Теорема ньютона лейбница конспект

3.3. Понятие определенного интеграла.

Знак интеграла напоминает удлиненную латинскую букву S — первую букву слова summa (сумма). Подынтегральное выражение f(x)dx напоминает вид каждого отдельного слагаемогоf(x₁)·Δx интегральной суммы. Множитель dx в математике называют дифференциалом. Число а называется нижней границей интегрирования, а число b — верхней границей интегрирования. Таким образом, = .

Определение. , если f(x) 0 для всех x є [а;b], является площадью криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = f(x), x = а, х = b, y = 0,

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

• 
  Величинаопределенного интеграла не зависит от значения переменной интегрирования:
  

• 
  Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: , если а=b.
  
• 
  От перестановки пределов интегрирования интеграл меняет знак на противоположный:
  

• 
  Если функция интегрируема на максимальном из отрезков , то справедливо равенство: (свойство аддитивности определенного интеграла).
  

• 
  Постоянныймножитель С можно вынести за знак определенного интеграла:
  

• 
  Определенный интеграл от суммы функций равен сумме определенных интегралов от этих функций:
  

3.5. Формула Ньютона-Лейбница.

Между определенным и неопределенным интегралом существует тесная связь, выраженная такой теоремой:

Теорема. Если является какой-либо первообразной от непрерывной функций , то справедлива формула

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Разность условно обозначают символами , или , поэтому формула Ньютона – Лейбница записывается еще и так:

Формула Ньютона - Лейбница правило для вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений произвольной ее первообразной, вычисленной для верхней и нижней границ интегрирования.

Формула Ньютона - Лейбница значительно расширяет область применения определенного интеграла, так как дает общий метод для решения различных практических задач. Непосредственные же вычисления определенного интеграла не позволили создать такого метода. Еще древнегреческий мыслитель Архимед решил задачу нахождения площади параболического сегмента методом, напоминающим вычисления предела интегральных сумм. Затем в течение нескольких столетий математики таким же способом решили много задач, но только в 17 в. Ньютон и Лейбниц показали, что вычисления определенного интеграла от произвольной непрерывной функции сводится к отысканию ее первообразной. К примеру,

Примеры.Вычислить: а) ; б) .

Решение:

Ответы: а) π 2 - 1; б) .

4.Подведение итогов.

Рефлексия (обучающиеся по кругу высказываются одним предложением):

Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.

Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.

Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Формула Ньютона-Лейбница

Когда функция y = y ( x ) является непрерывной из отрезка [ a ; b ] ,а F ( x ) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) .

Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.

Когда функция y = f ( x ) непрерывна из отрезка [ a ; b ] , тогда значение аргумента x ∈ a ; b , а интеграл имеет вид ∫ a x f ( t ) d t и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫ a x f ( t ) d t = Φ ( x ) , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫ a x f ( t ) d t ' = Φ ' ( x ) = f ( x ) .

Зафиксируем, что приращении функции Φ ( x ) соответствует приращению аргумента ∆ x , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим

Φ ( x + ∆ x ) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f ( t ) d t - ∫ a x f ( t ) d t = = ∫ a x + ∆ x f ( t ) d t = f ( c ) · x + ∆ x - x = f ( c ) · ∆ x

где значение c ∈ x ; x + ∆ x .

Зафиксируем равенство в виде Φ ( x + ∆ x ) - Φ ( x ) ∆ x = f ( c ) . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆ x → 0 , тогда получаем формулу вида Φ ' ( x ) = f ( x ) . Получаем, что Φ ( x ) является одной из первообразных для функции вида y = f ( x ) , расположенной на [ a ; b ] . Иначе выражение можно записать

F ( x ) = Φ ( x ) + C = ∫ a x f ( t ) d t + C , где значение C является постоянной.

Произведем вычисление F ( a ) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что

F ( a ) = Φ ( a ) + C = ∫ a a f ( t ) d t + C = 0 + C = C , отсюда получаем, что C = F ( a ) . Результат применим при вычислении F ( b ) и получим:

F ( b ) = Φ ( b ) + C = ∫ a b f ( t ) d t + C = ∫ a b f ( t ) d t + F ( a ) , иначе говоря, F ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t + F ( a ) . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫ a b f ( x ) d x + F ( b ) - F ( a ) .

Приращение функции принимаем как F x a b = F ( b ) - F ( a ) . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫ a b f ( x ) d x = F x a b = F ( b ) - F ( a ) .

Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y = F ( x ) подынтегральной функции y = f ( x ) из отрезка [ a ; b ] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 1 3 x 2 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y = x 2 является непрерывной из отрезка [ 1 ; 3 ] , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y = x 2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x , значит, x ∈ 1 ; 3 запишется как F ( x ) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необходимо взять первообразную с С = 0 , тогда получаем, что F ( x ) = x 3 3 .

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Ответ: ∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Заданная функция непрерывна из отрезка [ - 1 ; 2 ] , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x при помощи метода подведения под знак дифференциала , тогда получаем ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Отсюда имеем множество первообразных функции y = x · e x 2 + 1 , которые действительны для всех x , x ∈ - 1 ; 2 .

Необходимо взять первообразную при С = 0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e ( - 1 ) 2 + 1 = 1 2 e ( - 1 ) 2 + 1 = 1 2 e 2 ( e 3 - 1 )

Ответ: ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 ( e 3 - 1 )

Произвести вычисление интегралов ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Отрезок - 4 ; - 1 2 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y = 4 x 3 + 2 x 2 . Получаем, что

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Необходимо взять первообразную F ( x ) = 2 x 2 - 2 x , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Производим переход к вычислению второго интеграла.

Из отрезка [ - 1 ; 1 ] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда F ( x ) = 2 x 2 - 2 x не является первообразной для y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ - 1 ; 1 ] , так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ - 1 ; 1 ] .

Ответ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ - 1 ; 1 ] .

Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле

Когда функция y = f ( x ) является определенной и непрерывной из отрезка [ a ; b ] , тогда имеющееся множество [ a ; b ] считается областью значений функции x = g ( z ) , определенной на отрезке α ; β с имеющейся непрерывной производной, где g ( α ) = a и g β = b , отсюда получаем, что ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ' ( z ) d z .

Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫ a b f ( x ) d x , где неопределенный интеграл имеет вид ∫ f ( x ) d x , вычисляем при помощи метода подстановки.

Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2 x - 9 = z ⇒ x = g ( z ) = z 2 + 9 2 . Значение х = 9 , значит, что z = 2 · 9 - 9 = 9 = 3 , а при х = 18 получаем, что z = 2 · 18 - 9 = 27 = 3 3 , тогда g α = g ( 3 ) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При подстановке полученных значений в формулу ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ' ( z ) d z получаем, что

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 ' d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2 z 2 + 9 принимает значение 2 3 a r c t g z 3 . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ' ( z ) d z .

Если при методе замены использовать интеграл вида ∫ 1 x 2 x - 9 d x , то можно прийти к результату ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 - 9 3 - a r c t g 2 · 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Ответ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

Если на отрезке [ a ; b ] определены и непрерывны функции u ( x ) и v ( x ) , тогда их производные первого порядка v ' ( x ) · u ( x ) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u ' ( x ) · v ( x ) равенство ∫ a b v ' ( x ) · u ( x ) d x = ( u ( x ) · v ( x ) ) a b - ∫ a b u ' ( x ) · v ( x ) d x справедливо.

Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫ a b f ( x ) d x , причем ∫ f ( x ) d x необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Функция x · sin x 3 + π 6 интегрируема на отрезке - π 2 ; 3 π 2 , значит она непрерывна.

Пусть u ( x ) = х , тогда d ( v ( x ) ) = v ' ( x ) d x = sin x 3 + π 6 d x , причем d ( u ( x ) ) = u ' ( x ) d x = d x , а v ( x ) = - 3 cos π 3 + π 6 . Из формулы ∫ a b v ' ( x ) · u ( x ) d x = ( u ( x ) · v ( x ) ) a b - ∫ a b u ' ( x ) · v ( x ) d x получим, что

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Решение примера можно выполнить другим образом.

Найти множество первообразных функции x · sin x 3 + π 6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона – Лейбница

В основе определения понятия определенный интеграл лежит понятие интегрльная сумма. Пусть на отрезке [ a , b ] задана непрерывная функция f ( x ). Будем называть криволинейной трапецией фигуру ограниченную графиком функции, осью ОХ и вертикальными прямыми, проходящими через концы отрезка (Рис.1). Обозначим площадь криволинейной трапеции S .

Разобьем отрезок [ a , b ] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку ξ _i .

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f ( x ) на отрезке [ a , b ].

Геометрически эта сумма изображается (представляется) ступенчатой фигурой, построенной из прямоугольников, и определяет площадь этой ступенчатой фигуры.

Определенным интегралом от f ( x ) на отрезке [ a , b ] называется предел интегральных сумм , если при любых разбиениях отрезка [ a , b ] таких, что λ = max  x _i  0 и произвольном выборе точек ξ _i для данного разбиения интегральная сумма стремится к пределу I .

Обозначение определенного интеграла: I =

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [ a , b ] – отрезок или промежуток интегрирования.

Если для функции f ( x ) существует предел интегральных сумм и он конечный (число)

I = то функция называется интегрируемой на отрезке [ a , b ].

Также верны утверждения:

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости): Функция f ( x ) ограниченная на [ a , b ] интегрируема.

Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости): Если функция f ( x ) непрерывна или кусочно-непрерывна на отрезке [ a , b ] , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

2. - - перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака

5. Если f ( x )   ( x ) на отрезке [ a , b ] a b , то.

Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема: Для всякой функции f ( x ), непрерывной на отрезке [ a , b ] , существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенны й интеграл.

Теорема: (Теорема-формула Ньютона – Лейбница)

Если функция F ( x ) – какая- либо первообразная непрерывной функции f ( x ) на[ a , b ], то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница .

Формула Ньютона – Лейбница определяет основной подход к вычислению определенных интегралов – сначала надо найти первообразную подынтегральной функции, а затем подставить пределы и вычислить разность между значениями функции.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены при нахождении неопределенных интегралов (первообразной) . Точно так же применяются знакомые методы: подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов необходимо учитывать преобразование не только подынтегральной функции, но и пределов интегрирования. Заменяя переменную интегрирования (вводя новую функцию), необходимо не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение: Так как для функции f(x)=sin(x) функция F(x)=-cos(х) является первообразной, то, применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычисляем данный определенный интеграл: ===.

Пример 2 . Вычислить определенный интеграл

Определённый интеграл применяют для решения геометрических и физических задач. Например, вычисление площадей фигур, объёмов тел вращения, работы переменной силы, расстояния при прямолинейном перемещении, длины дуги плоской кривой, объёма тел, площади поверхности вращения, статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и многие другие прикладные задачи.

Загрузить презентацию (333 кБ)

Тип урока: Изучение нового материала.

Цели урока: ввести понятие интеграла и его вычисление по формуле Ньютона-Лейбница, используя знания о первообразной и правила ее вычисления; проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции; закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

• Образовательные:
  • сформировать понятие интеграла;
  • формирование навыков вычисления определенного интеграла;
  • формирование умений практического применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.
  • развитие познавательного интереса учащихся, развивать математическую речь, умения наблюдать, сравнивать, делать выводы;
  • развивать интерес к предмету с помощью ИКТ.
  • активизировать интерес к получению новых знаний, формирование точности и аккуратности при вычислении интеграла и выполнении чертежей.

  Оснащение: ПК, операционная система Microsoft Windows 2000/XP, программа MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; мультимедийный проектор, экран.

  Литература: учебник Колмагорова А.Н. и др. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.

  Технологии: ИКТ, индивидуального обучения.

  Критерии оценки домашнего задания:

  1 уровень сложности. Вычислите интегралы и выберите вариант ответа:

  2 уровень сложности. Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:

  Читайте также:

    
  • Конспект урока 9 класс спотлайт 3f english in use
    
  • Конспект по теме информация и информационные процессы в обществе
    
  • Конспект про город воронеж
    
  • Рисование средняя группа сентябрь конспект
    
  • Энергия магнитного поля тока электромагнитное поле физика 11 класс презентация и конспект