Действительные числа это кратко

Обновлено: 02.07.2024

Понятие действительного числа: действительное число - (вещественное число), всякое неотрицательное или отрицательное число либо нуль.

Понятие действительного числа: действительное число - (вещественное число), всякое неотрицательное или отрицательное число либо нуль. С помощью действительных чисел выражают измерения каждой физической величины.

Вещественное, или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.

Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа.

Множество действительных чисел (обозначается R) - это множества рациональных и иррациональных чисел собранные вместе.

Действительные числа делят на рациональные и иррациональные .

Множество вещественных чисел обозначают и зачастую называют вещественной или числовой прямой. Вещественные числа состоят из простых объектов: целых и рациональных чисел.

Число, которое возможно записать как отношение, где m - целое число, а n - натуральное число, является рациональным числом .

Всякое рациональное число легко представить как конечную дробь либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

Бесконечная десятичная дробь, это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , являются иррациональными числами.

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Рациональные и иррациональные числа создают множество действительных чисел. Всем действительным числам соответствует одна точка координатной прямой, которая называется числовая прямая.

Для числовых множеств используются обозначения:

N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел.

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, т.е.:

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a₀ — целое положительное число,

a₁,a₂,…a_n,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества .

Бесконечную десятичную дробь можно объяснить как число, которое на числовой прямой находится между рациональными точками типа:

Сравнение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей происходит поразрядно. Например, предположим даны 2 положительны числа:

Если a₀0, то α b₀ то α>β. Когда a₀=b₀ переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β, значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n, такой что a_n≠b_n. Если a_nn, то α b_n то α>β.

Но при этом нудно обратить внимание на то, что число a₀,a₁a₂…a_n(9)=a₀,a₁a₂…a_n+10 −n . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда это периодическая десятичная дробь, у которой в периоде стоит 9, то её нужно заменить на эквивалентную запись, с нулем в периоде.

Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β, которое удовлетворяет таким условиям:

Данная статья посвящена теме "Действительные числа". В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Действительные числа - это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа - числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Действительные числа - это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0 ; 6 ; 458 ; 1863 ; 0 , 578 ; - 3 8 ; 26 5 ; 0 , 145 ( 3 ) ; log 5 12 .

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел - вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

Натуральные числа.
Целые числа.
Десятичные дроби.
Обыкновенные дроби.
Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений sin 2 3 π · e - 2 8 5 · 10 log 3 2 и t g 6 7 6 693 - 8 π 3 2 - действительные числа.

На каждом уроке математики мы решаем задачки, в которых нужно считать и измерять. Сложность может быть разной, но их всех объединяет одно — числа. В этом материале узнаем, какие числа называются действительными.

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение действительных чисел

Рациональные числа объединяют в себе целые числа и дробные числа. А действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда сформулируем определения различных видов чисел:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Множество рациональных чисел — .

Иррациональное число — это число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби m/n. Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Примеры иррациональных чисел — .

Множество действительных (вещественных) чисел состоит из множества рациональных и множества иррациональных чисел. Оно обозначается буквой , а также его можно записать как (-∞; +∞). Можно записать так, что есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел: .

Примеры действительных чисел:

Действительные числа могут быть как положительными, так и отрицательными, а также нулем.

При помощи действительных чисел можно описать величины, значения которых могут изменяться непрерывно. Проще говоря, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное значение этой величины.

Действительные числа на координатной прямой

Координатная прямая — это прямая с заданным началом отсчета, единичным отрезком и направлением.

Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число — координата этой точки. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Представления действительных чисел

По определению действительными числами являются:

любое натуральное число;

любое целое число;

любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);

любое смешанное число;

любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Часто можно встретить действительные числа в виде корней, степеней, логарифмов и др. Кроме того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа.

Также из действительных чисел с помощью арифметических действий, корней, степеней, логарифмических, тригонометрических функций можно составлять числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и будут действительными числами.

Сравнение действительных чисел

На множестве действительных чисел справедливы формулы сокращенного умножения и привычные нам законы математики. Например: — это было справедливо на множестве рациональных чисел, но все это справедливо и на множестве действительных чисел.

— все эти законы справедливы на множестве действительных чисел.

Любые действительные числа можно сравнивать. Из двух действительных чисел a и b большим считается то, которое расположено правее на координатной прямой. Для того, чтобы определить, какое число будет правее, можно вычислить их разность.

Число a считается больше числа b, если разность a − b > 0.

Аналогично a меньше b тогда и только тогда, когда разность a − b

Веще́ственные, или действи́тельные [1] числа — математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.

$\R$

Множество вещественных чисел обозначается (Unicode: ℝ) и часто называется вещественной прямой.

Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле. Поле вещественных чисел является важнейшим объектом математического анализа.

Содержание

Примеры

Определения

Существует несколько стандартных путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определение

Множество вещественных чисел " width="" height="" />
можно определить как топологически полное, упорядоченное поле, то есть поле с отношением , которое удовлетворяет следующим аксиомам:

Примечания

Из свойства 3 следует, что у любого непустого ограниченного сверху множества " width="" height="" />
(то есть такого, что для всех x из A все для некоторого " width="" height="" />
) существует точная верхняя грань (минимальная из всех), то есть число " width="" height="" />
такое, что

$\Bbb<R> Наличие точных верхних граней у ограниченных сверху множеств эквивалентно аксиоме полноты и часто заменяет её в аксиоматике поля$
.

Любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны, поэтому можно говорить, что существует единственное такое поле. (На самом деле, правильней говорить, что единственна структура полного упорядоченного поля, каждое поле, которое её имеет, служит моделью множества вещественных чисел, так как любые две модели изоморфны.)

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа " width="" height="" />
могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел " width="" height="" />
по отношению к обычной метрике .

$\<r_i\> Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел ri> . На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: ri> + qi> = ri + qi> и \cdot \ = \$
.

Две такие последовательности \,\!" width="" height="" />
и \,\!" width="" height="" />
считаются эквивалентными \sim \)" width="" height="" />
, если при .

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сечения

$\mathbb<Q> Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел$
на два подмножества A и B такие, что:

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Например, вещественному числу соответствует дедекиндово сечение, определяемое или " width="" height="" />
и и x 2 > 2> . Интуитивно, можно представить себе, что для того чтобы определить мы рассекли множество на две части: все числа, что левее и все числа, что правее ; соотвеетственно, равно точной нижней грани множества B .

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида d_\ldots d_, d_ d_\ldots" width="" height="" />
, где d_i являются десятичными цифрами, то есть .

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

$\pm\sum_<i=-k> Значение десятичной дроби формально задаётся суммой ряда ^ <\infty>d_i\cdot 10^$
.

Действительными или вещественными числами называются все положительные числа, отрицательные числа и нуль.

Множество действительных чисел объединяет в себе множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел $R$ .

Например. $\frac ; 0,754 ;-23 ;-\frac ; 113 ;-\sqrt[3] ;-2,34 ; \frac<\pi>$ - все это действительные числа.

На множестве действительных чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое суммой этих чисел. При этом

Свойства операции сложения действительных чисел

Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$

Ассоциативный закон сложения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$

Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа $a$

Для любого числа $a$ существует число, обозначаемое $(-a)$, такое, что

число $(-a)$ называется противоположным числу $a$ ;

Вычитание действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ число $c=a+(-b)$ называется разностью чисел $a$ и $b$, и обозначается

Задание. Найти сумму и разность действительных чисел $23$ и $12,4$

Решение. Сумма заданных чисел равна $23+12,4=35,4$

Ответ.

Умножение действительных чисел

На множестве действительных чисел определена операция называемая умножением. Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое их произведением и обозначаемая

Свойства операции умножения действительных чисел

Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$

$$a \cdot b=b \cdot a$$

Ассоциативный закон умножения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$

$$(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$$

Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа $a$

$$a \cdot 1=1 \cdot a$$

Для любого числа $a$, отличного от нуля, существует число, обозначаемое $$(1 / a)$$, такое, что

число $$(1 / a)$$ называется обратным числу $a$ ;

Деление действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ ( $b$ отлично от нуля) существует число $c$

называется частным от деления числа $a$ на $b$, и обозначается

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти произведение и частное действительных чисел $1,2$ и $5$

Решение. Произведение заданных чисел равно $1,2 \cdot 5=6$

Частное: $1,2 : 5=1,2 \cdot \frac=1,2 \cdot 0,2=0,24$

Ответ.

Операции сложения и умножения действительных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

Читайте также: