Решение треугольников 10 класс конспект

Обновлено: 05.07.2024

Цель урока: обеспечить в ходе урока сознательное повторение формул для вычисления площади треугольника, которые изучаются в школьной программе. Показать необходимость знания II формулы Герона, формулы площади треугольника, заданного в прямоугольной системе координат. Обеспечить сознательное усвоение и применение этих формул при решении задач. Показать формулу площади треугольника через радиусы вписанной и вневписанных окружностей. Учиться получать следствия из формул и показать это на некоторых выводах.

Вложение	Размер
statya.doc..doc	111 КБ
prezentaciya._ppt..ppt	2.23 МБ

Предварительный просмотр:

Буянова А. М. ( персональный идентификатор 213-573-506)

Открытый урок по геометрии в 10 классе по теме

Учитель математики МОУ СОШ №21 г. Подольска -Буянова Анна Матвеевна

Образовательная цель: обеспечить в ходе урока сознательное повторение формул для вычисления площади треугольника, которые изучаются в школьной программе. Показать необходимость знания II формулы Герона, формулы площади треугольника, заданного в прямоугольной системе координат. Обеспечить сознательное усвоение и применение этих формул при решении задач. Показать формулу площади треугольника через радиусы вписанной и вневписанных окружностей. Учиться получать следствия из формул и показать это на некоторых выводах.

Воспитательная цель: воспитывать сознательное отношение к учебе повышение интереса к математике, к истории математики, к научно-исследовательской работе.

Развивающая цель: развивать логическое мышление, математическую речь. умение сравнивать и делать выводы; совершенствовать навыки работы с формулами, учиться получать из них следствия.

Методы и приёмы: словесный и наглядный.

По типу: урок обобщения и систематизации знаний.

Наглядность к уроку и раздаточный материал:

презентация;
памятки с рисунками, где учащиеся будут записывать формулы (приложение 1);
задания для практической работы (приложение 2);
учебник.

I. Организационная часть:

- подготовка учащихся к уроку

- получение сведений об отсутствующих.

Мы повторим те формулы, которые вы знаете. Я вам покажу ещё несколько формул, знать которые необходимо для успешной сдачи ЕГЭ. И применим эти формулы при решении задач.

Запишите тему урока. Прежде чем приступить непосредственно к формулам давайте вспомним две теоремы геометрии, которые используются при их доказательствах - это теорема синусов и теорема косинусов.

Напишите эту формулу для a2 , b2 .

Какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?

Площадь прямоугольного треугольника. S= ab. Запишите формулу (приложение 1).

Площадь любого треугольника. S= а . a = , = Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 4. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.

S=½·ab·sinα. Запишите формулу (приложение 1).

Здесь уместно вспомнить, как строится вписанная окружность. Запишите формулу (приложение 1).

Площадь треугольника через R-радиус описанной окружности.

Здесь также можно вспомнить, как строится описанная окружность.

I Формула Герона.

Доказательство первой формулы Герона. Запишите формулу (приложение 1).

Как посчитать площадь треугольника. если хотя бы одна сторона выражена квадратным корнем? II Формула Герона. Применяя предыдущую формулу, получим следующую.

Её называют II формулой Герона. И если стороны треугольника а,b,с , то записать ее можно в виде:

Слайд12. Рассмотрим решение задачи на применение этой формулы .

Слайд14. Давайте решим одну замечательную задачу на применение данных формул. (Условие задачи с рисунком на листочках выдаётся каждому ученику. Здесь же они пишут решение. Каждый пункт решения проверяется с использованием слайда). Приложение 2.

Слайд15. А как посчитать площадь треугольника в системе координат? Рассмотрим это на примере. Можно вычислить стороны треугольника, а затем его площадь по II формулой Герона. Но здесь громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. А нет ли ещё какой-нибудь формулы для вычисления площади треугольника?

Такая формула существует. S= |(y3-y1) (x2-x1) – (x3-x1) (y2-y1)|. Запишите формулу (приложение 1).

Доказательство этой формулы очень громоздкое и мы не будем на нём подробно останавливаться. Если оно вас заинтересует, то можно разобрать его после урока.

Давайте попробуем применить эту формулу при решении задачи, текст которой у вас на тех же листочках. (Приложение 2).

Задача: А(0;0), В(5:7), С(4:-2). Найти площадь треугольника. Отв.19.

Итак, теперь мы знаем 8 формул для нахождения площади треугольника.

Но оказывается это не все формулы.

Существуют ещё формулы и следствия из предыдущих формул. Слайд19. Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

. Запишите формулу (приложение 1).

Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. Эту формулу можно получить из предыдущей, используя тригонометрическую формулу синуса суммы.

Запишите формулу (приложение 1).

Вычисление площади треугольника через все углы и радиус описанной окружности.

Вычисление площади треугольника через все углы и одну из сторон треугольника.

. Запишите формулу (приложение 1).

Вычисление площади треугольника через радиусы вневписанных окружностей. Эту формулу не используют в школе. Но в материалах группы С ЕГЭ встречаются задачи, где можно быстро найти ответ, применив эту формулу.

Итак, мы теперь знаем 13 формул. Но это ещё не предел. С таким же успехом можно получить ещё новые формулы, например, через тригонометрические формулы половинного угла, двойного угла. Такие исследования могут стать стартовой площадкой для написания научно-исследовательской работы.

Интернет-ресурсы. На этом слайде вы видите сайт, где есть программа вычисления площадей треугольников по первым семи формулам для самых ленивых. Недостаток этой программы в том, что считает она приближённо в десятичных дробях.

III. Домашнее задание. Приложение 2.

1. А(2;3), В(5:-4), С(-1;-3). Найти площадь треугольника АВС.

2. В ∆АВС a=6, b = , с = . Найти:

1) Площадь треугольника АВС.

4) R ( радиус описанной окружности).

IV. Итог урока. Объявить оценки за работу на уроке.

Какие формулы вы сегодня повторили?

Какие формулы вы узнали только сегодня?

Те листочки, на которых вы записали формулы, пусть послужат вам справочным материалом при решении задач на уроке, дома и при подготовке к ЕГЭ.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

вычисление площадей различных фигур

вычисления площадей различными способами.

Открытый урок геометрии 7 класс по тема "Признаки равенства треугольников"

Данный урок прведён в 7 классе .Тип:: обобщение и систематизация знаний.Цель: создание условия для выявления уровня овладения .

Открытый урок геометрии 7 класс по тема "Признаки равенства треугольников"

Cоздание условия для выявления уровня овладения учащимися комплексом знаний и умений по теме.

Устный счет на уроках геометрии в 8 классеПрезентация содержит практические устные задачи по геометрии, которые учитель может предложить на этапе устной работы на уроке. При решении данных задач повто.

Тип урока: урок систематизации и закрепления знаний.Цели урока: Закрепить знания и умения по теме площадь; совершенствовать навыки решения задач; применение знаний учащихся к решению прикладных .

Краткосрочный план урока геометрии для 9 класса по теме "Решение треугольников (вычисление площади треугольника через радиус вписанной или описанной окружности)".

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой; трех отрезков, попарно соединяющих эти точки; и ограниченная ими часть плоскости. Точки – это вершины треугольника, отрезки – это стороны треугольника.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень

Зив Б. Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс

Саакян С. М. Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. для учителя

Атанасян Л. С. и др.: Геометрия. 10 класс. Поурочные разработки к учебному комплекту

Математика 10-11 класс. Геометрия. Сборник рабочих программ: базовый и углубленный уровень

Атанасяна Л. С., Бутузова В. Ф. Геометрия. 10 класс. Технологические карты уроков по учебнику ФГОС

Зив Б. Г. и др. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Треугольник в блеске.

Бриллиант, ограненный алмаз. В нем 57 граней. Основные грани камня имеют треугольную форму. За счет этого происходит великолепная игра света, переходящая в ослепительный блеск.

Рассмотрим эту фигуру и ее свойства.

Треугольник АВС– это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков: попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами треугольника. Обратите внимание на расположение углов и на обозначение сторон. Напротив угла В лежит сторона треугольника b.

Найти: КN,

Из по теореме Пифагора:

=0,75

Ответ:

Дано:

Найти:

ED – средняя линия треугольника ABC

ED = 0,5 ⋅ AB, ED∥AB.

Так как ED∥AB, то ∠DEF =∠ABF, ∠EDF =∠FAB

DEF ABF (подобны по двум углам).

ED = 0,5 ⋅ AB, причём стороны ED и AB лежат против равных углов, то

= = = 0,25,

Так как , = 0,25.

Значение тригонометрических функций для некоторых углов

Теоретический материал для углубленного изучения

Теорема Чевы – классическая теорема геометрии треугольника. Установлена в 1678 г. итальянским ученым и инженером Джованни Чевой.

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы, , треугольника АВС проходят через одну точку тогда и только тогда, когда

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Ребус – соответствие

Дайте определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Отрезок треугольника:

Определение:

• Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

• Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Вспоминаем определения биссектрисы, медианы и высоты.

Разбор задания:

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Заполните таблицу вписывая только номер высказывания.

Признаки равенства треугольников

Признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого;
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника;
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны;
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника;
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника;
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Признаки равенства треугольников

Признаки подобия треугольников

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Подсказка: в признаках равенства используется слова равны, а в подобии - пропорциональны.

Разбор задания:

Признаки равенства.

Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников:

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

1 . Закрепление и углубление знаний учащихся о теоремах синусов и косинусов и их применение к решению треугольников, а также их соотношение между углами треугольника и противоположными сторонами.

2. Развитие активности учащихся, формирование учебно-познавательных действий, коммуникативных навыков, умение анализировать и устанавливать связь между элементами темы. показать связь теории с практикой, способствовать выработке навыков решения задач, применяя раннее изученный материал.

3. Воспитывать ответственное отношение к учебному труду.

Воспитывать способность к самоанализу, рефлексии.

Оборудование: презентация, проектор, таблица Брадиса, лист самоконтроля.

У каждого человека должна быть своя высота

От исходной точки до вершины

И должна быть своя мечта

Высота с мечтой неразделимы.

Мотивация урока.

Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!

Актуализация опорных знаний.

Треугольник это геометрическая фигура имеющая 3 стороны и 3 угла (И)

Каждая сторона треугольника равна сумме двух других сторон (Л)

В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона (Л)

Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне (И)

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без произведения этих сторон на косинус угла между ними (Л)

Верно ли выражение для данного треугольника

(Л)

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (И)

(И)

Решить треугольник значит найти угол и сторону этого треугольника. (Л)

( листе самоконтроля отметь на какой ступеньке вы оказались)

Давайте двигаться дальше и посмотрим сможем ли мы взобраться на следующую ступень.

Сегодня на уроке повторим как по данным длинам или градусным мерам трёх элементов треугольника вычислить остальные его элементы. Решая задачи такого типа, мы говорим …(решаем треугольник)

И прежде чем приступить к решению различных задач, нам необходимо вспомнить:

Какие теоремы применяются при решении треугольников?

Какие задачи при этом можно выделить? (по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу)(Слайд таблица с формулами)

Решение задач на повторение.

Решение задач в группах по уровням. ( с последующей проверкой и комментарием)

Задача: В треугольнике АВС АВ=0,6см, ВС=0,5см, .Найдите сторону АС.

Воспользуемся теоремой косинусов

3 группа: уровень А

Задача: В треугольнике АВС АВ=10см, . Найдите сторону АС.

Решение

Воспользуемся теоремой синусов:

Ответ:8,3 см

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине тени, решение которой необходимо для изготовления солнечных часов. Выделение тригонометрии в специальный раздел математики связано с именем выдающегося персидского ученого Н а с и р э д д и н а Т у с и (1201-1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в 15в. немецким ученым Р е г и о м о н т а н о м ( 1436-1476). Современный вид тригонометрия получила в трудах крупнейшего математика 18в. Леонарда Э й л е р а (1707-1783).

V. Решение задач с практическим содержанием.

Решение задач в парах ( 3 варианта)

Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Решим треугольник АВС(задача 1) и найдем угол А, равный α

По теореме косинусов определим cos А

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить.

Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту.

Какова высота башни?

Дано: АВ=50 м, BDH=2 0 , CDH=45 0 , DH||AB.

DH || AB →BDH=DBA=2 0 , как накрест лежащие.

cos DBA= ДВ=

Применим терему синусов:

ΔСDB:

ЭКЗАМЕН НЕ ЗА ГОРАМИ

Задания учащимся с планом решения ( подготовка к ГИА).

Две стороны треугольника имеют длины 6см и 12 см, а угол между ними равен 120 0 . Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Пусть дан треугольник АВС:АВ=6 см, ВС=12 см, .Сторона АС-наибольшая, так как она лежит против тупого угла. По теореме косинусов имеем:

36 + 144 - 2612(-0,5) = 252; AC = (см)

VII. Подведение итогов.

Ребята, что узнали на уроке нового, как работал каждый из вас. Где на уроке почувствовали неуверенность, что показалось сложным. Ребята предлагаю сейчас каждому из вас высказаться одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске:

Организационный момент устанавливает личностный контакт учителя с учениками через формирование целей урока, их взаимного принятия и включение мотива на совместную работу. Положительная мотивация достигается анализом успешной работы учащихся с теоремой косинусов и синусов и их применение к решению задач.

II. Актуализация опорных знаний

Решение треугольников

Сумма углов треугольника равна 180°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

Теорема косинусов

а²=в²+с²-2вс cosα
в²=а²+с²-2вс cosβ
с²=в²+а²-2ав cosγ

Следствие: а²=в²+с²±2вв_c и т.д. (в_c- проекция на с)

Теорема синусов

Следствие: против большего угла лежит и большая сторона, против большей стороны лежит и больший угол.

2. Найдите устно значения синуса и косинуса следующих углов:

III. Изучение нового материала

Основные задачи

I тип – по стороне и двум углам

Дано: a, α¸ β.
Найти: j¸ b, с.
Решение:

II тип – по двум сторонам и углу между ними.

Дано: a, b, j.
Найти: α¸ β¸ с.
Решение:

Угол β можно найти из равенства α+β+j =180°

III тип – по трем сторонам

Дано: а, в, с.
Найти: α¸ β¸ j.
Решение:
а²=в²+с²-2вс сosα

IV. Закрепление изученного материала

1. Решить задачу:

Дано:
Найти:
Решение:

2. Самостоятельно решить № 26(1), 27(1), 29(1), используя таблицу.

V. Итог урока

Любой ли треугольник сможем решить, если знаем только теорему косинусов? Только теорему синусов?

VI. Домашнее задание: повторить теорию по таблице. Задачи № 26(2), 27(2), 29(2).

Квадрат стороны a в треугольнике больше суммы квадратов двух других сторон. Против какого угла, острого, прямого или тупого лежит сторона a ?

В D АВС угол С тупой; сравнить длины сторон АВ и ВС.

Дан D СДМ. Используя теорему косинусов. сказать чему равен квадрат стороны СМ.

У треугольника две стороны 4м и 5м, а синус угла между ними 0,6.

Найти длину третьей стороны треугольника.

Задача. В D АВС известны длины сторон a, b, c. Найти градусные меры углов a, b, g.

Устная работа ( приводящая к составлению алгоритма):

С какими типами задач по решению треугольников мы знакомы?

(ответ имеется на доске как результат индивидуальной работы у доски)

Какой элемент треугольника необходимо определить, чтобы использовать один из изученных типов задач?

(ответ: любой угол треугольника)

Какую из изученных теорем необходимо использовать для определения этого угла?

(ответ: теорему косинусов)

К каким типам задач можно свести решение нашей проблемы?

(ответ: - к решению треугольника по двум сторонам и углу между ними;

- к решению треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них )

АВС a = 2, b = 3, c =4. Найти: a, b, g

Используя теорему косинусов, получим

Читайте также: