Гомотетия это в геометрии кратко

Обновлено: 30.06.2024

Гомотетия есть преобразование подобия. Гомотетия имеет центр и коэффициент. Они так и называются "центр гомотетии" и "коэффициент гомотетии". Центр гомотетии может находится где угодно: вне исходной фигуры, внутри исходной фигуры или принадлежать одному из ее элементов (отрезку, дуге. ).
Ну, например, для плоской фигуры выполнить гомотетию с центром в точке О и коэффициентом k означает следующую последовательность действий:
1) от точки O через вершины (или точки) плоской фигуры проводятся лучи;
2) измеряются расстояния от точки О до этих вершин (точек) плоской фигуры;
3) на лучах, полученных в пункте 1, от точки О откладываются отрезки в k раз больше, чем расстояния, измеренные в пункте 2.
4) концы отрезков, полученные в пункте 3, соединяются соответствующим образом как и вершины (точки) исходной плоской фигуры.
В результате получается фигура, подобная исходной, но площадь ее в k² больше. При k > 1 получаемая подобная фигура по площади больше исходной. При 0 1 год назад


На будущее: если что то интересует, пиши в поисковике: " **** это (место *** поставь интересующее тебя слово)" и смотри определение. Если определение непонятно, ищи ответ в картинках. Если непонятно и там, заходи на сайты.

когда медленно открываешь и закрываешь зонт то по мере того как черная штука линейно едет по шесту кончики спиц постепенно разьежаются дальше но все время находятся в одной форме друг с другом, тоесть у тебя есть штука которая движется и в зависимости от ее места расчитывается во сколько раз увеличивается фигура оставаясь своей увеличенной копией

Это подобие в пространстве где через одну точку (центр гомотетии) пространства, все точки определенной фигуры отдаляются равномерно по коэффициенту k (k≠0). Это можно назвать 'подобие фигур в пространстве'. Все точки удаляются или приближаются, при этом создавая другую фигуру имеющую точно такую же форму.

homotecia представляет собой геометрическое изменение в плоскости, где расстояния от фиксированной точки, называемой центром (O), умножаются на общий коэффициент. Таким образом, каждая точка P соответствует другой точке P ', являющейся произведением преобразования, и они выровнены с точкой O.

Тогда гомотетия - это соответствие между двумя геометрическими фигурами, где преобразованные точки называются гомотетическими, и они выровнены с фиксированной точкой и сегментами, параллельными друг другу..


  • 1 гомотеция
  • 2 свойства
  • 3 типа
    • 3.1 Прямая гомотетия
    • 3.2 Обратная гомотетия
    • 5.1 Первый пример
    • 5.2 Второй пример

    homotecia

    Гомотетия - это преобразование, которое не имеет конгруэнтного изображения, потому что из рисунка будет получена одна или несколько фигур большего или меньшего размера, чем исходная фигура; то есть гомотетия превращает многоугольник в другой подобный.

    Чтобы гомотетия была выполнена, они должны соответствовать точка-точка и прямая-прямая, чтобы пары гомологичных точек были выровнены с третьей фиксированной точкой, которая является центром гомотетии..

    Аналогично, пары линий, которые соединяют их, должны быть параллельными. Соотношение между такими сегментами является константой, называемой коэффициентом гомотетии (k); таким образом, что гомотетия может быть определена как:


    Чтобы сделать этот тип преобразования, вы начинаете с выбора произвольной точки, которая будет центром гомотетии..

    С этой точки отрезки линий рисуются для каждой вершины фигуры, которая должна быть преобразована. Масштаб, в котором выполняется воспроизведение нового рисунка, определяется по причине гомотетии (k)..

    свойства

    Одним из основных свойств гомотетии является то, что по причине гомотетии (k) все гомотетические фигуры схожи. Среди других выдающихся свойств являются следующие:

    - Центр гомотетии (O) - единственная двойная точка, и она превращается в себя; то есть не меняется.

    - Линии, проходящие через центр, трансформируются (они двойные), но точки, составляющие его, не являются двойными.

    - Прямые, которые не проходят через центр, превращаются в параллельные линии; таким образом, углы гомотетии остаются неизменными.

    - Образ сегмента с помощью гомотетии центра O и отношения k представляет собой отрезок, параллельный этому, и имеет k-кратную длину. Например, как видно на следующем изображении, сегмент AB с помощью гомотетики приведет к другому сегменту A'B ', так что AB будет параллельным A'B', а k будет:


    - Гомотетические углы конгруэнтны; то есть они имеют одинаковую меру. Следовательно, изображение угла - это угол, имеющий одинаковую амплитуду..

    С другой стороны, гомотетия варьируется в зависимости от значения ее отношения (k), и могут возникнуть следующие случаи:

    - Если константа k = 1, все точки фиксированы, потому что они трансформируются. Таким образом, гомотетическая фигура совпадает с оригиналом и преобразование будет называться тождественной функцией.

    - Если k ≠ 1, единственной фиксированной точкой будет центр гомотетии (O).

    - Если k = -1, гомотетия становится центральной симметрией (C); то есть вращение вокруг C будет происходить под углом 180 или .

    - Если k> 1, размер преобразованного рисунка будет больше размера исходного.

    - Да 0 0; то есть гомотетические точки находятся на одной стороне относительно центра:


    Коэффициент пропорциональности или отношения сходства между прямыми гомотетическими фигурами всегда будет положительным.

    Гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) — это преобразование, в котором каждая точка \(P\) отображается такой точкой P 1 , что O P 1 → = k ⋅ OP → , где k ≠ 0 .

    Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

    Для гомотетичных фигур F и F 1 в силе формулы отношения периметров P F 1 P F = k и площадей S F 1 S F = k 2 подобных фигур.

    Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать: гомотетия \((O; k)\).

    Homot_1.jpg

    Если фигуры находятся на противоположных направлениях от центра гомотетии, то коэффициент отрицательный.

    Homot_2.jpg

    Центр гомотетии может находиться и внутри фигуры. Серый треугольник из зелёного треугольника \(ABC\) получен гомотетией O ; 1 2 .

    Homot_3.jpg

    Гомотетия \((O; -1)\) — это центральная симметрия или поворот на \(180\) градусов, в данном случае фигуры одинаковые.

    Simetrija_c.jpg

    В отличие от гомотетии, геометрические преобразования — центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос — являются движением, т. к. в них фигура отображается в фигуру, равную данной.

    Гомотетичные фигуры подобны, но подобные фигуры не всегда гомотетичны (в гомотетии важно расположение фигур).

    \[O<A_1></p> <p> = k \cdot OA,\]

    где k — постоянное, отличное от нуля число, O — фиксированная точка.

    Точка O называется центром гомотетии, число k — коэффициентом гомотетии.

    гомотетия с коэффициентом k>0

    Чтобы построить четырёхугольник, гомотетичный 4-угольнику ABCD с центром гомотетии в точке O и коэффициентом k, k>0, нужно провести лучи с началом в точке O, проходящие через вершины A, B, C, D, отложить на них отрезки соответствующей длины:

    \[O<A_1></p> <p> = k \cdot OA\]

    \[O<B_1></p> <p> = k \cdot OB\]

    \[O<C_1></p> <p> = k \cdot OC\]

    \[O<D_1></p> <p> = k \cdot OD\]

    и соединить вершины A1, B1, C1и D1 отрезками.

    \[O<A_1></p> <p>При k = k \cdot OA\]

    \[O<B_1></p> <p> = k \cdot OB\]

    \[O<C_1></p> <p> = k \cdot OC\]

    и соединить вершины A1, B1, C1 отрезками.

    При гомотетии с коэффициентом k=1 каждая точка переводится сама в себя.

    При k= -1 гомотетия является симметрией относительно центра O (то есть центральная симметрия является частным случаем гомотетии).

    Гомотетия есть преобразование подобия. Следовательно, гомотетия обладает свойствами подобия.

    Свойства преобразования гомотетии

    1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые- в полупрямые, отрезки — в отрезки, углы — в углы.

    2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых).

    Преобразование плоскости называется преобразованием подобия или просто подобием, если существует такое число Такое отображение является преобразованием плоскости и называется гомотетией. Точка М0 называется центром гомотетии, а число m — коэффициентом гомотетии. Докажем, что гомотетия — преобразование подобия. Действительно, пусть М1, М2 — произвольные точки плоскости, а , поэтому

    Отсюда получаем: . Таким образом, гомотетия с коэффициентом m является преобразованием подобия с коэффициентом подобия . Отсюда следует, что любая точка М плоскости совпадает с ее образом, т. е. гомотетия с коэффициентом m = 1 является тождественным преобразованием. При m = — 1 из равенства (1) получаем, что гомотетия — центральная симметрия. В остальных случаях (т. е. когда Выберем ортонормированный репер (О, Е1, E2) так, чтобы точка О совпала с центром гомотетии. Если М (х, у) —произвольная точка плоскости, а точка M′ (х', у') — ее образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии:
    Рассмотрим простейшие свойства гомотетии.

    1) Гомотетия с коэффициентом . Подставив сюда значения х, у из (3), получаем уравнение образа этой прямой: Ах'+By'+Сm = 0. Этим уравнением определяется прямая. Если С ≠ 0, то ||, а если С = 0, то и совпадают.

    2) Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

    □ Пусть А, В и С — три точки прямой, а А′, В' и С' — их образы, Отсюда следует, что

    4) Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

    □ Пусть (А, В, С) — произвольный репер, а (А′, В', С') — его образ. Используя формулы (4), получаем: Нетрудно доказать, что если и — преобразования подобия с коэффициентами — преобразование подобия с коэффициентом является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек А и В и их образов A' = () (А), B' = () (В) выполняется равенство A'B'=(А), B1=(B), то А' = (А1), B' = (B1). По определению подобия А1В1 = Теорема 1. Пусть такое, что

    Оно является преобразованием подобия с коэффициентом . Таким образом, существует движение , удовлетворяющая условия (5).

    Пусть теперь . Учитывая равенство (6), мы приходим к выводу, что .

    Гомотетия обладает всеми свойствами 1° — 8° движений. Доказанная теорема позволяет заключить, что и преобразование подобия обладает теми же свойствами. Следовательно, имеет место утверждение: преобразование подобия прямую переводит в прямую, параллельные прямые — в параллельные прямые, сохраняет простое отношение трех точек, полуплоскость переводит в полуплоскость, отрезок — в отрезок, луч — в луч. Преобразование подобия угол переводит в равный ему угол, а перпендикулярные прямые — в перпендикулярные прямые.
    Итак, доказано, что любое преобразование подобия — движение, a сохраняет ориентацию плоскости, то, очевидно, и меняет ориентацию плоскости, то и и найдем аналитическое выражение преобразования . Для этого рассмотрим гомотетию - движение, удовлетворяющее равенству (5). Запишем в системе аналитические выражения преобразований :

    Таким образом, если М (х, у) — произвольная точка плоскости, а М'(х′, у') — ее образ в преобразовании (7)

    Рассмотрим определитель для любого , что — движение первого рода, причем . Таким образом, — поворот вокруг точки О. Возможны три случая.

    1) — тождественное преобразование. В этом случае , т. е. .

    2) — центральная симметрия. Ясно, что в этом случае — вращение на угол . В этом случае . Оно называется центрально-подобным вращением.

    Таким образом, преобразование подобия, имеющее только одну неподвижную точку, является либо гомотетией с коэффициентом , так как в противном случае — движение второго рода. Точка О — неподвижная точка движения , поэтому — осевая симметрия. В этом случае
    Итак, существует шесть типов преобразования подобия, которые приведены в следующей таблице:

    Преобразование пространства называется преобразованием подобия или просто подобием, если существует такое число преобразование подобия сохраняет расстояния, т. е. является движением. Следовательно, движение — частный случай подобия. Примером преобразования подобия, отличного от движения, является гомотетия, которая в пространстве вводится точно так же, как и в плоскости. Зададим точку М0 и вещественное число Это отображение называется гомотетией с центром Мо и коэффициентом m. Для двух точек M1 и М2 и их образов (2)

    Отсюда следует, что (3)

    Пользуясь формулами (3), можно доказать, что гомотетия переводит плоскость (прямую), не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (прямую), а плоскость (прямую), проходящую через центр гомотетии,— в себя. Аналогично, пользуясь формулой (2), убеждаемся в том, что гомотетия сохраняет простое отношение трех точек. Отсюда следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость и полупространство — в полупространство. Из формулы (2) следует также, что гомотетия переводит угол в равный ему угол.
    Докажем, что гомотетия с коэффициентом m сохраняет ориентацию пространства, если

    Отсюда и следует сформулированное выше утверждение.

    Теорема 1, сформулированная и доказанная (см. выше), полностью переносится на пространство, т. е. любое преобразование подобия пространства с коэффициентом

    Читайте также: