Гипотеза де бройля кратко

Обновлено: 04.07.2024

1923 год ознаменовался событием, значимо ускорившим развитие квантовой физики. Французским физиком Л. де Бройлем была предложена гипотеза, предполагающая универсальность корпускулярно-волнового дуализма. В своей концепции Де Бройль сформулировал утверждение о том, что, помимо фотонов и электроны, а также прочие частицы материи имеют как корпускулярные, так и волновые свойства.

Описание гипотезы де Бройля

Идеи де Бройля содержали мысль о том, что любой микрообъект имеет, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p , а с другой стороны, волновые характеристики – частота v и длина волны λ . При этом количественное соотношение корпускулярных и волновых характеристик аналогично тому же для фотона:

E = h v , p = h v c = h λ .

Как уже было сказано выше, в гипотезе французского физика шла речь о всех видах микрочастиц, соответственно и указанное выше соотношение применимо для любых из них, в том числе, и для обладающих массой m . Любая частица, обладающая импульсом, была сопоставлена с волновым процессом с длиной волны λ = h p .

Для частиц, имеющих массу: λ = h p = h 1 - v 2 / c 2 m v .

В нерелятивистском приближении ( υ c )

Основой идей де Бройля стали размышления о симметрии свойств материи, и в то время, увы, гипотеза не получила опытного подтверждения. Однако, она стала мощнейшим катализатором развития новых идей о природе материальных объектов. На протяжении последующих нескольких лет выдающиеся умы XX века (физики В. Гейзенберг, Э. Шредингер, П. Дирак, Н. Бор и др.) создавали теоретические основы новой науки, названной квантовой механикой.

Дифракция электронов

Впервые гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена в 1927 году, когда американские физики К. Девиссон и Л. Джермер выяснили, что пучок электронов, рассеивающийся на кристалле никеля, дает ясную дифракционную картину, похожую на возникающую тогда, когда на кристалле рассеивается коротковолновое рентгеновское излучение. В исследованиях физиков кристалл служил естественной дифракционной решеткой. По тому, какое положение имели дифракционные максимумы, выяснилась длина волны электронного пучка, и она полностью соответствовала той, что вычислялась по формуле де Бройля.

В 1928 году физик из Англии Г. Томсон (являющийся сыном Дж. Томсона, который открыл за 30 лет до этого электрон) вновь подтвердил гипотезу де Бройля. Эксперименты Томсона позволили наблюдать дифракционную картину, которая возникала, когда пучок электронов проходил через тонкую поликристаллическую фольгу из золота.

Рисунок 5 . 4 . 1 . Упрощенная схема опытов Г. Томсона по дифракции электронов. K – накаливаемый катод, A – анод, Ф – фольга из золота.

За фольгой установлена фотопластинка, на которой наблюдались явные концентрические светлые и темные кольца. Радиусы этих колец варьировались в зависимости от скорости электронов (т. е. длины волны) согласно де Бройлю (рис. 5 . 4 . 2 ).

Рисунок 5 . 4 . 2 . Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце при длительной экспозиции ( a ) и при короткой экспозиции ( b ) .

В случае ( b ) видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку.

В последующие годы эксперимент Г. Томсона многократно повторяли и результат был неизменен даже в тех случаях, когда поток электронов был столь слабым, что через прибор единовременно проходила только одна частица (например, опыт В. А. Фабриканта в 1948 г.). Так была доказана идея, что волновые свойства характерны как для большой совокупности электронов, так и для каждого электрона в отдельности.

В последующем явления дифракции обнаружились и для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Доказанное экспериментально наличие волновых свойств различных видов микрочастиц позволило сделать вывод об универсальности этого явления в природе, являющегося общим свойством материи. Если продолжать данное рассуждение, волновыми свойствами должны обладать и макроскопические тела. Но из-за больших показателей массы, присущих макроскопическим телам, их волновые свойства затруднительно доказать при помощи экспериментов.

К примеру, пылинка массой 10 – 9 г , которая движется со скоростью 0 , 5 м / с , обладает волной де Бройля с длиной примерно 10 – 21 м, т. е. меньше размера атома на 11 порядков. Подобная длина волны находится за границами области, которая доступна для наблюдения.

Приведенный пример демонстрирует, что для макроскопических тел доступно лишь проявление корпускулярных свойств.

Приведем еще пример.

U = 100 В , длину волны де Бройля для него мы можем определить по формуле: λ = h 2 m e U

Приведенный пример - нерелятивистский случай, поскольку разница между кинетической энергией электрона e U = 100 э В и энергией покоя m c 2 ≈ 0 , 5 М э В достаточно значима (кинетическая энергия значимо меньше энергии покоя).

В результате расчета получим: λ ≈ 0 , 1 н м , т. е. полученная длина волны примерно соответствует размерам атомов. Для таких электронов кристалл служит отличной решеткой для дифракции. Как раз подобные малоэнергичные электроны показывают четкую дифракционную картину при проведении экспериментов по дифракции электронов. Вместе с этим электрон с такими характеристиками, испытавший дифракционное рассеяние на кристалле как волна, осуществляет взаимодействие с атомами фотопластинки в качестве частицы и вызывает почернение фотоэмульсии в некоторой точке (рис. 5 . 4 . 2 ).

Резюмируя, еще раз отметим, что гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме, доказанная экспериментально, глобально поменяла представления о том, какими свойствами обладают микрообъекты.

Все микрообъекты обладают и волновыми, и корпускулярными свойствами, но при этом не являются ни волной, ни частицей в стандартном представлении.

Одновременного проявления различных свойств микрообъектов не происходит: они являются дополнением друг друга, и лишь их совокупность характеризует микрообъект в целом.

Эти заключения были сформулированы датским физиком Н.Бором и получили название принципа дополнительности. Упрощенно возможно говорить о том, что микрообъекты распространяются как волны, а обмениваются энергией как частицы.

Факт, что необходимо использовать вероятностный подход, описывая микрообъекты, является важной отличительной чертой квантовой теории. Квантовая механика для характеристики состояний микрообъектов включает в себя понятие волновой функции Ψ (пси-функции).

Квадрат модуля волновой функции | Ψ | 2 пропорционален вероятности нахождения микрочастицы в единичном объеме пространства.

Определенный вид волновой функции задается внешними условиями, в которых находится микрочастица. Математический инструментарий квантовой механики дает возможность определять волновую функцию частицы, которая находится в заданных силовых полях. Безграничная монохроматическая волна де Бройля является волновой функцией свободной частицы, на которую не действуют никакие силовые поля.

Максимально четко явление дифракции наблюдается тогда, когда размерность препятствия, на котором происходит дифракция волн, соизмерима с длиной волны. Подобное поведение характерно для волн любой физической природы и, в частности, электронных волн. Для волн де Бройля естественная дифракционная решетка - это упорядоченная структура кристалла с пространственным периодом порядка размеров атома (приблизительно 0 , 1 н м ). Нет возможности создать искусственным образом препятствие указанного размера (к примеру, отверстие в непрозрачном экране), однако, чтобы уяснить природу волн де Бройля, возможно проводить, так сказать, мысленные эксперименты.

Для примера разберем дифракцию электронов на одиночной щели шириной D (рис. 5 . 4 . 3 )

Рисунок 5 . 4 . 3 . Дифракция электронов на щели. График справа – распределение электронов на фотопластинке.

Из общей массы электронов, проходящих через щель, свыше 85 % окажутся в центральном дифракционном максимуме. Угловая полуширина θ 1 этого максимума определится из условия

Указанная формула - часть волновой теории. Если рассуждать, опираясь на корпускулярные свойства, возможно сказать, что, когда электрон проходит через щель, он получает дополнительный импульс в перпендикулярном направлении. Можем пренебречь оставшимися 15 % электронов, попадающих на фотопластинку за пределами центрального максимума, и тогда будем считать, что максимальное значение p y поперечного импульса равно:

p у = p · sin θ 1 = h λ · sin θ 1

В этой формуле p является модулем полного импульса электрона, равным (по гипотезе де Бройля) h λ . Величина p , когда электрон проходит через щель, неизменна, поскольку неизменной является длина волны λ . Указанные выражения дают возможность записать следующее соотношение:

Для задач квантовой механики это несложное с виду соотношение, служащее следствием волновых свойств микрочастицы, имеет глубочайший смысл. Электроны проходят через щель, что есть эксперимент, где y – координата электрона – определяется с точностью Δ y = D .

Величина Δ y носит название неопределенности измерения координаты.

Вместе с тем, точность определения y – составляющей импульса электрона в момент прохождения через щель – равна p y или даже больше, учитывая побочные максимумы дифракционной картины.

Эта величина носит название неопределенности проекции импульса и обозначается как Δ p y .

Показатели Δ y и Δ p y связаны соотношением:

и оно названо соотношением неопределенностей Гейзенбурга.

Величины Δ y и Δ p y следует уяснить в том смысле, что микрочастицы не обладают одновременно точным значением координаты и соответствующей проекцией импульса. Соотношение неопределенностей не имеет отношения к несовершенству используемых приборов, чтобы одновременно измерить координаты и импульс микрочастицы. Соотношение Гейзенбурга есть проявление той самой дуальной корпускулярно-волновой природы материи микрообъектов. Соотношение дает возможность дать оценку тому, насколько применимы к микрочастицам постулаты классической механики. Оно также демонстрирует, что к микрообъектам невозможно применить понятие траектории в классическом понимании, поскольку характеристикой движения по траектории в любой момент времени являются определенные значения координат и скорости. В принципе нет возможности указать траекторию, по которой в некотором мысленном эксперименте двигался некий определенный электрон после прохождения щели до фотопластинки.

И все же определенные условия создают ситуацию, когда соотношение неопределенностей не является противоречием классическому описанию движения тел, в частности, микрочастиц.

К примеру, электронный пучок в кинескопе телевизора при вылете из электронной пушки имеет диаметр D около 10 – 3 с м . В телевизоре ускоряющее напряжение U ≈ 15 к В .

Нетрудно рассчитать импульс электрона: p = 2 m e U ≈ 6 , 6 · 10 - 23 к г · м / с

Данный импульс имеет направление вдоль оси трубки. Из соотношения неопределенностей вытекает, что электронам при формировании пучка сообщается неконтролируемый импульс Δ p , являющийся перпендикуляром к оси пучка: Δ p ≈ h D ≈ 6 , 6 · 10 – 29 к г · м / с .

Допустим, до экрана кинескопа электроны проходят расстояние L ≈ 0 , 5 м . В таком случае размытие Δ l пятна на экране, заданное волновыми свойствами электрона, составит:

∆ l ≈ ∆ p p L ≈ 5 · 10 - 5 с м

Так как Δ l D , возможно рассмотреть движение электронов в кинескопе телевизора при помощи основ классической механики.

Так, используя соотношение неопределенностей, есть возможность выяснять, насколько справедливы законы классической физики в отдельных случаях.

Проведем еще мысленный эксперимент: это будет дифракция электронного пучка на двух щелях
(рис. 5 . 4 . 4 ).

Структура эксперимента аналогична структуре оптического интерференционного опыта Юнга.

Рисунок 5 . 4 . 4 . Дифракция электронов на двух щелях.

Проанализировав данный эксперимент, мы можем отметить некоторые трудности логических умозаключений в квантовой теории. Собственно, то же затруднение имеет место быть при попытке объяснить оптический опыт Юнга на основе концепции фотонов.

Конечно, довольно затруднительно представить с точки зрения присущей нашему мышлению логике, что единственным ответом на указанный выше вопрос является факт, что электрон проходит через обе щели. Нашему мышлению свойственно представлять поток микрообъектов в виде направленного движения, например, маленьких шариков и соответственно описывать это движение, опираясь на законы классической физики. Однако для всех микрочастиц характерны как корпускулярные, так и волновые свойства. Нам легко представится, как электромагнитная световая волна пройдёт сквозь две щели в оптическом эксперименте Юнга, поскольку волна не имеет локализации в пространстве. Но при рассмотрении концепции фотонов приходится принять, что и каждый фотон не имеет локализации. Мы не имеем возможности указать, через какую щель прошел фотон, как и не имеем возможности отследить точную траекторию полета фотона до фотопластинки с указанием точной точки его попадания. Опыты демонстрируют такую картину, что, даже когда фотоны проходят сквозь интерферометр поштучно, интерференционная картина после прохождения многих независимых фотонов все равно имеет место быть. Таким образом, квантовая физика формулирует вывод: фотон интерферирует сам с собой.

Сказанное выше имеет отношение и к эксперименту по дифракции электронов на двух щелях. Все известные экспериментальные факты в своей совокупности могут быть объяснены, если признать, что волна по де Бройлю каждого конкретного электрона проходит одномоментно сквозь обе щели, и, как результат, имеет место явление интерференции.

Поштучный поток электронов также дает интерференцию при длительной экспозиции, т. е. электрон, как и фотон, интерферирует сам с собой.

В 1924 г. французский физик де Бройль высказал смелую гипотезу о сходстве между светом и частицами вещества, что если свет обладает корпускулярными свойствами, то и материальные частицы, в свою очередь, должны обладать волновыми свойствами. Движению любой частицы, обладающей импульсом , сопоставляется волновой процесс с длиной волны:

. (20.1)

Это выражение называется длиной волны де Бройля для материальной частицы.

Существование волн де Бройля может быть установлено лишь на основе опытов, в которых проявляется волновая природа частиц. Так как волновая природа света проявляется в явлениях дифракции и интерференции, то для частиц, обладающих по гипотезе де Бройля волновыми свойствами, должны также обнаруживаться эти явления.

Трудности наблюдения волновых свойств частиц были связаны с тем, что в макроскопических явлениях эти свойства не проявляются.

Зафиксировать такую короткую длину волны не удается ни в одном из опытов. Однако если рассматривать электроны, масса которых очень мала, то длина волны станет достаточной для ее экспериментального обнаружения. В 1927 г. гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах американских физиков Дэвиссона и Джермера.

Простые расчеты показывают, что длины волн, связанных с частицами, должны быть очень малы, т.е. значительно меньше длин волн видимого света. Поэтому дифракцию частиц можно было обнаружить не на обычной дифракционной решетке для видимого света (с постоянной решетки ), а на кристаллах, атомы в которых расположены в определенном порядке на расстояниях друг от друга ≈ .

Вот почему в своих опытах Дэвиссон и Джермер изучали отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе.

Схема опыта представлена на рис. 20.1. В вакууме узкий пучок моноэнергетических электронов, получаемый с помощью электронно-лучевой трубки 1, направлялся на мишень 2 (поверхность монокристалла никеля, сошлифованная перпендикулярно к большой диагонали кристаллической ячейки). Отраженные электроны улавливались детектором 3, соединенным с гальванометром. Детектором, который можно было устанавливать под любым углом относительно падающего луча, улавливались только те электроны, которые испытывали упругое отражение от кристалла.

Объяснить результаты эксперимента оказалось возможным лишь на основе волновых представлений об электронах. Атомы никеля, расположенные на шлифованной поверхности, образуют регулярную отражательную дифракционную решетку. Ряды атомов перпендикулярны плоскости падения. Расстояние между рядами d = 0,091 нм. Эта величина была известна из рентгенографических исследований. Энергия электронов невелика и они не проникают глубоко в кристалл, поэтому рассеяние электронных волн происходит на поверхностных атомах никеля. В некоторых направлениях рассеянные от каждого атома волны усиливают друг друга, в других – происходит их гашение. Усиление волн произойдет в тех направлениях, в которых разность расстояний от каждого атома до точки наблюдения равняется целому числу длин волн (рис. 20.2).

Для бесконечно удалённой точки условие усиления рассеянных волн запишется в виде 2dsinθ = nλ (формула Бреггов, n − порядки дифракционных максимумов). Для и значения угла дифракции соответствует длина волны

нм. (20.2)

Поэтому движение каждого электрона можно описать с помощью волны с длиной 0,167 нм.

Формула де Бройля (20.1) приводит к такому же результату для длины волны. Электрон, ускоренный в электрическом поле разностью потенциалов , обладает кинетической энергией . Так как модуль импульса частицы связан с ее кинетической энергией соотношением , то выражение (20.1) для длины волны можно записать в виде: . (20.3)

Подставив в (20.3) численные значения величин, получим:

Оба результата хорошо совпадают, что подтверждает наличие волновых свойств у электронов.

В 1927 г. волновые свойства электронов были подтверждены в независимых экспериментах Томсона и Тартаковского. Ими были получены дифракционные картины при прохождении электронов через тонкие металлические пленки.

В опытах Томсон электроны в электрическом поле разгонялись до больших скоростей при ускоряющем напряжении , что соответствовало длинам волн электронов от до (согласно формуле (20.3)). При этом вычисления проводились по релятивистским формулам. Тонкий пучок быстрых электронов направлялся на золотую фольгу толщиной Использование быстрых электронов связано с тем, что более медленные электроны сильно поглощаются фольгой. За фольгой помещали фотопластинку (рис.20.3).

Действие электронов на фотопластинку аналогично действию быстрых фотонов рентгеновского диапазона при прохождения их через фольгу из алюминия.

Другое доказательство дифракции электронов в кристаллах дают сходные снимки электронограммы и рентгенограммы одного и того же кристалла. С помощью этих снимков можно определить постоянную кристаллической решетки. Вычисления, проведенные с помощью двух различных методов, приводят к одинаковым результатам.После продолжительной бомбардировки фольги электронами на фотопластинке образовывалось центральное пятно, окруженное дифракционными кольцами. Происхождение дифракционных колец такое же, как и в случае дифракции рентгеновских лучей.

Наиболее наглядные экспериментальные результаты, подтверждающие волновую природу электронов, получены в опытах по дифракции электронов

Рис. 20.4

на двух щелях (рис. 20.4), выполненных впервые в 1961 г. К. Йёнсоном. Эти опыты – прямая аналогия опыта Юнга для видимого света.

Поток электронов, ускоренных разностью потенциалов 40 кВ, после прохождения двойной щели в диафрагме попадал на экран (фотопластинку). В местах попадания электронов на фотопластинке образуются темные пятна. При большом числе электронов на фотопластинке наблюдается типичная интерференционная картина в виде чередующихся максимумов и минимумов интенсивности электронов, полностью аналогичная интерференционной картине для видимого света. Р₁₂ − вероятность попадания электронов в различные участки экрана на расстоянии x от центра. Максимальная вероятность соответствует дифракционному максимуму, нулевая вероятность – дифракционному минимуму

Характерно, что все описанные результаты опытов по дифракции электронов наблюдаются и в том случае, когда электроны пролетают через экспериментальную установку “поодиночке”. Этого можно добиться при очень малой интенсивности потока электронов, когда среднее время пролета электрона от катода до фотопластинки меньше, чем среднее время между испусканием двух последующих электронов с катода. На рис. 20.5 показаны фотопластинки после попадания различного числа электронов (экспозиция возрастает от рис. 20.5а к рис. 20.5в).

Последовательное попадание на фотопластинку все возрастающего количества одиночных электронов постепенно приводит к возникновению четкой дифракционной картины. Описанные результаты означают, что в данном эксперименте электроны, оставаясь частицами, проявляют также волновые свойства, причем эти волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, а не только системе из большого числа частиц.

В 1929 г. Штерн и Эстерман показали, что и атомы гелия ( ) и молекулы водорода ( ) также претерпевают дифракцию. Для тяжелых химических элементов длина волны де Бройля очень мала, поэтому дифракционные картины либо совсем не получались, либо были весьма расплывчатыми. Для легких атомов гелия и молекул водорода средняя длина волны при комнатной температуре порядка 0,1 нм, то есть того же порядка, что и постоянная кристаллической решетки. Пучки этих атомов не проникали вглубь кристалла, поэтому дифракция молекул осуществлялась на плоских двумерных решетках поверхности кристалла, аналогично дифракции медленных электронов на плоской поверхности кристалла никеля ( ) в опытах Дэвиссона и Джермера. В результате наблюдались четкие дифракционные картины. Позднее была обнаружена дифракция на решетках кристаллов очень медленных нейтронов.

. (20.1)

Это выражение называется длиной волны де Бройля для материальной частицы.

нм. (20.2)

Поэтому движение каждого электрона можно описать с помощью волны с длиной 0,167 нм.

Подставив в (20.3) численные значения величин, получим:

Оба результата хорошо совпадают, что подтверждает наличие волновых свойств у электронов.

Рис. 20.4

Недостатки теории Бора указывали на необходимость пересмотра основ квантовой теории и представлений о природе микрочастиц (электронов, протонов и т.п.). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризующейся определенными координатами и определенной скоростью.

Мы уже знаем, что в оптических явлениях наблюдается своеобразный дуализм. Наряду с явлениями дифракции, интерференции (волновыми явлениями) наблюдаются и явления, характеризующие корпускулярную природу света (фотоэффект, эффект Комптона).

В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью только оптических явлений, а имеет универсальный характер. Частицы вещества также обладают волновыми свойствами.

Бройль (1892–1987), французский физик, удостоенный Нобелевской премии (1929 г). по физике за открытие волновой природы электрона. В 1923 г., развив идею А. Эйнштейна о двойственной природе, предположил, что поток материальных частиц должен обладать и волновыми свойствами, связанными с их массой и энергией (волны де Бройля). Экспериментальное подтверждение этой идеи было получено в 1927 г. в опытах по дифракции электронов в кристаллах, а позже она получила практическое применение при разработке магнитных линз для электронного микроскопа. Концепцию Луи де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме использовал Э. Шредингер при создании волновой механики.

Если фотон обладает энергией и импульсом , то и частица (например электрон), движущаяся с некоторой скоростью, обладает волновыми свойствами, т.е. движение частицы можно рассматривать как движение волны.

Согласно квантовой механике, свободное движение частицы с массой m и импульсом (где υ – скорость частицы) можно представить как плоскую монохроматическую волну (волну де Бройля) с длиной волны

распространяющуюся в том же направлении (например в направлении оси х), в котором движется частица (рис. 3.1).

Зависимость волновой функции от координаты х даётся формулой

где – волновое число, а волновой вектор направлен в сторону распространения волны или вдоль движения частицы:

Таким образом, волновой вектор монохроматической волны, связанной со свободно движущейся микрочастицей, пропорционален её импульсу или обратно пропорционален длине волны.

Поскольку кинетическая энергия сравнительно медленно движущейся частицы , то длину волны можно выразить и через энергию:

При взаимодействии частицы с некоторым объектом – с кристаллом, молекулой и т.п. – её энергия меняется: к ней добавляется потенциальная энергия этого взаимодействия, что приводит к изменению движения частицы. Соответственно, меняется характер распространения связанной с частицей волны, причём это происходит согласно принципам, общим для всех волновых явлений. Поэтому основные геометрические закономерности дифракции частиц ничем не отличаются от закономерностей дифракции любых волн. Общим условием дифракции волн любой природы является соизмеримость длины падающей волны λ с расстоянием d между рассеивающими центрами: .

Гипотеза Луи де Бройля была революционной, даже для того революционного в науке времени. Однако, она вскоре была подтверждена многими экспериментами.

На уроке рассматриваются следующие вопросы: основное уравнение корпускулярно-волнового дуализма и его следствия, экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля в опытах Девиссона – Джермера, Дж. П. Томсона, В. А. Фабриканта и других исследователей. Совпадения результатов этих опытов с Лауэграммами.

Читайте также: