Парадокс рассела кратко и понятно
Обновлено: 05.07.2024
Парадокс Рассела — открытый в 1901 году [1] Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытый Э. Цермело теоретико-множественный парадокс, демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Г. Кантора.
Парадокс Рассела формулируется следующим образом:
Пусть — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению , оно не должно быть элементом — противоречие. Если нет — то, по определению , оно должно быть элементом — вновь противоречие.
Действительно, допустим, что множество всех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения, должно существовать и множество , элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множества приводит к парадоксу Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теории , утверждение о существовании множества невыводимо в этой теории, что и требовалось доказать.
Другой реакцией на открытие парадокса Рассела явился интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра.
Содержание
Варианты формулировок
Существует много популярных формулировок этого парадокса. Одна из них традиционно называется парадоксом брадобрея и звучит так:
Еще один вариант:
Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?
Парадокс Рассела является следствием проблемы определения понятия "множества всех множеств" в математической теории множеств. В формулировке Рассела парадокс выглядет так: "Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие." Формальная логика бессильна в интерпретации этих парадоксов и предлагает исключить из теории множеств понятие "множество всех множеств".
Современная аксиоматическая теория множеств лишена недостатков предшествовавшей ей наивной теории множеств с множествами парадоксов, а является ли это движением в правильном направлении, покажет будущее.
Суть парадокса - во фразе "сам в себе". Так и просится аналогия "яблоко в яблоке". Рассмотрим русский алфавит. Читать дальше
Может ли всемогущее существо быть и не быть одновременно парадоксальным и не парадоксальным?! Ответ на этот вопрос такой: Да оно это может и не может одновременно, раз оно является всемогущим существом. А каким образом оно это делает не возможно понять материей ума! Потому что, всемогущее существо, делает всё это чудесным образом, а чудо и должно не мочь объясняться. Читать далее
"Парадокс влюблённых": Влюблённый парень считает из-за своей любви к девушке, влюблённую в него эту девушку. Читать дальше
Суть парадокса "Брадобрея" в попытке удаления из РПРП /РЯДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ/ понятия единичного частично дифференцированного из понятия множественного А /мнА - в котором каждое понятие единичного производит конкретное действие (бритьё в данном случае) на самого себя/ - БРАДОБРЕЯ - частичной интегрированностью с каждым из понятий единичных представ. Читать далее
Парадокс Рассела — открытая в Э. Цермело теоретико-множественная антиномия, демонстрирующая противоречивость наивной теории множеств Г. Кантора .
Антиномия Рассела формулируется следующим образом:
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.
, утверждение о существовании множества U невыводимо в этой теории, что и требовалось доказать.
Другой реакцией на открытие парадокса Рассела явился Варианты формулировок
Существует много популярных формулировок этого парадокса. Одна из них традиционно называется задачей (или парадоксом) брадобрея и звучит так:
Еще один вариант:
Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?
Понятие множество, строго не определено. Это слово имеет то же значение, что и слово набор элементов. Предполагается, что элементы множества обладают, общим для всех них, характеристическим свойством.
Пример характеристического свойства: быть книгой (для библиотеки), быть действительным числом (для множества R) , быть множеством (для множества множеств).
Подмножеством множества, называют множества, составленные хотя бы из части элементов множества. Множество без элементов называют пустым множеством. Множество является надмножеством для своего подмножества.
Всякое множество является своим подмножеством. Подмножество, совпадающее с множеством, и пустое множество именуют несобственными подмножествами. Остальные подмножества именуют собственными подмножествами.
Примеры логической формулы с одной переменной f(a) для А=<а(-R>:
a>5 (все элементы больше 5)
а f(B))
Если f(B) заменить на условие В (/-В , означающее, что В –обычное множество, не содержащее само себя, то аксиома будет иметь вид:
; В (А(-В В (/-В )
Так как это верно для любого В, то верно и для А. То есть, имеем противоречие: А принадлежит А, тогда, когда А не принадлежит А.
А(-А А (/-А
Можно сформулировать парадокс Рассела с помощью кванторов по-другому:
Существует множество А, состоящее из элементов-множеств а, таких, что множество а не принадлежит множеству а.
Определение такого множества: А=
Доказательство:
Докажем, что А принадлежит А . Докажем от противного:
Предположим А не принадлежит А, но тогда из определения объекта следует, что А принадлежит А. И предположение, что А принадлежит А истинно.
Предположим А не принадлежит А. Докажем от противного:
Тогда, из определения объекта следует, что А не принадлежит А. И предположение, что А не принадлежит А – истинно.Два взаимоисключающих утверждения - антиномия.
Можно доказать, что оба утверждения ложны:
Рассматриваемое множество, составленное из всех обычных множеств, не может быть обычным.
Предположим, что рассматриваемое общество обычно. (А не принадлежит А). Но его элементы – обычные множества. (а не принадлежит а)
Но это возможно только для необычных множеств. Принятое предположение, что А не принадлежит А и рассматриваемое общество обычно – неверно.
Рассматриваемое множество, составленное из всех обычных множеств, не может быть необычным.
Предположим, что рассматриваемое множество необычно (А принадлежит А). Тогда его элементы должны быть необычные множества (а принадлежат а). Но его элементы- обычные множества (а не принадлежат а), следовательно принятое предположение, что рассматриваемое общество необычно – неверно.
Таким образом, множество всех обычных множеств, не является ни обычным (А не принадлежит А), ни необычным (А принадлежит А). Два взаимоисключающих утверждения - антиномия.
Множество, составленное из необычных множеств, есть необычное множество. Так как и множество, и его элементы – необычные множества.
Примем иное предположение, что множество необычных множеств, есть обычное множество. Тогда, как обычное множество, оно не может состоять обычных множеств, но может состоять из множеств необычных. Это так и есть, и принятое предположение истинно.
Таким образом, множество всех необычных множеств одновременно и обычно и необычно, что является антиномией
Рассмотрим необычное множество – множество натуральных чисел.
Обозначим через N произвольно фиксированное натуральное число. Число N+1 называется числом, непосредственно следующим за числом N, а само N — непосредственно предшествующим числу N+1.
Число N разбивает множество натуральных чисел на два :
1. Множество (обычное) натуральных чисел меньших или равных N.
2. Множество (необычное) натуральных чисел больших N.
Рассмотрим множество, составленное из всех обычных множеств натуральных чисел, меньших и равных N.
Как было показано ранее, множество всех обычных множеств (обычное множество, когда его элементы - множества) не является ни обычным, ни необычным.
Следовательно, множество, составленное из всех обычных множеств, меньших и равных N, где N – любое натуральное число, не является ни обычным, ни необычным.
Аналогичным образом, множество, составленное из всех необычных множеств, больших N, где N – любое, сколь угодно большое, натуральное число, является одновременно и обычным, и необычным.
Существует множество прилагательных соответствующих своему смыслу. Примеры:
Прилагательное русское – русское.
Прилагательное трёхсложный – трёхсложное.
Такие прилагательные называют – гомологичными.
Большинство прилагательных своему смыслу не соответствуют.
Прилагательное сладкий – не сладкое.
Прилагательное красный – не красное.
Такие прилагательные относятся к классу гетерологичных прилагательных.
Рассмотрим, к каким прилагательным, гомологичным или гетерологичным, относится прилагательное гетерологичный?
Прилагательное гетерологичный не может относиться к классу гетерологичных прилагательных, так как совпадение названия своему смыслу имеет мест только для гомологичных прилагательных.
Прилагательное гетерологичный не может относиться к классу гомологичных прилагательных, так как несовпадение названия смыслу прилагательного возможно только для класса гетерологичных прилагательных.
Таким образом, прилагательное гетерологичный не является ни гомологичным ни гетерологичным.
Зададимся вопросом, к какому классу прилагательных относится прилагательное гомологичный?
Допустим, что гомологичный соответствует своему смыслу, тогда слово гомологичный - гомологичное прилагательное.
Допустим, что прилагательное гомологичный не соответствует своему смыслу, тогда слово гомологичный – гетерологичное прилагательное.
Таким образом, прилагательное гомологичный одновременно является и гомологичным и гетерологичным.
Множество всех гомологичных прилагательных вместе с прилагательным гомологичный, составляет множество, описываемое, словом гомологичный. Поэтому множество всех гомологических прилагательных образует необычное множество.
Множество всех гетерологичных прилагательных, без прилагательного гетерологичный, составляют множество, описываемое прилагательным гетерологичный. Но прилагательное гетерологичный отсутствует в множестве всех гетерологичных прилагательных, не является элементом рассматриваемого множества. Поэтому набор всех гетерологичных прилагательных является обычным множеством.
Рассмотренное показывает, что парадокс Греллинга превращается в частный случай парадокса Рассела, если рассматривать гетерологичные прилагательные, как обычные множества, а гомологичные – как необычные.
Рассматривая пару, противоположных по смыслу, прилагательных гамологично – гетерологично, замечаем, что антиномия возникает тогда, когда название прилагательного (гетерологично) и принцип, по которому производится классификация (квалификационный признак) не соответствуют друг другу.
Рассмотрим всё множество обычных множеств. Квалификационный признак обычных множеств – не быть элементом рассматриваемого множества.
Предположим, бесконечное множество обычных множеств не является элементом самого себя, то есть, его нет среди обычных множеств. То есть рассматриваемое множество необычно. Но если рассматриваемое множество необычно, то оно должно являться элементом самого себя, что противоречит квалификационному признаку.
Таким образом, бесконечное множество обычных множеств не соответствует рассматриваемым квалификационным признакам и не является не обычным ни необычным.
В тех же случаях, когда название (гомологично) и принцип, по которому производится классификация (соответствие квалификационному признаку), совпадают, то название можно отнести к любым из двух квалификационных групп.
Рассмотрим всё множество всех необычных множеств. Квалификационный признак необычных множеств – быть элементом рассматриваемого множества.
Бесконечное множество всех необычных множеств соответствует рассматриваемым квалификационным признакам и является одновременно и обычным и необычным.
Для доказательства, что этот парадокс является частным случаем парадокса Рассела, рассмотрим вспомогательный вариант, в котором действующим лицом выступает обычный человек.
У обычного человека, иногда лгущего, существуют ложные и правдивые (истинные) высказывания.
Множество, составленное из множества всех истинных высказываний – множество истинных высказываний.
Примем предположение, что обычное множество, составленное из всех истинных высказываний, есть множество ложных высказываний. Тогда, будучи обычным множеством всех ложных высказываний, оно не должно содержать в качестве элемента ложных высказываний, но должно содержать в качестве элементов только истинные высказывания. Но это так и есть, и принятое предположение истинно. Таким образом, множество всех истинных высказываний можно считать и множеством ложных высказываний.
Рассмотрим крайний случай рассмотренного парадокса, когда
человек (Лжец) лжет всегда.
Предполагается, что Всемогущий – это тот, кто всё может. В том числе, может создать и поднять камень любой массы
В условии предполагается, что Всемогущий может поднять любой камень. Квалификационный признак требует создание камня, который он не может поднять.
Для этого рассмотрим Могучего Волшебника, могущего создавать камни любой массы из ряда, где каждый отличается от соседнего на единицу массы. Но способного поднимать лишь камни, ограниченные массой N.
Множество камней произвольной массы из дискретного ряда, вплоть до камня массы N, которые может поднять волшебник, образуют необычное множество. Множество камней, которые он сможет создать, но не сможет поднять, образует необычное множество.
Если рассмотреть вариант, когда Могучий Волшебник – Всемогущий, то множество камней, которые может поднять Всемогущий, не имеет ограничения по массе камней. А множество камней, которые не может поднять волшебник – пусто.
Имеется полная аналогия с рассмотренным примером парадокса Рассела, заданном на множестве натуральных чисел
Множество всех обычных множеств камней, которых может поднять Всемогущий Волшебник - бесконечно, и содержит в качестве элемента самого себя. Поэтому оно не может быть обычным.
Предположим, что рассматриваемое множество всех обычных множеств - необычно. Тогда оно, чтобы быть элементом множества, состоящего из обычных множеств, само должно быть обычным. Принятое предположение, что рассматриваемое общество необычно – неверно.
И, как всякое множество всех обычных множеств, множество камней, которые может создать и поднять Всемогущий, не является ни обычным, ни необычным, образуя антиномию.
Множество камней, которые не может создать и поднять Всемогущий, – пустое множество. И как пустое множество, оно и обычно и необычно одновременно.
Обобщение парадоксов
Область определения:
1.Множества, 2.прилагательные, 3.множество жителей, 4.множество высказываний, 5. Дискретное множество камней
Квалификационный признак, разбивающий область определения на два парных типа:
1.Множество совпадает с элементом множества, 2.смысл и название прилагательных совпадают, 3.брить только, тех, кто бреется сам, 4. ложность высказывания, 5. создать камень и поднять камень массы М
Парные множества:
1.Обычное - необычное множество, 2.гетерологичное - гомологичное прилагательное, 3. житель бреется сам - житель бреется у брадобрея, 4.ложные и истинные высказывания, 5. Камни, которые можно поднять – камни, которые невозможно поднять.
Антиномия:
1. К какому типу (обычное - необычное) принадлежат множество всех обычных множеств
2. К какому типу (гетерологичное-гомологиченое) принадлежит прилагательное гетерологично - характеристика всех не определяющих себя прилагательных
3. К какому типу ( бреющиеся сами или бреющиеся у брадобрея) принадлежат все люди из множества людей посёлка
4. К какому типу (ложное или истинное) относится утверждение лжеца, что он лжет всегда 5.
5.К какому типу ( ложное или истинное) относится утверждение, что Всемогущий может создать и поднять камень любой массы.
Юрий, скажите пожалуйста, какую цель вы преследовали, опубликовав эту математику на литературном сайте? Тем более что всё это имеется тут же рядом, если войти на Википедию.
Вероника, я так полагаю, что Юрий Иванович, как ученый, предлагает это тем, у кого уже наступает старческий маразм, деменция. Такие упражнения для ума по мнению медицины нужны для тренировки мозга, чтобы не угас окончательно.
Жаль, что для меня уже поздно.
Портал Проза.ру предоставляет авторам возможность свободной публикации своих литературных произведений в сети Интернет на основании пользовательского договора. Все авторские права на произведения принадлежат авторам и охраняются законом. Перепечатка произведений возможна только с согласия его автора, к которому вы можете обратиться на его авторской странице. Ответственность за тексты произведений авторы несут самостоятельно на основании правил публикации и законодательства Российской Федерации. Данные пользователей обрабатываются на основании Политики обработки персональных данных. Вы также можете посмотреть более подробную информацию о портале и связаться с администрацией.
© Все права принадлежат авторам, 2000-2022. Портал работает под эгидой Российского союза писателей. 18+
Читайте также: