Изометрическая проекция это кратко 7 класс

Обновлено: 04.07.2024

ГОСТ 2.317—68* устанавливает прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции.

Построение аксонометрических проекций заключается в том, что геометрическую фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта фигура отнесена в пространстве, параллельным (прямоугольным или косоугольным) способами проецируют на выбранную плоскость проекций. Таким образом, аксонометрическая проекция — это проекция на одну плоскость. При этом направление проецирования выбирают так, чтобы оно не совпадало ни с одной из координатных осей.

Виды аксонометрических проекций

Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют на:

косоугольные , когда направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций;
прямоугольные , когда направление проецирования перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций.

В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:

Изометрическая проекция используется в машиностроительном черчении и САПР для построения наглядного изображения детали на чертеже, а также в компьютерных играх для трёхмерных объектов и панорам.

Необходимо отметить, что параллельные проекции, разновидностью которых являются аксонометрические и, в том числе, изометрические проекции, делятся также на ортогональные (перпендикулярные), с направлением проекции перпендикулярным к плоскости проекции, и косоугольные, с углом между направлением и плоскостью, отличным от прямого. По советским стандартам (см. ниже) аксонометрические проекции могут быть и ортогональными, и косоугольными [1] . По западным же стандартам, аксонометрические проекции являются только ортогональными, а косоугольные проекции рассматриваются отдельно. [источник не указан 1314 дней] В результате, по западным стандартам изометрическая проекция определяется более узко и, помимо равенства масштабов по осям, включает условие равенства 120° углов между проекциями любой пары осей. Во избежание путаницы далее, если не указано иное, под изометрической проекцией будет подразумеваться только прямоугольная изометрическая проекция.

Содержание

Стандартные изометрические проекции [1]

Прямоугольная (ортогональная) изометрическая проекция

В прямоугольной изометрической проекции аксонометрические оси образуют между собой углы в 120°, ось Z' направлена вертикально. Коэффициенты искажения () имеют числовое значение > \approx 0,82" width="" height="" />
. Как правило, для упрощения построений изометрическую проекцию выполняют без искажений по осям, то есть коэффициент искажения принимают равным 1, в этом случае получают увеличение линейных размеров в \approx 1,22" width="" height="" />
раза.

Косоугольная фронтальная изометрическая проекция

Ось Z' направлена вертикально, угол между осью X' и Z' равен 90°, ось Y' с углом наклона 135° (допускается 120° и 150°) от оси Z'.

Фронтальная изометрическая проекция выполняется по осям X', Y' и Z' без искажения.

Кривые параллельные фронтальной плоскости проецируются без искажений.

Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция

Ось Z' направлена вертикально, между осью Z' и осью Y' угол наклона равен 120° (допускается 135° и 150°), при этом сохраняется угол между осями X' и Y' равным 90°.

Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям X', Y' и Z'.

Кривые, параллельные горизонтальной плоскости [2] проецируются без искажений.

Визуализация

Изометрический вид объекта можно получить, выбрав направление обзора таким образом, чтобы углы между проекцией осей x, y, и z были одинаковы и равны 120°. К примеру, если взять куб, это можно выполнить направив взгляд на одну из граней куба, после чего повернув куб на ±45° вокруг вертикальной оси и на ±arcsin (tan 30°) ≈ 35.264° вокруг горизонтальной оси. Обратите внимание: на иллюстрации изометрической проекции куба контур проекции образует правильный шестиугольник — все рёбра равной длины и все грани равной площади.

Подобным же образом изометрический вид может быть получен, к примеру, в редакторе трёхмерных сцен: начав с камерой, выровненной параллельно полу и координатным осям, её нужно повернуть вниз на ≈35.264° вокруг горизонтальной оси и на ±45° вокруг вертикальной оси.

Другой путь визуализации изометрической проекции заключается в рассмотрении вида кубической комнаты с верхнего угла с направлением взгляда в противолежащий нижний угол. Ось x здесь направлена диагонально вниз и вправо, ось y — диагонально вниз и влево, ось z — прямо вверх. Глубина также отражается высотой картинки. Линии, нарисованные вдоль осей, имеют угол 120° между собой.

Матричные преобразования

Имеется 8 различных вариантов получения изометрической проекции в зависимости от того, в какой октант смотрит наблюдатель. Изометрическое преобразование точки " width="" height="" />
в трёхмерном пространстве в точку " width="" height="" />
на плоскости при взгляде в первый октант может быть математически описано с помощью матриц поворота следующим образом. Вначале, как объяснено в разделе Визуализация, выполняется поворот вокруг горизонтальной оси (здесь x) на α = arcsin (tan 30°) ≈ 35.264° и вокруг вертикальной оси (здесь y) на β = 45°:

$\begin</p> <p> \mathbf_x \\ \mathbf_y \\ \mathbf_z \\ \end=\begin 1 & 0 & 0 \\ 0 & & \\ 0 & < - \sin\alpha>& \\ \end\begin & 0 & < - \sin\beta >\\ 0 & 1 & 0 \\ & 0 & \\ \end\begin \mathbf_x \\ \mathbf_y \\ \mathbf_z \\ \end=\frac>\begin \sqrt & 0 & -\sqrt \\ 1 & 2 & 1 \\ \sqrt & -\sqrt & \sqrt \\ \end\begin \mathbf_x \\ \mathbf_y \\ \mathbf_z \\ \end$

Затем применяется ортогональная проекция на плоскость x-y:

$\begin</p> <p> \mathbf_x \\ \mathbf_y \\ 0 \\ \end=\begin 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end\begin \mathbf_x \\ \mathbf_y \\ \mathbf_z \\ \end$

Другие семь возможных видов получаются поворотом к противостоящим сторонам и/или инверсией направления взгляда. [3]

Ограничения аксонометрической проекции

Как и в других видах параллельных проекций, объекты в аксонометрической проекции не выглядят больше или меньше при приближении или удалении от наблюдателя. Это полезно в архитектурных чертежах и удобно в спрайто-ориентированных компьютерных играх, но, в отличие от перспективной (центральной) проекции, приводит к ощущению искривления, поскольку наши глаза или фотография работают иначе.

Это также легко приводит к ситуациям, когда глубину и высоту невозможно оценить, как показано на иллюстрации справа. В этом изометрическом рисунке голубой шар на два уровня выше красного, но это нельзя увидеть, если смотреть только на левую половину картинки. Если выступ, на котором находится голубой шар, расширить на один квадрат, то он окажется точно рядом с квадратом, на котором находится красный шар, создавая оптическую иллюзию, будто оба шара на одном уровне.

Дополнительная проблема, специфичная для изометрической проекции — сложность определения, какая сторона объекта наблюдается. При отсутствии теней и для объектов, которые относительно перпендикулярны и соразмерны, сложно определить, какая сторона является верхней, нижней или боковой. Это происходит из-за приблизительно равных по размеру и площади проекций такого объекта.

Изометрическая проекция в компьютерных играх и пиксельной графике

Рисунок телевизора в почти-изометрической пиксельной графике. У пиксельного узора видна пропорция 2:1

История изометрических компьютерных игр

Первыми играми, использующими изометрическую проекцию, были аркадные игры начала 1980-х: так, Q*bert [10] и Zaxxon (англ.) [11] выпущены в 1982 году. Q*bert показывает статичную пирамиду, нарисованную в изометрической перспективе, по которой должен прыгать управляемый игроком персонаж. Zaxxon предлагает прокручиваемые изометрические уровни, над которыми летает управляемый игроком самолётик. Год спустя, в 1983 году, была выпущена аркадная игра Congo Bongo (англ.) [12] , работавшая на тех же игровых автоматах, что и Zaxxon. В этой игре персонаж перемещается по большим изометрическим уровням, включающим трёхмерные подъёмы и спуски. То же самое предлагается и в аркадной игре Marble Madness (1984).

На протяжении 1990-х некоторые очень успешные игры вроде Civilization II и Diablo использовали фиксированную изометрическую перспективу. С приходом 3D ускорителей на персональные компьютеры и игровые консоли игры с трёхмерной перспективой в основном переключились на полноценную трёхмерность вместо изометрической перспективы. Это можно видеть в преемницах вышеназванных игр — начиная с Civilization IV в этой серии используется полная трёхмерность. Diablo II, как и ранее, использует фиксированную перспективу, но опционально применяет перспективное масштабирование спрайтов на расстоянии, получая псевдо-трёхмерную перспективу. [18]

Изометрическая проекция — это метод графического представления, точнее аксонометрическая [ 1 ] цилиндрическая [ 2 ] ортогональная . [ 3 ] Он представляет собой визуальное представление трехмерного объекта, уменьшенного в двух измерениях, в котором три основные ортогональные оси при проекции образуют углы 120°, а размеры, параллельные указанным осям, измеряются в одном и том же масштаб.

Изометрия — это одна из форм проекции, используемая в техническом рисовании , которая имеет то преимущество, что позволяет масштабировать представление, и недостаток, заключающийся в том, что она не отражает видимое уменьшение размера, пропорциональное расстоянию, которое воспринимает человеческий глаз .

История

Пример китайского искусства в иллюстрированном издании Романа о трех королевствах , Китай, ок. XV век.

Пример ограничений изометрической проекции: невозможно определить разницу высот между синим и красным шарами.

Лестница Пенроуза представляет собой лестницу, которая, кажется, идет вверх (против часовой стрелки) или вниз (по часовой стрелке), образуя непрерывную петлю.

Как и все типы параллельной проекции , объекты, нарисованные с помощью изометрической проекции, не кажутся больше или меньше по мере их приближения к зрителю или удаления от него. Хотя это выгодно для архитектурных чертежей, где измерения должны выполняться напрямую, результатом является искажение восприятия, поскольку, в отличие от перспективной проекции , это не то, как обычно работает человеческое зрение или фотография. Это также может легко привести к ситуациям, когда глубину и высоту трудно измерить, как показано на изображении справа. Это может показаться парадоксальным или создать невозможные формы , такие как лестница Пенроуза .

Отображать

Изометрия определяет направление взгляда, при котором проекции осей координат x , y и z составляют один и тот же угол, то есть 120° друг к другу. Объекты отображаются с поворотом точки обзора на 30º в трех основных направлениях (x, y, z).

Эту перспективу можно визуализировать, рассматривая точку зрения, расположенную в верхней вершине кубической комнаты, смотрящую в противоположную вершину. оси x и y - это линии, где стены встречаются с землей, а ось z - вертикаль, место встречи стен. На чертеже оси (и их параллельные линии) сохраняют между собой угол 120°.

В наборе аксонометрических или цилиндрических проекций существуют и другие виды перспективы, отличающиеся положением главных осей и использованием различных коэффициентов редукции для компенсации зрительных искажений.

Изометрический рисунок

На рисунках слева показаны виды в двугранной системе, а справа видна изометрическая проекция с частичным сечением.

Широко используемой разновидностью изометрической перспективы является изометрический рисунок . В изометрии коэффициент уменьшения габаритов. Так как уменьшение одинаково по трем осям, изометрический чертеж выполняется без уменьшения, с размерами, параллельными осям, в масштабе 1:1 или в натуральном масштабе, без изменения внешнего вида чертежа, кроме его размера. Это позволяет как наносить эти размеры прямо на бумагу, что облегчает черчение в декартовых координатах , так и измерять прямо на чертеже размеры объекта. Внешний вид чертежа идентичен, но крупнее, а размеры, которые в правильной перспективе были бы такими же, как настоящие (параллельные плоскости проекции), больше.

Масштаб, в котором изометрический рисунок больше, чем изометрическая перспектива, составляет примерно 1,22.

Приложения

В дизайне и техническом чертеже

В промышленном дизайне изделие изображают с разных точек зрения, перпендикулярных естественным осям координат. Деталь с механическим движением обычно имеет формы с осями симметрии или плоскими гранями. Такие оси или края граней позволяют определить ортогональную проекцию.

Эти виды обычно называются: план, фасад и профиль.

Планируется вид сверху, (вид с высоты птичьего полета); высота, вид спереди и профиль, вид сбоку. Другими словами, если мы обращаемся к декартовой плоскости 3D, X, Y и Z, виды будут такими: План - ось Z; Высота - ось Y; и Профиль - ось X.

Изометрическая перспектива детали может быть легко построена из таких видов, что позволяет лучше понять форму объекта.

В архитектуре

Использование изометрической проекции полезно для легкой визуализации групп относительно небольших зданий, создавая изображения, напоминающие фотографии под углом, сделанные с высоты птичьего полета , на которых большое расстояние между наблюдателем и представляемой моделью имеет тенденцию ослаблять эффект конвергенции. параллельные линии, типичные для реальной перспективы.

Из более практического замысла распространены также чертежи в разрезе, которые позволяют получить представление о распределении объема комнат в доме гораздо лучше, чем простой план поэтажного плана дома.

В видеоиграх

Во избежание пикселизации в некоторых случаях проекция была взята в систему 2:1, то есть под наклоном 26,6º (arctan 0,5) вместо 30º, что не соответствует самой изометрической проекции. "диметрический" .

Прогрессивное увеличение графических возможностей компьютеров сделало возможным все более широкое использование более реалистичных проекционных систем, основанных на перспективе, естественно воспринимаемой человеческим глазом: конической перспективе .

Математические аспекты

Будучи изометрической перспективой, геометрической проекцией на плоскость по оси, перпендикулярной ей, ее характеристики и отношения могут быть аналитически рассчитаны с помощью тригонометрии .

Понижающий коэффициент на валах

Рассматривая ребро куба, идущее из начала координат в точку (0,0,1), если его пересечение с плоскостью проекции определяет угол α, проекция будет иметь длину, эквивалентную косинусу α.

α также является углом между перпендикуляром к плоскости проекции, проходящей через начало координат и точку (1,1,1), и биссектрисой осей x и y , проходящей через (1,1,0).

треугольник, образованный точками (0,0,0), (1,1,0) и (1,1,1), прямоугольный, поэтому отрезок [(0,0,0), (1,1 , 0 )] имеет длину, равную √2 (диагональ квадрата), отрезок [(1,1,0), (1,1,1)] имеет длину, равную 1, а гипотенуза [(0, 0 ,0), (1,1,1)] имеет длину √3.

Можно сделать вывод, что α ≈ 35,26 °.

единичный вектор, определяемый большой диагональю, равен (1/√3, 1/√3, 1/√3);
ребро [(0,0,0), (0,0,1)] проецируется на большую диагональ на отрезке длины k 1_и на нормаль к ней на отрезке длины k₂
k₁ является скалярным произведением y на , и его можно вычислить, используя координаты: а → >> б → >> к 1 знак равно а → ⋅ б → знак равно 1 × 1 / 3 + 0 × 1 / 3 + 0 × 1 / 3 знак равно 1 / 3 = \ cdot > = 1 \ times 1 / > + 0 \ times 1 / > +0\times 1/>=1/>>
Теорема Пифагора говорит нам, что k₁ ² + k₂ ² = 1 (длина ребер куба)

Длины отрезков на оси представления проецируются с коэффициентом 0,82.

Этот вывод также достигается с помощью общей формулы для ортогональных проекций.

С другой стороны, если рассматривается единичный круг плоскости ( x , y ), луч проецируется по линии с наибольшим наклоном, которая является первой биссектрисой плоскости, с коэффициентом проекции, эквивалентным sin α = k ₁ = 1/√3 ≈ 0,58, что соответствует малой оси эллипса .

Преобразование координат

Декартово преобразование координат используется для расчета видов по координатам точек, например, в случае видеоигры или 3D-моделирования.

Как и все линейные карты, его можно представить преобразованием базовых векторов плюс вектор

который трансформируется в соответствии с

Конкретное применение исчисления к ортогональным проекциям в изометрической перспективе приводит к:

Следовательно, проекционная матрица M _P имеет вид:

Рассматривая точку ( x , y , z ) пространства, которая проецируется на ( x ', y '), ее проекция будет:

Преобразование окружности плоскости, содержащей две оси

Если рассматривать тригонометрическую окружность плоскости , то параметрические координаты ее точек будут: ( e 1 → , e 3 → ) >>,>>)>

Координаты проецируемых точек на базу будут: ( i → , j → ) >,>)>

Расстояние до начала координат равно , будучи r = x ′ 2 + y ′ 2 +y'^>>>

Это расстояние изменяется соответственно от 1 до 1 / 3 ≃ 0 , 58 >\simeq 0,58>

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

УЧЕБНЫЙ ЭЛЕМЕНТ № 8

Раздел: Аксонометрия.

Тема раздела: Изометрические проекции.

Рассматриваемые вопросы:

- общие сведения об аксонометрических проекциях.

- и зометрическая проекция.

- фронтальная изометрическая проекция.

- горизонтальная изометрическая проекция.

Учебный элемент (далее УЭ) предназначен для самостоятельного изучения учебного материала, как на уроках, так и при внеаудиторной подготовке.

В структуру УЭ входят четыре части:

Теоретическая часть, часть в которой для приобретения теоретических знаний излагается учебный материал по теме урока.

Практическая часть, для получения первоначального практического опыта дается задание, которое необходимо выполнить по аналогии.

Графическая часть, в этой части для закрепления первоначального опыта и развития умений выполняется индивидуальное задание.

Контрольно-обобщающая часть, выполнение тестовых и контрольных заданий позволяет закрепить теоретические знания и практический опыт, а так же проследить уровень усвоения учебного материала.

Задания и упражнения теоретической и контрольно-обобщающей части выполняются в тетради, задания практической и графической части выполняются на чертежных форматах. Все работы формируются в индивидуальную папку.

Условные обозначения:

ПР - практическая работа;

ГР - графическая работа;

Т/З - тестовое задание;

I . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Общие сведения об аксонометрических проекциях.

При помощи параллельного проецирования получают и один из видов наглядных изображений предметов — ак сонометрические проекции предметов.

Аксонометрические проекции применяют для пояснения чертежей машин, механизмов и их деталей. Они позволяют легко предста вить форму предмета.

На основе аксонометрических проекций выполняют технические рисунки.

Аксонометрические проекции получаются, если изоб ражаемый предмет вместе с осями координат, к которым он отнесен, при помощи параллельных лучей проециру ют на одну плоскость (рисунок 1). Плоскость проекций в этом случае называется картинной плоскостью.

Рисунок 1. Аксонометрическая проекция предмета.

Размеры изображаемого предмета на чертеже отклады вают вдоль осей X , Y , Z .

В зависимости от наклона осей координат, к которым отнесен изображаемый предмет к картинной плоскости, и угла, составляемого проецирующими лучами с этой плоскостью, образуются различные аксонометрические проекции.

Если проецирующие лучи перпендикулярны картинной плоскости, то проекция называется прямоугольной. Если проецирующие лучи наклонены к ней, то проекция называется косоугольной.

Стандартом ГОСТ 2.317—69 рекомендуется применять

два вида прямоугольных аксонометрических проекций:

и три вида косоугольных аксонометрических проекций:

горизонтальную изометрическую и

Наиболее употребляемые в технике следующие виды аксонометрических проекций:

- фронталь ная диметрическая (см. УЭ 8) ;

- изометрическая;

- диметрическая (см. УЭ 8) .

2. Изометрическая проекция .

Положение аксонометрических осей приведено на рисунок 2.

Рисунок 2. Расположение аксонометрических осей прямоугольной изометрической проекции.

Коэффициент искажения по осям x, y, z равен 0,82.

Изометрическую проекцию для упрощения, как правило выполняют без искажения по осям x, y, z , т.е. приняв коэффициент искажения равным 1.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис. 3).

Рисунок 3. Окружность в изометрии.

1-эллипс (большая ось расположена под углом 90 0 к оси y);

2-эллипс (большая ось расположена под углом 90 0 к оси z);

3-эллипс (большая ось расположена под углом 90 0 к оси x).

Если аксонометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z , то большая ось эллипсов 1,2, 3 равна 1,22 мм, а малая ось – 0,71 диаметра окружности.

Если аксонометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x, y, z , то большая ось ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая – 0,58 диаметра окружности.

Пример изометрической проекции детали приведен на рисунке 4 .

Рисунок 4. Изометрическое изображение детали.

3. Фронтальная изометрическая проекция.

Положение аксонометрических осей приведено на рисунке 5.

Рисунок 5. Расположение аксонометрических осей фронтальной изометрической проекции.

Допускается применять фронтальные изометрические проекции с углом наклона оси у 30 и 60°.

Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х, у, z.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекции, — в эллипсы (рисунок 6).

Рисунок 6. Изображение окружности на фронтальной изометрической проекции.

2-эллипс (большая ось расположена под углом 22 0 30 / к оси x );

3-эллипс (большая ось расположена под углом 22 0 30 / к оси z ).

Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,3, а малая ось — 0,54 диаметра окружности.

Пример фронтальной изометрической проекции детали приведен на рис. 7.

Рисунок 7. Изображение детали на фронтальной изометрической проекции.

4. Горизонтальная изометрическая проекция.

Положение аксонометрических осей приведено на рисунке 8.

Рисунок 8. Расположение аксонометрических осей горизонтальной изометрической проекции.

Допускается применять горизонтальные изометрические проекции с углом наклона оси у 45 и 60°, сохраняя угол между осями х и у 90°.

Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х, у и z .

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций – в эллипсы (рисунок 9).

Рисунок 9. Изображение окружности на горизонтальной изометрической проекции.

1-эллипс (большая ось расположена под углом 15 0 к оси z );

3.-эллипс (большая ось расположена под углом 30 0 к оси z )

Большая ось эллипса / равна 1,37, а малая ось — 0,37 диаметра окружности.

Большая ось эллипса 3 равна 1,22, а малая ось — 0,71 диаметра окружности.

Пример горизонтальной изометрической проекции приведен на рисунке 10.

Рисунок 10. Изображение детали на горизонтальной изометрической проекции.

II . ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ПР № 9. Изометрические проекции окружности и детали.

- оформит формат А4.

- построить оси изометрической проекции.

- по алгоритму построить изометрическую проекцию окружности.

Алгоритм построения овала, вписанного в ромб.

1. Построить ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности (рисунок 11,а).

Для этого через точку О провести изометрические оси х и у и на них от точки О откложить отрезки, равные радиусу изображаемой окружности.

Через точки a, w, с и d провести прямые, параллельные осям; получиться ромб. Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.

Рисунок 11, а.

2. Вписать в ромб овал. Для этого из вершин тупых углов (точек А и В) описывают дуги радиусом R, равным расстоянию от вершины тупого угла (точек А и В) до точек a, b или с, d соответственно.

Через точки В и а, В и b провести прямые (рисунок 11, б); пересечение этих прямых с большей диагональю ромба дает точки С и D, которые будут центрами малых дуг; радиус R ₁ малых дуг равен Са (Db).

Рисунок 12, б.

Рисунок 13. Образец построения изометрической проекции окружностей, вписанных в грани куба.

- оформит формат А4.

- построить оси изометрической проекции.

- по алгоритму построить изометрическую проекцию детали.

Алгоритм построения изометрической проекции детали.

1. Провести оси. Построить переднюю грань детали, откладывая действительные величины высоты - вдоль оси z , длины - вдоль оси х (рисунок 14).

2. Из вершин полученной фигуры параллельно оси у провести ребра, уходящие вдаль. Вдоль них отложить толщину детали для изометрии - действительную (рисунок 15).

3. Через полученные точки проводят прямые, параллельные ребрам передней грани (рисунок 16).

4. Удалить лишние линии, обвести видимый контур и нанести размеры (рисунок 17).

III . ГРАФИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ГР № 8. Построение фронтальной изометрической проекции детали.

- оформить формат А4.

- построить оси фронтальной изометрической проекции.

- по наглядному изображению выполнить фронтальную изометрическую проекцию детали.

ГР № 9. Построение горизонтальной изометрической проекции детали.

- оформить формат А4.

- построить оси горизонтальной изометрической проекции.

- по наглядному изображению выполнить фронтальную изометрическую проекцию детали.

IV . КОНТРОЛЬНО-ОБОБЩАЮЩАЯ ЧАСТЬ

1. Какова сущность аксонометрического проецирования?

2. Что называют коэффициентами искажения?

3. Какое отличие натуральных коэффициентов искажения от приведенных?

4. Чем отличается прямоугольная аксонометрия от косоугольной?

5. Каков масштаб изображения в стандартной изометрии?

6. Какие основные правила построения эллипсов – аксонометрических проекций окружностей в прямоугольной изометрии?

7. Как располагают оси фронтальной диметрической и изометрической проекций? Как их строят?

8. Какие размеры откладывают вдоль осей фронтальной диметрической и изометрической проекций и параллельно им?

9. Вдоль какой аксонометрической оси откладывают размер уходящих вдоль ребер предмета?

10. Назовите общие для фронтальной диметрической и изометрической проекций этапы построения.

По вопросам репетиторства по инженерной графике (черчению), вы можете связаться любым удобным для вас способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч.

Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается полезным наряду изображением предметов в системе ортогональных проекций иметь более наглядные изображения. Для построения таких изображений применяются проекции, называемые аксонометрическими .

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данный предмет вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта система относится в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость α (Рисунок 4.1).

Рисунок 4.1<>p/

Направление проецирования S определяет положение аксонометрических осей на плоскости проекций α, а также коэффициенты искажения по ним. При этом необходимо обеспечить наглядность изображения и возможность производить определения положений и размеров предмета.
В качестве примера на Рисунке 4.2 показано построение аксонометрической проекции точки А по ее ортогональным проекциям.

Рисунок 4.2

Здесь буквами k, m, n обозначены коэффициенты искажения по осям OX, OY и OZ соответственно. Если все три коэффициента равны между собой, то аксонометрическая проекция называется изометрической, если равны между собой только два коэффициента, то проекция называется диметрической, если же k≠m≠n, то проекция называется триметрической.
Если направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций α, то аксонометрическая проекция носит названия прямоугольной. В противном случае, аксонометрическая проекция называется косоугольной.
ГОСТ 2.317-2011 устанавливает следующие прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции:

прямоугольные изометрические и диметрические;
косоугольные фронтально изометрические, горизонтально изометрические и фронтально диметрические;

Ниже приводятся параметры только трех наиболее часто применяемых на практике аксонометрических проекций.
Каждая такая проекция определяется положением осей, коэффициентами искажения по ним, размерами и направлениями осей эллипсов, расположенных в плоскостях, параллельных координатным плоскостям. Для упрощения геометрических построений коэффициенты искажения по осям, как правило, округляются.

4.1. Прямоугольные проекции

4.1.1. Изометрическая проекция

Направление аксонометрических осей приведено на Рисунке 4.3.

Рисунок 4.3 – Аксонометрические оси в прямоугольной изометрической проекции

Действительные коэффициенты искажения по осям OX, OY и OZ равны 0,82. Но с такими значениями коэффициентов искажения работать не удобно, поэтому, на практике, используются приведенные коэффициенты искажений. Эта проекция обычно выполняется без искажения, поэтому, приведенные коэффициенты искажений принимается k = m = n =1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются в эллипсы, большая ось которых равна 1,22, а малая – 0,71 диаметра образующей окружности D.

Большие оси эллипсов 1, 2 и 3 расположены под углом 90º к осям OY, OZ и OX, соответственно.

Пример выполнения изометрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.4.

Рисунок 4.4 – Изображение детали в прямоугольной изометрической проекции

4.1.2. Диметрическая проекция

Положение аксонометрических осей проводится на Рисунке 4.5.

Для построения угла, приблизительно равного 7º10´, строится прямоугольный треугольник, катеты которого составляют одну и восемь единиц длины; для построения угла, приблизительно равного 41º25´ — катеты треугольника, соответственно, равны семи и восьми единицам длины.

Коэффициенты искажения по осям ОХ и OZ k=n=0,94 а по оси OY – m=0,47. При округлении этих параметров принимается k=n=1 и m=0,5. В этом случае размеры осей эллипсов будут: большая ось эллипса 1 равна 0,95D и эллипсов 2 и 3 – 0,35D (D – диаметр окружности). На Рисунке 4.5 большие оси эллипсов 1, 2 и 3 расположены под углом 90º к осям OY, OZ и OX, соответственно.

Пример прямоугольной диметрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.6.

Рисунок 4.5 – Аксонометрические оси в прямоугольной диметрической проекции

Рисунок 4.6 – Изображение детали в прямоугольной диметрической проекции

4.2 Косоугольные проекции

4.2.1 Фронтальная диметрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на Рисунке 4.7. Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона к оси OY, равным 30 0 и 60 0 .

Коэффициент искажения по оси OY равен m=0,5 а по осям OX и OZ — k=n=1.

Рисунок 4.7 – Аксонометрические оси в косоугольной фронтальной диметрической проекции

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на плоскость XOZ без искажения. Большие оси эллипсов 2 и 3 равны 1,07D, а малая ось – 0,33D (D — диаметр окружности). Большая ось эллипса 2 составляет с осью ОХ угол 7º 14´, а большая ось эллипса 3 составляет такой же угол с осью OZ.

Пример аксонометрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.8.

Как видно из рисунка, данная деталь располагается таким образом, чтобы её окружности проецировались на плоскость XОZ без искажения.

Рисунок 4.8 – Изображение детали в косоугольной фронтальной диметрической проекции

4.3 Построение эллипса

4.3.1 Построения эллипса по двум осям

На данных осях эллипса АВ и СD строятся как на диаметрах две концентрические окружности (Рисунок 4.9, а).

Одна из этих окружностей делится на несколько равных (или неравных) частей.

Через точки деления и центр эллипса проводятся радиусы, которые делят также вторую окружность. Затем через точки деления большой окружности проводятся прямые, параллельные линии АВ.

Точки пересечения соответствующих прямых и будут точками, принадлежащими эллипсу. На Рисунке 4.9, а показана лишь одна искомая точка 1.

а б в
Рисунок 4.9 – Построение эллипса по двум осям (а), по хордам (б)

4.3.2 Построение эллипса по хордам

Диаметр окружности АВ делится на несколько равных частей, на рисунке 4.9,б их 4. Через точки 1-3 проводятся хорды параллельно диаметру CD. В любой аксонометрической проекции (например, в косоугольной диметрической) изображаются эти же диаметры с учетом коэффициента искажения. Так на Рисунке 4.9,б А₁В₁=АВ и С₁ D₁ = 0,5CD. Диаметр А ₁В₁ делится на то же число равных частей, что и диаметр АВ, через полученные точки 1-3 проводятся отрезки, равные соответственным хордам, умноженным на коэффициент искажение (в нашем случае – 0,5).

4.4 Штриховка сечений

Линии штриховки сечений (разрезов) в аксонометрических проекциях наносятся параллельно одной из диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (Рисунок 4.10: а – штриховка в прямоугольной изометрии; б – штриховка в косоугольной фронтальной диметрии).

а б
Рисунок 4.10 – Примеры штриховки в аксонометрических проекциях

Читайте также: