Евклидова геометрия это кратко

Обновлено: 19.05.2024

В число новых предметов учебного плана 7 класса входит геометрия. К изучению этого раздела математике школьников готовят ещё с 1 класса. И в течение пяти лет они овладевают геометрическими образами, фактами и терминами.

Начало геометрии дал древнегреческий ученый Евдем Родосский. Геометрия возникла в Египте при измерение земли. Сезострис , египетский царь, - рассказывает греческий историк Геродот, живший в 5 веке до н. э.,- произвёл деление земель , отмежевав каждому египтянину участок по жребию. Приведенные тексты древнегреческих авторов Геродота и Евдемма Родосского очень ценны. Они утверждают о всеобщих геометрических знаниях в Египте более 4000 лет назад. А также сохранились и подлинные записи египетской математике. Самым древним является папирус, написанный примерно в 1900 г. До н.э. Папирус приобрёл известный русский египтолог В.С. Голенищев в 1893 г. А в 1912 г. он стал достоянием Московского музея. В Московском папирусе среди 25 задач математике также содержится 7 геометрических.

Еще хранится в Британском музее папирус Ахмеса. В этом папирусе рассмотрено решение 84 прикладных задач, в том числе 20 геометрических. Особую роль в дальнейшем развитии геометрии сыграло накопление геометрических знаний в Египте и в Вавилоне. Около двух с половиною тысяч лет назад греки начинают заимствовать геометрические познания у египтян и вавилонян. В Греции эти знания сначала почти исключительно применяются к измерению земельных участков. Отсюда и появляется греческое название “геометрия”. Первым испытал свои силы в написании такого сочинения геометрии 5 в. до н.э. Гиппократ Хиосский, научная деятельность которого протекала в Афинах. В основу своих геометрических знаний Гиппократ положил простейшие геометрические свойства, подтверждённые многовековым опытом человечества. Остальные же предложения геометрии он стремился вывести из исходных путем рассуждений.

Сформулировав определения, постулаты и аксиомы, Евклид доказывает в книге 1 свойства треугольников среди которых – условия равенства, причем два треугольника равны, если они совмещаются при наложении. Далее описывается построения биссектрисы угла, отрезка и перпендикуляра к прямой. В эту книгу включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур.

В книге 2 заложены основы так называемой геометрической алгебры. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Произведение двух чисел, АВ, таким образом, – не что иное, как площадь прямоугольника со сторонами А и В. Произведение трех чисел – объем.

Книга 3 целиком посвящена геометрии окружности, а в книге 4 изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

Книга 5 написана на более высоком уровне, а теория отношений, которая в ней изучается, – вещь очень тонкая. Теория пропорций представляет собой шедевр математической литературы всех времен. На протяжении многих веков она интересовала математиков. Однако построение множества чисел не входило в намерение Евклида, он лишь стремился обосновать измерение величин.

Евклид включает в понятие величины длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы, хотя нигде об этом не писал. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, избегая также обращение к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Книга 6 также посвящена планиметрии.

В книгах 7-9 изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входят теории делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Книга 10 читается с трудом, но считается одной из самых тонких; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямым и прямоугольниками.

Книга 11 посвящена стереометрии. В книге 12, с помощью метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги 13 является построение правильных многогранников.

Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Древнейший из их, написанный Проклом, является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. В частности, Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т.н. Эвдемов обзор), обсуждает весьма непростую взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль созерцания в доказательствах (фрагмент из Порфирия). Из древних комментаторов следует упомянуть еще Паппа, из новых Пьера Рамуса,Федериго Коммандино, Христофа Шлюсселя (Клавия) и Савелиуса.

В число утверждений, которые принимаются в “Началах” без доказательства, входила и аксиома о параллельных линиях. Эта аксиома по многим причинам смущала математиков. Она значительно сложнее других аксиом. Сложнее и по утверждаемому его факту, и по своей формулировке. С этой целью стремились доказать аксиому о параллельных. Пытались логически вывести её утверждение из остальных аксиом Евклида. Не один раз казалось, что многовековые поиски доказательств правили, наконец, к успеху. Великий русский математик Н.И. Лобачевский впервые строго научно установил полную бесплодность попыток доказательств аксиом о параллельных. Он доказал, что утверждение этой аксиомы нельзя вывести из остальных аксиом Евклида. Геометрия Лобачевского в настоящее время имеет широкое применение. На неё опираются очень многие теории современной физики и астрономии. Однако область применений геометрии Евклида остаётся достаточно широкой. Её должны знать все , независимо от своей будущей специальности. А потому евклидову геометрию изучают и будут изучать в школах.

Содержание

Основные сведения

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. Так, к элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Аксиоматика

Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.

  1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
  2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
  3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
  4. Все прямые углы равны между собой.
  5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту.

В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.

Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:

  • аксиоматика Тарского
  • аксиоматика Биргофа, содержащая всего 4 аксиомы, но использующая вещественные числа как готовое понятие.

См. также

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Евклидова геометрия" в других словарях:

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — ЕВКЛИДОВА геометрия, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Современная энциклопедия

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.) Длительный процесс… … Большой Энциклопедический словарь

Евклидова геометрия — ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Евклидова геометрия — геометрия, систематическое построение которой было впервые дано в 3 в. до н. э. Евклидом. Система аксиом Е. г. опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: «точка лежит на прямой на… … Большая советская энциклопедия

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия пространства, описываемого системой аксиом, первое систематическое (но не достаточно строгое) изложение к рой было дано в Началах Евклида. Обычно пространство Е. г. описывается как совокупрость объектов трех родов, называемых точками ,… … Математическая энциклопедия

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систе матич. построение к рой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Е. г. связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.). Длит. процесс углубления наших… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Евклидова геометрия — геометрия, построенная на базе аксиом абсолютной геометрии (являющейся общей частью как евклидовой, так и геометрии Лобачевского) и знаменитой аксиомы Евклида о параллельных (через точку А, не принадлежащую прямой а, в плоскости, определяемой… … Начала современного естествознания


Краткая биография

Биография Евклида до конца не изучена, к примеру, до сих пор неизвестен год рождения. Известно, что он появился на свет в небольшом районе Афин и был платоновским учеником.


Подъем его научной работы пришелся на правление Птолемея Первого. Некоторые сведения о его жизни можно проследить по арабским рукописям и архимедовым письмам к друзьям. Так, по ним можно определить, что Евклид был сыном греческого ученого и жил около Тира в Сирии.

С малых лет получал знания о мире от своего отца, он же привил сыну любовь к естественным наукам, а затем Евклид поступил в школу Платона, где и обучился математическим основам.

Повзрослев, его пригласили в храм Мусейон (по другим данным он был одним из его основателей), в котором собирались видные ученые с поэтами. Тут были классы для занятий. Также храм был заполнен садами с башнями астрономии, помещениями для одиноких размышлений и большой библиотекой.

В Мусейоне он смог открыть школу с лучшими математиками и монументальный труд в области математики, в котором заложил планиметрические основы со стереометрией, теорией чисел, законами алгебры, методами нахождения площадей с объемами и др.


Все оставшиеся годы жизни посвятил изучению естественных наук и математических законов, отчего его называют отцом геометрии. О других аспектах его жизни неизвестно до сих пор. Умер в Александрии.

Геометрия. Раздел математики

Постулаты Евклида

  • Книги от первой до шестой посвящены геометрии плоскости.
  • Книги семь-девять имеют дело с теорией чисел
  • Книга восьмая о геометрической прогрессии
  • Книга десятая посвящена иррациональным числам
  • Книги одиннадцать-тринадцать представляют собой трехмерную геометрию (стереометрию).

Гений Евклида состоял в том, чтобы взять в оборот множество разнообразных элементов математических идей и объединить их в один логический, последовательный формат.

Лемма Евклида, которая утверждает, что фундаментальное свойство простых чисел состоит в том, что если простое число делит произведение двух чисел, оно должно делить по крайней мере одно из этих чисел.

Свои знания в планиметрии и стереометрии гениальный мыслитель формулировал в виде аксиом и постулатов. Система аксиом касалась четырёх понятий: точки, прямой, плоскости, движения, а также взаимоотношения этих понятий между собой.

Постулаты и аксиомы из трудов “Начала” Евклида


Универсальные аксиомы Евклида

1) величины, равные одному и тому же, равны и между собой;

2) если к равным величинам прибавляются равные, то и целые величины будут равны;

3) если от равных величин отнимаются равные, то остатки будут равны;

4) совмещающиеся (совпадающие) друг с другом величины равны между собой;

5) целое больше части.

1) от всякой точки до всякой точки возможно провести участок прямой;

2) участок прямой возможно непрерывно продолжать по прямой;

3) из любой начальной точки участка прямой всяким радиусом может быть описана окружность, наряду с этим эта точка станет ее центром;

4) все прямые углы конгруэнтны (т. е. смогут быть преобразованы друг в друга);

5) если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов (равных 90°), то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.

V постулат знаменит как постулат о параллельности. Позднее было доказано, что он недоказуем, что привело к появлению новых форм геометрии, основанных на другом комплекте аксиом.


Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.


В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Алгоритм Евклида

Используя лемму Евклида, эта теорема утверждает, что каждое целое число больше единицы либо само по себе простое число, либо произведение простых чисел и что существует определенный порядок простых чисел.

Евклидов алгоритм — эффективный метод вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, наибольшего числа, которое делит их оба, не оставляя остатка.

Достижения Евклида

Основная масса трудов учёного была написана по математике:

Известны труды учёного по смежным дисциплинам – музыке, астрономии, оптике:

Арабские учёные считают этого математика автором некоторых работ по механике и определению удельного веса тел.

Евклид и античная философия

Геометрия и компьютерная графика

Компьютерная анимация (CGI) преображает сложные природные формы (такие, как лицо) в комплект несложных форм. Так, сложный объект создаётся за счет комбинации несложных объектов и может изменяться в следствии трансформации их геометрии. В базе данной идеи — изучения математиков, например, французско-американского ученого Бенуа Мандельброта, который в 1974 г. продемонстрировал, что естественные формы подчиняются правилам фрактальной размерности (неэвклидова геометрия), а в рамках классической евклидовой геометрии смогут быть измерены только примерно.


Компьютерная графика на основе фракталов Мандельброта

О том как знание математики позволяет заработать на майнинге криптовалюты.

Псевдо-Евклид

Достижения Евклида

Достижения Евклида имели огромное значение для мировой истории, математики и других наук.

Он был первым, кто:

  • систематизировал известные труды предшественников в единый сборник из 13 книг;
  • создал 5 постулатов НОД и 5 аксиом в области геометрии;
  • охарактеризовал все известные геометрические фигуры, дал понятие кривым линиям, коническим сечениям и другим явлениям;
  • создал трактат по ошибкам при изучении и создании геометрических доказательств;
  • доказал практическое использовании математики при изучении звезд, небесных тел, космоса и других наук;
  • изучил свет с законами его распространения;
  • изучил зеркала и способности преломления в них световых лучей;
  • создал простейшую теорию в области музыки;
  • создал постулаты и формулы по механики и определил удельный вес тел.

Математика

Евклид — отец математики. Он сформулировал теоремы по планиметрии, упростил понимание теоремы Пифагора и теоремы о сумме углов треугольника, прописал свойства правильных многоугольников и законы построения правильных пятнадцатиугольников, указал, как применима алгебры в жизни и каковы ее основные теории, вписал теорию о целом и рациональном числе, рассмотрел квадратичную иррациональность, заложил основы стереометрической науки, доказал теоремы, касающиеся площади круга с объемом шара, вывел отношение объема пирамид с конусами, призмами и цилиндрами.

Другие науки

Помимо математики, ученый работал с оптикой, астрономией, логикой и музыкой. Так, в оптике он дал сведения об оптической перспективе, зеркальных искажениях и отражениях световых лучей в зеркале.

Тексты и переводы

Старые русские переводы

  • Эвклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранные и в осмь книг чрез профессора мафематики А. Фархварсона сокращённые. / Пер. с лат. И. Сатарова. СПб., 1739. 284 стр.
  • Елементы геометрии, то есть первые основания науки о измерении протяжении, состоящие из осьми Евклидовых книг. / Пер. с франц. Н. Курганова. СПб., 1769. 288 стр.
  • Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: 1-я, 2-я, 3-я, 4-я, 5-я, 6-я, 11-я и 12-я. / Пер. с греч. СПб., 1784. 370 стр.
    • 2-е изд. … к сим прилагаются книги 13-я и 14-я. 1789. 424 стр.

    Средневековые армянские переводы

    Современные издания сочинений Евклида

    • Heath T. L. The thirteen books of Euclid’s Elements. 3 vols. Cambridge UP, 1925. Editions and translations: Greek (ed. J. L. Heiberg), English (ed. Th. L. Heath)
    • Euclide. Les éléments. 4 vols. Trad. et comm. B. Vitrac; intr. M. Caveing. P.: Presses universitaires de France, 1990—2001.
    • Barbera A. The Euclidian Division of the Canon: Greek and Latin Sources // Greek and Latin Music Theory. Vol. 8. Lincoln: University of Nebraska Press, 1991.

    Интересные факты из жизни


    Несколько любопытных фактов из биографии Евклида:

    В целом, Евклид является отцом геометрии, и он не случайно так называется. Он первым сделал сложное понятным и дал толчок развитию естественных наук. Его книги неоценимы по значимости и применяются сегодня в области математических и геометрических наук во всем мире.

    Литература



    Биография

    Библиография

    Античные Начал

    Исследования

    О Началах Евклида

    О других сочинениях Евклида

    Кол-во блоков: 25 | Общее кол-во символов: 28252
    Количество использованных доноров: 6
    Информация по каждому донору:

    Аксиоматика

    Задача аксиоматизации элементарной геометрии состоит в построении системы аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.

    1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
    2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
    3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
    4. Все прямые углы равны между собой.
    5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

    Эти система была достаточна для того чтобы один математик понял другого, но в доказательствах неявно использовались другие утверждения. В частности [источник не указан 2225 дней] .

    В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем , Шуром [en] , Пеано , Веронезе , однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.

    Читайте также: