Периодические колебания это кратко

Обновлено: 05.07.2024

Периодичность – это свойство системы через некоторые равные промежутки времени проходить один и тот же ряд состояний.

Колебаниями называют движения, процессы, изменения состояния, которые в какой-либо степени повторяются во времени.

механические колебания;
электромагнитные колебания;
смешанные (электромеханические);
квантовые.

Примерами механических колебаний являются:

колебания маятников;
колебания струн;
колебания зданий и мостов;
колебания давления воздуха;
морские волны и т.д.

Колебательной системой называют систему, которая совершает колебания.

Собственными (свободными) колебаниями называют колебания, происходящие при отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания. Эти колебания возникают при однократном выведении колебательной системы из состояния равновесия.

Колебания называют периодическими, если все физические величины, которые определяют состояние колебательной системы, повторяются через равные отрезки времени.

Самый маленький промежуток времени ($T$), спустя который все физические величины повторяют свои значения, называют периодом колебаний.

За время, равное периоду колебаний колебательная система совершает одно полное колебательное движение.

Готовые работы на аналогичную тему

Если колебания являются периодическими, то связь параметра колебательной системы и времени удовлетворят условию:

Частным случаем периодических механических колебаний являются механические гармонические колебания.

Гармонические колебания – частный случай периодических колебаний

Каждое периодическое колебание можно представить в виде суммы гармонических колебаний, имеющих кратные частоты ($\omega, 2\omega, 3\omega . $). При этом частота $\omega$ называется основной, остальные частоты – это гармоники. Для нахождения амплитуд и частот сложного периодического процесса используют Фурье анализ.

Периодические колебания физической величины $s$ называют гармоническими тогда, когда они описываются законом:

$s(t)= C\sin (\omega t+\varphi_0)(2),$

где $\omega=\frac<2\pi>=const$ - круговая (циклическая) частота гармонических колебаний; $C$ - наибольшее значение величины $s (t)$, именуемое амплитудой колебаний; $\omega t+\varphi_0$ - фаза колебаний; $\varphi_0$ - начальная фаза колебаний (неизменный параметр).

Выражение (2) можно записать в ином виде:

$s(t)= C\cos (\omega t+\varphi_1)(3),$

Период гармонических колебаний равен:

Величина, совершающая гармонические колебания должна удовлетворять дифференциальному уравнению:

Общим решением уравнения (5) служит выражение:

$s=C_1\sin (\omega t)+ C_2\cos (\omega t)(6),$

где $C_1$ и $C_2$ - постоянные, которые определяют начальные условия колебаний. Это означает, что если известны значения $s$ и ее первой производной по времени (скорости изменения) при $t=0$, тогда

Обычно общее решение дифференциального уравнения гармонических колебаний представляют в виде:

$s=C\sin (\omega t+\varphi_0)(7),$

Рассмотрим гармонические колебания материальной точки по оси $X$ около положения равновесия. В этом случае закон изменения координаты от времени запишем в виде:

$x=C\sin (\omega t+\varphi_0)(8).$

Проекция вектора скорости этой материальной точки на ось $X$ равна:

где $v_m=C\omega$ - амплитуда скорости.

$a_x=\ddot =-a_m\sin (\omega t \varphi_0)(10),$

где $a_m=v_m\omega$ - амплитуда ускорения.

Силу, которая действует на материальную точку, определим как:

$\vec F=m\vec a$; $F_x=-m\omega^2x (11),$

где $m$ - масса материальной точки. Сила $\vec F$ является пропорциональной смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в сторону, которая противоположна смещению.

Рассмотрим материальную точку массы $m$, которая совершает прямолинейные колебания на упругой пружине, жесткость (коэффициент упругости) которой равна $k$. Будем считать, что колебания совершаются вдоль оси $OX$.

Данную колебательную систему (пружинный маятник) можно назвать линейным гармоническим осциллятором.

В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:

$m\vec a=\vec F_u (12),$

где ускорение материальной точки равно:

$\vec a=\ddot \vec i$; $\vec i$ = орт оси $OX$.

Уравнение движения пружинного маятника можно представить в виде:

Зная, что коэффициент $\frac>0$, в (13) мы получили дифференциальное уравнение для гармонических колебаний. Это означает, что осциллятор выполняет колебания в соответствии с законом:

период этих колебаний равен:

Классификация колебаний в зависимости от периодичности

Гармонические колебания являются периодическими, но не все периодические колебания гармонические.

В зависимости от наличия периода при колебательных движениях колебания делят на:

периодические колебания;
квазипериодические колебания;
апериодические движения;
непериодические колебания.

В самом общем виде квазипериодические колебания - это колебания двух (и более) компонент, с несоизмеримыми частотами. Примерами квазипериодических систем являются неавтономные динамические системы.

Колебания в реальной действительности без источника энергии являются затухающими. Если сопротивление среды, следовательно, коэффициент затухания ($\delta$) увеличивается, то в соответствии с формулой:

период растет. Тогда, когда коэффициент затухания становится почти равным циклической частоте колебаний, период стремится к бесконечности. Это значит, что при большом коэффициенте затухания колебания не возможны. Если систему вывести из положения равновесия, то она вернется в состояние равновесия, не выполняя колебаний. Признаком движения при этом будет отсутствие повторяемости. Данное движение называется апериодическим.

При непериодических колебаниях параметры, описывающие колебательную систему, повторяются через неравные промежутки времени.

Современный мир невозможен без гармонических колебаний — любая электромагнитная волна их распространяет. Не было бы телефонов, интернета и других электронных средств. О том, что такое гармонические колебания — в этой статье.

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

сама колебательная система
источник энергии
устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Отличительным признаком периодических колебаний является повторение колеблющейся величины через одинаковый промежуток времени, который называют периодом колебаний. Периодическим колебаниям бесконечно большой длительности соответствуют дискретные (линейчатые) спектры, состоящие из конечного или бесконечного множества отдельных спектральных линий. Простейшим видом периодических колебаний являются моногармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону

x(t) = C cos(ω τ+φ). (3.9)

Спектр моногармонического колебания содержит только одну наблюдаемую частоту (рис. 2.4). Полигармонический колебательный процесс (рис. 3.5) может быть представлен в виде суммы нескольких моногармонических колебаний с частотами, находящимися между собой в рациональном отношении:

(3.10)

Форма графика изменения колеблющейся величины во времени в зависимости от соотношения параметров k гармоник позволяет провести классификацию процессов, разделяя их на прямоугольные, пилообразные, трапецеидальные и другие колебания.

Частный случай полигармонических колебаний – это бигармонические колебания, состоящие из суммы двух моногармонических колебаний (см. рис. 3.6):

угловые частоты которых ω₁ и ω₂ находятся между собой в рациональном отношении:

Рис. 3.5 - Полигармонический колебательный процесс

Вид бигармонического колебательного процесса зависит не только от соотношения между частотами и амплитудами обеих гармоник, но и от фазовых соотношений. При достаточной близости частот колебаний будут наблюдаться характерные биения процесса (рис.3.6), при которых его полуразмах

Рис. 3.6. Биения ротора электродвигателя

медленно изменяется в пределах от A _min = A₂ - A ₁(A₂ ≥ A ₁) до A _max = A₂+A ₁.

Таким образом, биение– это результат сложения двух колебаний с близкими частотами.

Преимущества полигармонической моделивозбуждения колебаний в том, что она позволяет сконцентрировать внимание лишь на определенных частотах kf_в , кратных основной частоте возбуждения колебаний f_в диагностируемого узла, поскольку процесс локализации источников повышенной виброактивности агрегата состоит в выявлении источников возбуждения, вызывающих колебания на данной частоте.

Квазиполигармоническая модельпроцесса возбуждения колебаний основана на представлении колебаний в виде суперпозиции узкополосных случайных процессов с кратными средними частотами. Квазиполигармоническая модель более адекватно, чем полигармоническая описывает процесс возбуждения колебаний. Размытие линий спектра квазиполигармонической модели колебаний по отношению к дискретным составляющим полигармонической модели не является недостатком.

x(t) = C cos(ω τ+φ). (3.9)

(3.10)

угловые частоты которых ω₁ и ω₂ находятся между собой в рациональном отношении:

Рис. 3.5 - Полигармонический колебательный процесс

Рис. 3.6. Биения ротора электродвигателя

медленно изменяется в пределах от A _min = A₂ - A ₁(A₂ ≥ A ₁) до A _max = A₂+A ₁.

Таким образом, биение– это результат сложения двух колебаний с близкими частотами.

Особый вид неравномерного движения - колебательное. Это движение, которое повторяется с течением времени. Механические колебания - это движения, которые повторяются через определенные промежутки времени. Если промежутки времени одинаковые, то такие колебания называются периодическими.

Колебательная система

Это система взаимодействующих тел (минимум два тела), которые способны совершать колебания. Простейшими колебательными системами являются маятники.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A - это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T - это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний - это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными. Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические, затухающие, нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом.

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Примеры резонанса

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор - это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других - вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 - разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Читайте также: