Ранг матрицы кратко и понятно

Обновлено: 22.07.2024

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям, а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это "сколько-то" должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это "сколько-то" должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое "сколько-то" (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r+1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы. Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r-го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r.

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

- если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

окаймляющими будут такие миноры:

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице ( r =1 ).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум ( r =2 ).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём ( r =2 ).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум ( r =2 ).

Пример 2. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Пример 3. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление "нулевых" строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B , то .

Используя эту теорему, отправляясь от любой матрицы A всегда можно прийти к такой матрице B , вычисление ранга которой не представляет затруднений. Для этого следует добиться, чтобы матрица B была трапециевидной.

Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Пример 5. Найти ранг матрицы

Решение. Подвергнем эту матрицу следующим преобразованиям. Ко второй строке прибавим третью, умноженную на - 2, а затем к третьей строке прибывам первую, умноженную на 2, и, наконец, из четвёртой вычтем первую. После этих трёх последовательно выполненных преобразований получим матрицу

Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу

Получили трапециевидную матрицу. Ранг полученной матрицы равен трём (r=3), так как после вычёркивания последней строки, полностью состоящей из нулей, в ней останется три строки.

Желающие могут проверить это решение способом окаймляющих миноров (минор третьего порядка, находящийся в левом верхнем углу, не равен нулю, а все миноры четвёртого порядка равны нулю).

Что такое ранг матрицы — понятие, для чего используется

Возьмем случайную матрицу \(\undersetA\) и натуральное число k, меньшее или равное числам m и n. Вычеркивая в ней произвольным образом (m — k) строк и (n — k) столбцов, мы получим квадратные подматрицы меньше размера исходной, k-го порядка. Определители таких подматриц будут минорами k-го порядка матрицы \(\undersetA.\)

Минор k-го порядка матрицы A — это определитель k-го порядка с элементами, которые расположены на пересечении любых k строк и любых k столбцов.

Всего из матрицы \(\undersetA\) получится выделить \(C_m^kC_n^k\) миноров k-го порядка.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Например, из \(\undersetA\) мы получим 12 миноров 1-го порядка, 18 — 2-го и 4 — 3-го.
Если среди матричных элементов \(a_\) (i = 1, 2 . m; j = 1, 2 . n) есть отличные от нуля, то существует натуральное число r, которое обладает следующими свойствами:

У матрицы А есть ненулевой минор r-го порядка.
Любой из миноров этой матрицы порядка r + 1 или выше будет нулевым.

Число r с такими характеристиками — ранг матрицы A.

Ранг матрицы — это наивысший порядок ее ненулевых миноров.

Устоявшегося обозначения ранга не существует, чаще всего его записывают как \(r (A)\) или rang A, где А — обозначение матрицы. Понятие ранга обычно используют в ситуациях, когда необходима проверка совместимости системы линейных уравнений.

В случае, когда базисный минор матрицы \(\undersetA\) имеет порядок r \(\undersetA\) линейно зависимы. В случае, когда r = m, все строки являются базисными и линейно независимыми.

Из этого можно сделать следующие выводы:

Когда ранг матрицы A меньше числа ее строк, они линейно зависимы. В случае, когда он равен числу строк, все они линейно независимы.
Всякие r + 1 строк матрицы A ранга r линейно зависимы.
Ранг любой матрицы равняется максимальному числу ее линейно независимых строк.

Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному количеству ее линейно независимых строк и равно ее рангу.

Ранг не меняется при транспонировании.

Как определить ранг матрицы, примеры

Нахождение ранга матрицы по определению

Определить ранг можно, перебрав все миноры.

Если из элементов матрицы можно составить ненулевой минор n-го порядка, то ранг равен n.

С учетом данной теоремы перебор производится по следующему алгоритму:

Перебрать миноры 1-го порядка. Если наличествует хоть один ненулевой минор 1-го порядка, ранг как минимум равен 1.
Перебрать миноры 2-го порядка. Если все они нулевые, ранг — единичный. В противном случае переходим к пункту 3.
Перебрать миноры 3-го порядка. Если все они нулевые, ранг — два. В противном случае переходим к минорам 4-го, 5-го порядков и т. д.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Этот метод дает возможность сократить вычисления.

Окаймляющий минор — минор (n+1)-го порядка матрицы А. Он окаймляет минор n-го порядка, если матрица, соответствующая минору (n+1)-го порядка, содержит матрицу, которая соответствует упомянутому минору n-го порядка. Таким образом, чтобы получить окаймляемый минор, надо взять окаймляющий его и вычеркнуть одну строку и один столбец.

Вычислить ранг матрицы

В матрице есть элементы, отличные от нуля, значит, ее ранг больше единицы.

Раз ранг больше двух, нужно рассмотреть миноры 3-го порядка, содержащие вышеприведенный минор \(М_2.\)

Как мы видим, все миноры 3-го порядка нулевые, значит, наибольший ненулевой минор относится ко 2-му порядку.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

В большинстве случаев нахождение ранга перебором миноров требует долгих вычислений. Более простой способ решения этой задачи базируется на элементарных преобразованиях по методу Гаусса, сохраняющих ранг исходной матрицы A и приводящих ее к ступенчатому виду. К таким преобразованиям относятся:

Вычеркивание нулевой строки или столбца. Нулевая строка не может быть базисной строкой, ведь в таком случае базисные строки были бы линейно зависимы, а это противоречит теореме о базисном миноре.
Перестановка двух строк между собой. Другие строки в этом случае не меняются. Это утверждение непосредственно следует из теоремы о базисном миноре, согласно которой ранг равняется максимальному числу линейно независимых строк.
Умножение любой строки на число \( \lambda \neq 0\) .
Вычеркивание строки, которая является линейной комбинацией других строк.
Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число \(\lambda \neq 0\) .
Транспонирование.

Проведем подробный разбор пункта 5. Представим, что к q-й строке прибавлена p-я строка, умноженная на \(\lambda \neq 0\) . В итоге появится новая матрица A′. Если q-я и p-я строки — базисные, это преобразование не изменит значения базисного минора. В случае, когда только p-я строка — базисная, q-я строка является их линейной комбинацией. Умножение на \(\lambda\) это не изменит, и такую строку допустимо удалить при преобразовании.

Если q-я строка — базисная, а p-я — нет, то после преобразования \(r_ \rightarrow r_ + \lambda r_

\) базисный минор \(\triangle_\) перейдет в минор \(\triangle'_\) матрицы A′, который отличается от \(\triangle_\) тем, что вместо элементов строки \(r_\) содержит элементы строки \( r_ + \lambda r_

\) . Согласно т еореме о линейности, \(\triangle'_r=\triangle_r+\lambda\;\triangle_r^.\)

Определитель r-го порядка \(\triangle_r^\) в этом выражении отличается от \(\triangle_r\) тем, что вместо элементов q-й строки содержит соответствующие элементы строки \( r_

.\)
Так как p-я строка — не базисная, она может быть представлена в виде линейной комбинации r базисных строк, то \(\triangle_r^ = 0\) и \(\triangle_r^ = \triangle_r.\)
Как мы видим, при преобразовании \( r_ \rightarrow r_ + \lambda r_

\) базисный минор ни при каких условиях не изменяется. Из этого делаем вывод, что r (A) = r (A′).

Матрицы A и B эквивалентны по рангу и обозначаются A ∼ B в том случае, когда B можно получить из A путем элементарных преобразований, перечисленных выше.

Вычислить ранг матрицы

Прибавим первую строку матрицы B, умноженную на -1, к ее третьей строке. После произведения необходимых расчетов получим:

Умножим вторую строку получившейся матрицы на -2 и прибавим результат умножения к третьей строке:

Итак, исходная матрица 3-го порядка является невырожденной, поскольку ее определитель равен

В данной публикации мы рассмотрим определение ранга матрицы, а также методы, с помощью которых его можно найти. Также разберем примеры для демонстрации применения теории на практике.

Определение ранга матрицы

Ранг матрицы – ранг ее системы строк или столбцов. В любой матрице есть ее строчный и столбцовый ранги, которые равны между собой.

Ранг системы строк – это максимальное количество линейно-независимых строк. Аналогичным образом определяется ранг системы столбцов.

Примечания:

Нахождение ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Ранг матрицы равняется максимальному порядку ненулевого минора.

Алгоритм следующий: находим миноры от низших порядков к высоким. Если минор n -го порядка не равняется нулю, а все последующие ( n+1 ) равны 0, значит ранг матрицы равен n .

Пример
Чтобы было понятнее, давайте разберем практический пример и найдем ранг матрицы A ниже, пользуясь методом окаймляющих миноров.

Решение
Мы имеем дело с матрицей 4×4, следовательно, ее ранг не может быть выше 4. Также в матрице присутствуют ненулевые элементы, значит, ее ранг не меньше единицы. Итак, приступим:

1. Начинаем проверять миноры второго порядка. Для начала берем две строки первого и второго столбцов.

Минор равняется нулю.

Следовательно переходим к следующему минору (первый столбец остается, а вместо второго берем третий).

Минор равен 54≠0, следовательно ранг матрицы не меньше двух.

Примечание: Если бы и этот минор оказался равным нулю, мы бы дальше проверили следующие комбинации:

Если требуется, перебор можно аналогичным образом продолжить со строками:

Если бы все миноры второго порядка оказались равными нулю, то ранг матрицы равнялся бы одному.

2. Нам удалось почти сразу найти минор, который нам подходит. Поэтому переходим к минорам третьего порядка.

К найденному минору второго порядка, который дал отличный от нуля результат, добавляем одну строку и один из столбцов, выделенных зеленым цветом (начнем со второго).

Минор оказался равным нулю.

Следовательно меняем второй столбец на четвертый. И со второй попытки нам удается найти минор, не равный нулю, значит ранг матрицы не может быть меньше 3.

Примечание: если бы результат снова оказался равным нулю, вместо второй строки мы бы дальше взяли четвертую и продолжили бы поиски “хорошего” минора.

3. Теперь остается определить миноры четвертого порядка с учетом найденного ранее. В данном случае он один, который совпадает с определителем матрицы.

Минор равняется 144≠0. А это значит, что ранг матрицы A равняется 4.

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Ранг ступенчатой матрицы равняется количеству её ненулевых строк. То есть все, что нам нужно сделать – это привести матрицу к соответствующему виду, например, с помощью элементарных преобразований, которые, как мы уже упомянули выше, не меняют ее ранг.

Пример
Найдем ранг матрицы B ниже. Мы не берем слишком сложный пример, т.к. наша основная цель – это просто продемонстрировать применение метода на практике.

Решение
1. Сначала вычтем из второй строки удвоенную первую.

2. Теперь отнимем из третьей строки первую, умноженную на четыре.

Таким образом, мы получили ступенчатую матрицу, в которой количество ненулевых строк равняется двум, следовательно ее ранг, также, равен 2.

Ранг матрицы – наивысший порядок минора матрицы, который не равен нулю. В статье рассмотрим разберём несколько определений и на примере покажем, как правильно искать ранг матрицы.

Ранг матрицы – как найти ранг матрицы (теория и примеры) обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Что такое ранг матрицы: определения и теорема

Определитель, составленный из элементов матрицы размером которые находятся на пересечении производных её строк и столбцов, называется минором -того порядка данной матрицы.

Можно составить 12 миноров первого порядка (одни элементы), 18 миноров второго порядка и 4 минора третьего порядка. Выпишем миноры 3-го порядка и найдём их значения.

Среди миноров второго порядка могут быть нулевые и не равны нулю. Все выписывать не будем, а покажем на примере,

Наивысший порядок минора матрицы который не равен нулю, называется рангом этой матрицы и обозначается

Из определения следует, что если ранг матрицы , , тогда среди миноров -того порядка есть миноры, которые не равны нулю, а все миноры -го порядка равняются нулю.

Если же матрица нулевая, тогда её ранг равен нулю, а если матрица квадратная и невырожденная, тогда её ранг равен порядку матрицы. Таким образом, для каждой матрицы размером её ранг принимает соответствующее значение , которое находится в пределах:

В вышеприведённом примере матрицы мы видели, что наивысший порядок её минора, не равного нулю, равняется 2,

Нахождение ранга матрицы путём перебора значений всех её возможных миноров связано со значимым объёмом вычислений, особенно когда размер матрицы большой. Поэтому существует способ нахождения ранга, который основан на элементарных преобразованиях:

К элементарным преобразованиям относятся:

Транспонирование матрицы;
умножение элементов строки (столбца) матрицы на число, которое не равно нулю;
перестановка местами двух строк (столбцов);
прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов второй строки (столбца), которые умножены на одно и то же число.

Две матрицы и называются эквивалентными (обозначаются ), если одна из них может быть получена из другой при помощи конечного числа элементарны преобразований.

Ранги эквивалентных матриц равняются:

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Примеры

Чтобы вы могли найти ранг матриц без проблем, разберём несколько примеров.

Найти ранг матрицы:

Решение:

Из второй строки матрицы отнимем первую и переставим их местами:

Прибавим ко второй и третьей строке первую, соответственно, умноженную на (-2) и (-4), а тогда поменяем местами второй и третий столбцы и получим:

Умножим вторую строку на (-10) и прибавим с третьей строкой. Получается:

Матрица – трапециеподобная. Она получена из при помощи конечного числа элементарных преобразований, её ранг равен 3.

Ранг матрицы можно находить, если воспользоваться правилом прямоугольника, которое по сути, отвечает последовательному применению элементарных преобразований матриц.

Найти ранг матрицы:

Умножим третью строку на (-1) и переставим его со второй строкой, ведущим элементом выберем =

В итоге получилось:

Очевидно, что ранг последней, а значит, и эквивалентной ей изначальной матрицы равен 3, то есть

При нахождении ранга матрицы большого размера рациональнее использовать калькулятор, а ещё лучше, компьютер, применяя относительно простой алгоритм правила прямоугольников.

Ранг матрицы – как найти ранг матрицы (теория и примеры) обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Читайте также: