Скачать опорный конспект дифференциальные уравнения

Обновлено: 04.07.2024

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Объяснение нового материала.

Закрепление изученного материала.

Информация о домашнем задании.

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.

2. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

б) Указать угловой коэффициент прямой:

в) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F'dx).

г) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

д) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам ( группа)- у доски:

1 группа 2 группа 3 группа

3.Объяснение нового материала:

Мотивация: Решить уравнение: у'=2х.

Что содержит данное уравнение?

у'=2х.- дифференциальное уравнение (ДУ).

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Дифференциальные уравнения (ДУ) обычно кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении многим студентам, но на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО.

Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

ху'+у=0- диф.уравнение первого прядка.

- диф. уравнение 2-го порядка.

у'''-2у=х- диф. уравнение третьего порядка.

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению.

Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0 между независи-мым переменным х, искомой функцией у и еѐ производной

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0, называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

Пример: у'=2х. С чего начать решение?

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные?

2) При х= 2, у=5, тогда

с= 1, следовательно,

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями с разделенными переменными

Определение 9-1: Линейное уравнение первого порядка – это уравнение вида:

Определение 10: Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то уравнение неоднородное

Для решения этого уравнения необходимо:

3.проинтегрировать обе части полученного равенства.

Пример2: Решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

Опр Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию, независимые переменные и производные этой функции.

Пример В дифференциальном уравнении Риккати

неизвестная, а известные функции.

Опр Дифференциальное уравнением, в котором незави симых переменных более одной (одна), называется дифференциаль ным уравнением в частных производных (ДУЧП ), соответственно обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Пример Уравнение Риккати является обыкновенным, а уравнении Лапласа

, , уравнением в частных производных.

Опр Дифференциальным уравнением n-ого порядка называется ОДУ, в котором самый высокий порядок производной неизвестной функции равен .

Опр ОДУ вида называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной . ОДУ вида называется уравнением общего вида. Здесь - известные функции.

В терминах дифференциальных уравнений формулируются законы, по которым развиваются или связываются между собой процессы.

Пример (фильтр нижних частот) Так называется изображенная электрическая цепь. Здесь входным процесс сом является ЭДС источника, а выходным - падение напряжения на конденсат оре. Если - ток в цепи, то падения напряжений на сопротивлении и на емкости соответственно равны . Так как ЭДС равна сумме падений напряжений , то входной и выходной процессы связаны таким дифференциальным уравнением первого порядка .

Если выходное напряжение снимется на сопротивлении, то аналогичным образом выводится уравнение фильтра верхних частот .

Опр Решением ОДУ -ого порядка на интервале называется раз дифферен цируемая на функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождественное равенство на . График решения ОДУ называется интегральной кривой.

Пример 1 . Если – первообразная функции на , то согласно определению неопределенного интеграла множество решений этого ОДУ есть однопараметрическое семейство . Пара чисел , где , выделяют из этого семейства решений одно со свойством .

Пример 2 Применяя два раза аналогичное рассуждение к дифференциальному уравнению , получим общее решение в виде двухпараметрического семейства функций . Произвольная тройка чисел , также определяет единственное решение этого уравнения со свойством

КПР 1 Для ОДУ не существует решения с условием , так как по определению такое решение должно иметь производную в точке .

КПР 2 Для ОДУ с условием имеем два решения в окрестности точки .

Приведенные примеры мотивируют следующие определения.

Опр Пусть дано ОДУ ого порядка и числа . Задача нахождения решения ОДУ в окрестности точки , которое удовлетворяет равенствам , называется задачей Коши. Сами равенства называются условиями Коши, а числа - данными Коши.

Опр Общим решением ОДУ - ого порядка в окрестности точки называется функция , зависящая от параметров , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, получаемое из общего при конкрет ных значениях параметров, называется частным.

Опр Решение ОДУ, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Таким будет решение из последнего контрпримера.

Опр Решение, заданное в виде неявной функции , и зависящее от произвольных параметров, называется общим интегралом.

Опр Проинтегрировать ОДУ в явном виде – это значит найти его общее решение в виде элементарной функции. Проинтегрировать ОДУ в квадратурах – это значит найти его общее решение в виде интегралов от элементарных функций.

Пример Дифференциальное уравнения нельзя проинте грировать в явном виде, но можно в квадратурах: .

: методическое пособие / И.В. Шелепова – Иркутск : ИрГУПС МК ЖТ, 2018. – 11 с.

В пособии имеется как теоретический, так и практический материалы.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по образовательной программе среднего общего образования в образовательных учреждениях среднего профессионального образования и основным профессиональным образовательным программам .

Также может использоваться преподавателями, как раздаточный материал при изучении какой-либо из тем представленной в пособии.

ББК 22.1 Матем

Пояснительная записка

В пособии рассмотрен раздел: Основы математического анализа (дифференциальные уравнения), раздел представлен следующими темами:

Тема 1:Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения. Уравнения с разделенными переменными.

Тема 2: Уравнения с разделяющимися переменными, общее и частное решения.

Тема 3: Линейные ДУ первого порядка. Линейные однородные уравнения

1-го порядка. Линейные неоднородные уравнения 1-гопорядка.

Тема 4: Задача Коши для линейного ДУ первого порядка.

В пособии имеется как теоретический материал, так и примеры для самостоятельного решения, так же представлены алгоритмы решения примеров.

Данное методическое пособие разработано с целью использования ее студентами 2 курса всех специальностей, для самостоятельного изучения темы, например для студентов пропустивших занятие по болезни или по другой причине. Может использоваться и при подготовке к интернет-экзамену.

Также может использоваться преподавателями, как раздаточный материал, при изучении какой-либо из тем представленной в пособии.

Раздел: Основы математического анализа

Дифференциальные уравнения.

Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения.

Определение: дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы.

а) y , +3 x =0; b ) y 2 + x 2 =5; c ) y = e x ; d ) y , y - x =0; e ) y = ln | x |+ C ; f ) 2 dy +3 xdx =0.

Решение: уравнения b ), c ), e ) не являются дифференциальными, так как не содержат производной искомой функции или дифференциалов аргумента и искомой функции; уравнения a ), d ), f ) являются дифференциальными.

Определение: решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение: общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Определение: частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение: дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Уравнения с разделенными переменными.

Определение: уравнение вида f ( x ) dx +g( y ) dy =0 (1), где f ( x ) и g( y ) – данные функции, называется уравнением с разделенными переменными.

Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

Решение: Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим

Так как С произвольна, то можно обозначить 2С через С 2 , учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид x 2 + y 2 = C 2 . Это и есть общее решение.

Решение: Здесь g( y )=2 y , f ( x )=3 x 2 . Интегрируя обе части уравнения, имеем

Математика развивается благодаря потребностям решения задач из других областей науки и техники. Так, например, теория дифференциального и интегрально исчислений развивалась в связи с потребностями решения задач , прежде всего, физики и геометрии.

Сегодня я также предлагаю вам задачи, которые показывают необходимость введения нового для вас понятия, которое ,в свою очередь, повлекло за собой развитие нового раздела в математике.

Основные понятия.

1.Дифференциальным уравнением (ДУ) называется равенство, содержащее переменную, производные или дифференциалы неизвестной функции.

Общий вид ДУ: , где

2. Порядок ДУ – это порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении.

Например, уравнение 5+3 - это уравнение второго порядка.

3. Решение ДУ – это функция у =

Например, для ДУ : х

левая часть уравнения тождественно обращается в нуль: х= 0.

4. Общее решение ДУ – это семейство функций у = , удовлетворяющее этому уравнении при произвольном значении постоянной С.

5.Частное решение ДУ – это решение , получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных С_{0 .}

Для нахождения частных решений задают дополнительные условия. Эти условия называются начальными. Начальные условия, или условия Коши, задают значение функции у₀ в фиксированной точке х_0.

4.Графиком общего решения ДУ является семейство интегральных кривых.

5. Графиком частного решения является только одна интегральная кривая, которая проходит через заданную точку (х₀;_. у₀).

Например, Найти частное решение дифференциального уравненияесли у = 5 при

Общим решением ДУ является функция у = х 2 +С, где С – произвольная постоянная.

Подставив начальные условия в общее решение, получим: 5 = 2 2 +С. Тогда С =5 – 4=1.

Найденное значение С = 1, подставим в общее решение, получим: у = х 2 +1 – это частное решение

дифференциального уравнения. Оно выделяет одну параболу из семейства интегральных кривых.

Читайте также: