Межпредметные связи на уроках математики кратко

Обновлено: 28.06.2024

При реализации федеральных государственных стандартов второго поколения приоритетом образования становится формирование общеучебных умений и навыков, а также способов деятельности, уровень освоения которых в значительной мере предопределяет успешность всего последующего обучения. В настоящее время все более актуальным в образовательном процессе становится использование в обучении приемов и методов, которые формируют умения самостоятельно добывать новые знания, собирать необходимую информацию, выдвигать гипотезы, делать выводы и умозаключения. Овладение учащимися универсальными учебными действиями создают возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений и компетентностей, включая организацию усвоения, то есть умения учиться.

Важную роль в их развитии играют межпредметные связи. Они способствую лучшему формированию понятий внутри отдельных предметов, групп и систем, так называемых межпредметных понятий, то есть таких, полное представление о которых невозможно дать учащимся на уроках какой-либо одной дисциплины. Необходимость связи между учебными предметами диктуется также дидактическими принципами обучения, воспитательными задачами школы, связью обучения с жизнью, подготовкой учащихся к практической деятельности.

Осуществление межпредметных связей помогает формированию у учащихся цельного представления о явлениях природы и взаимосвязи между ними и поэтому делает знания практически более значимыми и применимыми, это помогает учащимся те знания и умения, которые они приобрели при изучении одних предметов, использовать при изучении других предметов, дает возможность применять их в конкретных ситуациях, при рассмотрении частных вопросов, как в учебной, так и во внеурочной деятельности, в будущей производственной, научной и общественной жизни выпускников школы.

При осуществлении межпредметных связей в обучении математике важное значение имеют отбор для уроков математики материала, привлекаемого из курсов других учебных дисциплин, и методика его использования. Отбирая для своих уроков сведения, которые учащиеся получают при изучении различных предметов, ориентируюсь, прежде всего, на программу и на то, как, в каком объеме эти вопросы рассмотрены в соответствующих школьных учебниках.

Высокому уровне сформированности у учащихся информационно познавательных УУД способствует обращение на уроках математики к справочникам и дополнительной литературе, поиск информации в Интернете. Интересную информацию, найденную учащимися, активно использую при выполнении различных творческих заданий. Например: выполните действия, запишите в таблицу букву, соответствующую полученному результату. Полученное слово означает название самого короткого в мире алфавита. В нем насчитывается 11 букв, и он используется жителями Папуа Новой Гвинеи. Сколько букв содержится в русском алфавите? Где расположена Новая Гвинея? Такими и подобными вопросами выявляю у обучающихся различные межпредметные знания.

Математика и литература

Я полностью согласна с высказыванием Вейерштрасса “Математик, который не является отчасти поэтом, никогда не достигнет совершенства в математике”.

Сказка, поэзия… Казалось бы, сказка и математика – понятия несовместимые. Яркий сказочный образ и сухая абстрактная мысль! Но сказочные задачи усиливают интерес к математике. Это очень важно для учащихся 5-6 классов. Учитывая это, даю учащимся домашние творческие задания. В прошлом году ребята писали замечательные сказки : “Математическое королевство”, “Страна положительных чисел”, “Алиса в Дробном царстве”. В этом году очень интересными получились сочинения на темы: “ За что я люблю или не люблю математику”, “Математика в профессии моих родителей”, “Этот прекрасный геометрический мир”.

Математика и русский язык

Математика и история

С большим интересом ребята решают задачи исторического характера. Одна из них представлена на слайде. Дома ребятам предлагаю на основе современных статистических данных составить задачу, характерную для нашего времени.

Математика и биология

Межпредметная связь математики и биологии ярко прослеживается при изучении темы прогрессии. Учащиеся с интересом находят примеры чисел Фибоначи в строении различных растений и животных и представляют результаты своих исследований на интегрированном уроке математика+ биология. На таких уроках использую видеофрагменты, показывающие удивительную красоту математики и ее связь с окружающим миром.

Проблема меж предметных связей интересовала педагогов еще в далеком прошлом. В России значение меж предметных связей обосновывали В.Ф. Одоевский, К.Д. Ушинский.

Межпредметные связи на уроках математики.

Проблема меж предметных связей интересовала педагогов еще в далеком прошлом. В России значение меж предметных связей обосновывали В.Ф. Одоевский, К.Д. Ушинский и другие педагоги, они подчеркивали необходимость взаимосвязей между учебными предметами для отражения целостной картины мира, природы "в голове ученика", для создания истинной системы знаний и миропонимания.
Необходимость связи между учебными предметами диктуется также дидактическими принципами обучения, воспитательными задачами школы, связью обучения с жизнью, подготовкой учащихся к практической деятельности.

Одним из наиболее полных определений, является следующее: межпредметные связи есть педагогическая категория для обозначения синтезирующих, интеграционных отношений между объектами, явлениями и процессами реальной действительности, которые отражены в содержании, формах и методах учебно-воспитательного процесса и выполняют образовательную, развивающую и воспитательную функции.

Увеличение нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддерживать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим, ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые могли бы активизировать мысли учащихся, стимулировали бы их к овладению знаниями.

Необходимо побеспокоиться о том, чтобы на уроках каждый учащийся работал активно и заинтересованно, использовать это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса. Необходимо постараться раскрыть захватывающие стороны математики, а результаты будут успешными только тогда, когда введение в область математических знаний происходит в легкой и доступной форме.

Важная роль здесь отведена межпредметным связям на уроках. Межпредметные связи обучают, развивают и воспитывают одновременно.

Математика и русский язык

Одна из важнейших целей, присутствующих на любом уроке – научить детей правильно говорить и грамотно писать. На уроках математики необходимо обратить особое внимание на реализацию этой цели. Следует требовать от учеников правильного написания математических терминов, четкого обоснования выполняемых действий, постоянного повторения правил и формулировок теорем, грамотной речи при устной работе. Была мысль, предложить детям завести специальные словарики, в которых они будут писать математические термины, обращать внимание на грамотность. Но так пока и не завели, но иногда дети пишут словарные диктанты. Эту форму работы провожу в 5-6 классах, когда внимание еще недостаточно развито и ученики допускают много ошибок.

Математика и литература

Установлено, что школьники быстро и легко запоминают рифмованные строчки правил и определений. Например,

Вам стишок читаю новый,

Кто запомнит – молодец.

У ОТРЕЗОЧКА любого

Есть начало и конец.

Переместительное свойство сложение

Если а сложить и в

Вот что получается

Переставим а и в,

Сумма не меняется.

Казалось бы, сказка и математика – понятия несовместимые. Яркий сказочный образ и сухая абстрактная мысль! Но сказочные задачи усиливают интерес к математике. Учитывая это, даю учащимся домашние творческие задания. В прошлом году ребята писали замечательные сказки : “ Счастливая сказка.”, “ Поучительное путешествие.”, “ Мистер Пи.”.

Математика и история

Реализация связи истории с математикой способствует не только возникновению и поддержанию интереса на уроке, но преследует более важную цель: формирование мировоззрения и общей культуры учащихся.

Любое единичное высказывание, любой единичный факт, имеющий непосредственное отношение к истории математики (например, биографическая справка, цитирование первоисточника, демонстрация портретов математиков).

На уроках также можно решать рассматривать исторические задачи –математические задачи, которые привлекают к себе внимание многих математиков на протяжении продолжительного периода времени (например, знаменитые задачи древности). Среди исторических задач также выделяются именные задачи.

Кроме исторических задач встречаются старинные задачи. Под старинными задачами понимают задачи из исторических математических источников, начиная с древнеегипетских математических папирусов и заканчивая сборниками отечественных старинных задач. Обычно такие задачи вызывают интерес, поскольку несут в себе полезную информацию практического и исторического характера.

Межпредметная связь математики и биологии ярко прослеживается при изучении темы прогрессии. Учащиеся с интересом находят примеры чисел Фибоначчи в строении различных растений и животных.

Математика и физика.

Пример 4. Загадка.

Нас трое в треугольнике любом.

Предпочитая золотые середины,

Мы центр тяжести встречаем на пути,

Ведущем прямо из вершины.

Как нас зовут? (Медианы).

Чтобы разгадать эту загадку ученики должны не только вспомнить определение медианы из курса геометрии, но и использовать сведения о том, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан, а это применяется чаще в физике, чем в математике. Таким образом, налицо реализация межпредметных связей математики не только с литературой, но и с физикой.

Математика и музыка.

Как звучит число ПИ.

Почти все настоящие композиторы и музыканты понимали, что в основе музыки лежит математика. И им было известно, что длительности одной ноты отвечает определенная обычная дробь.

Математика и информатика.

Задача учителя на этих уроках — сформировать у ученика информационную компетентность, умение преобразовывать на практике информационные объекты с помощью средств информационных технологий. Эти уроки также позволяют показать связь предметов, учат применять на практике теоретические знания, отрабатывают навыки работы на компьютере, активизируют умственную деятельность учеников, стимулируют их самостоятельному приобретению знаний. На таких уроках каждый ученик работает активно и увлеченно, у ребят развивается любознательность, познавательный интерес.

Математика и география.

В 6 классе учащиеся приступают к изучению курса географии, и я использую знания учащихся на своих уроках по темам: "Масштаб", "Графики". Так, при изучении темы "Масштаб" мы работаем по географической карте Беларуси, выполняя практическую работу: "Определить расстояние на местности от Минска до областных центров Беларуси, измерив его на карте". По темам "Диаграммы" и "Графики" предлагаю учащимся решить ряд задач с географическим содержанием, позаимствовав их из учебников географии шестого и седьмого классов. Интерес учащихся при изучении данных тем очень высок.

Учащиеся так же выполняли практическую работу по определению расстояния между двумя пунктами, изображёнными на топографических картах с разными масштабами.

Использование межпредметных связей позволяет актуализировать субъектный опыт школьников. Ранее приобретенные знания на других предметах и в повседневной жизни, становятся востребованными на уроках математики. Можно реально показать значимость этих знаний, тем самым, формируя у школьников потребность в их пополнении и расширении.

Выявление и последующее осуществление необходимых и важных для раскрытия ведущих положений учебных тем межпредметных связей позволяет:

- формировать познавательные интересы учащихся средствами самых различных учебных предметов;

-осуществлять творческое сотрудничество между учителями и учащимися;
-изучать важнейшие мировоззренческие проблемы и вопросы современности средствами различных предметов и наук в связи с жизнью.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Межпредметные связи в обучении математики

как средство повышения качества подготовки учащихся к государственной итоговой аттестации

Межпредметные связи в обучении математике являются важным средством достижения прикладной направленности обучения математике. Возможность подобных связей обусловлена тем, что в математике и смежных дисциплинах изучаются одноименные понятия (векторы, координаты, графики и функции, уравнения и т.д.), а математические средства выражения зависимостей между величинами (формулы, графики, таблицы, уравнения, неравенства) находят применение при изучении смежных дисциплин. Такое взаимное проникновение знаний и методов в различные учебные предметы имеет не только прикладную значимость, но и создает благоприятные условия для формирования научного мировоззрения.

С дидактических позиций реализация межпредметных связей предполагает использование фактов и зависимостей из других учебных дисциплин для мотивации введения, изучения и иллюстрации абстрактных математических понятий, формирования практических навыков. Проблеме реализации межпредметных связей математики с другими науками в настоящее время посвящено много работ. Некоторые из них содержат методические рекомендации по реализации межпредметных связей на уроках математики, другие – материал межпредметного характера, который может быть использован учителями в своей работе. Можно выделить основные направления реализации межпредметных связей математики с другими науками.

Изучение всех предметов естественнонаучного цикла взаимосвязано с математикой. Математика дает учащимся систему знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности человека, а также важных для изучения смежных дисциплин (физики, химии, черчения, трудового обучения, астрономии и др.). На основе знаний по математике у учащихся формируются общепредметные расчетно-измерительные умения. При изучении смежных дисциплин раскрывается практическое применение получаемых учащимися математических знаний и умений, что способствует формированию у учащихся научного мировоззрения, представлений о математическом моделировании как обобщенном методе познания мира.

В курсе алгебры 7-9 классов последовательность расположения тем обеспечивает своевременную подготовку к изучению физики. Например, при изучении равноускоренного движения используются сведения о линейной функции, при изучении электричества – сведения о прямой и обратной пропорциональной зависимости. При изучении физики целенаправленно применяются понятия пропорции, вектора, производной, функций, графиков и др. Знания о процентах и умения решать уравнения используются в курсе химии. Таким образом, начиная изучать новый предмет, ученики уже имеют необходимый математический аппарат для решения задач из смежных дисциплин.

Однако существует и обратная связь. Привлечение знаний о масштабе и географических координатах из курса физической географии позволяет на уроках математики наполнить конкретным содержанием абстрактные математические понятия.

Реализация межпредметных связей может быть осуществлена различными путями. Одним из наиболее эффективных способов достижения данной цели является решение прикладных задач из смежных дисциплин, позволяющих продемонстрировать учащимся применение математических методов для решения задач из других предметных областей. В качестве примера можно рассмотреть следующее задание.

Пример 1. Через какое время тело, брошенное вверх со скоростью 20 м/с, достигнет высоты 15 м? Может ли оно достичь 25 м?

Решение. Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v движется по закону S=vt-gt2/2. Принимая приближенно g=10 м/с2, имеем формулу S=vt-5t2. Подставляя известные данные, получаем квадратное уравнение:

Решая данное уравнение, получаем ответ t=1с, t=3с.

Для ответа на второй вопрос вместо S подставим значение 25м. Полученное квадратное уравнение

не имеет корней, а, следовательно, нет такого значения времени t, при котором тело достигло бы высоты 25 м.

Решение данной задачи на уроке физики невозможно без умений решать квадратные уравнения, но и решение этой задачи на уроке математики требует от учеников знания основных физических формул, умений анализировать процессы, описанные в задаче. В частности, при решении первой части задачи, получилось два ответа. Почему? Ответ окажется очень простым, если вспомнить, что тело, брошенное вверх, достигнув определенной высоты, начинает падать. Поэтому тело оказывается на высоте 15м дважды: первый раз, когда оно движется вверх, и второй раз – когда оно падает.

Задачи подобного рода представляют большую ценность, поскольку позволяют продемонстрировать значимость математического материала для изучения других наук.

Другой способ реализации межпредметных связей заключается в том, что учитель приводит примеры из других учебных предметов, показывая, таким образом, ученикам, где еще можно встретить изучаемый материал.

Пример 2. Неравенства можно встретить не только в математике. В курсе физики учащиеся знакомятся с понятием силы Архимеда. Условия, при которых тело плавает на поверхности жидкости или тонет, записывается с помощью следующих неравенств:

1. FA > mg ( тело плавает)

где FA - сила Архимеда,

mg – сила тяжести.

Перечисленные выше примеры показывают связь математики с предметами естественно-математического цикла, но это не означает, что невозможно осуществить связь математики с другими предметами, в частности, с предметами общественно-гуманитарного цикла. Покажем на примерах, как можно реализовать связь математики с историей, литературой и русским языком.

Использование на уроках математики материала из художественных произведений, имеющего отношение к предмету, цитат известных людей о необходимости изучения математики позволяет внести в урок элементы занимательности и продемонстрировать связь математики с таким важным школьным предметом, как литература.

Пример 3. Живой человеческий характер Толстой представлял в виде дроби, в числителе которой были нравственные качества личности, а в знаменателе – ее самооценка. Чем выше знаменатель, тем меньше дробь, и наоборот. Чтобы становиться совершеннее, нравственно чище, человек должен постоянно увеличивать, наращивать числитель и всячески укорачивать знаменатель.

Нередко на уроках математики учителя используют дидактические стихи и сказки, которые несут с собой различные функции: контроля, обучающие, мировоззренческую. Например, сказка, в которой главный герой убеждается в необходимости изучения той или иной темы или математики вообще, может способствовать формированию мировоззрения. Стихи-загадки, или сказки-вопросы позволяют проконтролировать знания учеников по изучаемой теме. А стихи и сказки, в которых герои открывают для себя новые факты, способствуют изучению нового материала.

Пример 4. Загадка.

Нас трое в треугольнике любом.

Предпочитая золотые середины,

Мы центр тяжести встречаем на пути,

Ведущем прямо из вершины.

Из всех предметов общественно-гуманитарного цикла, изучаемых в школе, культурную значимость содержанию математики и ее методам исследования придает, несомненно, история.

В методической литературе встречаются упоминания о различных средствах историзации, однако, наиболее полно этот вопрос раскрывается в статье Е.С. Поляковой и Ю.В. Романова. Рассмотрим предложенные ими средства историзации, которые наиболее часто встречаются на уроках математики.

Пример5. Из истории хорошо известно, что в Древнем Египте было развито земледелие. Для построения прямого угла землемеры использовали следующий прием. Веревку узелками делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем ее растягивали на земле так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол, лежащий напротив стороны с 5 делениями был прямой. В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц называют египетским.

На этом примере исторической справки показано, как математические знания появляются из практических нужд человека и затем используются людьми для решения практических задач.

При изложении математической темы обычно используют не отдельные элементы историзма, а их систему, органично включенную в основное содержание. В связи с этим необходимо рассмотреть следующие средства историзации.

Еще одно средство историзации – это историческая беседа, которая представляет собой обмен мнениями об историко-математических фактах, который может проходить в виде собеседования, дискуссии, доклада с обсуждением его тематики.

В случае, когда к математическому объекту добавляется исторический факт, говорят об историзме в математическом понятии, формуле, теореме, задаче и др. математических объектах. Математические объекты, которым присвоены имена ученых, называют именными. Их изучение целесообразно сопровождать историческими экскурсами, включающими элементы биографии ученых.

Поскольку задачи представляют собой математические объекты, с которыми приходится наиболее часто иметь дело на уроках математики, остановимся более подробно на историзме в математической задаче.

Историзм в математической задаче имеет место тогда, когда к условию задачи добавляется исторический факт (включенный в текст задачи или дополнительно).

Исторические задачи – это математические задачи, которые привлекают к себе внимание многих математиков на протяжении продолжительного периода времени (например, знаменитые задачи древности). Среди исторических задач также выделяются именные задачи.

Кроме исторических задач в методической литературе встречаются старинные задачи. Под старинными задачами понимают задачи из исторических математических источников, начиная с древнеегипетских математических папирусов и заканчивая сборниками отечественных старинных задач. Обычно такие задачи вызывают интерес, поскольку несут в себе полезную информацию практического и исторического характера.

Еще одним средством историзации являются хронологические таблицы, которые в понимании авторов представляют собой систему историко-математических фактов, построенную последовательно и характеризующую основные этапы развития в историческом времени какого-либо математического события, понятия, теоремы, жизни и творчества ученого.

Источником историко-математического материала является литература по истории математики. Историзированные учебники и учебные пособия также относятся к важным средствам историзации.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод: существует большое разнообразие направлений реализации межпредметных связей математики с другими науками. Их использование учителем на уроке является несомненным достоинством и способствует более полной реализации целей изучения математики в школе.

Процесс познания учащимися протекает под руководством учителя, что еще раз подчеркивает различие видов их деятельности.

При использовании межпредметных связей многообразие видов деятельности учащихся можно объединить в три группы:

1. Учащиеся умеют привлекать и привлекают понятия и факты из родственных дисциплин для расширения поля применимости теории, изучаемой в данном предмете;

2. Учащиеся умеют привлекать и привлекают теории, изученные на уроках других предметов, для объяснения фактов, рассматриваемых в данной учебной дисциплине;

3. Учащиеся умеют привлекать и привлекают практические умения и навыки, полученные на уроках родственных дисциплин, для получения новых экспериментальных данных.

Методику обучения учащихся по использованию межпредметных связей в учебной деятельности можно представить состоящей из трех ступеней. На первой ступени (условно названной воспроизводящей) основная цель учителя – приучить учащихся использовать знания, полученные в естественнонаучных дисциплинах. Эта ступень может быть разбита на три этапа:

Первый этап . Организация учителем процесса повторения учащимися необходимых сведений из соответствующих дисциплин.

Второй этап. Объяснение нового учебного материала учителем с использованием фактов и понятий из какого-либо одного учебного предмета для подтверждения рассматриваемых теоретических положений.

Третий этап . Изложение нового материала, при котором учителем привлекается естественнонаучная теория из смежной дисциплины для объяснения рассматриваемых явлений.

Как показывает практика, очень важно, чтобы учитель пробудил у каждого ученика чувства удивления и восхищения, которые можно вызвать, используя исторический материал.

Одной из главных и приоритетных тенденций современного образования является создание так называемых межпредметных связей при изучении отдельных циклов школьных предметов.

Естественно, что данное направление не могло не затронуть и всего комплекса естественно-математических наук. В частности, это хорошо заметно при изучении отдельных тем, входящих в состав учебников по тем или иным дисциплинам. В тесном единстве с химией изучается биология, с географией – экология (мы видим это в частичном совпадении тем этих предметов или при использовании материала одного школьного предмета в целях прочного усвоения другого). Физика же в свою очередь старается в максимальной степени использовать аппарат математики, а та ей его просто-напросто в полном объёме предоставляет.

Как ни странно, но математика вступает в самые тесные межпредметные связи лишь с физикой (это мы замечаем при работе с учебниками математики для общеобразовательных школ). И ведь это действительно так! Стоит только открыть учебник, например, "Алгебра и начала анализа 10-11" под редакцией А.Н.Колмогорова, как сразу же обнаруживаешь эту связь. Те же приложения производной (например, пример №2 на стр.135 этого учебника: "Пусть зависимость координаты точки, движущейся по прямой, от времени выражается формулой , где и – постоянные. Найдём скорость и ускорение движения."), определённого интеграла (пример №3 на стр.191: "Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу на произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?"), дифференциальных уравнений (к примеру радиоактивный распад вещества, о котором говорится на стр. 253) и так далее. Подобное наблюдается и в учебниках для 7-9 классов. Таких примеров можно приводить бесконечно много, и все они сводятся к возникновению вопроса: "Почему же не нашлось таких узловых моментов, которые бы объединили математику со всем спектром естественных наук, изучаемых в рамках общеобразовательной школы?". А ведь они существуют, но не учитываются при написании новых учебников математики. Или просто-напросто нет таких специалистов, которые довольно хорошо владеют всеми этими науками (ведь как известно, все учителя математики в своё время закончили физико-математические факультеты ВУЗов, поэтому для них математика и физика это два "родных" предмета)?

Нет, для обеспечения целостного педагогического процесса, для реализации прикладной направленности в изучении математики всё же необходимо найти ту "ниточку", тот "порожек", с помощью которого можно было бы осуществить и преодолеть сложившееся недоразумение. А в частности, внедрить и показать значимость математики не только для самой себя и физики, но и для других школьных предметов естественного цикла. А показать всю значимость можно лишь при решении определённо поставленных задач практического характера. Тем самым мы сможем в максимальной степени привести в исполнение один из основных дидактических принципов – СВЯЗЬ НАУКИ С РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНЬЮ.

И всё это в руках учителя (прежде всего в его), а уж потом дело стоит за авторами учебной литературы! Поэтому любому учителю просто необходимо находить и составлять задачи такого характера и как можно чаще использовать их на своих уроках. Приведём в качестве примера некоторые из них.

Например, к повторению темы "Системы уравнений" в 9 классе можно приурочить решение следующей задачи из области химии.

Задача 1. Смесь карбонатов калия и натрия массой 7 грамм обработали серной кислотой, взятой в избытке. При этом выделился газ объёмом 1,344 литра. Определите массовые доли карбонатов в исходной смеси.

Решение. Для решения необходимо знать лишь основные формулы, применяемые в химии (, – количество вещества, m – масса вещества, M – молярная масса вещества; для газов – , – количество вещества, V – объём газа, V₀= 22,4л/моль ; массовая доля вещества в смеси – ) и правильность написания хода реакций (которые можно уточнить у учителя химии).

Запишем реакции взаимодействия карбонатов с кислотой:

(где Na₂CO₃ – карбонат натрия, K₂CO₃ – карбонат калия, H₂SO₄ – серная кислота, Na₂SO₄ – сульфат натрия, K₂SO₄ – сульфат калия, CO₂ – углекислый газ, H₂O – вода).

Зная молярные массы карбонатов (из периодической таблицы, которые также можно узнать от учителя химии): M_(Na2CO3) = 106г/моль и
M_(K2CO3) = 138г/моль, а также количество вещества углекислого газа , можно составить систему.

Пусть x моль – количество вещества карбоната натрия, тогда x моль – количество вещества углекислого газа, полученного в реакции (1) (т.к. коэффициенты в уравнении перед карбонатом натрия и углекислым газом совпадают).

Пусть y моль – количество вещества карбоната калия, тогда y моль – количество вещества углекислого газа, полученного в реакции (2).

В силу того, что массовая доля всего углекислого газа нам известна, то можем составить первое уравнение системы: x + y = 0,06.

Нам известны молярные массы карбонатов, количества веществ, то можем найти их массы: 106x (г) – масса карбоната натрия, 138y (г) – масса карбоната калия. А в силу того, что масса смеси карбонатов нам известна, то можем составить второе уравнение системы: 106x + 138y = 7.

Получаем и решаем систему:

Таким образом, имеем: _(Na2CO3) = 0,04 моль, _(K2CO3) = 0,02 моль, следовательно, m_(Na2CO3) = 4,24 г, m_(K2CO3) = 2,76 г.

Ответ: массовая доля карбоната натрия в смеси равна 60,6 %, а массовая доля карбоната калия – 39,4%.

Помимо решения системы уравнений, учащиеся сталкиваются с подсчётом процентов, что играет немаловажную роль при закреплении данного понятия.

Данная задача может быть предложена как на уроках математики, так и на уроках химии.

Возможны задачи на использование понятия производной функции, которые реализуют связь между математикой и биологией. Одна из таких задач – задача о нахождении наибольшего значения численности популяций микроорганизмов.

Задача 2. В среду с определёнными условиями существования вносят популяцию из 100 бактерий. Численность популяции возрастает по закону: , где t выражено в часах. Найти максимальный размер этой популяции до момента её угасания.

Решение. Найдём производную от функции z(t):

, но – 1 не удовлетворяет условию задачи, значит необходимо рассмотреть поведение производной функции в окрестности точки 1.

Видно, что 1 – точка максимума.

А это и говорит о том, что в момент времени t = 1 (час) популяция достигнет своего наибольшего значения (будет иметь максимальный размер).

Ответ: 150 бактерий.

Хороши задачи на нахождение приращений функции и дифференциалов. Вот одна из них.

Задача 3. При изучении свойств концентрированной серной кислоты учитель поместил медный кубик с ребром 5 см в раствор кислоты. Через некоторое время масса кубика уменьшилась на 0,96 г. Требуется определить, на сколько уменьшились размеры куба, то есть, на сколько укоротилось его ребро, если плотность меди равна 8 г/см 3 . (Медь переходила в раствор с каждой грани равномерно).

Решение. Т.к. медь переходит в раствор с каждой грани равномерно, то в определённый момент реакции в кислоте будет присутствовать куб, но уже меньших размеров.

Пусть х – ребро куба, тогда объём куба равен V = x 3 . Т.к. , то изменение объёма куба см 3 . Считая приближённо – изменение длины ребра куба) и учитывая, что , имеем: .
Следовательно, (см).

Ответ: 0,0016 см.

Неоспоримый положительный эффект достигается при решении задач по применению показательной функции. Например, подобные задачи можно рассматривать при нахождении температурного коэффициента скорости химической реакции (а также всего того, что непосредственно связано с ним). Из химии известна формула: , где – температурный коэффициент, и – время реакции при температурах t₁ и t₂, и – скорости реакций, выражается в секундах.

Задача 4. При температуре t₁ реакция протекает за 25 минут, а при температуре t₂ – за 4 минуты. Рассчитайте разницу между температурами t₁ и t₂, если температурный коэффициент реакции равен 2,5.

Решение. В силу того, что (минут) = 1500 (секунд), а (минуты) = 240 (секунд), имеем .

Тогда (т.е. задача свелась к решению простейшего показательного уравнения).
Отсюда: .

Ответ: 20 0 .

Учащимся можно предложить задание на нахождение области значения некоторой функции, например, при решении экологических задач.

Задача 5. Смена в некоторой экологической системе подчиняется принципам периодичности и цикличности (луг – болото, болото – луг). Нам известен закон, по которому она происходит: , где t – время. Требуется найти размах между циклами смены (т.е. найти разницу между положениями "болото" и "луг" на графике функции h(t)).

Решение. Для определённости будем считать, что наибольшему значению функции h(t) соответствует положение "луг", а наименьшему – "болото".

Преобразуем функцию h(t): . Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения данной функции, необходимо отыскать её область значений.

В силу того, что , то . Сл. где 8 – наибольшее значение функции ("луг"), а 6 – наименьшее ("болото").

Тогда размах равен 8 – 6 = 2.

А при рассмотрении определённого интеграла интересным будет решить задачу следующего содержания.

Задача 6. Известно, что скорость химической реакции может быть выражена следующей формулой , где t – время (в минутах), в течении которого идёт реакция. Требуется найти массу (в граммах) вступившего в реакцию вещества за промежуток времени [4; 16].

Решение. Известно, что , где – приращение массы вещества, вступившего в реакцию, соответствующее приращению времени . Таким образом, данный предел – производная от массы по времени.

В нашем случае известна функциональная зависимость скорости реакции от времени. Тогда массу вещества, вступившего в реакцию можно вычислить по формуле: , где [t₀; T] – промежуток времени, за который идёт реакция.

Требуется найти массу вступившего в реакцию вещества на промежутке времени от 4 до 16 минут. Тогда t₀ = 4, а T = 16.

Окончательно имеем: (г).

Ответ: 4 г.

При знакомстве с дифференциальными уравнениями учащимся можно предложить задачу эколого-биологического характера.

Задача 7. Какая популяция живых организмов развивается со скоростью возрастания численности элементов популяции, пропорциональной числу особей, входящих в неё. Найти закон развития популяции, если в начале наблюдения число элементов равно N₀ = 10, а через 10 минут
N = 100.

Решение. Пусть x – количество элементов популяции, имеющихся в данный момент. Тогда согласно условию задачи получим уравнение: , где k – коэффициент пропорциональности (k > 0, т.к. численность особей увеличивается).

Следовательно, . Почленно интегрируем полученное равенство: , где lnC – произвольная константа интегрирования.

В нашем случае x = N, C = N₀, t = 10 (мин) = (ч).

Тогда . Найдём . Окончательно имеем: N = N₀ . 10 6t – закон развития популяции (время выражено в часах). Данная популяция – бактерии.

Ответ: бактерии; N = N₀ . 10 6t .

Ряд подобных задач можно продолжить и далее, но мы ограничились лишь уровнем старшей школы (хотя первая задача относится к 9 классу), т.к. к данному моменту учащиеся в полной мере владеют основами математического анализа, позволяющим разрешить многие прикладные задачи.

И как было упомянуто вначале статьи, вся инициатива в подборе упражнений лежит на плечах учителя. Он должен стараться на своих уроках интегрировать материал математики и естественных дисциплин для прочного усвоения учебного материала учащимися. Благодаря таким задачам, мы можем формировать познавательный интерес у школьников не только к своему предмету, но и к предметам своих коллег. Должны по возможности объединяться с другими учителями, чтобы дать интересный интегрированный урок. И пусть это будет не только сочленение математики с физикой (как чаще всего бывает), но и с химией, биологией, экологией и т.д.

Чем больше прикладной направленности мы можем внести в интегрированный урок, тем эффективнее будет реализовываться один из основных дидактических принципов – связь науки с реальной жизнью. Создавая межпредметные связи, мы будем доказывать учащимся то, что математика не существует сама по себе и сама для себя, а она призвана быть центральным звеном всех естественных наук.

Читайте также: