Аксиомы теории множеств кратко

Обновлено: 02.07.2024

Наверное, данный вопрос задавал себе каждый, чуточку интересующийся математикой человек. Прочитав статью 2 х 2 = 4, было сделано заключение, что эта тема также может понравиться хабралюдям. Речь пойдет об аксиомах в математике, противоречиях и парадоксах. Кому интересно — добро пожаловать под кат.

Вместо предисловия

Немного философии

Вот для этого и нужны аксиомы. Нам всегда нужен фундамент, с которого мы можем стартовать, что-то, что и так всем интуитивно понятно. Неточность 1. В математике часто бывают утверждения, интуитивно понятные, но приводящие к парадоксам. Например аксиома выбора(Axiom of Choice), но об этом мы поговорим чуть позже.

Больше конкретики. Аксиомы Пеано натуральных чисел.

Я, как программист, люблю считать, что 0 принадлежит натуральным числам, это удобно. Что-ж, теперь наиболее знаменитая аксиоматика Пеано.

1. 0 является натуральным числом.
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным.
3. 0 не следует ни за каким натуральным числом.
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c совпадают.
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 0 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Удобная модель, все отлично, все счастливы. Вопрос, в чем же подвох? Оказывается, что если мы добавим новое натуральное число с к нашим привычным натуральным числам и скажем, что оно больше всех наших привычных, то мы не придем ни к какому противоречию. Т.е. у нас есть не только наша модель N, но и, к примеру, N + Z. Где в N и Z (целые числа) обычное сравнение чисел, а также любое число из N меньше любого числа из Z.

Вопрос, можно ли ввести аксиомы так, чтобы мы описали наши привычные натуральные числа, и только их (т.е. существует ли формула, подставив в которую естественное натуральное число она выдаст True, а любое другое число False)? Ответ — нет. Идея доказательства в том, что все формулы можно закодировать натуральными числами. А далее, написав хитрую формулу, и подставив ее код в Ф (формула, которая по предположению умеет определять естественную натуральность), мы получим противоречие.

Больше конкретики. Аксиоматика множеств Цермело-Френкеля (ZF)

На ниже приведенных аксиомах и строится современная математика, что-ж, глубокий вдох… приступим. Для начала оговорюсь, что мы будем рассматривать всевозможные множества. Например, множество всех домов в России, в то же время, каждый элемент множества, в данном случае дом, может содеражать еще какие-то множества, вполне может быть, что они оказались неоднородными, например количество роутеров в доме (ед. измерения — число) и люди (ед. измерения — человек), проживающие в этом доме. Более естественный пример для программистов — вложенные списки [ [1, 2, [3, -19] ], [0, 1], [5, [26, 1] ], 27]. В данном примере у нас есть множество, состоящее из 4-х элементов [1, 2, [3, -19] ], [0, 1], [5, [26, 1] ], 27. Для ясного осознания заметим, что 0 не является элементом этого множества, хотя, если копнуть в глубину, то окажется, что 0 там есть! Теперь перейдем к аксиомам. Я позволю себе не давать нудные формулировки, а объяснять своими словами.

Что-ж, покончили с нудятиной. С помощью этих аксиом можно построить натуральные числа, к примеру. Они будут выглядеть так (e — пустое множество). 0 = е, 1 = , 2 = , 3 = >, и т.д. Собственно говоря, на данной теории и построена современная математика.

Противоречия и парадоксы

Во-первых, не доказано, что аксиомы ZF непротиворечивы, если же они противоречивы, то можно вывести любое утверждение, например 0 = 1, и грош цена нашей науке. Даже более, доказано, что нельзя доказать непротиворечивость ZF. Забавная штука получается, но в этом нет ничего страшного. Если мы чего-то не можем доказать, не значит, что этого нет, в данном случае непротиворечивости. Движемся дальше.

Математика получается достаточно скупой наукой, то есть мало всего можно доказать, если не добавить аксиому выбора. А что это за аксиома такая? В трех словах — из любого непустого множества можно выбрать элемент. Казалось бы, очень естественная аксиома, но она приводит к парадоксу Банаха-Тарского, заключающегося в том, что шар можно разбить на 5 кусков и собрать из них 2 таких же шара. Т.е. яблоко можно разрезать на 5 частей и собрать два яблока?! Посему и парадокс. Что еще интереснее, доказано, что если теория ZF непротиворечива, то добавив к ней аксиому выбора (ZF + Axiom of Choice = ZFC) мы получим непротиворечивую аксиоматику!

Искорка надежды

И все же, откуда парадокс Банаха-Тарского возникает, все же достаточно логично! На самом деле, если аккуратно заметить, то во Вселенной нет ничего бесконечного. Нет ничего бесконечно малого и т.д. Просто удобно работать с бесконечными множествами. Так что вполне нормально, что могут получаться результаты не применимые к жизни.

I. Основные понятия и аксиомы теории множеств

Третий символ должен однозначно соотнести элемент множеству. В качестве соответствующего символа определен знак , который происходит от первой буквы греческого слова (быть). Запись определяет отношение: х есть элемент Х. Для того чтобы указать, что х не есть элемент Х, пишут .

Стоит отметить, что такое определение понятия множества приводит к ряду внутренних противоречий теории – так называемым парадоксам.

Например, рассмотрим парадокс Рассела. Парикмахер
(элемент х), проживающий в некоторой деревне, которые не бреются сами (пусть Х – множество всех тех и только тех жителей данной деревни, которые не бреются сами). Бреет ли парикмахер самого себя? То есть или ? Ответить на вопрос невозможно, поскольку полагая, например, что , сразу приходим к противоречию: , и обратно.

В школьном курсе математики учащимися рассматривается понятие множества, как неопределяемое понятие, под которым понимается совокупность объектов окружающей нас действительности, мыслимую как единое целое. А каждый объект этой совокупности называют элементом данного множества.

На настоящее время существует несколько аксиоматических систем теории множеств:

-Система аксиом Цермело. К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

-Аксиомы теории NBG. Данная система аксиом, предложенная фон Нейманом, впоследствии пересмотренная и упрощенная Робинсоном, Бернайсом и Геделем.

Система Цермело (Z-система) состоит из 7 аксиом. Опишем данные аксиомы в тех рамках, в которых они используются в школьном курсе математики.

Аксиома объемности (Z1). Если все элементы множества А принадлежат множеству В, а все элементы множества В принадлежат также множеству А, то А=В.

Аксиома пары (Z2). Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются .

Аксиома суммы (Z3). Для произвольных множеств А и В существует единственное множество С, элементами которого являются все элементы множества А и все элементы множества В и которое никаких других элементов больше не содержит.

В символьном виде аксиому Z3 можно записать так: . На основании данной аксиомы и вытекающих из неё теорем [6] указываются свойства операций множеств, описание которых будут изложены в пункте 3. Аксиомы Z1 и Z2 позволяют нам ввести понятие операции объединения, пересечения, дополнение, разности множеств.

Аксиома степени (Z4). Для любого множества Х существует множество всех его подмножеств Р(Х).

Аксиома бесконечности (Z6). Существует, по крайней мере, одно бесконечное множество – натуральный ряд чисел.

Аксиома выбора (Z7). Для всякого семейства непустых множеств существует функция, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Функция называется функцией выбора для заданного семейства.

Стоит отметить важность соответствующих аксиом, так как множества и отношения между ними являются предметом изучения любой математической дисциплины.

Укажем ещё одно важное открытие в теории множеств - изображение отношений между подмножествами, для наглядного представления [4]. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано. Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна, а в некоторых книгах их называют также диаграммами Эйлера-Венна [4]. Диаграммы Эйлера-Венна используются не только в математике и логике, но и в менеджменте и других прикладных направлениях.

II. Отношения между множествами и способы их задания

Итак, под множествами понимается совокупность любых объектов, мыслимая как единое целое. Множества могут состоять их объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложение к самым разнообразным областям знания (математике, физике, экономике, лингвистике и т. д.).

Считают, что множество определяется своими элементами, то есть множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Различают два способа задания множеств.

Множество можно задать с помощью перечисления элементов.

Например, если множество А состоит из элементов а, b, с, то пишут: А = .

Не каждое множество можно задать с помощью перечисления элементов. Множества, все элементы которых можно перечислить называют конечными. Множества, все элементы которых нельзя перечислить называют бесконечными. Их нельзя задать с помощью перечисления элементов. Исключение составляют бесконечные множества, в которых ясен порядок образование каждого следующего элемента на основе предыдущего. Например, множество натуральных чисел – бесконечное множество. Но известно, что в нем каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего. Поэтому можно задать так N = .

Множество можно задать с помощью указания характеристического свойства.

Характеристическим свойством данного множества называется свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают ни один, не принадлежащий ему элемент. Обозначается: А = , где после вертикальной черты записывается характеристическое свойство элементов данного множества.

При этом, если элемент не подчиняется характеристическому свойству множества, то он данному множеству и не принадлежит. Существуют множества, которые можно задать только с помощью указания характеристического свойства, например, .

Особую важность в школьном курсе математике имеют числовые множества, т.е. множества, элементами которого являются числа [2]. Для названия числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N = – множество натуральных чисел;

Z = – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные);

Q = – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде обыкновенной дроби);

J – множество иррациональных чисел (множество, состоящее из бесконечных десятичных непериодических дробей, например: 1,23456342…;, и др.)

R = (-∞; +∞) – множество действительных чисел.

Множество всех действительных чисел Л. Эйлер изобразил с помощью кругов. (Рис. 1)

Cтоит отметить, что все любые числовые множества можно задать с помощью числового промежутка. (Рис. 2)

Типы числовых промежутков

Множество С, рассмотренное выше, это числовое множество и его можно указать с помощью числового промежутка (Рис. 3)

Рисунок 3 – Числовой промежуток

Укажем еще одно важное правило для задания числовых множеств: Конечные числовые множества изображаются на числовой прямой отдельными точками.

В математике иногда приходится рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым. Его обозначают знаком ∅. Например, дано множество A=III. Операции и свойства операций над множествами

Опр.1. Пересечением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В одновременно.

A∩B=

Опр.2. Объединением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В (т.е. хотя бы одному из этих множеств).

A∪B=

Опр.3. Разностью множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В одновременно.

Опр.4. Дополнением множества А до универсального множества называется множество, каждый элемент которого принадлежит универсальному и не принадлежит А.

Выражения с множествами

Из множеств, знаков операций над ними и, может быть, скобок можно составлять выражения. Например, А∩В\С.

Необходимо знать порядок выполнения операций в таких выражениях и уметь их читать.

Порядок выполнения операций

если нет скобок, то в первую очередь выполняется дополнение до универсального множества простого множества, затем пересечение и объединение (они равноправны между собой), в последнюю очередь - разность;

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют операции в скобках по порядку, приведенному в пункте 1), а затем все операции за скобками.

Например, а) А∩В\С; б) А∩(В\С); в) А∩(В\С)' .

Чтение выражения начинается с результата последней операции. Например, выражение а) читается так: разность двух множеств, первое из которых пересечение множеств А и В, а второе - множество С.

Круги Эйлера

Операции над множествами и отношения между ними можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Это специальные чертежи, на которых обычные множества изображаются кругами, универсальное множество - прямоугольником

Задача. Изобразить с помощью кругов Эйлера множество (А∪В)'∩С.

Решение. Расставим порядок выполнения операций в данном выражении: (А∪В)'∩С. Заштрихуем результаты операций согласно порядку их выполнения

Свойства операции над множествами (рис.5)

Свойства I - 8 и 1 0 - 8 0 связаны между собой гак называемым принципом двойственности:

если в любом из двух столбиков свойств поменять знаки ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅, то получится другой столбик свойств.

IV. Разбиение множества на классы

Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:

1) пересечение любых двух подмножеств пусто;

2) объединение всех подмножеств совпадает с множеством Х.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

V. Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента каждой из которых принадлежит множеству А, а вторая — множеству В Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Таким образом, А×В=<(x,y)|x∈A˄y∈B>. Операцию нахождения декартова произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств. Если А и В — числовые множества, то элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел.

VI. Правила суммы и произведения

Обозначим число элементов конечного множества A символом n(A). Если множества А и В не пересекаются, то n(AUВ)= n(А) +n (В). Если множества А и В пересекаются, то n(А U В) = n (A) + n (В) — n (A ∩ В).

Число элементов декартова произведения множеств A и В подсчитывается по формуле n (А X В) = n (A) • n (В).

Правило подсчета числа элементов декартова произведения конечных множеств в комбинаторике носит название правила произведения: если элемент х можно выбрать k способами, а элемент y - m способами, то пару (х,y) можно выбрать km способами.

VII. Список использованных источников

Виленкин Н. Я. Алгебра. Учебное пособие для IX – X классов средних школ с математической специализацией, 1968

Киреенко С.Г., Гриншпон И. Э. Элементы теории множеств (учебное пособие). – Томск, 2003. – 42 с.

Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. – М.: Мир, 1970, - 416с.

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

Эти аксиомы были разработаны Thoralf Skolem) в 1922 году, и являются развитием системы аксиом Adolf Fraenkel), которая, в свою очередь, была развитием системы аксиом Ernst Zermelo).

Содержание

Аксиомы ZFC

$<\displaystyle a> 1. Аксиома объёмности. Два множества$
и " width="" height="" />
равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.

$<\displaystyle \forall a\forall b(a=b\leftrightarrow \forall c(c\in a\leftrightarrow c\in b))> $

2. Аксиома пустого множества. Существует множество " width="" height="" />
без единого элемента. Это множество обычно обозначается >" width="" height="" />
или " width="" height="" />
.

$<\displaystyle \exists e\forall a(a\notin e)> $

3. Аксиома пары [1] . Для любых множеств " width="" height="" />
и " width="" height="" />
существует множество " width="" height="" />
такое, что " width="" height="" />
и " width="" height="" />
являются его единственными элементами. Множество " width="" height="" />
обозначается >" width="" height="" />
и называется неупорядоченной парой " width="" height="" />
и " width="" height="" />
. Если " width="" height="" />
, то " width="" height="" />
состоит из одного элемента.

$<\displaystyle \forall a\forall b\exists c\forall d(d\in c\leftrightarrow (d=a\vee d=b))> $

4. Аксиома объединения. Для любого семейства " width="" height="" />
множеств существует множество " width="" height="" />
, называемое объединением множества " width="" height="" />
, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества " width="" height="" />
.

$<\displaystyle \forall a\exists b\forall c(c\in b\leftrightarrow \exists d(d\in a\wedge c\in d))> $

$<\displaystyle \exists \omega (\emptyset \in \omega \wedge \forall x(x\in \omega \rightarrow x\cup \<x\> \in \omega ))>$

6. Схема выделения. Любому множеству " width="" height="" />
и свойству " width="" height="" />
отвечает множество " width="" height="" />
, элементами которого являются те и только те элементы " width="" height="" />
, которые обладают свойством " width="" height="" />
. Схема выделения содержит счётное количество аксиом, так как каждая формула " width="" height="" />
логики первого порядка порождает аксиому.

$<\displaystyle \forall a\exists b\forall c(c\in b\leftrightarrow (c\in a\wedge \varphi (c)))> $

7. Аксиома множества подмножеств. Для любого множества " width="" height="" />
существует множество " width="" height="" />
, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества " width="" height="" />
. Множество подмножеств множества " width="" height="" />
обозначается >(a)>" width="" height="" />
.

$<\displaystyle \forall a\exists b\forall c(c\in b\leftrightarrow \forall d(d\in c\rightarrow d\in a))> $

$<\displaystyle \subseteq > Если ввести отношение подмножества$
, то эту формулу можно упростить.

$<\displaystyle \forall a\exists b\forall c(c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)> $

8. Схема подстановки. Пусть " width="" height="" />
— такая формула, что при некоторых >" width="" height="" />
из множества " width="" height="" />
существует, и притом единственный, объект >" width="" height="" />
такой, что выражение ,y_)>" width="" height="" />
истинно. Тогда объекты " width="" height="" />
, для каждого из которых существует " width="" height="" />
из " width="" height="" />
такой, что " width="" height="" />
истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула " width="" height="" />
порождает аксиому.

$<\displaystyle \forall x\exists !\ y(\varphi (x,y))\rightarrow \forall a\exists b\forall c(c\in b\leftrightarrow (\exists d(d\in a\wedge \varphi (d,c)))> $

9. Аксиома основания. Каждое непустое множество " width="" height="" />
содержит элемент " width="" height="" />
такой, что " width="" height="" />
.

$<\displaystyle \forall s(s\neq \emptyset \rightarrow \exists a(a\in s\wedge a\cap s=\emptyset ))> $

10. Аксиома выбора. Для любого семейства попарно непересекающихся непустых множеств существует множество " width="" height="" />
такое, что, каково бы ни было множество " width="" height="" />
данного семейства, множество " width="" height="" />
состоит из одного элемента.

Непротиворечивость приведённой аксиоматики на настоящий момент не установлена.

Примечания

↑ Польский математик Мыцельский доказал, что аксиома пары является в этой системе следствием остальных аксиом, а поэтому может быть исключена из перечня аксиом ZF

См. также

Литература

Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.

Эта статья содержит материал из статьи Аксиоматика теории множеств русской Википедии.

АКСИОМАТИ́ЧЕСКАЯ ТЕО́РИЯ МНО́ЖЕСТВ, направление в математич. логике, занимающееся изучением аксиоматич. методом объектов теории множеств. Под А. т. м. также понимается любая конкретная система, формализующая теорию множеств. А. т. м. возникла в нач. 20 в. в Европе в связи с парадоксами теории множеств, показавшими, что наивная теория множеств приводит к противоречиям. Устранение парадоксов оказалось возможным только на пути аксиоматич. ограничения принципа, состоящего в том, что всякое свойство определяет множество всех объектов, обладающих этим свойством. Разл. ограничения приводят к разл. вариантам А. т. м.

Читайте также: