Операции над матрицами и их свойства кратко

Обновлено: 04.07.2024

Операции над матрицами; Всюду в этой главе есть фиксированное поле, которое будем называть полем скаляров. Элементы множества F будем называть скалярами.

Пусть — целые положительные числа. Таблицу

с элементами из F называют матрицей над полем или -матрицей над кратко обозначают через и пишут Если то матрицу А называют квадратной матрицей порядка . Множество всех -матриц над полем обозначается через . В частности, множество всех квадратных матриц над порядка обозначается через

Сохраним прежние обозначения для строк и столбцов матрицы А: строка матрицы А обозначается через

столбец матрицы обозначается через

Две -матрицы называют равными и пишут если для любых индексов t и

Матрица называется нулевой и обозначается через О, если все ее элементы равны нулю.

Суммой двух -матриц А и В называется -матрица, элемент которой равен т. е.

Произведением скаляра на матрицу называется -матрица обозначаемая через :

Для матрицы выполняется равенство

Поэтому матрицу обозначают также через называют противоположной матрице А.

Таким образом, мы предполагаем, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы В. Произведение строки на столбец определяется так:

Произведением матриц А и В называется -матрица, элемент которой равен т. е.

Итак, если есть -матрица и В есть -матрица, то АВ является -матрицей.

ТЕОРЕМА 1.1. Умножение матриц ассоциативно, т. е. для любых матриц А, В и , если произведения АВ и ВС существуют.

Доказательство. По условию, произведения АВ и ВС существуют. Поэтому можно считать, что . Следовательно, произведения А (ВС) и существуют и принадлежат множеству . Пусть элементы матриц Я и Я соответственно. Докажем, что для любых индексов i и k. В самом деле,

Следовательно, для любых индексов i и k, т. e.

ТЕОРЕМА 1.2. Операции над матрицами обладают следующими свойствами:

(6) умнозкение матриц ассоциативно;

(7) умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т. е. если произведение АВ и сумма существуют, и если произведение В А и сумма существуют;

(8) для любого скаляра К и любых матриц А, В

если произведение АВ существует,

Доказательство. Свойства (1)-(5) доказываются аналогично доказательству соответствующих свойств сложения векторов и умножения на скаляр векторов арифметических векторных пространств.

По теореме 1.1, умножение матриц ассоциативно.

Докажем, что умножение матриц дистрибутивно относительно сложения. Пусть . Легко проверить, что Отсюда следует, что суть -матрицы. Покажем, что элементы этих матриц равны, т. е. . В самом деле,

Следовательно, . Аналогично доказывается, что , если произведение и сумма существуют.

Для доказательства свойства (8) найдем элементы матриц :

Эти три выражения равны между собой в силу свойств сложения и умножения скаляров. Следовательно,

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы "Матрицы. Виды матриц. Основные термины".

Сложение и вычитание матриц.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Запись "$i=\overline$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Заданы три матрицы:

Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.

Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы $A$ равен $2\times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.

Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

$$ C=A+B=\left(\begin -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end \right)+ \left(\begin 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end \right)=\\= \left(\begin -1+10 & -2+(-25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end \right)= \left(\begin 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end \right) $$

Найдем матрицу $D=A-B$:

Ответ: $C=\left(\begin 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end \right)$, $D=\left(\begin -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end \right)$.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы $A_=(a_)$ на число $\alpha$ называется матрица $B_=(b_)$, где $b_=\alpha\cdot a_$ для всех $i=\overline$ и $j=\overline$.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Задана матрица: $ A=\left(\begin -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end \right)$. Найти матрицы $3\cdot A$, $-5\cdot A$ и $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end \right) =\left(\begin 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end \right)= \left(\begin -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end \right) =\left(\begin -5\cdot(-1) & -5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end \right)= \left(\begin 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end \right). $$

Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1\cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end \right)= \left(\begin 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end \right) $$

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы $A_=(a_)$ на матрицу $B_=(b_)$ называется матрица $C_=(c_)$, для которой каждый элемент $c_$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$: $$c_=\sum\limits_^a_b_, \;\; i=\overline, j=\overline.$$

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу $A_$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_$ на матрицу $B_$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_$ и $B_$ будет матрица $C_$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Заданы матрицы: $ A=\left(\begin -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end \right)$ и $ B=\left(\begin -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end \right)$. Найти матрицу $C=A\cdot B$.

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=\left(\begin c_ & c_ \\ c_ & c_ \\ c_ & c_ \end \right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: "Матрицы. Виды матриц. Основные термины", в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_$. Чтобы получить элемент $c_$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$$ c_=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Продолжим решение и найдем $c_$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

$$ c_=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Следующий элемент $c_$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Чтобы найти $c_$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$$ c_=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

И, наконец, для нахождения элемента $c_$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end \right)$. Или, если уж писать полностью:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end \right)\cdot \left(\begin -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end \right)=\left(\begin 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end \right). $$

Ответ: $C=\left(\begin 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end \right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

$$ \left(\begin 6 & 3 \\ -17 & -2 \end\right)\cdot \left(\begin 4 & 9 \\ -6 & 90 \end \right) =\left(\begin 6\cdot+3\cdot(-6) & 6\cdot+3\cdot \\ -17\cdot+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot+(-2)\cdot \end \right) =\left(\begin 6 & 324 \\ -56 & -333 \end \right) $$

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза "домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа" означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Транспонированная матрица.

Транспонированной по отношению к матрице $A_=(a_)$ называется матрица $A_^=(a_^)$, для элементов которой $a_^=a_$.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_$:

Соответственно, если исходная матрица имела размер $3\times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5\times 3$.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $\alpha$, $\beta$ – некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

$A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
$A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
$(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
$\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
$A(BC)=(AB)C$
$(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
$A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
$A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.
$A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, где $O$ – нулевая матрица соответствующего размера.
$\left(A^T \right)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(AB)^T=B^T\cdot A^T$
$\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Лекция 1. «Матрицы и основные действия над ними. Определители

Определение. Матрицей размера m  n , где m - число строк, n - число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a _ij , где i - номер строки, а j - номер столбца.

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

называется единичной матрицей.

Определение. Если a _mn = a _nm , то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =  А   В А(  ) =  А   А

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно , т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А  Е = Е  А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A  O = O ; O  A = O ,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

 ( AB ) = (  A ) B = A (  B ).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение В Т А Т и выполняется равенство:

(АВ) Т = В Т А Т , где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA  detB.

Что такое det будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

другими словами, b _ji = a _ij .

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

( ABC ) T = C T B T A T ,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти А Т В+  С.

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

ВА =  = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…, n . (3)

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a ₁ _k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a _ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

Свойство 2. det ( A  B) = det A  det B.

Свойство 3. det ( AB ) = detA  detB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d ₁  d ₂ , e = e ₁  e ₂ , f = f ₁  f ₂ , то верно:

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A  det B = -26.

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Решение. Так как матрицы $A$ и $B$ равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Ответ. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Задание. Пусть $A=\left( \begin \\ \end\right)$. Найти матрицу $2A$.

Ответ. $2 A=\left( \begin \\ \end\right)$

Подробная теория про умножение марицы на число по ссылке.

Сумма матриц

Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица $C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы $A$, $B$ и $C$ - матрицы одного размера.

Ассоциативность $(A+B)+C=A+(B+C)$
$A+\Theta=\Theta+A$, где $\Theta$ - нулевая матрица соответствующего размера.
$A-A=\Theta$
Коммутативность $A+B=B+A$
Дистрибутивность $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$
$(\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A$
$(\lambda \mu) A=\lambda(\mu A)$

Произведение двух матриц

Произведением матрицы $A_$ на матрицу $B_$ называется матрица $C_$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце, т.е. элемент $C_$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.

Решение. Так как $A=A_$, а $B=B_$, то в результате получим матрицу размера $C=C_$, т.е. матрицу вида $C=\left( \begin> \\ >\end\right)$ . Найдем элементы данной матрицы:

$c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+2 \cdot 2+0 \cdot 3=5 $ $c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+1 \cdot 2+(-1) \cdot 3=2 $

Таким образом, получаем, что:

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

Ответ. $C=A B=\left( \begin \\ \end\right)$

Свойства произведения матриц:

Ассоциативность $(A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C)$
Ассоциативность по умножению $(\mu \cdot A) \cdot B=\mu \cdot(A \cdot B)$
Дистрибутивность $A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C$ , $(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C$
Умножение на единичную матрицу $E_ \cdot A_=A_ \cdot E_=A_$
В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $A B \neq B A$
$E A=A$

Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Задание. Найти транспонированную матрицу $A^$, если $A=\left( \begin & & \\ & & \end\right)$

Читайте также: