Rlc в цепи переменного тока конспект

Обновлено: 02.07.2024

Переменным называют ток (или напряжение), который изменяется периодически по направлению и непрерывно по значению. Промежуток времени, в течение которого происходит полный цикл изменения тока по величине и направлению, называется п е р и о д о м, а число периодов п секунду - частотой переменного тока

где F - частота, Гц, Т- период, с.

В России для электрических сетей стандартная частота переменного тока, равная 50 Гц (50 периодов в секунду).

На рис. дана схема получения синусоидальной э.д. с. (простейший генератор). Прямолинейный проводник вращается с постоянной частотой в равномерном магнитном поле. Положения, которые он занимает при перемещении вокруг неподвижного центра, обозначены цифрами 1-12:

См. рис 1. Схема получения переменной э.д.с.

См. рис 2. График изменения переменной э.д.с.

Значения э.д.с. в каждый момент времени или при каждом положении проводника принято называть мгновенными значениями э.д.с. и обозначать е , например е ₁ ,е ₂ и т. д. Можно определить значения э. д. с. для каждого положения проводника

E = B l v sin a (4.2)

Переменный угол а называют фазным или просто ф а з о й.

Между угловой скоростью и частотой существует зависимость:

При синусоидальной э. д. с. ток и напряжение изменяются по аналогичному закону

Амплитуды - наибольшие мгновенные значения, которые принимают переменные напряжения и токи. За один период напряжение и ток имеют два амплитудных значения: положи - тельное и отрицательное.

Действующим значением переменного синусоидального тока называют такое значение, которое численно равно значению постоянного тока, протекающего через то же сопротивление и вызывающего выделение такого же количества теплоты за равное время.

Между амплитудным I _m и действующим значением переменного тока I существует следующее соотношение:

Для э. д. с. и напряжения соотношения аналогичны:

Цепь переменного тока с активным сопротивлением. Под активным cопротивлением проводника понимают такое сопротивление, в котором энергия выделяется в виде теплоты. Электрическая цепь обладает активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С, которые являются ее параметрами.

Рассмотрим электрическую цепь переменного тока, в которую включено только активное сопротивление ( см. рис. а):

Цепь с активным сопротивлением: а - схема; б - кривые тока и напряжения цепи; в - векторная диаграмма

См. рис. Цепь с индуктивностью: а - схема; б - кривые тока, напряжения и э. д. с. цепи; в - векторная диаграмма

К этой цепи подведено переменное напряжение, изменяющееся по закону и =U _m sin wt.

Для определения мгновенного значения тока в цепи воспользуемся законом Ома

Амплитудное значение тока

Из выражения (4.12) следует, что изменение тока по времени точно совпадает с изменением напряжения; максимумы и минимумы этих величин наступают одновременно. Такие величины называют совпадающими по фазе.

Выражение для действующего значения тока

Цепь переменного тока с индуктивностью . Рассмотрим теперь цепь, обладающую только индуктивностью L. Она реально не существует, так как любая катушка обязательно содержит и активное сопротивление. Однако для уяснения физической стороны процесса исследуем катушку, лишенную активного сопротивления ( См. рис. а).

Следовательно, u= L di/ dt

Для максимальных значений напряжения и тока получим следующее выражение:

Для действующих значений

Эта формула выражает закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью. Значение X _L =wL=2pfL называют индуктивным сопротивлением. Легко показать, что X _L выражается, как и активное сопротивление, в омах: X _L = 1/с* Гн = 1/с* Ом*с = Ом.

В цепи с индуктивностью ток отстает по фазе от напряжения на четверть периода (во времени), а в угловой мере - на 90° (p/2).

Цепь переменного тока с емкостью . Рассмотрим цепь, в которую включен конденсатор с емкостью С; предположим, что конденсатор не имеет активного сопротивления ( См. рис. а):

Цепь с емкостью: а - схема; б - кривые тока и напряжения цепи; в - векторная диаграмма

Цепь с активным и индуктивным сопротивлениями: а - схема; б - векторная диаграмма

При включении конденсатора в цепь переменного тока происходит непрерывный процесс перезарядки конденсатора с изменением два раза в течение периода знака заряда обкладок с плюса на минус и наоборот. В результате этого по цепи непрерывно движутся заряды, т. е. протекает переменный ток, называемый емкостным.

Закон изменения тока будет иметь следующее выражение:

Для действующих значений I = U w С, или

где 1/ (wС) - емкостное сопротивление Х _с :

Формула (4.20) выражает закон Ома для цепи с емкостью.

На рис. б показаны кривые изменения напряжения и тока для такой цепи и векторная диаграмма. В отличие от цепи с индуктивностью ток в данном случае по фазе опережает напряжение на 1/4 периода (p/2).

Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью . Рассмотрим приведенную на рис., а цепь с реальной катушкой, имеющей активное и индуктивное сопротивления. Для такой цепи уравнение второго закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжения запишем следующим образом: u + e _L = iR; и = - Ldi/dt.

Следовательно, в данном случае имеет место последовательное соединение L и R и напряжение, приложенное к катушке, состоит из двух слагаемых:

падения напряжения в активном сопротивлении

уравновешивающего э. д. с. самоиндукции.

Из изложенного следует, что вектор падения напряжения совпадает по направлению с вектором тока, а вектор U _L опережает его на 90 о . Сложив геометрически векторы, получаем вектор напряжения U (см. векторную диаграмму на рис. б ) . Таким образом, в цепи с реальной катушкой ток тоже отстает от напряжения, но на угол φ, меньший 90°.

Если в полученном на векторной диаграмме треугольнике напряжений разделить значения сторон на ток I, то получим треугольник сопротивлений (рис. 4.10), катеты которого равны активному R и индуктивному X _L сопротивлениям, а гипотенуза

Z называют полным сопротивлением цепи. Угол сдвига фаз j определяется из следующих соотношений:

См. рис. Треугольники токов и напряжений

Из треугольника напряжений вытекают следующие соотношения:

Проекция вектора напряжения на вектор тока называется активной составляющей вектора напряжения и обозначается U _а . Проекция вектора напряжения на направление, перпендикулярное вектору тока, называется реактивной составляющей вектора напряжения и обозначается U _р , в данном случае U _р = U _L . По аналогии, вектор тока можно разложить на активную и реактивную составляющие, что видно из рис. (треугольник токов):

I _a = I cos j (4.29)

I _p = I sin j (4.30)

Проекцию вектора общего тока на вектор приложенного напряжения называют активной составляющей тока (I _а ), а проекцию вектора общего тока на направление, перпендику- лярное вектору приложенного напряжения, - реактивной составляющейтока(Iр) .

Последовательное соединение: а - схема; б - векторная диаграмма

Последовательная цепь переменного тока с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью . На рис. 4.12 представлена цепь переменного тока, обладающая активным сопротивлением R (резистор), индуктивностью L (катушка) и емкостью С (конденсатор). В такой цепи приложенное напряжение состоит из трех слагаемых - активной, индуктивной и емкостной:

Для действующих значений суммирование слагающих должно производиться геометрически: U = U _a + U _L , + U _c . Отдельные составляющие действующих значений напряжения согласно закону Ома следующие: U _a =IR; U _L =IX _L ; U _C =IX _C .

Из построенной на рис. векторной диаграммы следует, что действующее значение приложенного напряжения

Подставив значения составляющих, получаем

Полученное выражение является формулой закона Ома для цепи переменного тока , в которой знаменатель выражает полное сопротивление неразветвленной цепи переменного тока:

Резонанс напряжений .Как видно из выражения (4.33), при X _L -X _с общий ток в цепи определяется только активным сопротивлением (X _L - Х _с = 0) и имеет наибольшее значение. В такой цепи имеет место резонанс напряжений. При этом напряжения U _L =U _C направлены в противоположные стороны и компенсируют друг друга. Однако при небольших значениях R, U _L и U _c каждое может быть значительным, что может привести к пробою изоляции индуктивной катушки и конденсатора. При резонансе напряжений wL = 1/(wC), откуда

Величину w _р называют угловой резонансной частотой, и зависит она только от величин индуктивности и емкости цепи. Резонансная частота цепи (собственная частота)

При резонансе напряжений энергии полей магнитного W _M = LI 2 /2 и электрического W _э =CU 2 /2 равны и взаимно передаются от катушки к конденсатору при колебаниях тока и напряжения без потребления энергии от источника, т. е. возникают незатухающие колебания. Энергия источника, питающего цепь, расходуется только на выделение теплоты в активном сопротивлении.

Векторная диаграмма при резонансе напряжений приведена на рисунке выше. Следует иметь в виду, что явление резонанса имеет место при равенстве собственной частоты колебательного контура с частотой источника переменного тока.

К о л ебательным контуром называют электрическую цепь, содержащую емкость и индуктивность, в которой возникают колебания тока и напряжения. Явление резонанса напряжения используется в технике, связи и радиотехнике для настройки цепи на определенную частоту. В электроэнергетических установках (линиях электропередачи) резонанс напряжений - явление вредное, так как возникают перенапряжения, опасные для изоляции установок.

Параллельная цепь переменного тока. На рис. показана цепь переменного тока, состоящая из двух катушек, соединенных параллельно, обладающих активными R ₁ и R ₂ и индуктивными Х ₁ и Х ₂ сопротивлениям. Нетрудно увидеть, что на зажимах катушек напряжение U будет одинаковым (сопротивлением соединительных проводов пренебрегаем). Ток в первой параллельной ветви согласно закону Ома I1 = U/Z ₁ = U/ÖR ₁ 2 +X ₁ 2 , а во второй

Эти токи отстают по фазе от напряжения на углы сдвига фаз j ₁ и j ₂ , причем tg j ₁ = X ₁ /R ₁ и

tg j ₂ = X ₂ /R ₂ . Токи I ₁ и I ₂ можно разложить на активную и реактивную составляющие: I _a1 = I ₁ cos j ₁ и I _p1 = I ₁ sin j ₁ ; I _a2 = I ₂ cosj ₂ и I _p2 = I ₂ sinj ₂ .

Указанные выше формулы внешне могут напоминать закон Ома на участке цепи постоянного тока, но стоит заметить, что в этом случае вместо величин постоянных токов и напряжений на участке цепи, в них входят амплитудные значения напряжений и переменных токов.

Формулы, указанные выше, выражают собой закон Ома для переменного тока, который содержит один из элементов R , L и C .

R – активное сопротивление резистора.

1 ω С – емкостное сопротивление конденсатора.

ω L – индуктивное сопротивление катушки в цепи переменного тока.

Движение переменного тока по участку цепи провоцирует электромагнитное поле выполнять работу, благодаря чему выделяется джоулево тепло.

Мгновенной мощностью в цепи называется произведение мгновенных значений тока и напряжения: p = J · u .

Прикладной интерес у нас вызывает среднее значение мощности за некоторый период переменного тока:

P = P c α = I 0 U 0 cos ω t cos ω t + φ .

В приведенной выше формуле I 0 и U 0 являются амплитудными значениями тока и напряжения на выбранном участке цепи, а φ – фазовым сдвигом между током и напряжением. Черта же представляет собой символ усреднения. В случае, когда цепь содержит только резистор с сопротивлением R , то фазовый сдвиг φ будет равен нулю:

P R = I R U R cos 2 ω t = I R U R 2 = I R 2 R 2 .

Действующие значения силы тока и напряжения

По причине необходимости совпадения с уравнением для мощности постоянного тока, нам приходится ввести определения действующих значений силы тока и напряжения:

I Д = l 0 2 ; U Д = U 0 2 .

Мощность переменного тока на участке цепи

Средняя величина мощности переменного тока на участке цепи, включающем в себя резистор, равняется:

Если в цепи содержится лишь конденсатор емкости C , то φ = π 2 . Отсюда, справедливо следующее выражение:

P C = I C U C cos ω t cos ω t + π 2 = I C U C cos ω t - sin ω t = 0.

Таким же способом можно проиллюстрировать, что P L = 0 .

Исходя из описанного выше получим следующие определение.

Мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении, а среднее значение мощности переменного тока на конденсаторе и катушке индуктивности равняется нулю.

Теперь стоит рассмотреть электрическую цепь, включающую последовательно соединенные резистор, конденсатор и катушки, и подключенную к источнику переменного тока некой частоты ω . Следует выделить, что на всех участках цепи, соединенных последовательно, проходит один и тот же ток. Между напряжением внешнего источника e ( t ) и током J ( t ) проявляется фазовый сдвиг на определенный угол φ .

Исходя из приведенных выше фактов, мы можем записать:

J ( t ) = I 0 cos ω t ; e ( t ) = δ 0 cos ω t + φ .

Данные формулы мгновенных значений тока и напряжения подходят к построениям, выполненным на векторной диаграмме (рис. 2 . 3 . 2 ).

Рисунок 2 . 3 . 2 . Гармонические колебания A cos ( ω t + φ 1 ) , B cos ( ω t + φ 2 ) и их суммы C cos ( ω t + φ ) на векторной диаграмме.

Средняя величина мощности, развиваемой источником переменного тока, может быть найдена из следующего выражения:

P = I 0 δ 0 cos ω t cos ω t + φ = I 0 δ 0 2 cos φ = I Д δ Д cos φ .

Исходя из данных векторной диаграммы можно заявить, что U R = δ 0 · cos φ , следовательно,
P = I 0 U R 2 , а вся мощность, которую развивает источник питания, теряется в виде джоулева тепла на резисторе.

В прошлых темах нами было получено выражение, являющееся соотношением амплитуд тока I 0 и напряжений δ 0 в условиях последовательной R L C -цепи:

I 0 = δ 0 R 2 + ω L - 1 ω C 2

Z = R 2 + ω L - 1 ω C 2 – это величина, имеющая название полное сопротивление цепи переменного тока.

Связь между амплитудными значениями тока и напряжения в цепи имеет вид:

Данное выражение представляет собой закон Ома для цепи переменного тока.

Закон Ома в условиях параллельной R L C -цепи

В различных расчетах, связанных с работой над цепями переменного тока, очень важное место занимает понятие полного сопротивления. Для его определения в цепи в большей части случаев практично использовать метод векторных диаграмм. В качестве примера, приведем параллельный подключенный к внешнему источнику переменного тока (рис. 2 . 4 . 1 ) R L C -контур:

Рисунок 2 . 4 . 1 . Параллельный R L C -контур.

При построении диаграммы важно учесть, что в условиях параллельного соединения напряжение на всех элементах R , C и L идентично и равняется напряжению внешнего источника питания. Ток, текущий в разных ветвях цепи, различается не только по значениям амплитуд, но и по фазовым сдвигам относительно приложенного напряжения. Следовательно, полное сопротивление цепи невозможно вычислить опираясь на законы параллельного соединения цепей постоянного тока. Векторную диаграмму для параллельного R L C -контура можно увидеть на рис. 2 . 4 . 2 .

Рисунок 2 . 4 . 2 . Векторная диаграмма для параллельного R L C -контур.

Исходя из вида диаграммы, следует:

I 0 = δ 0 1 R 2 + ω L - 1 ω C 2 .

Соответственно, полное сопротивление параллельного R L C -контура выражается в виде следующего соотношения:

Z = 1 1 R 2 + ω L - 1 ω C 2 .

При параллельном резонансе ( ω 2 = 1 L C ) полное сопротивление цепи принимает свое максимальное значение, которое эквивалентно активному сопротивлению резистора:

А значение фазового сдвига φ между током и напряжением при параллельном резонансе равняется нулю.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ R, L, C И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Дана последовательная цепь из R, L и C (рис. 4.1). Цепь такого вида часто называют последовательным колебательным контуром.
В этой цепи заданы: приложенное напряжение U , частота f и числовые значения (номиналы) элементов R, L, C.
Требуется найти ток и напряжение на элементах. Решение этой задачи выполним на основе построения векторной диаграммы.
Рис. 4.1
f

В последовательной цепи общим для всех элементов является протекающий по ним ток. Поэтому именно с него начинаем построение векторной диаграммы последовательной электрической цепи.
На рис. 4.2 изображаем вектор тока, например, горизонтально, хотя его направление можно выбирать произвольно. Далее строятся векторы напряжений на всех элементах.
Рис. 4.2
В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать вектор входного напряжения:
Сложение векторов удобнее выполнять по правилу многоугольника, когда каждый последующий вектор пристраивается к концу предыдущего.
Полученная диаграмма называется топографической векторной диаграммой.

Известно, что напряжение на активном сопротивлении R совпадает по фазе с током, поэтому вектор UR направлен по вектору тока I.

К концу вектора UR пристраиваем вектор UL и направляем его вверх под углом 90°, так как напряжение на индуктивности UL опережает ток на 90°.

Напряжение на ёмкости UC находится в противофазе с UL , т. е. отстаёт от тока на 90°, поэтому вектор UС , пристроенный к концу вектора UL, направлен вниз.
Сумма векторов UR + UL + UC даёт вектор напряжения U.

Величины напряжений на отдельных элементах цепи известны, согласно закону Ома:
По теореме Пифагора, из треугольника оab находим:
где Z – полное сопротивление цепи,
X – общее реактивное сопротивление,
Угол сдвига фаз между напряжением U и током I также определяется из треугольника oab:

Векторная диаграмма, изображенная на рис. 4.2, построена для случая, когда UL > UC .

Это имеет место при XL > XC, когда в цепи преобладает индуктивность и цепь носит активно-индуктивный характер. В этом случае общий ток I отстаёт по фазе от входного напряжения на угол ϕ.

Возможны также режимы, когда UL IC . Это имеет место при ВL > ВC , когда в цепи преобладает индуктивность, и цепь носит активно-индуктивный характер.
В этом случае общий ток I отстаёт по фазе от входного напряжения на угол j. Возможны также режимы, когда IL

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности.

Напряжение на зажимах цепи

Выполнив подстановку, получим

Подставим в последнее выражение ток в цепи, зная, что он равен

В итоге получим выражение

Из этого выражения можно увидеть сдвиг фаз каждого элемента. У резистора он отсутствует, то есть напряжение и ток совпадают по фазе, у катушки индуктивности напряжение опережает ток на угол π/2, а у конденсатора, напротив, отстает.

Сдвиг фаз RLС-цепи можно определить по формуле

Полное сопротивление RLС-цепи

Амплитудное значение тока

При построении векторной диаграммы RLC-цепи возможны три случая:

1 – Цепь носит активный характер, сдвиг фаз равен нулю, индуктивное и емкостное сопротивления равны. При этом в такой цепи наблюдается резонанс напряжений.

2 – Цепь носит индуктивный характер, в этом случае индуктивное сопротивление больше чем емкостное.

На векторной диаграмме, как правило, сначала откладывают вектор напряжения на катушке индуктивности, а затем из него вычетают напряжение на конденсаторе. После этого проводят вектор общего напряжения и определяют сдвиг фаз φ.

3 – Цепи носит емкостной характер, при этом емкостное сопротивление больше чем индуктивное.

Построение векторной диаграммы выполняется аналогично цепи индуктивного характера, за тем исключением, что здесь сдвиг фаз отрицателен и вычитается индуктивное напряжение из напряжения на емкости.

Цепь состоит из последовательно включенных резистора сопротивлением 25 Ом, конденсатора емкостью 200 мкФ и катушки индуктивности 30 мГн. Ток, протекающий в цепи, равен 0,75 А. Определите U,U_R,U_L,U_C,φ. Постройте векторную диаграмму и определите характер цепи.

Найдем напряжение на каждом из элементов

Сдвиг фаз равен

Из векторной диаграммы можно сделать вывод, что цепь носит емкостной характер.

Читайте также: