Платоновы тела это кратко
Обновлено: 05.07.2024
Платоновы , правильные или совершенные тела - это выпуклые многогранники , у которых все грани - правильные многоугольники , равные друг другу, и все телесные углы равны. [ 1 ] Они названы в честь греческого философа Платона ( ок. 427 г. до н.э. / 428 г. до н.э. - 347 г. до н.э. ), которому приписывают изучение их в первую очередь. Они также известны как тела , космические тела , твердые тела Пифагора , совершенные твердые тела , Многогранники Платона или, исходя из геометрических свойств, правильные выпуклые многогранники .
Формулировка общей теории правильных многогранников приписывается Фетету , современному математику Платона. [ 2 ] Они управляются формулой V + C = A + 2, где V - количество вершин; C - количество граней и A - количество ребер, которое открыл математик Леонард Эйлер . [ 3 ]
Платоновыми телами являются тетраэдр , куб (или правильный шестигранник), октаэдр (или квадратная бипирамида , если она была включена в номенклатуру твердых тел Джонсона ) [ 4 ] , додекаэдр и икосаэдр (или гиродлинная пятиугольная бипирамида , если она включена в формулу Джонсона). Сплошная номенклатура ). Этот список является исчерпывающим, поскольку невозможно построить другое твердое тело, отличное от предыдущих пяти, которое удовлетворяло бы всем необходимым свойствам, то есть выпуклости и регулярности.
История
Точно неизвестно, как давно были известны свойства этих многогранников ; есть упоминания о неолитических шарах (датируемых примерно 2000 г. до н.э.) из резного камня, найденных в Шотландии. [ 5 ]
Древние греки тщательно изучали Платоновы тела, и источники (например, Прокл ) приписывают свое открытие Пифагору . Другие данные свидетельствуют о том, что он был знаком только с тетраэдром, кубом и додекаэдром, и что открытие октаэдра и икосаэдра принадлежит Фетету , современному греческому математику Платона. В любом случае, Фетет дал математическое описание пяти многогранников, и, возможно, именно он был ответственен за первое доказательство отсутствия других выпуклых правильных многогранников.
Название куба по-арабски, Кааба , - это имя высоко почитаемой в исламе святыни. [ 7 ]
Теорема
Всего пять правильных многогранников; Это связано с возможностью построения его телесных углов, допускающих равносторонние треугольники, квадраты или пятиугольники, которые должны быть меньше 360 °. [ 8 ]
Регулярность
Как сказано для определения этих многогранников:
- Грани платонового тела - это равные правильные многоугольники.
- Во всех вершинах платонового тела сходится одинаковое количество граней и ребер.
- Все ребра Платонового тела имеют одинаковую длину.
- Все двугранные углы , образующие грани платонового тела друг с другом, равны.
- Все его вершины выпуклы по сравнению с икосаэдром.
Симметрия
Платоновы тела имеют симметричные характеристики:
- Центр куба (правильного шестигранника) является центром симметрии указанной фигуры, он возвращает ту же фигуру; но это не центр правильного тетраэдра. [ 9 ] Все они имеют точку в пространстве ( центр симметрии ), равноудаленную от их граней, вершин и ребер, но исходная фигура не сохраняется.
- Все они также обладают осевой симметрией относительно ряда осей симметрии, которые проходят через предыдущий центр симметрии.
- Все они также обладают зеркальной симметрией относительно ряда плоскостей симметрии (или главных плоскостей), которые делят их на две равные части.
Как геометрическое следствие вышесказанного, в каждом Платоновом теле можно проследить три конкретных сферы , все они сосредоточены в центре симметрии многогранника:
- Вписанная сфера , касательная ко всем граням в центре.
- Вторая сфера, касающаяся всех краев в ее центре.
- Описанная сфера , проходящая через все вершины многогранника.
Проектируя центры ребер многогранника Платона на его описанную сферу из центра симметрии многогранника, получается правильная сферическая сеть , составленная из равных дуг большого круга , которые составляют правильные сферические многоугольники.
Конъюгация
Если многогранник нарисован с использованием центров граней Платонова тела в качестве вершин, получается другое Платоново тело, называемое сопряженным или двойственным по отношению к первому, с таким же количеством вершин, сколько граней имело исходное тело, и таким же количеством вершин. края. Сопряженный многогранник додекаэдра является икосаэдром, и наоборот; куб - октаэдр; а сопряженный многогранник тетраэдра - другой тетраэдр.
Интрисетическое уравнение
Теорема Эйлера для многогранников выражает топологическое качество выпуклых многогранников, независимо от их меры и формы, и особенно правильных многогранников. [ 10 ] Укажите, что количество граней платонового многогранника плюс количество его вершин равно количеству его ребер плюс два, используя следующее уравнение:
Сравнительная таблица
Правильные многогранники в природе
В природе существуют структуры, которые представляют собой почти идеальные правильные многогранники, например, основная структура ВИЧ - правильный икосаэдр. [ 11 ]
Именем Древнегреческого ученого - Платона названа группа из пяти геометрических тел. Пять многогранников, которые математики называют - правильные, мы чаще всего в обычной речи называем - Платоновы тела.
Сначала разберемся, что же это за пять геометрических предметов или, в терминологии математиков, геометрических тел.
Это весьма легко запомнить. Стороны правильных многогранников являются правильными многоугольниками. А правильные многоугольники это те у которых, в свою очередь, равны все стороны (например: треугольник, квадрат) и равны углы между соседними сторонами. Причина возникновения слова правильные именно в этом.
Вероятнее всего Древнегреческий ученый Платон не имеет отношения к открытию этих замечательных многогранников.
Но у Платона был другой дар. В современном мире можно было бы назвать Платона популяризатором правильных многогранников. Наибольший вклад Платон сделал именно в том, что рассказал людям о существовании таких предметов как правильные многогранники.
И, возможно, если бы просто рассказал, то большинство бы быстро забыло о них. Платон же наделил эти, казалось бы, простые предметы невероятной силой, мистическим смыслом и возвел на вершину своего учения.
В попытке объяснить природу всего сущего Платон посчитал пять правильных многогранников первоосновами для строения каждой из стихий:
- огонь - соотносился с тетраэдром;
- воздух – соотносился с октаэдром;
- земля – соотносилась с гексаэдром;
- вода – с икосаэдром;
- а додекаэдр - соответствовал Вселенной.
Летописцы тех времен всё подробно записали и, в результате, получился целый научный трактат, как для современников Платона, так и для всех последующих поколений.
Именно сила философии Платона и мистические постулаты закрепились в умах обычных людей. И что же дальше? А дальше люди уже неразрывно связывают эти многогранниками с идеями Платона. И, в какой то момент, так и говорят об пяти правильных многогранниках, как о многогранниках Платона .
Человек всегда проявлял интерес к многогранникам. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Многогранником называется часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников.
Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое.
Очевидно, что каждая вершина многогранника может принадлежать трем и более граням. Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла, помещенные на плоскость, дадут в сумме 180°. Если теперь согнуть эти углы по внутренним сторонам и склеить по внешним, получим многогранный угол тетраэдра – правильного многогранника, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Три правильных треугольника с общей вершиной называется разверткой вершины тетраэдра. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.
Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.
Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324° - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.
Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.
Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.
Теэтет Афинский (417-369 до н. э.), современник Платона, дал математическое описание правильных многогранников и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Те же пять правильных тел в соответствии с классической традицией рисуются таким образом, что они содержатся в девяти концентрических шарах, и каждое тело соприкасается со сферой, которая описана вокруг следующего тела, расположенного внутри ее. Такая композиция проявляет немало важных взаимоотношений и заимствована из дисциплины, называемой corpo transparente, относящейся к восприятию сфер, изготовленных из прозрачного материала и размещенных одна в другой. Такое наставление давалось Фра Лукой Паччоли многим великим людям Ренессанса, включая Леонардо и Брунуллески.
Существует формула Эйлера для многогранников:
В этой формуле F - число граней, V -число вершин, E - число ребер. Эти числовые характеристики для платоновых тел приведены в табл.1.
Платоновы тела � это совокупность всех правильных многогранников, объемных (трехмерных) тел, ограниченных равными правильными многоугольниками, впервые описанных Платоном. Им также посвящена заключительная, XIII книга �Начал� Платонова ученика Евклида. При всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П. т., в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий мироздания: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.
Платоновы тела
Знание о первоэлементах было доступно древним восточным культурам, таким как индийская и китайская. Платон, а также пифагорейцы, тщательно изучили философские, математические и магические аспекты правильных выпуклых многогранников. Согласно древним знаниям, каждый из этих многогранников соответствует определенной стихии мироздания (первоэлементу) и концентрирует ее энергию. Вершины многогранников излучают энергию, а центры граней поглощают. Ниже дана иллюстрация связи Платоновых тел и первоэлементов из книги Друнвало Мельхиседека "Древняя тайна цветка жизни" :
Далее рассмотрены энергетические характеристики многоугольников с точки зрения китайского учения �У-cин�. Зная иньский или янский характер излучения многогранников, а также энергии их стихий, доктора китайской медицины могут оперировать ими как средствами, гармонизирующими энергию человека.
● Гексаэдр (куб) имеет 8 излучающих энергию точек-вершин и 6 граней, в которых происходит поглощение энергии. Так как излучающих точек больше, чем поглощающих, то в соответствии с китайским учением �У-Син� куб относится к мужскому принципу �Ян�.
● У октаэдра существует 6 точек-вершин излучения и 8 граней поглощения. Следовательно, октаэдр поглощает больше энергии, чем излучает, поэтому он относится к женскому началу �Инь�.
● Тетраэдр имеет 4 вершины и 4 грани, что приводит к равенству �Инь-Ян�.
● У икосаэдра 12 вершин и 20 граней, имеющих вид правильных треугольников, поэтому он выражает принцип �Инь�.
● Додекаэдр имеет 20 вершин и 12 граней и поэтому он выражает принцип �Ян�. Его 12 граней имеют форму правильных пятиугольников.
Согласно Мельхиседеку, существует связь между Платоновыми телами из " Цветком жизни ", точнее, они сокрыты в Кубе Метатрона , который заложен в Цветке жизни. В этой статье я дам лишь немного информации из этой книги для ознакомления. Тема эта очень сложна и обширна, но если вы захотите её изучить подробно, книга "Древняя тайна цветка жизни" доступна в интернете.
Цветок жизни - это современное название геометрической фигуры, состоящей из нескольких расположенных равномерно, одинаковых окружностей, которые образуют рисунок с шестикратной симметрией, как у Гексагона (шестигранника). Это древнейший символ сакральной геометрии, известный многим древним культурам по всей Земле, изображающий, как полагают, основную форму существования пространства и времени:
Цветок жизни
Цветок жизни - двухмерное изображение - является символом, проекцией трёхмерной фигуры. И в этой трёхмерной фигуре сокрыт Куб Метатрона:
Куб Метатрона
Куб Метатрона, вписанный в Цветок жизни.
Куб Метатрона соответственно также является не плоской фигурой, а трёхмерным телом. Если соединить линиями все центры шаров Куба Метатрона, то эти линии будут гранями пяти Платоновых тел:
Тетраэдр, вписанный в Куб Метатрона.
Куб, вписанный в Куб Метатрона.
Октаэдр, вписанный в Куб Метатрона.
Икосаэдр, вписанный в Куб Метатрона.
Додекаэдр, вписанный в Куб Метатрона.
!Материалы из статьи могут быть использованы только с активной ссылкой на сайт-источник!
Читайте также: