Аналогия между механическими и электрическими колебаниями кратко

Обновлено: 02.07.2024

Темы “ Электромагнитные колебания” и “Колебательный контур” – психологически трудные темы. Явления, происходящие в колебательном контуре, не могут быть описаны при помощи человеческих органов чувств. Возможна только визуализация при помощи осциллографа, но и этом случае мы получим графическую зависимость и не можем непосредственно наблюдать за процессом. Поэтому они остаются интуитивно и эмпирически неясны.

Прямая аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями помогает упростить понимание процессов и провести анализ изменения параметров электрических цепей. Кроме того упростить решение задач со сложными механическими колебательными системами в вязких средах. При рассмотрении данной темы ещё раз подчеркивается общность, простота и немногочисленность законов, необходимых для описания физических явлений.

Данная тема дается после изучения следующих тем:

Механические колебания.
Колебательный контур.
Переменный ток.

Необходимый набор знаний и умений:

Определения: координата, скорость, ускорение, масса, жесткость, вязкость, сила, заряд, сила тока, скорость изменения силы тока со временем ( применение этой величины), электрическая емкость, индуктивность, напряжение, сопротивление, ЭДС, гармонические колебания, свободные, вынужденные и затухающие колебания, статическое смещение, резонанс, период, частота.
Уравнения, описывающие гармонические колебания (с использованием производных), энергетические состояния колебательной системы.
Законы: Ньютона, Гука, Ома (для цепей переменного тока).
Умение решать задачи на определение параметров колебательной системы ( математический и пружинный маятник, колебательный контур), её энергетических состояний, на определение эквивалентного сопротивления, емкости, равнодействующей силы, параметров переменного тока.

Предварительно в качестве домашнего задания учащимся предлагаются задачи, решение которых значительно упрощается при использовании нового метода и задачи приводящие к аналогии. Задание может быть групповым. Одна группа учащихся выполняет механическую часть работы, другая часть, связанную с электрическими колебаниями.

1а. Груз массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k, отвели от положения равновесия и отпустили. Определите максимальное смещение от положения равновесия, если максимальная скорость груза v_max

1б. В колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С и катушки индуктивности L, максимальное значение силы тока I_max. Определите максимальное значение заряда конденсатора.

2а. На пружине жесткостью k подвешен груз массой m. Пружина выводится из состояния равновесия смещением груза от положения равновесия на А. Определите максимальное x_max и минимальное x_min смещение груза от точки, в которой находился нижний конец нерастянутой пружины и v_max максимальную скорость груза.

2б. Колебательный контур состоит из источника тока с ЭДС равной Е, конденсатора емкостью С и катушки, индуктивности L и ключа. До замыкания ключа конденсатор имел заряд q. Определите максимальный q_max и q_min минимальный заряд конденсатора и максимальный ток в контуре I_max.

Электромагнитные и механические колебания имеют разную природу, но описываются одинаковыми уравнениями.

Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями, например, с колебаниями пружинного маятника.

При механических колебаниях периодически изменяются координата тела х и проекция его скорости v_x,
а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд q конденсатора и сила тока i в цепи.

Возвращение к положению равновесия пружинного маятника вызывается силой упругости F_{x упр}, пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k.

Разрядка конденсатора (т.е. появление тока) обусловлена напряжением между пластинами конденсатора, которое пропорционально заряду конденсатора q.
Коэффициентом пропорциональности является величина обратная емкости, так как

Подобно тому как, вследствие инертности, тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием силы и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю.

Индуктивность контура L выполняет ту же роль, что и масса тела m при механических колебаниях.
Соответственно кинетическая энергия тела аналогична энергии магнитного поля тока

При сравнении выражения с энергией конденсатора видно, что жесткость k пружины выполняет при механических колебаниях такую же роль, как величина обратная емкости, при электромагнитных колебаниях.

При этом начальная координата х_m соответствует заряду q_m.

Возникновение в электрической цепи тока i соответствует появлению в механической колебательной системе скорости тела v_х под действием силы упругости пружины (рис.б).

Момент времени, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, аналогичен тому моменту времени, когда тело будет проходить с максимальной скоростью (рис.в) положение равновесия.

Далее конденсатор в ходе электромагнитных колебаний начнет перезаряжаться, а тело в ходе механических колебаний — смещаться влево от положения равновесия (рис.г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю.

При механических колебаниях этому соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис.д).

Соответствие между механическими и электрическими величинами:

Электромагнитные колебания. Физика, учебник для 11 класса - Класс!ная физика

Приведу список аналогичных величин! Аналогия заключается в том, что эти величины изменяются по одинаковым законам.
1) смещение - заряд конденсатора
2) скорость (производная от смещения) - сила тока (производная от заряда)
3) ускорение (вторая производная) - скорость изменения тока (входит в формулу для ЭДС самоиндукции катушки)
4) масса - индуктивность катушки: обе величины характеризуют ИНЕРТНОСТЬ колебательной системы
5) жесткость пружины - емкость конденсатора, точнее 1/С, это следует из сравнения формул для периодов: T = 2pi*sqrt(m/k); T = 2pi*sqrt(LC)
6) возвращающая (упругая) сила - напряжение на конденсаторе: F = kx; U = q/C
7) кинетическая энергия - энергия магнитного поля катушки: Ek = mv^2/2; Wk = LI^2/2
8) потенциальная энергия - энергия электрического поля конденсатора: Еп = kx^2/2; Wc = q^2/2C. В процессе колебаний каждую четверть периода потенциальная энергия ПОЛНОСТЬЮ превраается в кинетическую, за следующую четверть периода кинетическая превращается обратно в потенциальную. Абсолютно то же самое происходит с энергией конденсатора и энергией катушки в колебательном крнтуре.
Хочу подчеркнуть, что приведеннная аналогия является ТОЧНОЙ, т. е. взяв любую формулу для пружинного маятника и заменив величины не аналогичные из списка, получится ПРАВИЛЬНАЯ формула для колебательного контура!

перетекание кинетической энергии в потенциальную=электрического поля -электромагнитное

Колебания – это процессы, имеющие ту или иную степень повторяемости во времени.

Колебания протекают в системах разной физической природы. При описании состояния системы при помощи конечного количества переменных, считают, что это собственно процесс колебаний, например:

колебательные движения материальной точки (малого груза), подвешенного на нерастяжимой нити;
колебания электрического тока в контуре.

В данных системах колебания происходят в системах с конечным числом степеней свободы.

Другим типом колебаний являются колебания в системах с бесконечным числом степеней свободы, такими системами могут быть:

сплошная среда;
электромагнитное поле.

В данных системах процесс колебаний, стартовав в одном месте, распространяется в пространстве. В этом случае считают, что в пространстве распространяется волна.

Отличие колебаний от волны состоит в том, что

колебания и волна имеют периодичность во времени,
только волна обладает периодичностью в пространстве.

Колебания и волны самый распространенный тип движения:

Во всех уровнях организации материи возникают колебательные процессы.
Все области деятельности человека связаны с проявлением или применением колебаний.

Из сказанного выше необходимо сделать вывод о том, что законы, которые управляют колебательными процессами, очень важны с точки зрения практики применения.

Колебательные процессы качественно многообразны. Но их исследования во многом облегчены тем, что колебаниями разной природы существует глубокая формально – математическая аналогия.

Неважно какова природа колебательной системы, сами колебания подчинены одинаковым по виду дифференциальным уравнениям. Законы, в соответствии с которыми изменяются параметры, характеризующие системы в зависимости от времени, одинаковы для разных систем. Закон, по которому происходит изменение положения груза в пружинном маятнике в зависимости от времени, аналогичен закону изменения заряда конденсатора в колебательном электрическом контуре. В этой связи исследование механических колебаний облегчают изучение электрических колебаний.

Готовые работы на аналогичную тему

Кинематика гармонических механических колебаний

Рассмотрим гармонические колебания, которые являются наиболее простым видом колебаний. В механических колебаниях $x$ - динамическая переменная, которая характеризует смещение тела от положения равновесия. Будем считать, что в равновесии:

Гармоническим колебанием называют такое движение, которое будет описывать законы:

$x=A \cos (\omega t +\varphi_)$ или

$x=A \sin (\omega t +\varphi_)$,

где $A$ - амплитуда колебаний (максимальное положительное смещение параметра $x$ от состояния равновесия); $\omega$ - круговая (циклическая) частота; $\omega t +\varphi_$, $\omega t +\varphi_$ - фазы колебаний, которые дают характеристику текущего отклонения $x$ от положения равновесия; $\varphi_$ и $\varphi_$ - начальные фазы колебаний.

Примеры гармонических механических осцилляторов

Колебательную систему часто именуют осциллятором. В том случае, если движение осциллятора можно описывают с помощью гармонических законов, то такой осциллятор называют гармоническим.

Самыми распространенными примерами гармонических осцилляторов в механике служат:

математический маятник;
физический маятник;
пружинный маятник.

Математический маятник представляет собой малое тело, которое можно считать материальной точкой, повешенной на нерастяжимой, очень малого веса, длинной нити. Подвес крепят к недвижимой точке в однородном поле гравитации.

Считая, что силы трения отсутствуют, уравнение свободных колебаний маятника можно записать как:

где $\omega_0=\sqrt >$ - циклическая частота колебаний; $l$ - длина подвеса.

Уравнение (1) описывает колебания маятника при любых углах отклонения от вертикали. Это уравнение является дифференциальным и нелинейным.

При малых отклонениях от вертикали ($\alpha \ll 1$) уравнение (1) можно представить как:

Физическим маятником называют тело, которое подвешено в поле тяжести в точке, которая не совпадает с центром инерции. На рис. 1 изображен физический маятник.

Рисунок 1. Физический маятник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Уравнения, которое описывает колебания физического маятника, полностью тождественны уравнениям (1) и (2), с той разницей, что для физического маятника:

где $l$ - расстояние от центра инерции тела, до точки подвеса (рис.1); $J_z$ - момент инерции тела.

Дифференциальное уравнение колебаний груза на пружине с коэффициентом упругости, равным $k$ запишем как:

где $\omega_0 = \sqrt >$; $m$ - масса тела, которое висит на пружине.

Указанные выше примеры говорят о том, что разные механические системы описываются одинаковыми уравнениями, что означает одинаковое их поведение.

Электромагнитные колебания

Рассмотрим колебания в идеальном колебательном контуре (рис.2), состоящем из:

конденсатора с электрической емкостью $C$;
катушки индуктивности (ее индуктивность равна $L$).

Рисунок 2. Колебания в идеальном колебательном контуре. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для создания колебаний конденсатор заряжают, и контур предоставляют самому себе. Зразу после зарядки конденсатор станет разряжаться через катушку индуктивности. Ток будет переменным во времени, это приводит к появлению ЭДС самоиндукции в катушке, это приводит к перезарядке конденсатора. Конденсатор заряжается и процесс повторяется. Так (если не учитывать потери) в контуре происходят незатухающие колебания заряда $q$, силы тока $I$ и напряжение $U_c$. Пусть $U_c$ - напряжение на конденсаторе.

Уравнение, которое описывает колебания заряда в таком контуре, имеет вид:

где круговая частота колебаний в контуре равна: $\omega_0=\frac>.$

Дифференциальное уравнение, которое описывает незатухающие электромагнитные колебания (5) в рассматриваемом нами идеальном контуре, имеет вид аналогичный механическим колебаниям.

Мы можем сделать вывод о том, что свободные незатухающие колебания для осцилляторов, имеющих любую природу, описываются при помощи одинаковых дифференциальных уравнений.

Затухающие гармонические колебания разной природы

Одинаковыми по форме для электрической и механической колебательных систем будут уравнения свободных затухающих колебаний:

где $\beta=\frac $ - коэффициент затухания. Для электрического колебательного контура $R$ - сопротивление контура. Выражение (6) описывает колебания заряда.

Изменение координаты при механических колебаниях с наличием трения можно описать уравнением:

где $\beta=\frac <\gamma>$ - коэффициент затухания; $\gamma$ - коэффициент сопротивления.

Читайте также: