Функциональная зависимость алгебра кратко

Обновлено: 05.07.2024

Если имеются два атрибута А и В какого-либо отношения, то говорят, что В функционально зависит от А, если в каждый момент времени каждому значению А соответствует лишь одно значение В.

Функциональную зависимость (ФЗ) обозначают $А \to В$. Обратим внимание, что А и В могут быть не только единичными атрибутами, но и группами, которые составлены из нескольких атрибутов одного отношения.

С помощью функциональных зависимостей можно накладывать на реляционную схему дополнительные ограничения. Основной идеей является то, что значением одного атрибута в кортеже однозначно определяется значение другого атрибута.

К примеру, в каждом кортеже на рисунке 1 Фамилия однозначно определяется № работника; Специальность однозначно определяется № работника. Данные функциональные зависимости записывают в виде:

ФЗ: № работника $\to$ фамилия, ФЗ: № работника $\to$ специальность.

Функциональная зависимость значением одного атрибута в кортеже однозначно определяет значение другого атрибута в кортеже.

Готовые работы на аналогичную тему

Другими словами функциональная зависимость определяется следующим образом:

Если в таблице R существуют атрибуты А и В, то запись

значит, что при одном и том же значении атрибута А двух кортежей в таблице R они будут иметь одно и то же значение атрибута В.

Данное определение можно применить также в случае, когда А и В являются множеством столбцов, а не просто отдельными столбцами.

Детерминантом называют атрибут в левой части функциональной зависимости, т.к. его значением однозначно определяется значение атрибута в правой части.

Детерминантом всегда является ключ таблицы, т.к. его значением однозначно определяется значение каждого атрибута таблицы.

Типы функциональных зависимостей

Не все функциональные зависимости являются желательными.

Избыточной функциональной зависимостью называют зависимость, которая заключает в себе такую информацию, которую можно получить на основе других зависимостей, содержащихся в базе данных.

Схема базы данных без избыточных функциональных зависимостей считается корректной. В обратном случае необходимо прибегнуть к процедуре разложения (декомпозиции) существующего множества отношений. При этом множество, которое создается, будет содержать большее количество отношений, являющиеся проекциями отношений исходного множества.

Процесс замены этой совокупности отношений другой схемой с устраненными избыточными функциональными зависимостями называют нормализацией.

Существует еще несколько видов функциональной зависимости.

Транзитивная функциональная зависимость. Пусть А, В, С – атрибуты какого-либо отношения. При этом $А \to В$ и $В \to С$ и отсутствует обратное соответствие, то есть $С \not \to В$ и $В \not \to А$. В таком случае С транзитивно зависит от А.

Многозначная зависимость. Пусть А, В, С – атрибуты некоторого отношения R. В данном отношении R существует многозначная зависимость $R.А \to R.В$ лишь в том случае, когда множество значений В, которое соответствует паре значений А и С, зависит только от А и не зависит от С.

В публикации представлена логика различия понятия о функциональных зависимостях для учащихся основного общего и среднего (полного) общего образования как переходной этап формирования логики функциональных зависимостей для математических и физических величин при использовании их как методов подхода решения задач по математике, физике и других наук.

Вложение	Размер
algebraicheskie_funktsionalnye_zavisimosti.docx	21.75 КБ

Предварительный просмотр:

Алгебраические функциональные зависимости

у=3х; у=ах 2 +4b; у=0,5х 2 +2;

Множество у нельзя называть функцией. Для функции заданной алгебраическим видом у=2х 2 –6 записи вида у=f(х) или f(х)=2х 2 –6 не правильные. Выходит для у=f(х) это (у=у=2х 2 –6), которое является не понятным выражением. Или для f(х)=2х 2 –6 это (у=2х 2 –6=2х 2 –6), которое тоже является непонятным выражением.

Все выше перечисленные понятия полностью соответствуют и суждениям, применяемым в математике, физике и других науках.

1 Какое алгебраическое выражение называют функциональной зависимостью?

2 Что общего и чем отличаются алгебраические выражения вида формулы и функциональной зависимости?

Если две переменные величины находятся между собой в такой зависимости, что каждому значению одной переменной соответствует строго определённое значение другой, то первая величина называется аргументом, а вторая его функцией.

Функция — это зависимая переменная величина. Аргумент — это независимая переменная. Зависимость функции от аргумента называется функциональной зависимостью.

Если нужно указать на тот факт, что y функция от x, не акцентируя внимания на то, в какой именно зависимости находится функция от аргумента, то пишут просто:

y = f(x),

где f (начальная буква слова function — функция) заменяет слово функция , y — это функция, а x — аргумент.

Иногда, чтобы показать, что y зависит от x, пишут просто:

Обратите внимание, что вместо y и x могут использоваться любые другие буквы.

Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции. Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Для функции f приняты следующие обозначения:

D(f) — область определения функции
(множество значений аргумента).

E(f) — множество значений функции.

f(x₀) — значение функции в точке x₀.

Пример. Возьмём формулу нахождения расстояния по скорости и времени:

S = vt,

где S — это расстояние, v — скорость, а t — время. Если взять скорость, равную 50 км/ч, то каждому неотрицательному значению t будет соответствовать строго определённое значение S:

t (ч)	1	1,5	2	2,5	3
S (км)	50	75	100	125	150

Следовательно, S является функцией от t — S(t) , область определения функции — D(S) ⩾ 0, так как время не может быть отрицательным, но при этом можно не затратить времени вообще, если не двигаться, в этом случае t = 0. Значение этой функции в точке t₀ можно обозначить в виде S(t₀), то есть записать таблицу со значениями в таком виде:

S(1) = 50, S(1,5) = 75, S(2) = 100, S(2,5) = 125, S(3) = 150.

16. Функциональная зависимость, или функция, — это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

17. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — числа.

Графиком линейной функции у = kx + b является прямая. Число k называют угловым коэффициентомпрямой, являющейся графиком функции у = kx + b.

Если k ≠ 0, то график функции у = kx + b пересекает ось х; если k = 0 и b ≠ 0, то прямая — график функции у = kx + b, параллельна оси х; если k = 0 и b = 0, то график функции совпадает с осью х.

Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.

Линейную функцию, задаваемую формулой у = kx при k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью.

График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. При k 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k — во второй и четвёртой координатных четвертях.

18. График функции у = х 2 — парабола. Этот график проходит через начало координат и расположен в первой и второй координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.

График функции у = х 3 проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.

Статистические характеристики

Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Модой ряда чисел называют число, которое встречается в данном ряду чаще других. Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называют число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называют среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Например, медиана ряда чисел 17, 21, 27, 29, 32, 37, 41 равна 29, а медиана ряда чисел 28, 43, 54, 56, 58, 62равна 55.

Медианой произвольного ряда чисел называют медиану соответствующего упорядоченного ряда.

Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Функциональная зависимость атрибутов отношения напоминает понятие функциональной зависимости в математике. Но это не одно и то же. Для сравнения напомним математическое понятие функциональной зависимости:

Определение 2. Функциональная зависимость (функция) - это тройка объектов , где

- множество (область определения),

- множество (множество значений),

- правило, согласно которому каждому элементу ставится в соответствие один и только один элемент (правило функциональной зависимости).

Функциональная зависимость обычно обозначается как или .

Замечание. Правило может быть задано любым способом - в виде формулы (чаще всего), при помощи таблицы значений, при помощи графика, текстовым описанием и т.д.

Функциональная зависимость атрибутов отношения тоже напоминает это определение. Действительно:

В качестве области определения выступает домен, на котором определен атрибут (или декартово произведение доменов, если является множеством атрибутов)
В качестве множества значений выступает домен, на котором определен атрибут (или декартово произведение доменов)
Правило реализуется следующим алгоритмом - 1) по данному значению атрибута найти любой кортеж отношения, содержащий это значение, 2) значение атрибута в этом кортеже и будет значением функциональной зависимости, соответствующим данному . Определение функциональной зависимости в отношении гарантирует, что найденное значение не зависит от выбора кортежа, поэтому правило определено корректно.

Отличие от математического понятия отношения состоит в том, что, если рассматривать математическое понятие функции, то для фиксированного значения соответствующее значение функции всегда одно и то же. Например, если задана функция , то для значения соответствующее значение всегда будет равно 4. В противоположность этому в отношениях значение зависимого атрибута может принимать различные значения в различных состояниях базы данных. Например, атрибут ФАМ функционально зависит от атрибута Н_СОТР. Предположим, что сейчас сотрудник с табельным номером 1 имеет фамилию Иванов, т.е. при значении детерминанта равного 1, значение зависимого аргумента равно "Иванов". Но сотрудник может сменить фамилию, например на "Сидоров". Теперь при том же значении детерминанта, равного 1, значение зависимого аргумента равно "Сидоров".

Таким образом, понятие функциональной зависимости атрибутов нельзя считать полностью эквивалентным математическому понятию функциональной зависимости, т.к. значение этой зависимости различны при разных состояниях отношения, и, самое главное, эти значения могут меняться непредсказуемо.

Функциональная зависимость атрибутов утверждает лишь то, что для каждого конкретного состояния базы данных по значению одного атрибута (детерминанта) можно однозначно определить значение другого атрибута (зависимой части). Но конкретные значение зависимой части могут быть различны в различных состояниях базы данных.

2НФ (Вторая Нормальная Форма)

Определение 3. Отношение находится во второй нормальной форме (2НФ) тогда и только тогда, когда отношение находится в 1НФ и нет неключевых атрибутов, зависящих от части сложного ключа. (Неключевой атрибут – это атрибут, не входящий в состав никакого потенциального ключа).

Замечание. Если потенциальный ключ отношения является простым, то отношение автоматически находится в 2НФ.

Отношение СОТРУДНИКИ_ОТДЕЛЫ_ПРОЕКТЫ не находится в 2НФ, т.к. есть атрибуты, зависящие от части сложного ключа:

Зависимость атрибутов, характеризующих сотрудника от табельного номера сотрудника является зависимостью от части сложного ключа:

Н_СОТР ФАМ

Н_СОТР Н_ОТД

Н_СОТР ТЕЛ

Зависимость наименования проекта от номера проекта является зависимостью от части сложного ключа:

Н_ПРО ПРОЕКТ

Для того, чтобы устранить зависимость атрибутов от части сложного ключа, нужно произвести декомпозицию отношения на несколько отношений. При этом те атрибуты, которые зависят от части сложного ключа, выносятся в отдельное отношение.

Отношение СОТРУДНИКИ_ОТДЕЛЫ_ПРОЕКТЫ декомпозируем на три отношения - СОТРУДНИКИ_ОТДЕЛЫ, ПРОЕКТЫ, ЗАДАНИЯ.

Отношение СОТРУДНИКИ_ОТДЕЛЫ (Н_СОТР, ФАМ, Н_ОТД, ТЕЛ):

Зависимость атрибутов, характеризующих сотрудника от табельного номера сотрудника:

Н_СОТР ФАМ

Н_СОТР Н_ОТД

Н_СОТР ТЕЛ

Зависимость номера телефона от номера отдела:

Н_ОТД ТЕЛ

Н_СОТР	ФАМ	Н_ОТД	ТЕЛ
1	Иванов	11-22-33
2	Петров	11-22-33
3	Сидоров	33-22-11

Определение 2. Функциональная зависимость (функция) - это тройка объектов , где

- множество (область определения),

- множество (множество значений),

Функциональная зависимость обычно обозначается как или .

Функциональная зависимость атрибутов отношения тоже напоминает это определение. Действительно:

В качестве области определения выступает домен, на котором определен атрибут (или декартово произведение доменов, если является множеством атрибутов)
В качестве множества значений выступает домен, на котором определен атрибут (или декартово произведение доменов)
Правило реализуется следующим алгоритмом - 1) по данному значению атрибута найти любой кортеж отношения, содержащий это значение, 2) значение атрибута в этом кортеже и будет значением функциональной зависимости, соответствующим данному . Определение функциональной зависимости в отношении гарантирует, что найденное значение не зависит от выбора кортежа, поэтому правило определено корректно.

2НФ (Вторая Нормальная Форма)

Замечание. Если потенциальный ключ отношения является простым, то отношение автоматически находится в 2НФ.

Отношение СОТРУДНИКИ_ОТДЕЛЫ_ПРОЕКТЫ не находится в 2НФ, т.к. есть атрибуты, зависящие от части сложного ключа:

Н_СОТР ФАМ

Н_СОТР Н_ОТД

Н_СОТР ТЕЛ

Зависимость наименования проекта от номера проекта является зависимостью от части сложного ключа:

Н_ПРО ПРОЕКТ

Отношение СОТРУДНИКИ_ОТДЕЛЫ_ПРОЕКТЫ декомпозируем на три отношения - СОТРУДНИКИ_ОТДЕЛЫ, ПРОЕКТЫ, ЗАДАНИЯ.

Отношение СОТРУДНИКИ_ОТДЕЛЫ (Н_СОТР, ФАМ, Н_ОТД, ТЕЛ):

Зависимость атрибутов, характеризующих сотрудника от табельного номера сотрудника:

Читайте также: