Логарифмы в физике кратко
Обновлено: 02.07.2024
Давайте разбираться. Кому и зачем понадобились логарифмы?
"Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов" - Пьер Лаплас. Отличная характеристика, правда?
Астрономия имеет дело с огромными расстояниями. Например, расстояние от Солнца до Земли равно 150 миллионов километров. А расстояния до ближайших звезд - это минимум несколько световых лет. А один световой год это примерно 9500 миллиардов километров! Поэтому в астрономии могут применяться логарифмические шкалы. В логарифмической шкале, основанной на десятичном логарифме число 100 превращается в 2, а миллиард в 9. Представляете?
Как бы это странно ни казалось, логарифмы могут превратить умножение в сложение, а деление в вычитание, и этом очень упрощают вычисления.
Кроме того, например, абсолютную звездную величину можно вычислить также через десятичный логарифм:
Здесь М - абсолютная звездная величина, то есть звездная величина объекта при условии, если он находится на расстоянии 10 парсек или 32,6 световых года от наблюдателя. Также d - это расстояние до объекта, а d с индексом "ноль" - те самые 10 парсек.
Хорошо, допустим, вы никогда не будете заниматься астрономией. Где еще можно использовать логарифмы?
В акустике мы часто применяем такую величину, как децибел. Оказывается, и тут в вычислениях не обходятся без логарифмов. Дело в том, что ухо очень чувствительно и к сверхтихим звукам, и также терпимо к сверхгромким. Поэтому удвоение децибел удобнее записать как логарифм отношения текущей и единичной звуковой мощности:
Итак, если звуковая мощность увеличивается в 100 раз, то децибелы увеличиваются лишь на 20 единиц.
В космонавтике логарифмическая функция используется для расчета движения тела переменной массы (формула Циолковского-Мещерского). Конечная скорость ракеты связана со скоростью истечения газов и логарифмом отношения начальной массы ракеты к конечной.
Здесь u - скорость истечения реактивных газов, М0 - масса заправленной ракеты, Мk - масса конструкции последней ступени ракеты без топлива.
Ну, а если совсем приземленно? Где-то в быту бывают логарифмы?
Допустим, вы инвестируете сумму S под сложный процент с неким ежегодным коэффициентом начисления k. Если вы через год получаете 10% прибыли, то k=1,1 ; если 20%, то k=1,2, и т.д. Допустим ваша цель - накопить сумму А. Тогда рассчитать количество лет до этой суммы можно следующим образом:
Кроме того, "логарифмическая спираль" присутствует и в форме галактик и в раковинах моллюсков и строении цветков растений.
Здесь угол "тета" зависит от логарифма радиуса или отношения радиуса к параметру а:
А параметр b отвечает за расстояние между витками спирали. Как видите, здесь присутствует так называемый "натуральный логарифм" (не путать с натуральным блондином), то есть логарифм по основанию е, которое также называют числом Эйлера, оно равно примерно 2,72 и является бесконечной непериодической десятичной дробью.
От космоса до цветка, от астрономии до экономики мы можем увидеть логарифмы. Большинство учеников по началу их боятся, ибо они кажутся чем-то сверхъестественным, странным и непонятным. И действительно, есть в логарифмах какая-то "магия".
Но если вы наберетесь немного терпения, то полюбите логарифмы на втором-третьем занятии. Это то, что я наблюдаю у учеников. Даже если оставить чистую математику, свойства логарифмов очень интересны, завораживают, добавляют "детективную нотку" в решение задач. :)
Весь наш современный мир и нынешние технологии были бы невозможны без логарифмических вычислений. А то, чем мы сегодня владеем, лет 300-400 назад казалось чистой воды МАГИЕЙ! Так что один из ключиков к современной магии - это именно знание логарифмов.
Областей применения у логарифмических функций и выражений очень много. Может, они и не "вездесущи", но крайне молезны для современной цивилизации :)
А если я вас еще не убедил, пишите вопросы в комментариях! Расскажу больше :)
И напоследок вопрос - что вам нравится, и что кажется самым трудным в логарифмах? Делитеьс, пожалуйста, в комментах.
d10 = 2 * math.pi * a**2
print('площадь поверхности рассматриваемой планеты равна ', d11).
Правдивость данной расчетной программы была проверена на примере планеты Венеры путем ввода в программу ее данных. Программа показала высокую точность и верность вычислений (см. приложение 2 )
2. Навигация
Формулы помогают нам найти нужные значения, но для полного понимания сути существования логарифмов следует найти и изучить более наглядный материал. Навигация для этого самый лучший вариант.
Локсодромия – линия на сфере, которая пересекает под одинаковым углом меридианы. Другими словами это кривая, в каждой точке имеющая путевой угол
С использованием в навигации магнитных компасов стало зарождаться понятие локсодромии. Простой пример: самолет летит с постоянным курсом относительно меридиана, над которым пролетает, и если магнитное склонение нулевое и нет ветра, то самолет в этой ситуации осуществляет движение по линии локсодромии.
Уравнение локсодромии выглядит следующим образом: , где – постоянные для данной локсодромии величины. Для того чтобы найти долготу нужно подставить в правую часть равенства соответствующую ей широту . Локсодромия - не единственная область навигации, использующая логарифмы в своих вычислениях. Однако в данной работе будет рассмотрена только она.
По определению локсодромии можно понять, что она представляет собой логарифмическую спираль на сфере, которая асимптотически приближается к полюсам, но никогда не пересекает их.
Итогом была проведена практическая работа по построению логарифмической спирали различными способами. В приложении 3 показана спираль, построенная путем заложения в основу программы GeoGebra уравнения логарифмической спирали в полярных координатах ( ). В приложении 4 представлена логарифмическая спираль, построенная с помощью прямоугольников, стороны которых имеют определенное отношение. Длины их сторон представлены числовым рядом Фибоначчи. Такая же работа была проведена вручную.
3. Психология
Громкость звука измеряют в децибелах, которые пропорциональны логарифму мощности звука, воздействующего на ухо. Употребление логарифмических шкал продиктовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д. Человеческий мозг воспринимает раздражения от органов чувств не пропорционально силе раздражителя (как мы рассматривали мощность звука), а лишь пропорционально ее логарифму. Именно поэтому ухо одинаково способно слышать шорох листьев и не оглохнуть от громкого удара станка на заводе. А глаз может заметить, как блестит снег на свету и не ослепнуть, если посмотрит на Солнце, которое в миллиарды раз ярче.
Описанные выше сведения объединяются законом психофизики, установленным Фехнером, который говорит, что мера ощущения пропорциональная логарифму величины раздражения.
Тот факт, что логарифмическая шкала позволяет увидеть и осознать объекты большого масштаба позволяет применять понятие логарифма и в истории. Чтобы представить себе всю эволюцию нашего человечества нужно представить его историю в масштабе, который подвластен представлению. В этом на помощь приходит логарифмический масштаб (шкала). Такая система называется логарифмической шкалой времени.
Из этого следует, что логарифмы применимы в математическом моделировании развития мира, культуры, экономики и так далее.
То, какое значение логарифм имеет в физике, является отдельной темой для проекта по количеству материала, имеющегося по этому направлению. Здесь будет рассмотрена только одна формула – формула Циолковского.
Формула Циолковского значительно выделяется на фоне всех приведенных в этой работе расчетов. Это достижение было важным для истории тем, что открыло новую эпоху в сфере естествознания и космонавтики. Формула предназначена для того, чтобы рассчитывать характеристическую скорость летательного аппарата, т.е. скорость которую он приобретает под действием тяги двигателя, не имея воздействия со стороны других сил. Эта формула приобретает соответствующий вид в зависимости от вида самого рассматриваемого аппарата. Речь идет о количестве ступень ракеты. Для ракет с 2-мя, 3-мя ступенями действительная более сложная формула, которая не рассматривается в данной работе. Для ракет с 1-ой ступенью используется формула более простого вида: . Где – удельный импульс ракетного двигателя, – начальная масса РН (ракета-носителя), включающая в себя массу полезной нагрузки, самого аппарата и топлива на момент старта, – "сухая масса", т.е. масса полезной нагрузки и аппарата. На данный момент существует одна ракета подобного вида, разрабатываемая в России, обладающая одной ступенью. Она называется РН "Корона" и разрабатывается уже на протяжении 25 лет. Данные необходимые для подстановки были взяты из характеристик этого ракета-носителя и написана соответствующая программа. Результаты смотрите в приложении 5.
5. Незамысловатый фокус
Представьте, что в ваш город приехал фокусник, утверждающий, что может с легкостью вычислить корень высокой степени из многозначного числа. Перед представлением вы заготовили 31-ю степень какого-нибудь многозначного числа и в итоге получили пятизначное. Уверенные в том, что фокусник не сможет извлечь из него корень вы начинаете говорить "31-ая степень этого числа : пятизначное число …" и тут произошло чудо, этот волшебник уже написал вам ответ на доске, даже не услышав само число. Как так вышло?
На самом деле здесь нет ничего сложного. Есть только одно число, которое в 31-й степени дает пятизначное число. Однако даже если так, то откуда тот фокусник знал это и смог так быстро отыскать нужное число?
Для этого он заучил двузначные логарифмы для первых 15-20 чисел. Тем более эта задача сильно упрощается знанием того факта, что зная логарифмы 2,3 и 7, можно в уме легко найти логарифмы чисел первого десятка ( ).
Когда вы сказали фокуснику, что 31-ая степень числа дает пятизначное число, ему оставалось только выполнить следующее действие: . Значение этого выражения лежит где-то между 1,09 и 1,13. Этот интервал включает в себя только один логарифм от целого числа. Это 1,11 – логарифм числа 13. Конечно, чтобы такое проделать в уме нужна тренировка, но если видеть это все перед глазами, то все довольно просто.
Теперь уже перед вами стоит задача извлечь корень 64 степени из 20-значного числа. Получим: То есть значение лежит в интервале между или по-другому между 0,29 и 0,31. Такое значение только одно 0,3 – логарифм числа 2.
Использование логарифмов дает людям преимущество в виде упрощения и ускорения сложных вычислительных операций. Бесспорно, будет нерационально использовать это при умножении 6 на 3, но при действиях с по-настоящему большими числами данное преимущество значительно упростит задачу.
Логарифмическая функция дает нам возможность по-другому взглянуть на масштабные процессы, происходящие в огромных пространствах и временных интервалах для понимания и осмысления общей картины.
В ходе работы поставленные задачи были выполнены, гипотеза подтверждена, проработана практическая часть и цель достигнута.
Список литературы
1. . Вильчек Ф. Красота физики: постигая устройство природы: пер. с англ. – 2-е изд. – М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике – Москва: Издательство: АСТ: 2017
3.Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика – Фрязино: Век 2: 2015
4 Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – СПб.: СЗКЭО, 2017
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов – Москва: государственное издательство физико-математической литературы, 1963
6. Энциклопедия для детей: Т.8. Астрономия. – 2-е изд., глав.ред. М.Д.Аксенова – М.: Аванта+, 1999
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
О.В. Хакимова
К.П. Кашутина
О. V . Khakimova
K.P.Kashutina
MBOU "SOSh № 31" of Kemerovo
Использование логарифмической функции при решении задач по физике и астрономии
The use of logarithmic functions in solving problems in physics and astronomy
Данная статья посвящена применению знаний по математике для решения некоторых видов задач. Авторы рассматривают задачи, где для получения правильного ответа необходимо использование логарифмической функции.
This article is devoted to application of knowledge in mathematics to solve certain types of problems. The authors consider the task to obtain the correct answer requires the use of a logarithmic function.
Ключевые слова: задача, формулы, графическая зависимость, логарифм, показательная функция.
Key words: task, formulas, graphical dependence of the logarithm function, exponential function.
Решение задач по физике и астрономии является неотъемлемой частью изучения данных предметов. Чаще всего для определения какой либо неизвестной физической величины, зависящей от другой величины, используется линейная функция, обратная или квадратичная зависимость. Поэтому для решения таких задач применяются математические знания, которые достаточно хорошо отрабатываются на уроках математики и физические формулы. Особенно это хорошо заметно, если учитель математики, работая в тандеме с учителем физики, решает на уроках задачи с физическим содержанием. Но если формула, для определения неизвестной величины является показательной функцией, то для определения необходимы более глубокие знания по математике. Это касается логарифмов и способов логарифмирования, так как графический способ определения такой величины не всегда дает точных результатов.
Рассмотрим несколько примеров определения физической величины входящей в показатель функции. Для этого используем графический способ и способ логарифмирования. Вначале покажем как можно решить задание только графическим способом.
Пример 1. Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 4 раза за
8 суток. Найти период полураспада.[3]
Запишем формулу закона радиоактивного распада
Преобразуем данное выражение, разделив левую и правую части на N 0
Цель исследования: Показать, что логарифмы встречаются не только в области математики, но и в других областях. Показать их значение в современном мире.
изучить историю возникновения понятия логарифма.
выяснить, где применяются логарифмы. Рассмотреть практическое применение логарифма.
Объект исследования: логарифмическая функция
Предмет исследования: математическая модель того или иного явления через обращение к логарифмической спирали
Проблема: Практическая значимость логарифмов для окружающего мира.
Гипотеза: Я тоже задумался над этим и решил узнать мнения старшеклассников по этому вопросу. Результаты меня озадачили. 41% десятиклассников и 64% одиннадцатиклассников считают, что логарифмы не нужно изучать.
Так может быть они действительно не нужны?
Меня очень заинтересовала эта проблема. Поэтому цель моего исследования: доказать необходимость изучения логарифмов. Эту работу мы начали проводить группой моих одноклассников.
Планируемый результат: После завершения работы над проектом наше представление о логарифмах расширится, и мы убедимся, что это понятие можно связать с многими областями наук. Понять, как изменилось значение логарифмов, и какую роль они играют в нашей жизни.
История возникновения и развития логарифмов.
Изобретение логарифмов, сократив
работу астронома, продлило ему жизнь.
П.С.Лаплас
Испокон веков люди пытались упростить вычисления: составляли таблицы, вводили приближенные формулы, облегчающие расчеты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием.
Логарифмы также были созданы в 16 веке как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывается еще Архимеду.
Рассмотрим две прогрессии, арифметическую и геометрическую при b1 = 2, q = 2 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (*)
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Оказывается, эти строки позволяют упрощать вычисления. Действительно: если мы хотим перемножить два числа нижнего ряда, например, 16 и 32 , нам достаточно сложить соответствующие числа верхнего ряда: над числом 16 стоит 4, над числом 32 стоит 5; сложим числа 4 и 5 (будет 9) и опустимся вниз – под 9 стоит 512. Значит, 16 32 = 512. (Аналогично выполняется и деление, только числа первого ряда нужно вычитать).
Но это еще не все. С помощью указанных двух строк (*) действие возведения в степень заменяется умножением, а извлечение корня – делением.
Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более простые операции с числами верхнего ряда. А что представляют собой числа верхнего ряда? Да ведь это же показатели выписанных в нижнем ряду степеней с основанием 2. Действительно, снизу у нас стоят степени 21, 22, 23, 24 и т. д., а вверху только показатели этих степеней 1, 2, 3, 4 и т.д. Так вот показатели степеней и называются логарифмами.
Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы. В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в 15 – 16 веках явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби.
Рассмотрим, как развивалась дальше идея логарифмов.
Мы можем предугадать первые шаги по усовершенствованию рассматриваемых строк:
1. Числа верхнего ряда целесообразно продолжить в отрицательную сторону, т.е. ввести понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем.
2. Нужно уплотнить числа нижнего ряда, чтобы можно было применить идею об упрощении вычислений вообще к любым числам (для этого, например, можно взять в нижнем ряду вместо степеней с основанием 2 степени с основанием , близким к 1).
3. Необходимо также уплотнить числа верхнего ряда.
Теперь будет интересно узнать, что мы не ошиблись в наших предположениях.
инженера Симона Стевина (1548 – 1620).
Рассмотрим, как выводится формула сложных процентов. Пусть сначала на нашем счету лежит некоторая сумма, которую мы положили в банк под p% годовых.
Сумма лежит в банке целый год, а в конце на неё начисляются проценты – дополнительные деньги, которые банк платит за то, что целый год пользовался суммой S0. Таким образом, сумма S0 принесет за год доход в размере p% от неё, т.е.. Если мы деньги не снимем, то весь следующий год на нашем счету будет лежать уже выросшая сумма:
S1 == S0 (1+ ).
S0 –начальная сумма,
S1 –конечная сумма,
-процентная ставка
В конце второго года на эту сумму также будут начислены проценты. Доход за
второй год составит p% от суммы S1, т.е. . После начисления процентов сумма на вкладе станет равной S2 S2 = S1 (1 + )= S0 (1 + ) (1 + ) = S0 (1 + ) 2
2. Аналогично рассуждая, мы придем к выводу, что в конце n –ого года сумма на
вкладе будет равной Sn =S0 (1+ ) n .
Это и есть формула сложных процентов. Если же теперь выписать в две строки данные о том, какой год лежит сумма и как она вырастает к концу этого периода, то получится арифметическая и геометрическая прогрессии.
Пример. Мы положим на счет в банк 100 рублей под 10% годовых.
Через 1 год сумма будет равна (составит) 100 (1+10/100) = 110 рублей
Через 2 года сумма составит 110 (1+10/100) = 121 рубль
Через три года сумма будет равна 121 (1+10/100) = 133,1 рубля (и т.д.)
1 2 3 …n
110 121 133,1 … 100(1+10/100) n
Из формулы расчета сложного процента можно выразить и количество лет (месяцев). Например сколько потребуется лет, чтобы 50000 руб. нарастились до 1000000 рублей при процентной ставке 40%.
n=log(1+p/100)(Sn/S0)
n=log(1+40/100)(1000000/50000)=8.9лет
Продвинувшись ещё немного в изучении истории логарифма, мы видим, что в
один смысловой блок собираются такие понятия, как арифметическая и геометрическая прогрессии, степень, проценты, формула сложных процентов и логарифмы.
Читайте также: