Граф в информатике это кратко

Обновлено: 30.06.2024

В математической теории графов и информатике граф — это совокупность объектов со связями между ними.

Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.

Многие структуры, представляющие практический интерес в математике и информатике, могут быть представлены графами. Например, строение Википедии можно смоделировать при помощи ориентированного графа (орграф), в котором вершины — это статьи, а дуги (ориентированные рёбра) — это связи, созданные гиперссылками (см. Тематическая карта).

Содержание

Определения

Теория графов не обладает устоявшейся терминологией. В различных статьях под одними и теми же терминами понимаются разные вещи. Приводимые ниже определения — наиболее часто встречаемые.

Граф или неориентированный граф G — это упорядоченная пара G: = (V,E) , для которой выполнены следующие условия:

V это множествовершин или узлов,
E это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) различных вершин, называемых рёбрами.

V (а значит и E ) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов. Это происходит потому, что ряд соображений становятся ложными в случае бесконечных множеств.

Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе | V | — порядком, число рёбер | E | — размером графа.

Вершины u и v называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра e = u,v> . Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть e = v,v> .

Степенью degV вершины V называют количество рёбер, для которых она является концевой (при этом петли считают дважды).

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

Ориентированный граф

Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G: = (V,A) , для которой выполнены следующие условия:

V это множествовершин или узлов,
A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

$\to$

Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v w ведёт от вершины v к вершине w.

Смешанный граф

Смешанный граф G — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой G: = (V,E,A) , где V, E и A определены так же, как выше.

Понятно, что ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Прочие связанные определения

Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.

Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин v_i , для которой все пары (v_i,v_{i + 1}) являются (ориентированными) рёбрами.

Путь (или цикл) называют простым, если ребра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются. Несложно видеть, что:

Всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины.
Всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл.
Всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро).

Ребро графа называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент.

Дополнительные характеристики графов

сильно связным или ориентированно связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.
деревом, если он связный и не содержит простых циклов.
полным, если любые его две (различные, если не допускаются петли) вершины соединены ребром.
двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества V₁ и V₂ так, что всякое ребро соединяет вершину из V₁ с вершиной из V₂ .
k-дольным, если его вершины можно разбить на k непересекающихся подмножества V₁ , V₂ , …, V_k так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.
полным двудольным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества. , если граф можно изобразить диаграммой на плоскости без пересечений рёбер.
взвешенным, если каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.

Способы представления графа в информатике

Матрица смежности

Матрица смежности — таблица, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа. В каждой ячейке этой матрицы записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот).

Недостатком являются требования к памяти — очевидно, квадрат количества вершин.

Матрица инцидентности

Каждая строка соответствует определённой вершине графа, а столбцы соответствуют связям графа. В ячейку на пересечении i -ой строки с j -м столбцом матрицы записывается:

Данный способ является самым ёмким (размер пропорционален | E | | V | ) и неудобным для хранения, но облегчает нахождение циклов в графе.

Список рёбер

Список рёбер — это тип представления графа в памяти, подразумевающий, что каждое ребро представляется двумя числами — номерами вершин этого ребра. Список рёбер более удобен для реализации различных алгоритмов на графах по сравнению с матрицей смежности.

Обобщение понятия графа

Простой граф является одномерным симплициальным комплексом.

Более абстрактно, граф можно задать как тройку , где V и E — некоторые множества (вершин и рёбер, соотв.), а — функция инцидентности (или инцидентор), сопоставляющая каждому ребру (упорядоченную или неупорядоченную) пару вершин u и v из V (его концов). Частными случаями этого понятия являются:

ориентированные графы (орграфы) — когда всегда является упорядоченной парой вершин;
неориентированные графы — когда всегда является неупорядоченной парой вершин;
смешанные графы — в котором встречаются как ориентированные, так и неориентированные рёбра и петли; — граф в котором существует циклический эйлеров путь (Эйлеров цикл). — графы с кратными рёбрами, имеющими своими концами одну и ту же пару вершин;
псевдографы — это мультиграфы, допускающие наличие петель;
простые графы — не имеющие петель и кратных рёбер.

Графы используют во всех отраслях нашей жизни. Знание основ теории графов необходимо в управлении производством, бизнесе, при построении путей транспортировки и доставки, решении задач.

Графы используют в связи с развитием теории вероятности, математической логики и информационных технологий.

Граф — это конечное множество точек, называемых вершинами , и линий, соединяющих некоторые из вершин, называемых ребрами или дугами в зависимости от вида графа.

Мультиграф — это граф, у которого пара вершин соединены несколькими ребрами. А такие ребра, которые соединяют одну и ту же пару вершин, называют кратными . Две различные вершины графа, соединенные ребром, называются смежными .

На рисунке $3$ изображен мультиграф со смежными ребрами (выделены черным цветом), кратными ребрами (выделены красным) и петлями (выделены синим) .

Степенью вершины называют количество ребер, выходящих из одной вершины. Для петли ребро выходит из вершины дважды. Обозначать степень вершины $а$ будем как γ ( а ) .

Составим список степеней вершин этого графа: γ ( a ) = 1, γ ( b ) = 5, γ ( c ) = 2, γ ( d ) = 2, γ ( e ) = 3, γ ( f ) = 2, γ ( g ) = 1 .

Маршрут на графике — это последовательность ребер a 1 , a 2 , . a n , в которой конец одного ребра служит началом другого. Циклическим маршрут называется в том случае, если конец последнего ребра последовательности совпал с началом первого ребра.

Для графа на рисунке 5 a 1 , a 2 , a 3 , a 7 , a 1 , a 5 — маршрут, a 6 , a 2 , a 5 , a 7 — циклический маршрут, а последовательность a 7 , a 6 , a 2 , a 1 , a 4 — маршрутом не является.

В этой статье мы познакомимся с основными терминами и определениями Теории графов. Каждый термин схематично показан на картинках.

Граф - это топологичекая модель, которая состоит из множества вершин и множества соединяющих их рёбер. При этом значение имеет только сам факт, какая вершина с какой соединена.

Например, граф на рисунке состоит из 8 вершин и 8 рёбер.

Очень многие задачи могут быть решены используя богатую библиотеку алгоритмов теории графов. Для этого достаточно лишь принять объекты за вершины, а связь между ними - за рёбра, после чего весь арсенал алгоритмов теории графов к вашим услугам: нахождение маршрута от одного объекта к другому, поиск связанных компонент, вычисление кратчайших путей, поиск сети максимального потока и многое другое.

В этой статье мы познакомимся с основными терминами и определениями теории графов. На курсе “Алгоритмы и Структуры данных” в компании Отус “Теория графов” изучается в самом объёмном модуле из 6 вебинаров, где мы изучаем десяток самых популярных алгоритмов.

Вершина - точка в графе, отдельный объект, для топологической модели графа не имеет значения координата вершины, её расположение, цвет, вкус, размер; однако при решении некоторых задачах вершины могут раскрашиваться в разные цвета или сохранять числовые значения.

Ребро - неупорядоченная пара двух вершин, которые связаны друг с другом. Эти вершины называются концевыми точками или концами ребра. При этом важен сам факт наличия связи, каким именно образом осуществляется эта связь и по какой дороге - не имеет значения; однако рёбра может быть присвоен “вес”, что позволит говорить о “нагруженном графе” и решать задачи оптимизации.

Инцидентность - вершина и ребро называются инцидентными, если вершина является для этого ребра концевой. Обратите внимание, что термин “инцидентность” применим только к вершине и ребру.

Смежность вершин - две вершины называются смежными, если они инцидентны одному ребру.

Смежность рёбер - два ребра называются смежными, если они инцедентны одной вершине.

Говоря проще - две вершины смежные, если они соединены ребром, два ребра смежные - если они соединены вершиной.

Петля - ребро, инцидентное одной вершине. Ребро, которое замыкается на одной вершине.

Псевдограф - граф с петлями. С такими графами не очень удобно работать, потому что переходя по петле мы остаёмся в той же самой вершине, поэтому у него есть своё название.

Кратные рёбра - рёбра, имеющие одинаковые концевые вершины, по другому их называют ещё параллельными.

Мультиграф - граф с кратными рёбрами.

Псевдомультиграф - граф с петлями и кратными рёбрами.

Степень вершины - это количество рёбер, инцидентных указанной вершине. По-другому - количество рёбер, исходящих из вершины. Петля увеливает степень вершины на 2.

Изолированная вершина - вершина с нулевой степенью.

Висячая вершина - вершина со степенью 1.

Подграф. Если в исходном графе выделить несколько вершин и несколько рёбер (между выбранными вершинами), то мы получим подграф исходного графа.

Идея подграфов используется во многих алгоритмах, например, сначала создаётся подграф их всех вершин без рёбер, а потом дополняется выбранными рёбрами.

Полный граф - это граф, в котором каждые две вершины соединены одним ребром.

Сколько рёбер в полном графе? Это известная задача о рукопожатиях: собралось N человек (вершин) и каждый с каждым обменялся рукопожатием (ребро), сколько всего было рукопожатий? Вычисляется как сумма чисел от 1 до N - каждый новый участник должен пожать руку всем присутствующим. Сумму нужно разделить на два, так как в этом случае каждое рукопожатие посчитается дважды: N * (N - 1) / 2.

Регулярный граф - граф, в котором степени всех вершин одинаковые.

Двудольный граф - если все вершины графа можно разделить на два множества таким образом, что каждое ребро соединяет вершины из разных множеств, то такой граф называется двудольным. Например, клиент-серверное приложение содержит множество запросов (рёбер) между клиентом и сервером, но нет запросов внутри клиента или внутри сервера.

Планарный граф. Если граф можно разместить на плоскости таким образом, чтобы рёбра не пересекались, то он называется “планарным графом” или “плоским графом”.

Если это невозможно сделать, то граф называется “непланарным”.

Минимальные непланарные графы - это полный граф К5 из 5 вершин и полный двудольный граф К3,3 из 3+3 вершин (известная задача о 3 соседях и 3 колодцах). Если какой-либо граф в качестве подграфа содержит К5 или К3,3, то он является непланарным.

Путь или Маршрут - это последовательность смежных рёбер. Обычно путь задаётся перечислением вершин, по которым он пролегает.

Длина пути - количество рёбер в пути.

Цепь - маршрут без повторяющихся рёбер.

Простая цепь - цепь без повторяющихся вершин.

Цикл или Контур - цепь, в котором последняя вершина совпадает с первой.

Длина цикла - количество рёбер в цикле.

Самый короткий цикл - это петля.

Цикл Эйлера - цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Эйлер доказал, что такой цикл существует тогда, и только тогда, когда все вершины в связанном графе имеют чётную степень.

Цикл Гамильтона - цикл, проходящий через все вершины графа по одному разу. Другими словами - это простой цикл, в который входят все вершины графа.

Взвешенный граф - граф, в котором у каждого ребра и/или каждой вершины есть “вес” - некоторое число, которое может обозначать длину пути, его стоимость и т. п. Для взвешенного графа составляются различные алгоритмы оптимизации, например поиск кратчайшего пути.

Пока ещё не придуман алгоритм, который за полиномиальное время нашёл бы кратчайший цикл Гамильтона в полном нагруженном графе, однако есть несколько приближённых алгоритмов, которые за приемлимое время находят если не кратчайший, то очень короткий цикл, эти алгоритмы мы также рассматриваем на курсе Отуса - “Алгоритмы и структуры данных”.

Связный граф - граф, в котором существует путь между любыми двумия вершинами.

Дерево - связный граф без циклов.

Между любыми двумя вершинами дерева существует единственный путь.

Деревья часто используются для организации иерархической структуры данных, например, при создании двоичных деревьев поиска или кучи, в этом случае одну вершину дерева называют корнем.

Лес - граф, в котором несколько деревьев.

Ориентированный граф или Орграф - граф, котором рёбра имеют направления.

Дуга - направленные рёбра в ориентированном графе.

Полустепень захода вершины - количество дуг, заходящих в эту вершину.

Исток - вершина с нулевой полустепенью захода.

Полустепень исхода вершины - количество дуг, исходящих из этой вершины

Сток - вершина с нулевой полустепенью исхода.

Компонента связности - множество таких вершин графа, что между любыми двумя вершинами существует маршрут.

Компонента сильной связности - максимальное множество вершин орграфа, между любыми двумя вершинами которого существует путь по дугам.

Компонента слабой связности - максимальное множество вершин орграфа, между любыми двумя вершинами которого существует путь по дугам без учёта направления (по дугам можно двигаться в любом направлении).

Мост - ребро, при удалении которого, количество связанных компонент графа увеличивается.

Это только основные термины и определения теории графов, которые мы рассматриваем на первом вебинаре модуля “Теория графов”. Цель статьи - дать наглядное и понятное представление об этих терминах, для чего и были нарисованы эти картинки.

Возможно, вы уже знакомы с понятием спортивного программирования и знаете, что оно помогает развить навыки решения проблем и прокачать технические знания о структурах данных и алгоритмах.

Одной из важнейших составляющих спортивного программирования является изучение алгоритмов. В этой статье мы охватим большое количество алгоритмов, в том числе все алгоритмы на графах, знание которых понадобится вам для успешного решения задач из теории графов на соревнованиях по программированию. Конечно, одних теоретических знаний алгоритмов недостаточно, и вам придётся набить руку в решении практических задач на таких сайтах, как Codeforces. Настоящая же статья представит вам инструменты, необходимые для освоения важных графовых алгоритмов. Итак, приступим.

Что такое граф?

Графы, в понимании программистов, — это не те графики, которые мы изучали в школе. Это не столбиковые диаграммы или гистограммы.

С точки зрения компьютерных наук и дискретной математики, графы — это абстрактный способ представления типов отношений, например дорог, соединяющих города, и других видов сетей. Графы состоят из рёбер и вершин. Вершина — это точка на графе, а ребро — это то, что соединяет две точки на графе.

Пример графа

В условиях задач из теории графов на соревнованиях по программированию обычно говорится о таких вещах, как сети и решётки.

Вот список всех терминов, относящихся к теории графов, которые вам нужно знать:

путь — последовательность рёбер, соединяющая разные (неповторяющиеся) вершины;
маршруты — это те же пути, только они не требуют последовательности разных вершин;
цикл — группа вершин, связанных вместе в замкнутую цепь. На рисунке выше вершины [1,2,4] составляют цикл;
связный граф — граф, в котором между любой парой вершин имеется один путь;
дерево — связный граф, не содержащий цикла;
неориентированный граф — граф, в котором рёбра не имеют направления. На рисунке выше показан как раз неориентированный граф. В таком неориентированном графе можно перемещаться вдоль ребра в любом из двух направлений;
ориентированный граф — граф, в котором рёбра имеют направления и обозначаются стрелками. В таком ориентированном графе можно перемещаться вдоль ребра только в указанном направлении.

Представление графов в коде

Для того, чтобы использовать алгоритмы на графах в коде, сначала нам нужно разобраться, как осуществляется представление графов в коде. Весь следующий код будет на C++, так как для спортивного программирования я предпочитаю именно этот язык за его скорость и встроенные функции, позволяющие упростить написание решений задач.

Будут показаны два способа представления графов: матрицы смежности и списки смежности. Больше вам пригодится представление графов в виде списка смежности.

Матрицы смежности

Матрица смежности представляет собой граф в виде двумерной матрицы с размерами V x V, где V — количество вершин графа. Матрицы смежности лучше всего применять, когда V² примерно равно E (числу рёбер), то есть когда граф плотный. Запись a_ij обозначает, сколько рёбер соединяют вершину i и вершину j.

Ориентированный граф, ниже показана его матрица смежности

Матрица 6 x 6, представляющая ориентированный граф выше.

Код:

Следующий код используется для создания матрицы смежности неориентированного графа. Чтобы код создавал матрицу смежности для ориентированного графа, измените функцию add_edge , удалив вторую строку внутри неё: matrix[v][u] = 1;

Списки смежности

Другой распространенный способ представления графов в коде — списки смежности. Суть в том, что вы создаёте списки соседей для каждой вершины, а затем помещаете все эти списки в другой список. Их лучше всего применять, когда в графе небольшое количество рёбер, то есть когда граф разрежённый. Если у вас взвешенный граф, т.е. каждое ребро графа имеет какой-то вес, то в списке будут содержаться пары для рёбер (сосед, вес).

Код:

Поиск в глубину

Теперь, когда мы научились представлять графы в коде, можем приступить к изучению некоторых алгоритмов на графах! Начнём с поиска в глубину (DFS) и завершим поиском в ширину (BFS). Чтобы не загромождать статью, алгоритмы поиска пути не будут здесь рассматриваться (интересующиеся могут ознакомиться с алгоритмом поиска кратчайшего пути Беллмана-Форда).

Поиск в глубину — это один из базовых алгоритмов на графах. Он применяется для поиска расстояния от одной вершины до других вершин в графе. Это алгоритм обхода.

Поиск в глубину помечает каждую вершину в графе одной из двух меток: посещённая или не посещённая. Алгоритм помечает каждую вершину как посещённую, если удаётся избежать циклов. Он работает следующим образом:

Помещаем любую из вершин графа на стек.
Берём элемент со стека и добавляем его в список посещённых.
Создаём список соседей этой вершины. Добавляем в стек те, что не находятся в списке посещённых.
Повторяем 2 и 3 пункты, пока стек не опустеет.

Код:

Поиск в ширину

Поиск в ширину — ещё один алгоритм обхода графов. Вместе с алгоритмом поиска вглубь он составит большую часть увлекательных соревнований по программированию, по крайней мере, тех из них, что относятся к графам.

Поиск в ширину тоже помещает каждую вершину в графе в одну из двух категорий: посещённых или непосещённых. И цель у обоих алгоритмов одна и та же: помечать каждую вершину в графе как посещённую, если удаётся избежать циклов. Вот как работает алгоритм поиска в ширину:

Помещаем любую вершину в графе в конец очереди.
Берём элемент в начале очереди и добавляем его в список посещённых.
Создаём список соседей этой вершины. Добавляем в конец очереди непосещённые.
Повторяем 2 и 3 пункты, пока очередь не опустеет.

Как видите, алгоритм поиска в ширину очень похож на алгоритм поиска в глубину. Однако вместо того, чтобы спускаться вниз по ветви графа или дерева, как это делает алгоритм поиска в глубину, алгоритм поиска в ширину проходит каждый уровень.

Код:

Заключение

Освоив теоретическую часть, касающуюся двух самых важных алгоритмов обхода на графах, вам остаётся только практиковаться, чтобы использовать эти алгоритмы в соревнованиях по программированию. Я бы порекомендовал для начала Codeforces: решайте задачи, помеченные тегами bfs и dfs с рейтингом до 1400. Когда почувствуете, что справляетесь с ними, увеличьте сложность.

Отработка навыков решения алгоритмических задач, особенно алгоритмов на графах, поможет вам побеждать на соревнованиях по программированию и успешно проходить технические собеседования. Вперёд — к успехам!

Читайте также: