Скачать конспект урока решение показательных неравенств

Обновлено: 06.07.2024

На уроке будут рассмотрены новые для обучающихся неравенств – показательные, решение которых требует хорошего знания теоретического материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по математике.

обобщение знаний и умений учащихся по применению методов решения показательных уравнений;
закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств;
развитие умения систематизации изученного материала, выделения общих и отличительных признаков и свойств изучаемых понятий, умения применять функционально-графический метод при решении уравнений и неравенств;
формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ.

активизация познавательной деятельности посредством использования компьютерных технологий;
развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

формирование умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы;
воспитание устремленности к самообразованию и самосовершенствованию;
осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме

Оборудование: компьютер, мультимедийное оборудование.

I. Комментарий к организации урока.

Урок построен таким образом, чтобы учащиеся, опираясь на свойства степени и свойства числовых неравенств, а также на свойство монотонности показательной функции, самостоятельно пришли к алгоритму решение показательных неравенств и применили его при решении простейших неравенств.

Теоретический опрос: а) определение показательной функции; б) какова область определения показательной функции; в) какова область значений показательной функции; г) в каком случае показательная функция является возрастающей, убывающей; д) как расположен график; е) каковы основные методы решения показательных уравнений (метод замены, однородное уравнение, разложение левой части уравнения на множители и переход к совокупности, функционально – графический, метод интервалов); ж) что называется решением неравенства, что значит решить неравенств.

II. Проверка домашнего задания.

Цель: Проверка домашнего задания.

Повторение приемов решения показательных уравнений используемых также при решении показательных неравенств.

На интерактивной доске заранее записаны решения уравнений из домашнего задания. Учащимся предлагается сверить свои решения с записями на доске и найти допущенные в решениях ошибки.

Ошибки допущены в уравнениях 2,3,4 и выделены полужирным шрифтом, а та часть решения, где содержится ошибка, подчеркнута.

III. Самомтоятельная работа в парах.

Цель: Повторение свойства степени при работе с числовыми неравенствами.

На каждом столе находится карточка с заданиями. Учащиеся обсуждают в парах. Для выполнения этих заданий им необходимо вспомнить свойства степени:

Сравните числа (поставьте знаки “>” или “ x > 0, производим деление обеих частей неравенства на положительную величину и вводим новую переменную. Однородное неравенство первой степени ma x + nb x > 0 решается делением обеих частей неравенства на a x > 0, а однородное неравенство второй степени ma 2x + nb 2x + ka x b x > 0 решается делением на a 2x (или b 2x , или a x b x ).

Пример: 2 x+1 – 3∙10 x > 5 2x+1

Так как 5 2x > 0 для любых x, то разделив обе части неравенства на 5 2x , получим неравенство, равносильное данному:

в) Метод интервалов.

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = 4 x – 3∙ – , областью определения которой является множество неотрицательных чисел. Находим нули функции, решив уравнение

4 x – 3∙ – = 0. Делим обе части уравнения на , после преобразований получим уравнение () 2 – 3∙ – 4 = 0 , откуда = 4 или = -1. Последнее уравнение не имеет решения, а уравнение = 4 имеет единственный корень, равный 4. Нуль функции разбивает область определения на промежутки , в которых функция (в силу своей непрерывности) сохраняет знак.

f(1) 9 – 3∙2 12 – 4 4 = 4 4 ∙(4 5 – 48 – 1) > 0

Итак, исходное неравенство выполняется при 0 x x и g(x) = 3 – x и определены на всём множестве действительных чисел. Функция f(x) = 2 x возрастающая на R, а функция убывающая на R, значит, уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного корня. Не сложно убедиться в том, что 1 является единственным корнем уравнения. Таким образом, графики функций имеют одну точку пересечения. Неравенство имеет решение тогда, когда график функции f(x) = 2 x лежит не выше графика функции

Цель : Познакомить учащихся с определением показательных неравенств, изучить методы решений показательных неравенств. Развивать вычислительные навыки и логическое мышление. Воспитывать навыки сотрудничества.

Устный счет: представить в виде степени число

4=2², 8=2 ³, 49/9= (7/3) ², 25=5 ², 125=5 ³, 1=(0,2)°, 1/3=3 ⁻¹, 3=(1/3)⁻¹, 16=2 ⁴, ½=2 ⁻¹.

Дайте определение показательной функции. (функция вида у=а ͯ)
Какая область определения показательной функции? Значений? (все числа, числа больше 0)
При каких значениях, а функция возрастает? Убывает? (а>1, 0
Методы решений показательных уравнений (сведение к одинаковому основанию, вынесение за скобки общего множителя, замена, однородные)

Задание : на карточках - определить тип неравенства

Учебник с.173-177 п.6.4

Б) 5 ͯ -1 Г) 0,5 ͯ 1

№ 6. 32 несколько человек у доски

Ответы: а) х ≥ ½, б) х ≤ -1/2, в) х ≥ -1/4, г) х ≤ ½, д) х ≤ -1/2, е) х ≥ 2/3

Домашнее задание № 6.33 с.177
Итог урока

Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из экрана на доске:

сегодня я узнал…

я выполнял задания…

я почувствовал, что…

у меня получилось …

урок дал мне для жизни…

1. На уроке я работал

2. Своей работой на уроке я

3. Урок для меня показался

5. Мое настроение

6. Материал урока мне был

7. Домашнее задание мне кажется

доволен / не доволен

не устал / устал

стало лучше / стало хуже

понятен / не понятен

Метод сведения к одинаковому основанию

Метод вынесения за скобки общего множителя

Метод замены показательной функции на новую переменную

Однородные (деление на одну из показательных функций)

Не знаю, определить невозможно

4 ͯ + 2 ͯ ⁺¹ - 24 ≤ 0

9 ͯ - 10*3 ͯ + 9 ≤ 0

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Обобщающий урок по теме: "Показательная функция, уравнения, неравенства"

Открытый урок по теме "Показательные неравенства"

Урок комплексного применения зниний и способов решения показательных неравенств. Тема самообразования "Технология уровневой дифференциации на уроках математики".

Темы 10,11. ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ.ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.

Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: "Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства".

Разработка урока алгебры в 11 классе "От показательных уравнений к показательным неравенствам"

Данную презентацю можно использовать в качестве сопровождения при объяснении темы "Показательные неравенства".

Контрольные работы по теме " Показательная функция. Показательные уравнения.Показательные неравенства."

Контрольные работы по теме " Показательная функция. Показательные уравнения.Показательные неравенства " для учащихся 11 класса подготовлены в6 вариантах.

Обобщающий урок по теме "Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств."

Урок проводится с использованием компьютера и мультимедийного проектора. В ходе урока проводится тест "Показательная функция" с самопроверкой, работа по вариантам, работа по рядам с проверкой консульт.

развивающая: способствовать развитию памяти, внимания, мышления, наблюдательности учащихся, формированию умения анализировать, сопоставлять данные, умения делать выводы.

воспитательная: воспитание аккуратности, самостоятельности и устойчивого интереса к изучению предмета.

Тип урока: комбинированный урок

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный, индуктивно-репродуктивный

Оборудование: карточки с самостоятельной работой.

Организационный момент (1 минута)

Актуализация знаний (5 минут)

Решение задач (20 минут)

Самостоятельная работа (15 минут)

Подведение итогов (2 минуты)

Домашнее задание (2 минута)

Ход урока:

Организационный момент.

Приветствие учеников, проверка посещаемости, проверка готовности помещения к уроку.

Актуализация знаний

Ученик: Неравенство, содержащее переменную в степени, называется показательным неравенством.

Учитель: Какие методы решения показательных неравенств вы изучили?

Ученик: Показательные неравенства решаются сведением к общему основанию, к вынесению общего множителя за скобки, приведением к квадратному, а также решаются графическим методом.

Учитель: Какие важные свойства функции применяются при решении показательных неравенств?

Ученик: Свойства возрастания и убывания показательной функции.

Учитель: Сформулируйте свойство возрастания функции.

Ученик: Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Учитель: Сформулируйте свойство убывания функции.

Ученик: Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Учитель: Что важно помнить, если заметили, что основанием показательного неравенства является число от 0 до 1?

Ученик: Знак при решении таких неравенств меняется на противоположный.

Решение задач

Учитель: Рассмотрим ход решения следующих показательных неравенств записанных на доске и решим их устно

Работа устно (учащиеся по цепочке называют ход решения показательных неравенств)

Учитель: Каким способом решаются представленные на доске неравенства?

Ученик: Эти неравенства решаются сведением обеих частей неравенств к одинаковому основанию и применением свойств возрастания или убывания показательной функции.

Учитель: Следующие два неравенства делаем письменно у себя в тетрадях, после чего сверим полученные ответы.

Учащиеся выполняют задания в тетрадях

Учитель: Каким способом решаются эти неравенства?

Ученик: Эти неравенства решаются методом замены переменной

Учитель: А сейчас решим № 233(4) и №239(4) из учебника.

Один ученик работает у доски остальные в тетради

Самостоятельная работа.

Учитель: Переходим к самостоятельной работе.

Самостоятельная работа по теме:

4. Подведение итогов.

Учитель: Решая показательные неравенства, мы применяли свойства показательных неравенств, а также свойства степеней. Вспомним ещё раз, свойство возрастания функции.

Ученик: Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Учитель: Как формулируется свойство убывания функции.

Ученик: Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Учитель: Что важно помнить при решении убывающих показательных неравенств?

Ученик: Знак при решении таких неравенств меняется на противоположный.

Учитель: Итак, мы выделили свойства показательных неравенств. При решении таких неравенств нужно всегда помнить о них. Задания подобного типа присутствует в ЕГЭ.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Урок алгебры 11 класс
Автор УМК А.Г. Мордкович

Цели: ввести понятие показательного неравенства; изучить теорему о равносильном переходе от показательного неравенства к алгебраическому; формировать умения решать простейшие показательные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним; производить подготовку к итоговой аттестации.

I. Организационный момент.

II. Решение заданий из открытого банка заданий ЕГЭ (сайт ФИПИ).

а ) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π ; −3π2].

2. Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π2].

3. а) Решите уравнение (16 sinx ) cosx =4 √3sinx .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

III. Объяснение нового материала.

1. Актуализация знаний .

Выполнив устную работу, учащиеся вспомнили теоремы 2, 4, изученные на предыдущих уроках:

Если a > 1, то a x > 1  x > 0; ( a x  x

0 a a x > 1  x a x  x > 0).

2. Вводим определение показательного неравенства – неравенство вида a f ( x ) > a g ( x ) , где a > 0, a  1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

3. Метод решения показательного неравенства.

Напоминаем, что для f ( x ) = a x E ( f ) = (0; +  ).

Имеем : a f ( x ) > a g ( x ) / : a g ( x ) > 0

> 1; a f ( x ) – g ( x ) > 1.

На основе теорем 2 и 4 делаем выводы , что если a > 1, то

a f ( x ) > a g ( x )  f ( x ) > g ( x ).

0 a то a f ( x ) > a g ( x )  f ( x ) g ( x ).

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 40.30, 40.31 (устно).

При выполнении упражнений ученики должны называть основание степени и определять, больше оно 1 или меньше и на основании этого делать переход к равносильному алгебраическому неравенству.

2. № 40.32, 40.34, 40.36 (а; б).

В данных упражнениях необходимо обе части неравенства представить в виде степеней с одинаковыми основаниями.

3. № 40.37 (а; б), 40.38 (а; б).

Данные неравенства сводятся к решению квадратных неравенств.

;

 0,6 6  x 2 – x  6 (так как 0

x 2 – x – 6  0;

( x + 2)( x – 3)  0.

;

–3  x 2 – 4 x > –3 (так как 0

x 2 – 4 x + 3 > 0;

( x – 3)( x – 1) > 0.

Неравенства, решаемые методом подстановки.

3 2 x – 4 · 3 x + 3  0.

Пусть 3 x = t , где t > 0, тогда неравенство примет вид:

t 2 – 4 t + 3  0;

( t – 3)( t – 1)  0;

3 0  3 x  3 1  0  x  1, так как 3 > 1.

Неравенства вида a f ( x ) > b f ( x ) . Решаются аналогично уравнениям подобного вида, переход к равносильным неравенствам осуществляется с учетом основания .

6. № 40.43 (а; б).

7. № 40.44 (а; б), 40.45 (а; б), 40.46 (а; б).

При решении данных неравенств используются комбинированные приемы.

 > 0, так как 0

Решим дробное рациональное неравенство методом интервалов.

Ответ : .

;

  – 2, так как 0

+ 2  0;  0;  0.

Решим дробное рациональное неравенство методом интервалов.

Ответ : .

9 x · > 0,25;

;  x

8. № 40.47, 40.48 (а; б), 40.49 (а; б), 40.50*.

В данных упражнениях необходимо не только решить показательные неравенства, но и отобрать решения, удовлетворяющие некоторому условию.

 243;

3 –3  3 2 x – 14  3 5  –3  2 x – 14  5, так как 3 > 1;

11  2 x  19;

5,5  x  9,5.

Отберем натуральные числа, входящие в данный отрезок решений: .

;

 7 x – 9  3, так как 0

x  ;

x  1 .

Наибольшим целочисленным решением неравенства является х = 1.

;  2 x 2 – 3 x  2, так как 0

2 x 2 – 3 x – 2  0;

2 x 2 – 3 x – 2 = 0;

D = (–3) 2 – 4 · 2 · (–2) = 9 + 16 = 25;

x ₁ = = 2; x ₂ = .

Имеем: 2( x – 2)  0.

В полученный отрезок решений входят целые числа .

V. Проверочная работа.

Вариант 1

1. 5 – x > 1250 3.  1.

2. . 4. 5 2 x – 6 · 5 x + 5 > 0.

Вариант 2

1. 3 x > 81 * . 3.  1.

2. . 4. 4 2 x – 5 · 4 x + 4

Домашнее задание: 40. № 40.33, 40.35, 40.36 (в; г) – 40.38 (в; г), 40.41, 40.43 (в; г) – 40.46 (в; г).

Тема урока: Решение показательных уравнений и неравенств.

Класс: 10

Предмет: Алгебра и начала анализа

Тип урока: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков. Образовательные задачи: формирование умений и навыков решения показательных уравнений и неравенств;

Воспитательные задачи: развитие мышления, речи, умения выделять главное, сравнивать, обобщать; формирование познавательного интереса.

Методы: наглядные, практические, создание ситуации успеха, метод контроля.

Принципы урока: принцип научности, систематичности, доступности, связь обучения с жизнью.

Этапы урока:

3. Решение практических упражнений.

4. Программированный контроль.

5. Домашнее задание.

6. Итог урока. Рефлексия.

Ход урока:

1. Тема. Решение показательных уравнений и неравенств.

Цель. Применять знания, умения и навыки при решении показательных уравнений и неравенств.

а) Дайте определение показательной функции. Приведите примеры показательной функции.

Ответ: Функция вида у =, где а 0, а

Например, у =, у =(, у =.

б) Дайте определение степенной функции. Приведите примеры степенной функции.

Ответ: Функция вида у =, где n N.

в) Как называется функция у = ?

Ответ: показательная функция.

г) Как называется функция у = ?