Математичность науки ее прагматичность кратко

Обновлено: 04.07.2024

МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ — процесс применения понятий и методов математики в естественных, технических и социально-экономических науках для количественного анализа исследуемых ими явлений. Хотя математизация научного знания началась давно, но только в период современной научно-технической революции приобрела большой размах и значение. Наряду с традиционными областями применения математики, какими являются механика, астрономия, физика и химия, ее методы стали проникать в такие отрасли науки, которые раньше считались не поддающимися математизации ввиду их особой сложности (биология, экономика, социология, лингвистика и др.).

К методам математизации относятся:

Метод формализации (Формализация).

Формализация - это метод исследования содержания объекта с помощью выявленных закономерностей и связей между элементами его формы. В процессе формализации какая-либо содержательная область (рассуждения, доказательства, поиск научной информации и т.д.) представляется в виде формальной системы. В этой системе форма отделяется, абстрагируется от содержания, изучаемая предметная область отображается в знаковой системах искусственных языков (формулах). Такая модель позволяет исследовать структурные закономерности происходящего в ней процесса, при этом происходит отвлечение от качественных характеристик. Подвергаются преобразованиям с формальными знаками. Оперируя формулами и получая конечное содержание, далее субъект может опять вкладывать в него содержание.

В мат логике: исчисление предикатов, классов, высказываний и т.п.

Метод аксиоматизации (аксиоматизация).

Аксиоматический метод - метод дедуктивного построения теории или какого-либо раздела науки (математики механики), при котором на основе выбора исходных постулатов, называемого аксиомами, логически путём выводятся все остальные положения теории или какого-либо раздела науки. К аксиомам относятся начальные общие положения истинность которых принимается без доказательств, а все остальные положения теорий выводятся с помощью доказательств. Пример - геометрия Евклида. Науки, построенные на основе аксиоматического метода - дедуктивные науки.

Методом моделирования называется изучение объекта (оригинала) посредством создания и исследования его копии, которая и называется его моделью. Модель замещает оригинал только в тех характеристиках, которые составляют предмет познания. Модель всегда соответствует оригиналу только в тех свойствах, которые подлежат изучению, она исключает все остальные свойства и отношения оригинала, которые на данном этапе не является актуальными, это и делает модель удобной для исследования.

Моделирование, как процедура включает следующие этапы:

1. Построение модели, цель - создание условий для полноценного замещения оригинала объектом посредником воспроизводящим его необходимые параметры. При построении модели происходит упрощение, идеализации, абстрагирование и т.п.

2. Исследование модели, целью этого этапа является получение необходимой информации о модели. Изучение модели ведётся с той глубиной и детализацией, которая требуется для решения конкретной познавательной задачи. Исследователь может проводить наблюдения, описывать и т.д. с моделью.

3. Перенос или экстраполяция результатов моделирования на объект оригинал, опираясь на основания моделирования, метод аналогии знания об оригинале дополняется информацией об исследовании модели. Если есть несоответствия модель корректируется и всё повторяется, если оценка новых знаний не подтвердила соответствиями. В физико-математических моделях соответствие создаётся заранее и модель создаётся адекватная, то даже при не очень удовлетворит результатах модели не подлежат корректировке, а ищут различия и используют теоретические методы переноса.

Математические понятия есть не что иное, как особые идеальные формы освоения действительности в ее количественных характеристиках. Они могут быть получены на основе глубокого изучения явлений на качественном уровне, раскрытия того общего, однородного содержания, которое можно затем исследовать точными математическими методами.

Сущность процесса математизации, собственно, и заключается в применении количественных понятий и формальных методов математики к качественно содержанию частных наук. При этом частные науки должны быть достаточно развитыми в теоретическом отношении, осознать в достаточной мере единство качественного многообразия изучаемых ими явлений. Именно этим обстоятельством, прежде всего, определяются возможности математизации данной науки. Чем сложнее явление, чем более высокой форме движения материи оно принадлежит, тем труднее оно поддается изучению количественными методами, точной математикой обработке законов своего движения. Так, в современной аналитической химии существует более 400 методов количественного анализа. Однако невозможно математически точно выразить рост сознательности человека, степень развития его умственных способностей, эстетические достоинства художественных произведений и т. п.

Применение математических методов в науке и технике за последнее время значительно расширилось, проникло в ранее недоступные сферы. Эффективность применения этих методов зависит как от специфики предмета данной науки, степени ее теоретической зрелости, так и от совершенствования самого мат-го аппарата, позволяющего отобразить все более сложные свойства и закономерности качественно многообразных явлений.

Абстрактные формулы и математический аппарат не должны заслонять (а тем более вытеснять) реальное содержание изучаемых процессов. Применение математики нельзя превращать в простую игру формул, за которой не стоит объективная действительность. Вот почему всякая поспешность в математизации, игнорирование качественного анализа явлений, их тщательного исследования средствами и методами конкретных наук ничего, кроме вреда, принести не могут.

Использование математических методов без выяснения качественной определенности изучаемых явлений ничего не дает. Но когда качественная определенность выявлена и проанализирована, когда в данной науке достаточно четко сформулированы положения, касающиеся специфики ее предметной области, математика становится мощным средством развития этой науки.

Классико-механическая программа (и соответствующая картина мира) открыла описанный выше способ математизации точного естествознания, который, несмотря на значительное количество приверженцев от П.С. Лапласа до Г. Гельмгольца и Дж. Максвелла, оказался весьма ограниченным. Физика (как наука о свете, теплоте, электричестве и магнетизме), которая, за небольшим исключением, до начала 19 в. не имела теоретического оформления, подобного классической механике, потребовала привлечения нового типа математизации. Решающим поворотом стало интенсивное использование математического анализа для представления элементарных феноменологических соотношений в теоретической форме, не сводящейся к классической механике. На этом пути в первой четверти 19 в. были созданы (в основном, усилиями франц. ученых С.Д. Пуассона, Ж.Б. Фурье, A.M. Ампера, О. Френеля, С. Карно и др.) математическая электростатика, теория теплопроводности, элементы термодинамики, электродинамика, волновая оптика.

В 1860—1870-е создание классической физики, сопряженное с ее математизацией, в основном, было завершено (теория электромагнитного поля Максвелла, термодинамика В. Томсона и Р. Клаузиуса, основы статистической механики Максвелла и Л. Больцмана). Математический анализ и, прежде всего, теория дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка, оставались основной математической структурой классической физики. Но, вместе с тем, важными дополнительными инструментами ее математизации стали векторное исчисление и теория вероятностей. В кристаллографии получила применение теория групп. К концу 19 в. выявилась фундаментальная особенность основных дифференциальных уравнений классической физики — их вариационная структура, т.е. возможность их получения на основе вариационного исчисления (из вариационных принципов, прежде всего принципа Гамильтона).

Математизация др. естественных наук осуществлялась через посредство физики и классической механики (небесная механика, астрофизика, некоторые разделы химии и др.). А. Пуанкаре на рубеже 19 и 20 вв. связал математико-аналитическую (т.е. опирающуюся на математический анализ и дифференциальные уравнения) природу классической физики с ее локальностью и однородностью. В результате знание элементарного факта позволяло получить описание процесса посредством дифференциальных уравнений, интегрирование которых вело к описанию множества наблюдаемых явлений. Отсутствие в биологии характерных для физики локальности, однородности, простых элементарных соотношений препятствовало согласно Пуанкаре, математизации би препятствоологических наук.

Научно-техническая революция 1940—1960-х, связанная с освоением ядерной энергии и космического пространства, с созданием компьютеров, лазеров и т.п., привела к новой волне математизации естественных и технических наук, внесшей, в свою очередь, значительный вклад в эту революцию. Ключевым достижением здесь было создание электронных цифровых машин и концепции вычислительного эксперимента, радикально расширивших масштабы математизации, включив в ее сферу не только задачи управления и экономики, но отчасти и гуманитарные науки.

На стыке различных наук во второй половине 20 в. сформировалось новое синтетическое направление математизации науки, получившее название синергетики, или нелинейной динамики, в котором центральное место заняли нелинейные задачи, процессы самоорганизации и стохастизации динамики. С одной стороны, в рамках этого направления удалось решить ряд важных задач физики и техники, а также математизировать важные разделы химии, биологии и социальных наук. А с другой—привело к новым импульсам для развития математики (нелинейные дифференциальные уравнения, фрактальная геометрия, теория особенностей дифференцируемых отображений и т.д.).

Математизации физики сопутствует нередко обратный процесс — физикализация математики. Это выражается, с одной стороны, в содержательности и плодотворности математических концепций, порожденных физикой (В.И. Арнольд). С др. стороны, теоретическая физика иногда побуждает математиков к преобразованию даже оснований математики (Дж. Неструев, A.M. Виноградов).

Спорным является вопрос о том, считать ли математизацию одним из методологических принципов физики (Н.Ф. Овчинников, И.А. Акчурин) наряду с принципами симметрии, соответствия и др., или рассматривать ее как отдельную общую черту теоретизации научного знания. Независимо от ответа на этот вопрос, следует признать, что математизация всегда была, и продолжает оставаться, главным и эффективнейшим средством теоретизации научного знания, развитие которого оказывает мощное воздействие на саму математику. При этом приходится констатировать, что проблема математизации науки относится к числу важнейших проблем методологии науки, требующих дальнейшего исследования.

Лит.: Вигнер Е. Этюды о симметрии. М., 1971; Методологические принципы физики. История и современность. / Отв. ред. Б.М. Кедров и Н.Ф Овчинников. М., 1975; Манин Ю.И. Математика и физика. М., 1979; Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984; Клайн М. Математика. Поиск истины. М., 1988; Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989; Визгин В.П. Математика в классической физике // Физика XIX—XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах: физика XIX в. М., 1995; Овчинников Н.Ф. Принципы теоретизации знания. М., 1996; Кобзарев И.Ю., Манин Ю.И. Элементарные частицы: Диалоги физика и математика. М., 1997; Визгин В.П. Математика в квантово-релятивистской революции // Физика 19—20 вв. в общенаучном и социокультурном контекстах. Физика XX в. М., 1997; Шанже Ж.-П., Конн А. Материя и мышление. М.—Ижевск, 2004; Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. М., 2004; Вайнберг С. Мечты об окончательной теории: физика в поисках самых фундаментальных законов природы. М., 2004.

М. Н. — процесс внедрения средств математики в исследовательскую практику различных областей познания. С самых первых шагов становления науки язык математики рассматривался многими естествоиспытателями в качестве варианта общенаучного языка профессионального сообщества. Напр., Галилей, используя образ Природы как книги, считал, что эта книга написана языком математики. Позднее даже появилась идея о том, что зрелость той или иной дисциплины определяется по степени использования в ней математических средств и методов. Подобное отношение во многом обусловлено четкостью структурной организованности и максимальной абстрактностью математического языка. Данная его особенность позволяет для выражения содержания весьма удаленных друг от друга областей знания использовать одну и ту же математическую форму. Напр., одна и та же система дифференциальных уравнений может описывать такие различные по своей природе процессы, как перемещение электронов в проводнике, движение потока жидкости или динамику кадровых перемен в какой-либо фирме. В силу того, что математика оперирует абстрактными (идеальными) объектами, созданными средствами формального языка, ее использование в различных научных дисциплинах обеспечивает возможность достаточно компактным образом представить большой объем данных, которые в обобщенной форме отображают наиболее универсальные типы связей и отношений, фиксируемые специалистами в объективной реальности. Модели действительности, конструируемые с помощью математических средств, в первую очередь, выражают количественные соотношения между элементами описываемых структур, а также дают возможность достаточно наглядно представить порядок их организации. Поскольку подобные модели чаще всего замещают в познавательных актах весьма обширные классы подобного рода характеристик, постольку использование математического языка часто способствует получению информации о таких объектах, с которыми исследователь не вступает в непосредственный эмпирический контакт. Более того, с помощью математики можно описывать такие объекты, реальность существования которых представляется в некоторый данный момент чисто гипотетически. Данным обстоятельством, в частности, обусловлено и то, что в практике современного научного познания все шире применяется такой вид экспериментального исследования, как математический эксперимент. В процессе представления того или иного объекта посредством определенной системы математических выражений, ученый может менять соответствующие элементы таких выражений, что интерпретируется в качестве изменения условий функционирования самого объекта. В результате возникают новые знаковые конструкции. Придавая им определенный содержательный смысл, ученый может получить новые сведения о свойствах окружающей реальности, не вступая в непосредственное практическое взаимодействие с какими-то ее фрагментами.

Одной из примечательных черт современной науки является ее усиленная математизация. Однако не следует думать, что применение математики в научных исследованиях – это совершенно новое, возникновение только в 20в.явление. К.Маркс, как уже отмечалось, еще в прошлом веке писал, что наука достигает совершенства только тогда, когда она использует математику. Математику применяли для решения практических и научных задач уже в глубокой древности. Жрецы Древнего Вавилона использовали ее для вычисления площадей земельных участков, финансовых счетов и т.п. без использования элементарных арифметических и геометрических представлений нельзя было бы построить такие гигантские сооружения, как египетские пирамиды. Довольно сложные механические и геометрические задачи решали с помощью математики древние греки. Методы приближенного математического вычисления и геометрические построения использовали в своих астрономических системах Птолемей и Коперник. Изобретение новых символов для обозначения переменных величин и аналитической геометрии (Декарт), создание дифференциального и интегрального исчисления (Ньютон и Лейбниц) превратили математику в мощное орудие построения и развития физических теорий. В своем первоначальном виде, в трудах Галилея, Ньютона, Гюйгенса и других ученых, физика выступает именно как математическая физика. Ее законы формулируются в виде алгебраических и дифференциальных уравнении, а математические вычисления наряду с экспериментами и наблюдениями становятся важнейшим средством развития научных знаний. Так продолжается вплоть до начала нашего столетия. Естественнонаучные, прежде всего потому, что математика – это строгая, доказательная и очень точная дисциплина. Если свойства физических объектов можно обозначить через переменные величины, а связи и взаимодействия физических явлений и процессов описать с помощью уравнений, то процесс исследования крайне упрощается. Произведя нужные вычисления и решив уравнение, физик может истолковать, или, как ещё говорят, интерпретировать (от лат. Interpretatio- истолкование, разъяснение чего-либо), полученные результаты в терминах экспериментов и наблюдений. Иными словами, эти результаты он сопоставляют с показаниями измерительных приборов, и решает на этом основании, существует ли между ними соответствие. Если такое соответствие имеется, гипотезы и теории оказываются подтвержденными, если его нет – опровергнутыми. Что же нового в сравнении с этой классической процедурой видим мы в матеиации современной науки? Есть ли здесь особые познавательные проблемы?

Однако быть наглядным и быть познаваемым не одно и то же. Очень многие явления не только в физике, но и в общественных науках нельзя представить наглядно. Нельзя, например, увидеть, услышать, понюхать или потрогать общественные отношения, социально-экономические формации, глубинные грамматические структуры и т.п. О многих объективных явлениях, о которых мы можем судить только на основании показаний приборов, что-то еще можно сказать лишь на языке математики. Поэтому математизация целого ряда наук служит теперь не только упрощению, облегчению наших усилий по построению теории, не прибегая к дорогостоящим экспериментам, но и единственно возможным способом вообще что-либо сказать об изучаемых явлениях и процессах. Это значит, что для многих отраслей науки математика является теоретическим языком.

Математизация науки, конечно, может привести к своего рода математическому идеализму, когда математические конструкции заслоняют от исследователя объективную реальность, а чисто формальные преобразования становятся чем-то самодовлеющим. Однако наука вырабатывает противоядие против отрыва математических средств выражения знаний от системы материальных объектов. Чтобы решить, какие именно математические структуры являются истинными выражениями законов науки, мы, как и в классическом естествознании, должны получить следствия из исходных уравнений и затем, интерпретировав их с помощью наглядных описаний, проверить их на практике с помощью наблюдений и экспериментов. Отличие современных математизированных теорий от большинства классических заключается в том, что уравнения первых непосредственно такой интерпретации не поддаются.

Третья особенность современной математизации связана с тем, что ныне естественные, общественные и технические науки все чаще обращаются к изучению сверхсложных систем, насчитывающих миллиарды элементов, подсистем и связей. Человеческий мозг, несмотря на все его колоссальные творческие возможности, обычно не в состоянии обеспечить необходимую скорость и безошибочность при рассмотрении одновременного взаимодействия всех этих элементов и подсистем. К тому же ни один исследователь не может обеспечить необходимого объема памяти и непрерывного анализа поступающих данных на протяжении десятков, а иногда и сотен часов. Для решения задач, возникающих в системных исследованиях, связанных со сложными научными экспериментами, управлением гигантскими промышленными предприятиями и т.п., приходится использовать быстродействующие ЭВМ. Успех их использования зависит не только от их технического совершенства, но и от качества математических программ, с помощью которых вводится, обрабатывается и выводится информация, и которые управляют работой вычислительных устройств. Таким образом, математическое программирование – один из самых современных разделов математики – становится в определенное отношение к теории познания, ибо от качества программ и их надежности зависит познавательная ценность получаемой на ЭВМ информации.

Четвертая особенность состоит в том, что к математике приходится прибегать не только при исследовании объектов научного знания, но и все чаще – для описания и изучения самого научного знания. Последние процедуры связаны с так называемой проблемой формализации знания.

Особую группу составляют формализованные языки. Такие языки называются часто искусственными, так как к правилам построения правильных предложений в этих языках добавляются правила формального преобразования одних правильных предложений в другие. Лучшим примером таких языков могут служить математические исчисления. Зная соответствующие какому-либо исчислению исходные предложения (формулы, теоремы) и правила их преобразования, математик может построить неограниченную последовательность других формул и предложений. При этом он принимает в расчет прежде всего вид исходных предложений, их внутреннюю структуру и до поры до времени не обращает внимания на их содержание. Именно поэтому такой способ развертывания и выведения одних формул из других называется формальным. Формальное развитие и развертывание математических исчислений, разумеется, не может обходиться без содержательного рассмотрения свойств изучаемых объектов, их связей и взаимоотношений. Время от времени – в наиболее сложных ситуациях, при постановке новых проблем – математики обязательно отдают предпочтение содержательным рассуждениям и содержательному анализу. Но после установления исходных содержательных данных формальные методы используются в качестве мощного средства развития и усовершенствования знаний. Именно эта их сторона и позволяет осуществлять формализацию теорий.

Та или иная теория – например, физическая – отражает специфические объекты и поэтому называется объектной. Когда эта теория достигает высокой стадии развития и сложности, возникают вопросы о том, чтобы ее упростить, избавить от излишних положений, постулатов и аксиом, от скрытых противоречий, которые могут со временем проявиться и сделать всю теорию бессмысленной, непригодной для дальнейшего использования. Разрешить все эти вопросы содержательным путем очень сложно, так как для этого надо сравнивать свойства и соотношения объектов, что трудно само по себе и к тому же требует заранее, чтобы теория, в рамках которой проводится такое сравнение, была непротиворечивой. Поэтому для разрешения указанных вопросов прибегают к процедуре формализации объектной теории. Она выполняется следующим образом.

Сначала все содержательные понятия теории заменяются абстрактными бессодержательными символами, отличающимися друг от друга обозначениями. Затем все содержательные связи и структурные особенности ее предложений переводятся на язык формальной логики. Полученная таким образом формальная система представляет собой логико- математическую модель объектной теории. Далее исследуется уже эта модель, что делается с помощью другой – например, логической – теории, которую называют метатеорией (от итал. meta – половина и греч. theoria – наблюдение, исследование), или теорией второго уровня. Теория первого уровня – объектная теория – сама теперь оказывается объектом по отношению к метатеории. Поскольку метатеория использует средства современной математической логики, результаты и изучения формальной модели теории первого уровня оказывается довольно точным, тем более что логические критерии непротиворечивости, независимости и полноты систем, аксиом и постулатов определены весьма точно и однозначно.

Таким образом, метод формализации помогает совершенствовать научные теории. У этого метода есть и другие достоинства. Формализованную логическую модель объектной теории легко перевести на язык машинного программирования. Полученная программа вводится в ЭВМ, которая в состоянии без помощи содержательного анализа развить далее все формальные структуры объектной теории. Это освобождает ученого-исследователя от технически громоздкой формальной работы и позволяет ему сосредоточиться на содержательном анализе, недоступном машинам, и эмпирической интерпретации формальных результатов. Здесь обнаруживается новый познавательный аспект метода формализации.

Это положение о диалектически относительном характере противоположности субъекта и объекта познания находит свою конкретизацию в соотношении материального объекта, объектной теории и метатеории. Мы видели, что объективная теория отражает свой объект , свою предметную область через входящие в нее законы. По отношению же к метатеории она сама выступает как особый объект. Так происходит диалектическое оборачивание субъекта и объекта познания: теоретическое знание – продукт субъективного отражения объективной реальности – само становится объектом познания на более высоком уровне. Это позволяет нам глубже проникнуть в сложные механизмы развития научного познания мира.

Знакомясь с общенаучными методами познания и с марксистко-ленинской теорией познания в целом, нетрудно увидеть их глубокую диалектическую сущность. Материалистическая диалектика играет совершенно особую роль по отношению ко всем специальным и общенаучным методам познания: она вступает в качестве общей философской методологии, обосновывающей научное познание мира, вскрывает внутреннюю природу самого процесса познания.

Диалектическая природа познания отчетливо проявляется ми в методах моделирования или формализации знаний. Так, при моделировании сложных объектов происходит отрицание одних моделей другими, более совершенными.

Законы физиологии, управляющие обменом веществ, дыханием, пищеварением, или законы нервной деятельности присущи человеку независимо от того, изучают их ученые-физиологи или нет. Но было бы неверно думать , что такое изучение бесполезно. Люди умеют дышать, переваривать пищу, реагировать на внешнюю действительность, не зная устройства своего тела и соответствующих закономерностей. Однако, когда возникает необходимость в лечении тех или иных заболеваний или нужно подготовить человека для работы в необычных условиях, например в космосе или под водой, знание законов физиологии и нейрологии становится совершенно необходимым. Нечто подобное можно сказать и о сознательном усвоении диалектики и применении ее к научному познанию.

Чем сложнее становится познание мира, чем необычнее объекты, с которыми приходиться сталкиваться ученым, тем быстрее начинают изменяться и совершенствоваться сами методы научного познания. Перед учеными возникают трудные проблемные ситуации, для разрешения которых уже недостаточно традиционных, ранее усвоенных ими методов. Здесь становится необходимым сознательное, продуманное применение диалектики как метода научного познания, как философской теории, помогающей разрешать возникающие в нем противоречия.

Сегодня в науке происходят сложные процессы объединения, интеграции самых различных дисциплин, например, таких, как математика и социология, лингвистика и биология, электроника и медицина. Наряду с ними идут и процессы расчленения, дифференциации ранее единых наук. Так, некогда единая физика превратилась ныне во множество довольно сильно отличающихся друг от друга дисциплин – таких, как акустика, квантовая хромодинамика, механика, астрофизика и т.д. чтобы проследить взаимосвязи этих научных дисциплин, не потерять за их разнообразием их подлинного единства, также необходимо умение сознательно применять основные идеи и принципы материалистической диалектики.

Наконец, знание диалектики, активное и сознательное овладение ею необходимо для глубокого, правильного понимания социальных последствий развития науки. Прогресс науки и прогресс техники, как мы знаем, не являются простыми линейными процессами. Чтобы правильно учесть все социальные, экономические и идеологические последствия научного познания и связанной с ним научно-технической революции, необходимо подходить к этим явлениям диалектически, рассматривая их в развитии как систему диалектических отрицаний, взаимопревращений противоположностей и постоянно возникающих и развивающихся противоречий.

Читайте также: