курса математики они используются в тех случаях, когда вывод не вызывает сомнений и когда нет возможности обосновать правило или закон в полной мере. Таких случаев довольно много.

Еще одним важным видом умозаключений, используемых в математике, является аналогия.

Определение.Аналогия- умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Пример 3. При обучению делению на однозначное число используется такой прием. Сначала выясняется: чтобы найти значение выражения 12:4, следует узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить 12. Известно, что 4∙3=12. Значит, 12:4=3.

Затем учащимся предлагается, рассуждая также, найти, например, частное 8:4. И они сначала находят число, на которое надо умножить 4, чтобы получить 8. Получают число 2 и делают вывод - 8:4=2.

Далее, используя тот же способ рассуждений, находят частные 9:3, 20:5 и др.

Аналогия – достаточно эффектный механизм познания, умственный прием, используемый как в научных исследования, так и в обучении. Рассуждения по аналогии имеют следующую общую схему:

А обладает свойствами a и b;

В обладает свойствами a,

Возможно, В обладает свойством b.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Аналогию можно использоватьдля:

- установления отношений между данными объектами.

- для выводов о способе действия на основе изучения другого способа.

Аналогия часто приводит к неправильным выводам.

Приведем несколько типичных примеров ошибок, совершаемых учениками из-за неправильного применения рассуждений по аналогии.

Правила вывода или схемы дедуктивных умозаключений

Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению, в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение. Но как строить такие умозаключения и проверять их правильность?

В логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных умозаключений. Наиболее часто встречаются следующие:

Приведем примеры умозаключений, выполненных по этим правилам:

Правило заключения: Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5.

Правило отрицания: Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, число 177 не оканчивается цифрой 5.

Правило силлогизма: Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то х кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3.

В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений. Один из них состоит в использовании кругов Эйлера. Для этого сначала умозаключение записывают на теоретико-множественном языке, а посылки изображают на кругах Эйлера, считая их истинными. После чего выясняют, всегда ли при таких посылках истинно заключение. Если оказывается, что всегда, то говорят, что данное умозаключение дедуктивное. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение может быть ложным, то говорят, что всякое умозаключение, выполненное по такой схеме, не является дедуктивным.

Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения, является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.

Посылка может быть записана в виде Т_{А ,} где Т_А и Т_В - множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Частная посылка А(а) означает, что а Т_В. Все умозаключения, построенные по правилу заключения, записываются на теоретико-множественном языке так:

Изобразив на кругах Эйлера множества Т_А и Т_В и обозначив элемент а , видим, что а , т.е. а а .

В этом уроке мы, наконец, переходим к теме, которая составляет ядро любого рассуждения и любой логической системы – умозаключениям. В четвёртом уроке мы говорили, что рассуждение – это совокупность суждений или высказываний. Очевидно, что такое определение не полно, ведь оно ничего не говорит о том, почему вдруг какие-то разные высказывания оказались рядом. Если дать более точное определение, то рассуждение – это процесс обоснования какого-либо высказывания с помощью его последовательного вывода из других высказываний. Этот вывод чаще всего осуществляется в форме умозаключений.

Содержание:

Умозаключение – это непосредственный переход от одного или нескольких высказываний А₁, А₂, …, А_n к высказыванию В. А₁, А₂, …, А_n называют посылками. Посылка может быть одна, их может быть две, три, четыре, в принципе – сколько угодно. В посылках содержится известная нам информация. В – это заключение. В заключении находится уже новая информация, которую мы извлекли из посылок с помощью специальных процедур. Эта новая информация уже содержалась в посылках, но в скрытом виде. Так вот задача умозаключения сделать это скрытое явным. Кроме того, иногда посылки называют аргументами, а заключение – тезисом, а само умозаключение в этом случае называют обоснованием. Разница между умозаключением и обоснованием состоит в том, что в первом случае, мы не знаем, к какому заключению мы придём, а во втором – тезис нам уже известен, мы просто хотим установить его связь с посылками-аргументами.

Логики записывают умозаключения следующим образом:

Над чертой располагаются посылки, под чертой – заключение, а сама черта обозначает отношение логического следования.

Критерии истинности умозаключений

Также как и для суждений, для умозаключений существуют определённые условия их истинности. При определении, истинное умозаключение или ложное, нужно обращать внимание на два аспекта. Первый аспект – это истинность посылок. Если хотя бы одна из посылок ложна, то и сделанное заключение тоже будет ложным. Поскольку заключение – это та информация, которая была скрыта в посылках и которую мы просто извлекли на свет, то из неверных посылок невозможно случайно получить верный вывод. Это можно сравнить с попыткой сделать бифштекс из моркови. Наверное, моркови можно придать цвет и форму бифштекса, но внутри всё равно будет морковь, а не мясо. Никакие кулинарные операции не преобразуют одно в другое.

Змеи едят яйца.
Девочки едят яйца.
Значит, девочки – это змеи.

Хотя посылки правильные, заключение абсурдно. Умозаключение в целом сделано неверно. Чтобы избежать подобных ошибок, логики выявили такие умозаключения, логические формы которых при истинности посылок гарантируют истинность заключения. Их принято называть правильными умозаключениями. Таким образом, чтобы умозаключение было сделано верно, нужно следить за истинностью посылок и за правильностью самой формы умозаключения.

Мы рассмотрим различные формы правильных умозаключений на примере силлогистики. В этом уроке мы разберём самые простые однопосылочные заключения. В следующем уроке – более сложные заключения: силлогизмы, энтимемы, многопосылочные заключения.

Умозаключения по логическому квадрату

Чтобы было легче запомнить, какие именно типы умозаключений возможны между категорическими атрибутивными высказываниями, логики придумали специальный логический квадрат, изображающий отношения между ними. Поэтому некоторые однопосылочные умозаключения также называют умозаключениями по логическому квадрату. Посмотрим на этот квадрат:

Все S есть P
Некоторые S есть P
Все птицы имеют клюв. Следовательно, некоторые птицы имеют клюв.
Ни один S не есть P
Некоторые S не есть P
Ни один гусь не хочет быть пойман и зажарен. Следовательно, некоторые гуси не хотят быть пойманными и зажаренными.

Неверно, что некоторые S есть P
Неверно, что все S есть P
Неверно, что некоторые автомобили не имеют колёс. Поэтому неверно, что все автомобили не имеют колёс.
Неверно, что некоторые S не есть P
Неверно, что все S не есть P
Неверно, что некоторые вина не являются спиртными напитками. Таким образом, неверно, что все вина не являются спиртными напитками.

По закону контрарного противоречия будут истинными следующие виды умозаключений:

Все S есть P
Неверно, что ни один S не есть P
Все яблоки – это фрукты. Следовательно, неверно, что ни одно яблоко не является фруктом.
Ни один S не есть P
Неверно, что все S есть P
Ни один кит не умеет летать. Поэтому неверно, что все киты умеют летать.

Согласно этому закону правильными будут следующие умозаключения:
Неверно, что некоторые S есть P
Некоторые S не есть P
Неверно, что некоторые продукты полезны для здоровья. Поэтому некоторые продукты не полезны для здоровья.
Неверно, что некоторые S не есть P
Некоторые S есть P
Неверно, что некоторые ученики из нашего класса не являются двоечниками. Таким образом, некоторые ученики из нашего класса являются двоечниками.

Отношения противоречия (контрадикторности) говорят о том, что высказывания, находящиеся в них, не могут быть одновременно истинными или ложными. На основании этих отношений можно сформулировать два закона противоречия и два закона исключённого третьего. Первый закон противоречия: Неверно, что все S есть P и некоторые S не есть P. Второй закон противоречия: Неверно, что ни один S не есть P и некоторые S есть P. Первый закон исключённого третьего: Все S есть P или некоторые S не есть P. Второй закон исключённого третьего: Ни один S не есть P или некоторые S есть P.

На этих законах строятся умозаключения следующих видов:

Все S есть P
Неверно, что некоторые S не есть P
Все дети нуждаются в заботе. Следовательно, неверно, что некоторые дети не нуждаются в заботе.
Некоторые S не есть P
Неверно, что все S есть P
Некоторые книги не являются скучными. Поэтому, неверно, что все книги являются скучными.
Неверно, что все S есть P
Некоторые S не есть P
Неверно, что все сотрудники нашей фирмы усердно работают. Таким образом, некоторые сотрудники нашей фирмы не работают усердно.
Неверно, что некоторые S не есть P
Все S есть P
Неверно, что некоторые зебры не имеют полосок на коже. Следовательно, все зебры имеют полоски на коже.
Ни один S не есть P
Неверно, что некоторые S есть P
Ни одна картина в этом зале не относится к XX веку. Поэтому неверно, что некоторые картины в этом зале относятся к XX веку.
Некоторые S есть P
Неверно, что ни один S не есть P
Некоторые студенты занимаются спортом. Таким образом, неверно, что ни один студент не занимается спортом.
Неверно, что ни один S не есть P
Некоторые S есть P
Неверно, что ни один учёный не интересуется искусством. Следовательно, некоторые учёные интересуются искусством.
Неверно, что некоторые S есть P
Ни один S не есть P
Неверно, что некоторые коты курят сигары. Таким образом, ни один кот не курит сигары.

Как вы, скорее всего, заметили во всех этих умозаключениях, высказывания над чертой и под чертой несут одну и ту же информацию, просто поданную в разной форме. Важная деталь заключается в том, что смысл одних из этих высказываний воспринимается легко и интуитивно, в то время как смысл других тёмен, и над ними порой приходится поломать голову. Например, смысл утвердительных высказываний воспринимается легче, чем смысл отрицательных высказываний, смысл высказываний с одним отрицанием более понятен, чем смысл высказываний с двумя отрицаниями. Таким образом, основное назначение умозаключений по логическому квадрату состоит в том, чтобы привести сложные для восприятия, непонятные высказывания к наиболее простой и ясной форме.

Операция обращения

Ещё одним видом однопосылочных умозаключений является обращение. Это такой тип умозаключений, при которых субъект посылки совпадает с предикатом заключения, а субъект заключения совпадает с предикатом посылки. Грубо говоря, в заключении S и P просто меняются местами.

Прежде чем перейти к умозаключениям через обращение, построим таблицу истинности для высказываний, в которых P встанет на место субъекта, а S – на место предиката.

Сравните её с той таблицей, которую мы строили в прошлом уроке. Обращение, как и другие умозаключения, может быть правильным, только когда посылка и заключение одновременно истинны. При сравнении двух таблиц, вы увидите, что таких комбинаций не так уж и много.

Хотя обращения, как и умозаключения по логическому квадрату, это однопосылочные умозаключения, и мы точно также извлекаем всю новую информацию из имеющейся посылки, посылку и заключение в них уже нельзя назвать просто разными формулировками одной и той же информации. Полученная информация относится уже к другому субъекту, а потому она уже не кажется такой тривиальной.

Итак, в этом уроке мы начали рассматривать правильные виды умозаключений. Мы поговорили о самых простейших однопосылочных умозаключениях: умозаключениях по логическому квадрату и умозаключениях через обращение. Хотя эти умозаключения довольно просты и даже где-то тривиальны, люди повсеместно совершают в них ошибки. Понятно, что сложно удержать в памяти все виды правильных умозаключений, поэтому, когда вы будете выполнять упражнения или столкнётесь с необходимостью проверить или сделать однопосылочное умозаключение в реальной жизни, не бойтесь прибегать к помощи модельных схем и таблиц истинности. Они помогут вам проверить, всегда ли при истинности посылок заключение тоже истинное, а это главное для правильного умозаключения.

Упражнения

Сделайте все возможные умозаключения из следующих высказываний по логическому квадрату:

Все медведи на зиму залегают в спячку.
Неверно, что все люди завистливы.
Ни один гном не достигает роста в два метра.
Неверно, что ни один человек не был на Северном полюсе.
Некоторые люди никогда не видели снега.
Некоторые автобусы ходят по расписанию.
Неверно, что некоторые слоны летали на луну.
Неверно, что некоторые птицы не имеют крыльев.

Сделайте обращения с теми, высказываниями, с которыми это возможно:

Никто ещё не построил машину времени.
Некоторые официанты очень назойливы.
Все профессионалы опытны в своём деле.
Некоторые книги не имеют твёрдой обложки.

Проверьте, правильно ли сделаны следующие умозаключения:

Некоторые кролики не носят белые перчатки. Следовательно, некоторые кролики носят белые перчатки.
Неверно, что никто не был на Луне. Таким образом, некоторые люди были на Луне.
Все люди смертны. Поэтому все смертные – это люди.
Некоторые птицы не умеют летать. Следовательно, некоторые существа, не умеющие летать, это птицы.
Ни один ягнёнок не имеет пристрастия к виски. Следовательно, ни одно существо, имеющее пристрастие к виски, не является ягнёнком.
Некоторые морские животные млекопитающие. Таким образом, неверно, что ни одно морское животное не является млекопитающим.

Проверьте свои знания

Читайте также: