Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых 7 класс геометрия кратко

Обновлено: 02.07.2024

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.


В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.


2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°


1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.

2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH1B по первому признаку равенства треугольников.

Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.

3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H1, O, H лежат на одной прямой.

4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.


Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.

∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.

Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.


Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.

∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.

∠1 + ∠2 = 180 ° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.

Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.


  1. ∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по свойству смежных углов;
  2. ∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
  3. Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Треугольник АВС, АВ=ВС, уголА=уголВ, уголАМР=уголРКС, АМ=КС, треугольник АМР=треугольник РКС по двум углам и прилегающей стороне, МР=РК, АР=РС, РВ - медиана если - в равнобедренном треугольнике=высоте=биссектрисе, если АМ=КС а АВ=ВС, то МВ=КВ, треугольник МВК равнобедренный, ВО-биссектриса=медиане=высоте, ВО перпендикулярно МК , значит ВР перпендикулярно МК, МО=ОК, РО-медиана в равнобедренном треугольнике МКР=биссектрисе=высоте, РО-биссектриса углаМКР, значит РВ-биссектриса угла МРк

Рассмотрим две прямые и , которые пересекает в двух точках третья прямая (Рис.1). Прямая называется секущей по отношению к прямым и .


При пересечении прямых и секущей образуется восемь углов, которые обозначены цифрами на Рис.2.


Некоторые пары из этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Признаки параллельности двух прямых

1. Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ - секущая, 1 и 2 - накрест лежащие, 1 = 2 (Рис.3).

Доказать: .

Доказательство:


1 случай

Предположим, что 1 = 2 = 90 0 , т.е. эти углы прямые, получим АВ и АВ (Рис.4), следовательно, (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).


2 случай

Предположим, что 1 и 2 - не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой и продолжим его до пересечения с прямой , точку пересечения ОН с прямой обозначим Н1 (Рис. 5).


Получим ОНА = ОН1В по 2 признаку равенства треугольников (углы 3 и 4 вертикальные, т.к. получены при пересечении двух прямых АВ и НН1, а вертикальные углы равны друг другу, т.е. 3 = 4, АО = ОВ, т.к. О - середина АВ, 1 = 2 по условию), следовательно, 5 =6, значит, 6 - прямой, также как и 5 (т.к по построению ОН ).

Получаем, НН1 и НН1, значит (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.

2. Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ - секущая, 1 и 2 - соответственные, 1 = 2 (Рис.6).

Доказать: .

Доказательство:


По условию 1 = 2 и 2 = 3, т.к.они вертикальные, откуда 1 = 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

3. Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ - секущая, 1 и 2 - односторонние, 1 + 2 = 180 0 (Рис.7).

Доказать: .

Доказательство:


Углы 3 и 2 - смежные, значит по свойству смежных углов 3 + 2 = 180 0 , откуда 3 = 180 0 - 2, при этом 1 + 2 = 180 0 , откуда 1 = 180 0 - 2, тогда 1 = 3, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:


Если a || c и b || c, то a || b.

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:


Если a ⊥ c и b ⊥ c, то a || b.

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:


Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:


Если ∠2 = ∠4, то a || b.

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:


Если ∠1 = ∠3, то a || b.

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:


Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:


Если a || b, то ∠2 = ∠4.

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:


Если a || b, то ∠1 = ∠3.

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:


Если a || b и c ⊥ a, то c ⊥ b.

Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:

Читайте также: