Степенная функция с целым показателем конспект

4. Каким числом выражается показатель этих функций? (Целым).

5. Как можно назвать эти функции? ( Степенные).

Откройте тетради и запишите тему сегодняшнего урока.

Тема: Степенная функция с целым показателем.

4. Групповая работа.

Класс делится на несколько групп, например, на 4 группы по 5 человек.

Задание для групп:

(Какой график функции? Какие свойства имеет степенная функция? В каких ситуациях используется данная функция?)

( Можно заранее заготовить).

Рассмотрим сначала практическое применение степенных функций.

( Учащиеся заранее находят практическое применение степенных функций

проводят исследовательскую работу, например, по следующим темам:

а) , где S- площадь поперечного сечения провода диаметра d

б) F=Qm₁m₂r —2 , где F - сила притяжения между двумя телами с массами m₁ и m₂ ,

находящихся на расстоянии r, Q-постоянная гравитационная величина).

На этих примерах рассмотреть зависимость величин по графикам.

Группы выбирают по 2 функции для исследования с положительным и отрицательным показателем. (Заранее приготовить в напечатанном виде формулы функций и координатную плоскость ). Приложение 1а.

Вопросы для учащихся:

а) Есть ли среди представленных функций такие, которые можно объединить по каким либо признакам?
б) На сколько групп можно разделить предложенные функции?
в) Почему все функции такие разные, а имеют одно название?
г) Какую формулу можно записать для всех этих функций?

Задания для групп, предварительно фронтально повторить общий план

исследований функций и раздать группам в печатном виде. Приложение 2.

а) Выбрать одну из степенных функций ( где п – нечетное число;

где п – четное число; , где п – нечетное число, ,где п – четное число). Приложение 1б.

б) Обсудить свойства этих функций по плану (он раздается в печатном варианте всем группам).

Определить соответствие между формулами и графиками функций по слайдам.

1. Изобразить график и записать свойства степенной функции в общем виде, с которыми работали в группе;
2. Выбрать номер задания по выбранному уровню:
   “5” - № 364
   “4” - № 359
   “3” - № 337 (а,б)

Заполнить лист рефлексии с использованием “Шкалы успеха”. Приложение 3.

2) основные свойства функций и ;

3) понятия взаимно обратной и дробно- линейной функций;

4) особенности построения графика дробно-линейной функции.

Глоссарий по теме

Определение. Функция вида , где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Функция вида у=х n , где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

С некоторыми из таких функций вы уже познакомились в курсе алгебры 7-9 классов Это, например, функции у=х 1 =х, у=х 2 , у=х 3 . При произвольном натуральном n графики и свойства функции у=х n аналогичны известным графикам и свойствам указанных функций.

Если показатель степени n — натуральное число, то степенная функция задаётся формулой y=x n .

При n=1, y=x 1 или y=x — прямая (Рисунок 1).

Рисунок 1 – график функции y=x 1

При n=2, y=x 2 — парабола.

При n=3, y=x 3 — кубическая парабола.

График степенной функции y=x n , где n — чётное число (4,6,8. ), принимает вид параболы.

Рисунок 2 – график функции y=x n , где n — чётное число

График степенной функции y=x n , где n — нечётное число (5,7,9. ), принимает вид кубической параболы.

Рисунок 3 – график функции y=x n , где n — нечётное число

Если показатель степени — целое отрицательное число, то степенная функция задаётся формулой y=x −n или y=1/x n .

График степенной функции y=x −n , в случае, когда n — чётное число (4,6,8. ), принимает вид:

Рисунок 4 – график функции y=x −n , при n — чётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x −4 ,y=x −8 .

График степенной функции y=x −n , в случае, когда n — нечётное число (5,7,9. ), принимает вид гиперболы:

Рисунок 5 – график функции y=x −n , при n — нечётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x −5 ,y=x −11 .

Функции такого вида называются дробно-линейными.

Рассмотрим графики степенных функций y=x m/n с положительным дробным показателем m/n.

1. Степенная функция , где > неправильная дробь (числитель больше знаменателя).

График — ветвь параболы:

Рисунок 6 – , где

Свойства функции , где

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, y_наим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

2. Степенная функция , где — правильная дробь (числитель меньше знаменателя).

Рисунок 7 - функция , где

Свойства функции , где

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, y_наим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вверх;

8. непрерывна.

Рассмотрим степенные функции с отрицательным дробным показателем степени

График — ветвь гиперболы.

Рисунок 8 - функция

График имеет горизонтальную асимптоту у=0 и вертикальную асимптоту х=0.

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. убывает при x∈(0;+∞);

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

Итак, на основании всего вышеперечисленного, можно сделать вывод в виде таблицы:

Таблица 1 - вывод

Рассмотрим еще одну функцию.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Если функция y=f(x), x∈X монотонна на множестве X, то она обратима.

Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на множестве X, а Y - область значений функции, то обратная функция x=f −1 (y),y∈Y возрастает (убывает) на множестве Y.

Точки M(a;b) и P(b;a) симметричны относительно прямой y=x.

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Пользуясь формулой y=f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x=g(y) заменить x на y, а y на x.

Дана функция y=x 2 , x∈[0;+∞). Найти обратную функцию.

Заданная функция возрастает на промежутке [0;+∞), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x 2 находим: или . Промежутку [0;+∞) принадлежат лишь значения функции . Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке [0;+∞).

Поменяв местами x и y, получим: , x∈[0;+∞). График этой функции получается из графика функции y=x 2 , x∈[0;+∞) с помощью симметрии относительно прямой y=x.

Рисунок 9 – график функции, обратной y=x 2

Разборы и примеры решения заданий тренировочного модуля

Изобразите схематически график функции

В этом видеоуроке мы поговорим о степенной функции. А также познакомимся с некоторыми свойствами степенной функции в зависимости от показателя степени р.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Степенная функция, её свойства и график"

Напомним, что степенной функцией называется функция вида , где — заданное действительное число. Вы уже знакомы с частными случаями степенных функций, когда является натуральным или целым числом, например, с такими функциями, как , , , ….

Давайте вспомним, как выглядят графики этих функций.

Итак, если , то есть имеем функцию

Графиком этой функции будет прямая, проходящая через начало координат.

Если — чётное число (), то графиком функции является парабола.

Графиком функции , при нечётном (), является кубическая парабола.

Если , то . Графиком этой функции является гипербола.

Свойства степенной функции напрямую зависят от свойств степени с действительным показателем и в частности от того, при каких значениях и имеет смысл .

Давайте рассмотрим некоторые свойствами функций, которыми обладают, в частности, отдельные степенные функции.

Итак, функция , определённая на множестве большое, называется ограниченной снизу на множестве , если существует число такое, что для любого выполняется неравенство .

Как же это понимать? Это означает, что все точки графика ограниченной снизу функции, где , расположены выше прямой игрек равно или на этой прямой.

Функция, определённая на множестве большое, называется ограниченной сверху на множестве большое, если существует число такое, что для любого , выполняется неравенство .

В этом случае все точки графика функции , где , лежат ниже прямой игрек равно или на этой прямой.

Функция является ограниченной снизу, так как . То есть парабола ограничена снизу прямой .

А функция ограничена сверху, так как , то есть парабола ограничена сверху прямой .

Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве икс большое, называют ограниченной на этом множестве.

Функция является ограниченной на множестве тогда и только тогда, когда существует положительное число такое, что для любого большое, выполняется неравенство .

Ещё вам нужно знать, что если существует такое значение из области определения множества функции ‚ что для любого из этой области справедливо неравенство , то говорят, что функция принимает наименьшее значение при .

Например, функция принимает при наименьшее значение, равное .

Если же существует такое значение из области определения множества функции , что для любого справедливо неравенство , то говорят, принимает наибольшее значение при ..

Например, функция принимает при наибольшее значение, равное 5.

А теперь давайте более подробно рассмотрим свойства степенной функции в зависимости от показателя степени .

Случай 1. Показатель — чётное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где — натуральное число, обладает следующими свойствами:

— область определения — все действительные числа, то есть множество действительных чисел ;

— множество значений — неотрицательные числа, то есть ;

— функция чётная, так как ;

— функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке ;

— функция ограничена снизу, так как для любого ;

— функция принимает наименьшее значение при .

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции , или и так далее. График этой функции называют параболой n-й степени.

Случай 2. Показатель — нечётное натуральное число.

В этом случае степенная функция, где — натуральное число, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел;

— множество значений — множество действительных чисел;

— функция нечётная, так как ;

— функция является возрастающей на всей действительной оси;

— функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции . График этой функции называют кубической параболой.

Случай 3. Показатель , где — натуральное число.

В этом случае степенная функция, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел, кроме ;

— множество значений — положительные числа ;

— функция , чётная, так как ;

— функция является возрастающей на промежутке и убывающей на промежутке ;

— функция ограничена снизу, так как ;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции .

Случай 4. Показатель , где — натуральное число.

В этом случае степенная функция , где, обладает следующими свойствами:

— область определения — множество действительных чисел, кроме ;

— множество значений — множество действительных чисел, кроме ;

— функция , нечётная, так как как ;

— функция является убывающей на промежутках и ;

— функция не является ограниченной;

— функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции, имеет такой же вид, как, например, график функции .

Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой, а ось ординат — вертикальной асимптотой графика функции.

Случай 5. Показатель — положительное действительное нецелое число.

В этом случае функция обладает следующими свойствами:

— область определения — множество неотрицательных чисел ;

— множество значений — множество неотрицательных чисел ;

— функция является возрастающей на промежутке ;

— функция не является ни чётной, ни нечётной;

— функция ограничена снизу, так как ;

— функция принимает наименьшее значение при .

График функции , где — положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции (при ) или как, например, график функции (при ).

Случай 6. Показатель — отрицательное действительное нецелое число.

В этом случае функция обладает следующими свойствами:

— область определения — множество положительных чисел ;

— множество значений — множество положительных чисел ;

— функция является убывающей на промежутке ;

— функция не является ни чётной, ни нечётной;

— функция ограничена снизу, так как .

График функции , где — отрицательное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции .

вычисляют значения выражений, содержащих степени с целым показателем.

создать условия для развития мыслительных процессов, активной познавательной деятельности детей;

способствовать формированию у учащихся навыков адекватной самооценки; формированию мотивации достижения, развитию рефлексивных способностей.

Воспитательная: содействовать воспитанию у учащихся бережного использования энергоресурсов.

Оборудование: презентация, тексты заданий.

Формируемые метапредметные компетенции:

умение обосновывать выбор способа действий;

использование знаково-символических средств для решения заданий;

оценивание правильности выполнения действий, осуществление пошагового и итогового контроля по результату;

проведение сравнения по заданным критериям;

развитие способностей оценки и понимания окружающего мира.

Цель: психологически подготовить учащихся к уроку, ввести их в атмосферу познавательной деятельности

Предлагает учащимся вспомнить основные понятия предыдущих уроков алгебры.

Называют основные понятия, изученной темы (степень, показатель, основание, стандартный вид числа и др.)

На доске записаны дата и тема урока

Учитель: На протяжении последних уроков алгебры мы с вами изучали новые для вас понятия. Давайте вспомним, какие? (Учащиеся перечисляют)

Учитель: Сегодня нам предстоит вспомнить эти понятия и повторить то, как выполняются действия со степенями.

Цель предметная: актуализация понятия стандартный вид числа

Цель в рамках энергосберегающего аспекта: показать, что количество производимой электроэнергии в нашей стране меньше потребляемой

Предлагает учащимся выбрать из текста числа, записанные в стандартном виде, сформулировать определение числа в стандартном виде, записать все числа, встречающиеся в тексте, в стандартном виде.

Предлагает учащимся сравнить количество произведенной в стране энергии и количество потраченной и сделать вывод

Читают текст, называют числа, записанные в стандартном виде. Повторяют определение числа, записанного в стандартном виде. Записывают числа в стандартном виде. (Один из учащихся записывает на доске.) Сравнивают некоторые из чисел. Делают вывод о нехватке энергии, производимой в нашей стране

Текст размещен на слайде презентации

Текст: В Беларуси было произведено 33,3 электрической энергии. А потреблено − 36600 Вт ч. Самая крупная электростанция Беларуси – Лукомльская ГРЭС, мощностью 256 . Новополоцкая ТЭЦ имеет мощность 505 . На территории Беларуси построено более 50 гидроэлектростанций. Крупнейшая гидроэлектростанция – Витебская, мощностью 40

Учитель: Таким образом, нашему государству приходится покупать у других стран электроэнергию. Для изменения этой ситуации существует несколько путей. О некоторых из них вы узнаете из следующего задания.

Цель предметная: повторить правила действий со степенями.

Цель в рамках энергосберегающего аспекта урока: познакомить учащихся со способами решения проблемы дефицита энергии – альтернативные источники энергии и энергосбережение.

Предлагает учащимся задания на действия со степенями. Для успешного их выполнения напоминает правила.

Повторяют правила действий со степенями. Решают задания на применение правил. В результате выполнения задания, учащиеся называют два способа решения проблемы нехватки энергии: альтернативные источники энергии и энергосбережение.

Учитель: Что же такое альтернативные источники энергии? С некоторыми из них вы познакомитесь, решая следующее задание.

Цель предметная: закрепить навыки действий со степенями в заданиях на применение правил действия со степенями и вычисления.

Цель в рамках энергосберегающего аспекта: познакомить учащихся с несколькими видами альтернативных источников энергии, применяемыми в Беларуси

Предлагает учащимся в парах выполнить задания. Полученные ответы найти на карточках с картинками.

Задания на карточках.

Проверка правильного расположения карточек – на слайде

Карточка с заданием: Карточки с ответами:

После решения задания учитель и учащиеся проверяют правильность выполнения. Учитель кратко комментирует изображения установок для получения электроэнергии от энергии воды, солнца, ветра, биогаза, применяемые на территории Беларуси.

Цель предметная: проверить знания учащихся.

Цель в рамках энергосберегающего аспекта урока: мотивировать учащихся на экономию энергии в обычной жизни.

Учитель: Кроме использования альтернативных источников энергии, над эффективным применением которых трудятся многие ученые, как мы выяснили, существует ещё способ решения проблемы нехватки энергии – это её экономия, то есть энергосбережение. С одной стороны – это более простой способ, а с другой – более сложный. Поскольку каждый житель Беларуси, и вы в том числе, должны экономить электричество. Как это можно делать? (учащиеся дают ответы: выключать свет и электроприборы, когда ими не пользуются, не оставлять их включенными в режиме ожидания, собирать отходы для повторной переработки и др.)

Демонстрирует учащимся задания теста для проверки знаний по теме. Контролирует самостоятельность выполнения заданий.

После выполнения заданий демонстрирует правильные ответы

Решают задания в тетрадях, работая индивидуально (решение пишут обязательно). Сдают тетради и после этого узнают правильные ответы.

Выберите число, представленное в стандартном виде:

а )

3) Найдите значение выражения и результат запишите в стандартном виде:

В ыполните действия:

После проверки учащиеся ставят себе предварительную отметку (окончательная будет после проверки тетрадей учителем).

Этап подведения итогов урока и домашнего задания

Цель предметная: задать детям домашнее задание с учетом предполагаемой коррекции знаний.

Цель в рамках энергосберегающего аспекта урока: мотивировать учащихся на дальнейшее бережное использование энергоресурсов.

Учитель дает домашнее задание в зависимости от предварительной оценки, полученной учащимися.

Учитель подводит итоги урока. Демонстрирует пример памятки по энергосбережению

Записывают домашнее задание

Памятка – на слайде презентации

Для учащихся, получивших предварительные оценки 6 баллов и ниже – №1.148, 1.147, повторить свойства степеней с.25.

Для учащихся, получивших предварительные оценки 7 – 10 баллов – №1.188, 1.162, повторить свойства степеней с.25.

Читайте также:

  
• Конспект занятия репка для детей раннего возраста
  
• Состав однозначных чисел 1 класс конспект урока
  
• План конспект урока по информатике 7 класс логические операции и или
  
• Пояса земли конспект урока
  
• Механическое движение 9 класс физика конспект урока